1.随机选择两个质数P和Q 我们选择P=61，Q=53，计算PQ的乘积N=PQ=61*53=3233，将N转换为二进制:110010100001，N的二进制长度是12，也就是密钥长度为12。...2.求N的欧拉函数值M 欧拉函数的定义：任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？ 欧拉函数有个通用的计算公式： ?...如果k是质数，则φ(k) = k-1; b.如果 n = P * Q，P 与 Q 均为质数，则 φ(n) = φ(P * Q)= φ(P)φ(Q) = (P - 1)(Q - 1) 。...综上所述，我们找到了通过随机选择的互质的P和Q计算得到N、M、E、D，我们把这些数字分为两组：(E,N)和(D,N)分别为公钥组和私钥组，E是公钥、D是私钥。...需要特别注意转换后的数字X需要小于密钥组中的N，如果字符串转换后的数字大于N则需要进行拆分，这可能也是在数据量大时我们使用对称加密算法来加密内容，用非对称加密算法来加密密钥的原因吧。
（7）rsa算法可靠性 回顾我们一共生成了六个数字：p q n φ(n) e d，这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。...只有将n因数分解，才能算出p和q 结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。 看到这里有同学可能会惊呼：原来破解RSA算法的方法这个简单？？？...1999年，RSA-155 (512 bits)被成功分解，花了五个月时间（约8000 MIPS年）和224 CPU hours在一台有3.2G中央内存的Cray C916计算机上完成。...（1）加密要用公钥 (n,e) 假设小明先测试性的给小红发一个字母m=“A”，我们都知道在通信传输中只能传输0和1，所以我们先将“A”转ascii码为65，所以m=65，m必须是整数（字符串可以取ascii...也就是说这个公式是怎么推导出来的？公式一定成立吗？ 感兴趣的同学我们可以来一起证明一下解密公式，这也是整个RSA加密算法的最后最核心的一个知识点了。
RSA加密算法 RSA加密算法非常有名，在计算机领域的应用非常广泛，几乎是一般用户在信息加密时的首选。...现在我们一起来看一看吧—— RSA算法原理 RSA算法包括四个阶段：密钥生成，密钥发布，加密和解密。前两个阶段属于加密算法准备，后两个阶段则属于加密算法使用。 下面我们分别来看这四个阶段： 1....模反元素：如果有两个互质的正整数a和n，那一定可以找到一个整数b，能让 ab - 1 能被 n 整除，也就是说ab除以n的余数是1，记作 ab ≡ 1(mod n)。...这件事我们不妨反过来想，如果我们要破解RSA加密文件，我们需要什么？ 我们需要私钥，私钥包括两个部分：n 和 d，n 就是公钥中的 n，所以我们唯一需要知道的就是 d。...n = p·q，那么我们只要对 n 进行质因数分解，找到它的最大质因数就可以了。 ? 可是，实际操作起来，却不那么容易。 如果 p 和 q 很大，n 就会更大。
三、欧拉函数 请思考以下问题： 任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）...由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。...理解了这个定理，就可以理解RSA。 五、模反元素 还剩下最后一个概念： 如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。 ?...有了这些知识，我们就可以看懂RSA算法。这是目前地球上最重要的加密算法。 六、密钥生成的步骤 我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？ ?...第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。 爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。） 第二步，计算p和q的乘积n。 爱丽丝就把61和53相乘。
该算法的理论基础是“大数分解和素数检测“，如果说有一天，大数分解和素数检测的数学理论被证明可以简单解决，那么RSA算法的加密将没有任何意义。有提出说量子计算机的出现可以大大提高RSA的破解效率。...也就是说当n＝ed时，算法成立。 在《公钥密码 之 素数，费马定理与欧拉定理》中我们提到，对于素数p和q，有 。 e和d应满足如下关系： 即e和d互为模 的乘法逆。...因此可知d和e互为模反元素，则得到上式等价于 这里面涉及到了模反元素，模反函数的定义为： 如果两个正整数a和n互素，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是...RSA加密算法的安全性 RSA加密算法中一共涉及到p，q，n， ，e，d六个数字，其中｛n，e｝为公钥，也就是说n，e是暴露的，那么能否通过n，e来得到密钥｛n，d｝呢？其中关键就是得到d。...我们来看如何得到d： 1。 其中e是已知的，那么关键就是如何得到 。 2。 p，q成为得到 的关键，而pq可以从n中得到，并且n是已知的。 3。
有了这些知识，我们就可以看懂RSA算法。这是目前地球上最重要的加密算法。 六、密钥生成的步骤 我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？...第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。 爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。） 第二步，计算p和q的乘积n。 爱丽丝就把61和53相乘。 ...（实际应用中，常常选择65537。） 第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。 所谓"模反元素"就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。 ...第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。 在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。...七、RSA算法的可靠性 回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字： p q n φ(n) e d 这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的
m，如果两个整数a和b满足a – b能被m整除，即(a – b)modm=0， 那么就称整数a与b对模m同余，记作a ≡ b ( mod m)，同时可成立a mod m = b 注意，同余与模运算是不同的...欧拉函数 任意给定正整数n，计算在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示....例如，在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4 在RSA算法中，欧拉函数对以下定理成立 1.如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p×q，则有：φ(n)=φ(pq)=φ(...p )φ( q ); 2.当p为质数，φ( p )=p-1 所以有φ(n)=(p-1)(q-1) 欧拉定理与模反元素 欧拉函数的用处，在于欧拉定理 “欧拉定理”指的是: 如果两个正整数a和n互质...a^(φ(n)−1)≡1(modn) 令b=a^(φ(n)−1)，得： ab≡1(modn) b就是a的模反元素 所以，如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b使得ab-1被n整除，或者说ab
什么是RSA 前面文章我们讲了AES算法，AES算法是一种是对称加密算法，本文我们来介绍一个十分常用的非对称加密算法RSA。 非对称加密算法也叫公钥密码算法，通过生成的公私钥来对明文密文进行加密解密。...找到了E和N，我们的公钥就生成了。 4. 求D 计算D的公式如下： ? ? 破解RSA 如果想破解RSA， 对于密码破解者来说，他知道了公钥{E,N}, 知道了密文，根据公式： ?...目前RSA算法中p和q的长度一般为1024比特以上，生成的N的长度为2048比特以上，E和D的长度和N差不多，如果要暴力破解2048比特的D是非常困难的。 由公式： ?...可知，如果破解者知道了L的值，那么就可以轻易的求出D。而L是通过p和q计算出来的，所以p和q一定要保密，否则跟密码泄露是一样的。...因为 N= p * q ， 而p和q都是质数， N又是已知的，那么我们可不可以通过质因数分解来得到 p和q呢？
也就是说，对一个极大整数做因数分解越困难，RSA算法越可靠。如果有人找到一种快速因数分解的算法的话，那么用RSA加密的信息的可靠性就肯定会极大降低。...：大整数N，我们称之为模数（modulus） · p 和 q ：大整数N的两个因子（factor） · e 和 d：互为模反数的两个指数（exponent） · c 和 m：分别是密文和明文 · phi...：N的欧拉函数值，在求解d的时候常用 2、RSA算法密钥的产生 · 选取两个较大的互不相等的质数p和q，计算n = p * q 。...常见解题思路 CTF中的RSA题目一般是将flag进行加密，给出密文c以及其他一些解题需要的信息，需要克服重重难关解密密文c，得到flag（即明文m），一般有下列题型： ?...1已知p、q、e，求d 求d脚本：get-d.py//rsatool.py(需gmpy模块) 例： 在一次RSA密钥对生成中，假设p=473398607161，q=4511911，e=17，求解d。
如果密钥 A 在甲传递给乙的过程中泄露，或者根据已知的几次密文和明文推导出密钥 A，则甲乙之间的通讯将毫无秘密。...1、随机找两个质数 P 和 Q ,P 与 Q 越大，越安全。 比如 P = 67 ，Q = 71。...如果 n = P * Q，P 与 Q 均为质数，则 φ(n) = φ(P * Q)= φ(P - 1)φ(Q - 1) = (P - 1)(Q - 1) 本例中 φ(n) = 66 * 70 = 4620...公约数只有 1 的两个整数，叫做互质整数，这里我们随机选择 e = 101 请注意不要选择 4619，如果选这个，则公钥和私钥将变得相同。...有人会问，有没有可能在已知 （n，e) 的情况下，推导出 d。 根据以上密钥对的生成过程： 如果想知道 d 需要知道欧拉函数 φ(n)。 如果想知道欧拉函数 φ(n) 需要知道 P 和 Q。
Alice 和 Bob 先约定好 Y 和 P 的值，这两个值是公开的，其他人知道也没事，假设Y=7，P=11， 然后两人通过下面的过程来交换密钥： ?...如果 Y 和 P 的值很大，那么窃听者就很难逆向求解这道演算式来得出Alice 和 Bob 使用的值，这是由单向函数的数学规律决定的。...RSA 系统的私钥是随机挑选的两个质数p 和 q， 公钥就是p*q=N 和 e（一个和 (p-1)*(q-q) 得到的积互质的数，见下），当 N 的值足够大时，几乎没有人能推算出 p 和 q，现在的惯例是...RSA 系统也用到了模(mod)，它的计算过程如下： Alice 先挑选两个质数 p 和 q， 假设p =17， q=11， 然后相乘得到 N=18 Alice 需要再挑选一个数字e， 这个 e 只需要和...(p-1)*(q-1) 得到的数互质，此处我们挑选 e=7 Alice 将 N 和 e 发布出去，这就是公钥，e 是随机挑选的，可以和其他人的一样，但是 N 必须确保是唯一的。
RSA加密 我们需要先预习一下还给数学老师的知识 欧拉函数 在数论中，存在正整数 n，小于n并且与n互质的正整数的数目称为n的欧拉函数记着φ(n)。...欧拉定理 如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n) 次方对n取余衡等于1。m^φ(n)%n≡1。 费马小定理 存在一个质数p，而整数a不是p的倍数，则存在a^(p-1)%p≡1。...因此： 公钥： e、n 秘钥：d、n 明文：m 密文：c RSA加密过程 1、取两个质数p1、p2； 2、确定n值，n=p1 * p2，n值一般会很大长度一般为1024个二进制位； 3、确定φ(n)，φ...通过上面的讲解我们知道在RSA 加密中用到的几6个参数 p1 p2 n φ(n) e d 这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。...2) φ(n)=(p1-1) * (p2-1) （只有知道p1和p2，才能算出φ(n)。） 3) n=p1*p2 (只有将n因数分解，才能算出p和q。)
2.非对称加密 信息的加密和解密需要用两个密匙，分别为公开的公钥（Public Key）和私有的密钥（Private Key）。比较常见的非对称加密算法有RSA算法。...3.模反元素 如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到一个整数b，使得a*b-1可以被n整除，即 (a * b) mod n = 1 以上即为了解RSA算法的一些必备知识，本文对RSA算法背后的数学原理不做解释...）乙用私钥对加密信息进行解密 2.密钥生成步骤 （1）随机选择两个不相等的质数p和q （2）计算乘积n = p * q，n的长度就是密钥的长度 （3）计算欧拉函数f(n) = (p - 1) * (q...n因数分解才可以计算出p和q 根据数论知识我们知道，大整数的因数分解是很困难的，所以这就决定了RSA算法的安全性。...百度百科 所以在实际应用中使用1024位及以上的密匙就可以保证信息的安全。 代码演示 注：本文只使用一个简单的示例来阐述RSA算法加密解密的过程，实际应用中读者可以找到RSA算法库进行代码移植。
无形中让人感觉RSA加密算法竟然这么高深，然后就看不下去了。看到了这样的代码我就特别生气，四个字：误人子弟。...知道这个数字有多大吗？这么说吧，把全宇宙中的物质都做成硬盘都放不下，更何况你的512M内存的电脑。所以我说他们的代码只可远观而不可亵玩已。 ...RSA算法的步骤主要有以下几个步骤： 1、选择 p、q两个超级大的质数 ，都是1024位，显得咱们的程序货真价实。 2、令n = p * q。...3、公钥私钥生成 rsa.py，生成公钥、私钥、并对信息加密解密。 咱是实在博主，绝对不会弄虚作假，在p和q的选择上，今年过年不选p、q，要选就选1024位。...很多博客中在选取p和q的时候都是使用10000以内的质数，象征性地给大家演示一下，把问题说明白，结果在计算的时候就偷懒了，直接把幂次计算出来。这个明显偷懒了，没有把问题说明白。
RSA算法原理 RSA定理：若P和Q是两个相异质数，另有正整数D和E，其中E的值与 (P-1)(Q-1)的值互质，并使得DE%(P-1)(Q-1)=1，有正整数M，且M<PQ，设： C=ME%PQ，B=...生成公钥和密钥 随意选择两个大的素数P和Q，且P不等于Q 令N=PQ 令T=(P-1)(Q-1) 选择一个整数E，作为一个密钥，使E与T互质(即E与T的最大公约数为1)，且E必须小于T 由公式DE%T=...： 密文：C 解密：CD%N=M 明文：M RSA算法模拟 为了计算方便，选取较小素数 生成公钥和密钥 取P=11，Q=13 令N=PQ=11*13=143 令T=(P-1)(Q-1)=10*12=120...在现有的多种实现数字签名的方法中，采用公开秘钥算法比常规算法更容易实现。...RSA算法的安全性依赖于大数分解，对于一个大数N，没有有效的方法能够将其分解，从而在已知(N，D)的情况下，无法获得E，同样在已知(N，E)的情况下无法求得D。
在RAS算法中，加密密钥（即公开密钥）PK是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥）SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。...如果互质数p和q足够大，那么根据目前的计算机技术和其他工具，至今也没能从N分解出p和q。换句话说，只要密钥长度N足够大（一般1024足矣），基本上不可能从公钥信息推出私钥信息。...现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。 4.4 求D： 数D是由数E计算出来的，数D必须保证足够大。...求D 1 < D < L，E＊D mod L ＝ 1 五、实践： 为了计算方便，p q 的值取小一旦，假设：p ＝ 17，q ＝ 19， 则： （1）求N：N ＝ p ＊ q ＝ 323； （2）求L...除此之外这样找到的p和q还要满足一定的要求，首先它们不能太靠近，此外p-1或q-1的因子不能太小，否则的话N也可以被很快地分解。 寻找质数的算法不能给攻击者任何信息，比如这些质数是怎样找到的？
RSA 算法流程 具体算法流程如下： 找到互质的两个数， p 和 q， 计算 N = p*q 确定一个数 e， 使得 e 与 (p-1)(q-1) 互质， 此时公钥为 (N, e)， 告诉给对方 确定私钥...a 和 p 互质，那么有: 即a 的 p-1 次方 对 p 取余为1，（a 的 p-1次方减去1可以整除 p） 欧拉定理的证明比较复杂，可以参考下文末的参考资料。...举个例子 还是用个简单示例来说明： N = pq， 取俩素数 p=11, q = 3, N = p * q = 33， 取 e 与 (p-1)(q-1) = 20 互质的数 e = 3， 然后通过 确定私钥...linux计算器 RSA 破解 如果需要破解 RSA 的话，就是需要找到 p 和 q， 使得 pq=33， 如果知道了 p 和 q 就能通过公钥 N 和 e 反推出私钥 d 了。...当然上面所述的案例较简单，当 N 很大时，就特别困难了。大数分解在历史以来就一直是数学上的难题。
RSA 秘钥生成过程我们以一个实际场景来描述秘钥的生成过程，假设现在小明和小王要进行通信：第一步：选取两个质数 P、Q，计算秘钥长度 N小王随机选取两个质数：P = 61 Q = 53，N = P *...第二步：根据欧拉函数计算 φ(N) 并选取随机值 Eφ(N) = φ(P) * φ(Q) = (P - 1)*(Q -1) = 60 × 52 = 3120随机从 1<E<φ(N) 选取一个整数，且与...其它为什么 RSA 加密算法可靠性如何保证从上面我们可以看到一共涉及：P Q N φ(N) E D，N、E 为公钥，N、D 为私钥因此，其中最关键的是 D，若 D 泄漏相当于私钥泄漏。...作为一个 Java 后端技术爱好者，我不仅热衷于探索语言的新特性和技术的深度，还热衷于分享我的见解和最佳实践。我相信知识的分享和社区合作可以帮助我们共同成长。...在我的博客上，你将找到关于Java核心概念、JVM 底层技术、常用框架如Spring和Mybatis 、MySQL等数据库管理、RabbitMQ、Rocketmq等消息中间件、性能优化等内容的深入文章。
2、欧拉函数 请思考以下问题： 任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）...四、密钥生成 我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？ 第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。 爱丽丝选择了61和53。...（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。） 第二步，计算p和q的乘积n。 爱丽丝就把61和53相乘。 n = 61×53 = 3233 n的长度就是密钥长度。...总结，实际上就是计算n,e,d的过程 pq的作用用于求n==pq，再用 (p-1)(q-1)求φ(n)，在φ(n)范围内随机选择即为e，d==e对于φ(n)的模反元素 五、验证RSA算法的可靠性 公钥公开...φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。 n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。 结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
其中，n是两个大质数p、q的积，n的二进制表示时所占用的位数，就是所谓的密钥长度。 ...e1和e2是一对相关的值，e1可以任意取，但要求e1与(p-1）*(q-1）互质；再选择e2，要求（e2*e1）mod((p-1）*(q-1））=1。 （n，e1）,(n，e2）就是密钥对。...在DiffieˉHellman密钥交换过程中，发送方和接收方分别生成一个秘密的随机数，并根据随机数推导出公开值，然后，双方再交换公开值。DiffieˉHellman算法的基础是具备生成共享密钥的能力。...常见的Hash算法有MD2、MD4、MD5、HAVAL、SHA MD5：严格来说不算加密算法，只能说是摘要算法 在信息安全技术中，经常需要验证消息的完整性，散列（Hash）函数提供了这一服务，它对不同长度的输入消息...4、强抗碰撞：已知原数据和其MD5值，想找到一个具有相同MD5值的数据（即伪造数据）是非常困难的。 除了MD5以外，其中比较有名的还有sha-1、RIPEMD以及Haval等。
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