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使用Maxima求解常微分方程~

使用Maxima求解常微分方程~ 含带导数符号或带微分符号的未知函数的方程称为微分方程。如果在微分方程中未知函数是一个变元的函数，这样的微分方程称为常微分方程。...上面的例子用了ode2函数来求解常微分方程。在定义方程时，微分函数diff之前有一个单引号（‘），这表示让Maxima只给出形式上的输出，并不真的进行计算。...这是因为我们这里只要列出方程，并不想让Maxima真的求导。 sol1 中的%c 和 sol2 中的 %k1 %k2 是任意常数。...4 利用Laplace变换法求解常微分方程(组) 如果待求解的常微分方程(组)是线性常系数的。则可以利用Laplace变换法来求解。...Maxima 中也提供了相应的求解函数 desolve()，desolve()函数既可以求解ODE 方程，也可以求解ODE方程组。函数的基本形式如下。

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广义估计方程和混合线性模型在R和python中的实现

广义估计方程和混合线性模型在R和python中的实现欢迎大家关注全网生信学习者系列：WX公zhong号：生信学习者Xiao hong书：生信学习者知hu：生信学习者CDSN：生信学习者2介绍针对某个科学问题...因此，广义估计方程(generalized estimating equations，GEE) 和混合线性模型(mixed linear model，MLM) 被广泛应用于纵向数据的统计分析。...比值几率表示单位预测变量变化时响应变量的几率的乘性变化。在本例中，不适合。...OddRatio：风险值，一般用于逻辑回归，可以通过对系数估计进行指数化来计算比值几率。比值几率表示单位预测变量变化时响应变量的几率的乘性变化。在本例中，不适合。...- 实例操作及结果解读（R、Python、SPSS实现）混合线性模型介绍--Wiki广义估计方程中工作相关矩阵的选择及R语言代码在Rstudio 中使用pythonAn Introduction to

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有限元法在非线性偏微分方程中的应用

Mathematica 12 为偏微分方程（PDE）的符号和数值求解提供了强大的功能。本文将重点介绍版本12中全新推出的基于有限元方法（FEM）的非线性PDE求解器。...在此，我们将着重介绍 FEM 在最新版本12中对非线性偏微分方程的求解，并通过实例介绍在实际问题中的应用流程。...以在单位圆上的泊松方程 –∇2u = 1 为例，如果以在 x>=0 上 u=0 作为边界条件：所得出解的图形为： 2.1 输入表达式目前，在 NDSolve 中适用于有限元法的偏微分方程式必须具有以下形式...在线性 PDE 的情况下，联立线性方程组是从 PDE 的弱形式到离散化来求解的，但这也用于求解非线性 PDE。...以下为基本流程：在成为种子的候选解附近线性化非线性PDE 对线性化方程进行离散化求解如果种子和所获得的解的差异在允许的误差内，则结束使用获得的解作为新种子，返回到第1步的线性化工作也就是说，它遵循的过程与用

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【R语言在最优化中的应用】用goalprog包求解线性目标规划

(2) 模型2的约束条件中，第一行有偏差变量，为目标约束，第二行没有偏差变量，同线性规划里的约束条件一样，为绝对约束。...可以证明，在模型2有解的情况下，可以将其化为只含有目标约束的目标规划问题，方法是给所有的绝对约束赋予足够高级别的优先因子，从这个角度来看，线性规划为目标规划的特殊情况，而目标规划则为线性规划的自然推广。...用goalprog包求解目标规划 R中，goalprog包 (Novomestky, 2008) 可以求解形式为模型(3) 的目标规划问题，核心函数为llgp()，用法如下： llgp(coefficients...以上四条意见中，显然第一条为绝对约束，第二至四条为目标约束。请根据这些要求决定两种产品生产量。 ? 解: 这是典型的多目标规划问题，建立目标规划模型如下： ?...该模型符合模型 (3) 的形式，可以直接调用 llgp() 函数来求解该问题，注意：R中根据achievements数据框中的 priority 来判断绝对优先级别，不用再设置 P1，P2，P3。

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【R语言在最优化中的应用】用Rdonlp2 包求解光滑的非线性规划

由于约束条件的放宽，非线性规划问题可以更接近于现实生活中的种种问题，同时，求解难度也提高了很多。...用矩阵和向量来表示非线性函数的数学模型如下： (4) 模型 (4) 中，z = f(x) 为目标函数，三个约束条件中，第一个为定义域约束，第二个为线性约束 (A为系数矩阵)，第三个为非线性约束。...当目标函数和约束函数光滑时，称之为光滑的非线性规划，其求解的难度要小于非光滑的非线性规划。...用 Rdonlp2 包求解光滑的非线性规划对于无约束或者约束条件相对简单的非线性优化问题，stats 包中的 optim()、optimize()、constrOptim()、nlm()、nlminb...线性约束： A线性约束矩阵，即模型 (4) 中的矩阵 A，其列的长度必须和向量 par 相等 (即总变量个数)，其行的长度必须和线性约束的个数相等。

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热传导方程非特征 Cauchy 问题的一些笔记

微分方程微分方程：包含导数的方程，常用于描述现实事物的变化. 微积分学是一门研究变化的学问. 微分应用包括对速度、加速度、曲线斜率、最优化等的计算....诺伊曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分. 第三类：Robbin条件/混合边界条件，未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合....定解条件都是通过测量和统计而得到的，在测量和统计的过程中误差总是难免的，同时在建立数学模型的过程中也多次用了近似. 如果解的稳定性不成立，那么所建立的定解问题就失去了实际意义....热传导方程非特征 Cauchy 问题使用基本解方求解时，数值近似解由以下基本解的线性组合得到[5]： \begin{array}{c}\tilde{u}(x) = \sum_{i = 1}^{N} a_...基本解方法是一种无网格的径向基函数类方法. 因 Cauchy 问题的不适定性，基本解方法所得到的线性系统是高度病态的，常规方法求解已没有意义. 需要使用正则化方法处理线性系统的病态性.

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「首席架构师推荐」数值分析软件列表

它提供了一个方便的命令行界面，用于数值求解线性和非线性问题，以及使用与MATLAB基本兼容的语言进行其他数值实验。Octave的4.0和更新版本包括一个GUI。...LAPACK 提供Fortran 90例程用于求解线性方程组、线性方程组的最小二乘解、特征值问题和奇异值问题以及相关矩阵分解(LU、Cholesky、QR、SVD、Schur和广义Schur)。...ScaLAPACK是一个高性能线性代数例程库，用于并行分布式内存机器，其功能类似于LAPACK(用于求解密集带状线性系统、最小二乘问题、特征值问题和奇值问题)。...Macsyma是一个通用计算机代数系统，它有一个免费的gpl许可版本Maxima。 Maple，一个通用商业数学软件包。 Mathcad提供了一个所见即所得的接口，并且能够生成公开质量的数学方程。...Weka是在怀卡托大学编写的一套机器学习软件。 Language-oriented acslX是一个软件应用程序，用于建模和评估连续系统的性能所描述的依赖于时间的非线性微分方程。

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数学建模--微分方程

这些模型通常使用指数增长或逻辑斯蒂增长方程来描述生物种群随时间的变化。在物理学中，微分方程用于描述各种物理现象。...以上这些案例展示了微分方程在不同学科中的广泛应用及其重要性。常微分方程（ODE）与偏微分方程（PDE）在数学建模中的优缺点分别是什么？...描述变化规律：常微分方程能够描述函数随时间的变化规律，这在物理学中尤为重要，如物体运动轨迹、电路中电流变化等。通过求解这些方程，可以预测变化趋势，为问题解决提供依据。...梯度下降法主要用于非线性微分方程的优化问题，通过迭代更新解的位置以最小化目标函数。该方法在处理非线性问题时非常有效，但可能需要较长的计算时间。...总之，在选择数值方法时，应根据具体问题的性质（如线性或非线性）、求解精度要求以及计算资源等因素综合考虑。

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Math-Model（一）算法综述

不适宜用于系统中长期预测差分方程利用差分方程建模研究实际问题，常常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。适用于商品销售量的预测、投资保险收益率的预测。...数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。微分方程模型适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。...神经元网络数学建模中常用的是BP神经网络和径向基函数神经网络的原理，及其在预测中的应用。BP神经网络拓扑结构及其训练模式。RBF神经网络结构及其学习算法。...参考链接 SOR迭代法线性方程求解牛顿迭代法线性方程求解高斯迭代法线性方程求解不动点迭代法线性方程求解 AlphaBeta剪枝算法博弈树剪枝 LU分解线性方程简化求解 SVD...奇异值分解线性方程求解最小二乘插值数据拟合、相关度检验拉格朗日插值数据拟合非线性最小二乘法数据拟合三次样条插值数据拟合二次插值数据拟合拉普拉斯变换将一个有参数实数t

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用Python学数学之Sympy代数符

但是我们学生时代所学的数学可远不止这些，尤其是高等数学（微积分）、线性代数、概率统计等数学知识应用非常广泛（我也是后来才知道），但是由于他们的运算非常复杂，我们即便掌握了这些知识，想要应用它又谈何容易，...几大知名的数学软件比如Mathematica、Maxima、Matlab(需Symbolic Math Toolbox)、Maple等都可以做符号运算，在上篇文章中我们已经拿Python和R、Matlab...在人教版的数学教材里，我们初一上会接触一元一次方程组，初一下就会接触二元一次方程、三元一次方程组，在初三上会接触到一元二次方程，使用Sympy的solve()函数就能轻松解题。...解一元一次方程我们来求解这个一元一次方程组。...解二元一次方程组我们来看如何求解二元一次方程组。

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Math-Model算法综述

不适宜用于系统中长期预测差分方程利用差分方程建模研究实际问题，常常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。适用于商品销售量的预测、投资保险收益率的预测。...数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。微分方程模型适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。...神经元网络数学建模中常用的是BP神经网络和径向基函数神经网络的原理，及其在预测中的应用。BP神经网络拓扑结构及其训练模式。RBF神经网络结构及其学习算法。...电磁场麦克斯韦方程麦克斯韦方程电磁场悬链线悬链线方程悬链线方程船舶抛锚问题，力学问题四元数空间物体姿态问题数值计算方法名称解决问题类型参考链接 SOR迭代法线性方程求解...牛顿迭代法线性方程求解高斯迭代法线性方程求解不动点迭代法线性方程求解 AlphaBeta剪枝算法博弈树剪枝 LU分解线性方程简化求解 SVD奇异值分解线性方程求解最小二乘插值

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论文翻译 | LS-Net：单目双目视觉的非线性最小二乘学习算法

1 摘要在本文中,我们提出了最小二乘网络,一种神经非线性最小二乘优化算法,即使在逆境中也能有效地优化这些代价函数.与传统方法不同,所提出的求解器不需要hand-crafted的正则化或先验,因为这些都是从数据中隐式学习的...剩余函数集可以比作一个方程组，其解为零, .如果这个系统中变量的数目大于方程的数目,那么这个系统是欠定的,如果它们相等,那么它是确定的.如果方程多于变量,那么它是超定的.适定问题需要满足三个条件:1...在本文中，我们旨在利用来自传统非线性最小二乘解算器的强大而成熟的思想，并将这些思想与有前途的基于学习的新方法相结合。...第一个采用机器学习来优化光度误差的算法 3 非线性最小二乘求解典型的非线性最小二乘问题如下： ? 其中代表第j项的误差,x是优化变量,E代表目标函数.遇到这些情况,我们通常使用GN、LM等....在Gauss-Newton (GN) 法中迭代步长通过下述方程求解： ? 而与GN算法不同,Levenberg-Marquadt(LM)算法引入p改善收敛性,其迭代步长为： ?

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32类计算机与数学领域最为重要的算法

牛顿法（Newton’s method）——求非线性方程（组）零点的一种重要的迭代法。 22....首个适用于以签名作为加密的算法。RSA在电商行业中仍大规模使用，大家也相信它有足够安全长度的公钥。 26....奇异值分解（Singular value decomposition，简称SVD）——在线性代数中，SVD是重要的实数或复数矩阵的分解方法，在信号处理和统计中有多种应用，比如计算矩阵的伪逆矩阵（以求解最小二乘法问题...求解线性方程组（Solving a system of linear equations）——线性方程组是数学中最古老的问题，它们有很多应用，比如在数字信号处理、线性规划中的估算和预测、数值分析中的非线性问题逼近等等...求解线性方程组，可以使用高斯—约当消去法（Gauss-Jordan elimination），或是柯列斯基分解（ Cholesky decomposition）。 30.

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非线性最小二乘问题例题_非线性自适应控制算法

摘录的一篇有关求解非线性最小二乘问题的算法–LM算法的文章，当中也加入了一些我个人在求解高精度最小二乘问题时候的一些感触： LM算法，全称为Levenberg-Marquard算法，它可用于解决非线性最小二乘问题...不过，在你不知道函数的形式之前，你当然就不能这样做了——例如，你提供给了用户在界面上输入数学函数式的机会，然后在程序中解析其输入的函数，再做后面的处理。...关于偏导数的求取个人认为：在条件允许、对速度和精度任何以方面都有一定要求的前提下，如果待求解的函数形式是显式的，应当尽量自己计算目标函数的偏导数方程。...，当接近极小值点时，迭代点的梯度趋于0）从上面的步骤可见，LM求解过程中需要用到求解线性方程组的算法，一般我们使用高斯约当消元法，因为它非常稳定——虽然它不是最快最好的算法。...同时，上面的算法步骤也包含对矩阵进行分解的子步骤。为什么要先分解矩阵，再解线性方程组？貌似是这样的（数学不好的人再次泪奔）：不分解矩阵使之正定，就无法确定那个线性方程组是有解的。

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了解有限元、有限差分求解与非线性微分方程

其基本思路是将求解区域划分为多个小的、简单的元素（如三角形、四边形等），然后在每个元素上建立近似解。通过组合这些元素的解，可以得到整个问题的近似解。...应用领域：时间依赖问题（如波动方程、热传导方程）稳态问题某些流体问题的简化非线性微分方程（NDE）非线性微分方程是指方程中包含未知函数的非线性项，这类方程通常比较复杂，而且其解析解往往难以找到。...例子：Navier-Stokes方程（流体动力学）材料的屈服条件它们之间的关系有限元法和有限差分法都是求解偏微分方程的数值方法，适用于各种不同类型的问题，且可以用于求解非线性微分方程。...这类方程通常求解困难，常见于工程和物理等多个领域，如材料的非线性行为、流体动力学中的湍流等。关系与应用关系：求解目标：有限元和有限差分都用于求解微分方程，包括非线性微分方程。...非线性微分方程：用于描述复杂现象，如空气动力学、材料塑性行为、电气工程中的非线性电路等。

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综述：CFD的未来之路

跨音速流动的计算，是一个很有数学意义的问题。跨音速流动本质上是非线性的。线性化势流模型，虽然能够成功应用于低速亚音速流动、甚至高速超音速流动中，却不适用于跨音速流动。...因当时计算机内存不足，难以求解完整的三维气体动力学欧拉方程，因此有必要诉诸非线性势流模型。而相应的方程的数学特征是混合型的，不能用现有的偏微分方程数值方法求解。...跨音速小扰动方程求解，是早期的一个重要突破。随后几年内，便找到了求解整个跨音速流动方程的方法。...一般情况下，无粘势流或欧拉解，虽然仍继续用于初步设计中，但在一般情况下，已经被边界层修正所取代。基于控制理论的气动形状优化方法，也成为初步设计的有用工具。...除了航空航天，在海洋，风能、以及汽车领域，这些应用涉及到低马赫数不可压缩流。许多问题与钝体周围的流动有关，这是现有RANS方法难以准确预测的。

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佐治亚理工学者求解新方法获顶会最佳论文奖

建造一座坚固的桥梁、一架隐蔽的飞机都需要解决包含数百万个方程的线性系统。此外，线性系统与许多计算机科学问题相关，这些问题涉及在约束系统内为一组变量寻找最佳值。...如果可以更快地求解线性系统，那么我们也可以更快地解决这些计算机科学问题。使用矩阵乘法求解线性系统的方法严重限制了计算速度。...这些研究表明任何线性系统的求解都可以归结为一个矩阵乘法的问题。到目前为止，理论上矩阵乘法的复杂度至少可以降至 O(n^2.37286)。...Vempala 说：「求解线性系统的问题没有理由只依赖于矩阵乘法的改进。」在新方法中，彭泱和 Vempala 将算法复杂度降到了 ? 。...迭代方法在特定示例下是非常有效的，当求解的线性系统中包含大量系数为 0 的变量时，迭代方法也是很有效的。在更复杂的线性系统中，这种关系（其中并非所有属性都与所有变量相关）可以普遍存在。

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【AIGC】数理工科研究：深入解析有限元仿真法

这些边界条件可能包括固定点、施加的力、温度变化等，定义了系统如何与外界环境进行相互作用。 4. 求解方程有限元方法基于最小势能原理，将整个物理问题离散化为一系列的线性或非线性方程组。...示例：在鱼缸的例子中，每个小立方体（元素）的四个角就是节点，计算时需要求解每个节点的水压。 3. 方程组装全局方程系统：将每个元素的局部方程组装成一个大的全局方程系统。...这个系统可以描述整个物体或结构的行为。示例：每个小方体都有自己的方程描述水压，所有这些方程被组合成一个完整的系统，用于描述鱼缸中的水压分布。 4....求解求解方法：使用数值技术（如高斯消元或迭代法）来解决全局方程系统，从而得到每个节点的响应数据，如位移、应力、温度等。示例：在鱼缸的大方程系统中，计算可以得知每个节点的水压分布。...示例：在模拟橡胶密封件的压缩时，材料的高度非线性使得求解变得复杂。 6. 软件的限制细节：不同的有限元软件具有不同的功能和限制，可能不适合某些特定应用。

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线性代数之线性方程组

齐次线性方程组的解基础解系：齐次线性方程组的基础解系是指一组线性无关的解向量，使得所有解都能表示为这些向量的线性组合。...确定自由未知量：找出方程组中的自由未知量（即那些不是其他未知量表达式的未知量）。令自由未知量为线性无关组：设自由未知量为任意实数，并保证它们之间线性无关。...使用 Python 和 NumPy 求解线性方程组齐次线性方程组：通常用于求解特征值问题，例如求解特征向量。使用 numpy.linalg.eig() 函数求解特征值和特征向量。...非齐次线性方程组：用于确定未知量的值。使用 numpy.linalg.solve() 函数求解未知量。...下面分别给出齐次和非齐次线性方程组的例子，我们将使用 Python 和 NumPy 来求解这些例子。

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基于牛顿求根法，新算法实现并行训练和评估RNN，带来超10倍增速

据介绍，他们引入了一种用于求解非线性微分方程的通用框架，其做法是将这些方程重新表述为二次收敛的定点迭代问题，这相当于牛顿求根法。...现在 1 式就变成了： 2 式的左侧是一个关于 y 的线性方程，在大多数情况下，其求解难度都低于求解非线性方程。...3 式中的迭代过程涉及到评估函数 f、其雅可比矩阵和矩阵乘法，这些运算可以使用现代加速器（如 GPU 和 TPU）来并行化处理。如果能以并行方式求解线性方程，那么整个迭代过程都可利用并行计算。...在深度学习背景中，将非线性微分方程视为定点迭代问题来求解还有另一个优势，即可以将前一步骤的解（如果能放入内存）用作下一训练步骤的起始猜测。...这意味着 ODE 中的算子相当于在给定初始条件 y (0) 时求解下面的线性方程。

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