在这篇文章中，我将用数学解释逻辑回归，介绍逻辑回归、sigmoid函数以及最大似然估计三者之间的关系。然后使用python中的梯度下降实现一个逻辑回归示例。...3.最大似然估计（MLE） 4.梯度下降 5.附python梯度下降实现代码 Logistic回归 Logistic回归是一种经典的统计模型，已广泛应用于学术界和工业界。...线性回归的另一个问题是预测值总是基数，如1,2,3，而不是类别。 最大似然估计 从整个人口总体中抽取一个样本。该样本遵循伯努利分布。 ? 在该公式中，y是1或0，p是事件发生的概率。...注意，在公式中的p是需要估计的参数（概率），p的表达式为： ? 这个公式熟悉吗？是的，这就是第1部分中的S形函数。在统计中，最大似然估计（MLE）通过找到最大似然函数的参数值来获得参数估计。...这就是似然函数、sigmoid函数以及逻辑回归损失函数三者之间的数学联系。 梯度下降 与具有封闭形式解的线性回归不同，逻辑回归采用梯度下降来寻找最优解。
本文深入探讨了似然函数的基础概念、与概率密度函数的关系、在最大似然估计以及机器学习中的应用。通过详尽的定义、举例和Python/PyTorch代码示例，文章旨在提供一个全面而深入的理解。...在似然函数中，数据是已知的，我们考虑参数的变化。 目的不同: 概率密度函数用于描述数据生成模型，而似然函数用于基于观察到的数据进行参数估计。...本节将深入探讨似然函数在机器学习各领域中的应用，并提供相关的代码示例。 监督学习：逻辑回归 定义 在监督学习中，特别是用于分类问题的逻辑回归模型，最大似然估计用于优化模型的参数。...输出：逻辑回归模型的参数。 处理过程 初始化模型和优化器。 使用二元交叉熵损失函数（对应于逻辑回归的负对数似然函数）。 通过梯度下降来更新模型的参数。...通过最大化似然函数，我们不仅能找到描述数据的“最合适”的模型参数，而且还可以更深入地理解模型的性质和限制。 似然函数与梯度下降：在机器学习中，尤其是深度学习领域，梯度下降是最常用的优化算法。
在第二章中做简要说明，在Python中已有现成的封装函数，直接调用即可。 二、如何求解逻辑回归中的参数？...结合逻辑回归函数，如果我们已经积累了大量的违约客户和正常客户的样本数据，利用极大似然函数由果溯因，估计出使得目前结果的可能性最大参数(系数)θ，有了参数我们就可以求任何一个客户违约的概率了。...将每一个样本发生的概率相乘，就是这个合成在一起得到的合事件发生的总概率(利用概率中的乘法公式)，即为似然函数，可以写成： ? 其中θ为待求参数。...至此，可以用梯度上升法求解对数似然函数，求出使得目前结果的可能性最大的参数θ。也可以由对数似然函数构造损失函数，用梯度下降法求出使得损失最小对应的参数θ，接下来看下逻辑回归中的损失函数。...即在逻辑回归模型中，最大化似然函数和最小化损失函数实际上是等价的(求最大化对数似然函数对应的参数θ和求最小化平均对数似然损失对应的参数θ是一致的)，即： ? 那如何求得损失函数最小对应的参数呢？
所以，根据似然函数的定义，单个样本的似然函数即： 所以，整个样本集（或者一个batch）的似然函数即： 所以在累乘号前面加上log函数后，就成了所谓的对数似然函数： 而最大化对数似然函数就等效于最小化负对数似然函数...2.6.3 逻辑回归为什么使用对数损失函数 假设逻辑回归模型 ： 假设逻辑回归模型的概率分布是伯努利分布，其概率质量函数为： 其似然函数为： 对数似然函数为： 对数函数在单个数据点上的定义为： 则全局样本损失函数为...所以逻辑回归直接采用对数损失函数。 2.6.4 对数损失函数是如何度量损失的 例如，在高斯分布中，我们需要确定均值和标准差。如何确定这两个参数？最大似然估计是比较常用的方法。...最大似然的目标是找到一些参数值，这些参数值对应的分布可以最大化观测到数据的概率。因为需要计算观测到所有数据的全概率，即所有观测到的数据点的联合概率。...两者都假设数据符合高斯分布 不同点 有监督的降维方法 无监督的降维方法 降维最多降到k-1维 降维多少没有限制 可以用于降维，还可以用于分类 只用于降维 选择分类性能最好的投影方向 选择样本点投影具有最大方差的方向
之前和大家分享过它的重要性：5个原因告诉你：为什么在成为数据科学家之前，“逻辑回归”是第一个需要学习的 关于逻辑回归，可以用一句话来总结：逻辑回归假设数据服从伯努利分布，通过极大似然函数的方法，运用梯度下降来求解参数...但事实上，这种形式并不适合，因为所得函数并非凸函数，而是有很多局部的最小值，这样不利于求解。 前面说到逻辑回归其实是概率类模型，因此，我们通过极大似然估计（MLE）推导逻辑回归损失函数。...现在我们得到了模型概率的一般形式，接下来就可以使用极大似然估计来根据给定的训练集估计出参数，将n个训练样本的概率相乘得到： ?...似然函数是相乘的模型，我们可以通过取对数将等式右侧变为相加模型，然后将指数提前，以便于求解。变换后如下： ? 如此就推导出了参数的最大似然估计。...注：逻辑回归的损失函数“对数似然函数”，在模型GBDT分类情况下也会用到，又叫作“交叉熵”。
逻辑回归的核心思想是使用sigmoid函数将线性回归的输出转化为概率值，然后根据阈值将概率值转化为类别标签。...逻辑回归的模型参数可以通过最大似然估计或梯度下降等方法来学习。最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其目标是最大化训练数据的似然函数，使得模型能够更好地拟合训练数据。...梯度下降是一种常用的优化算法，其目标是最小化损失函数，使得模型能够更好地泛化到未见过的数据。...不适用于多分类问题：逻辑回归只适用于二分类问题，无法直接处理多分类问题。...应用场景逻辑回归在人工智能领域中有广泛的应用，常见的应用场景包括以下几种：信用评估：逻辑回归可以用于信用评估，根据用户的信用信息预测其是否会违约。
应用领域 最大似然估计在多个领域都有广泛应用，包括但不限于： 机器学习：在机器学习中，MLE 被广泛应用于各种模型的参数估计，如线性回归、逻辑回归和朴素贝叶斯等。...优缺点 优点： 最大似然估计具有较强的统计性质，能够处理大量数据，并且在某些条件下具有有效性。 它通常比其他方法更为简单和直观。...例如，在二分类问题中，我们可以通过最大化样本数据的似然函数来找到最佳的权重和偏置参数。 在深度学习中，最大似然估计被用于优化神经网络中的权重。...在金融市场预测中，最大似然估计是如何被应用于时间序列分析和回归分析的？ 在金融市场预测中，最大似然估计（MLE）被广泛应用于时间序列分析和回归分析。...适用场景：适用于凸函数的最小化问题，因为梯度下降法在凸函数上可以保证找到全局最优解。
在逻辑回归的建模过程中，特征矩阵是已知的，参数是未知的，因此讨论的所有"概率"其实严格来说都应该是"似然"。因此求最大值即为求"极大似然"，所以逻辑回归的损失函数的推导方法叫做"极大似然法"。...它假设数据服从伯努利分布，通过梯度下降法对其损失函数（极大似然函数）求解，以达到数据二分类的目的。 逻辑回归是用来计算"事件=Success"和"事件=Failure"的概率。...逻辑回归的损失函数求最小值，就是根据最大似然估计的方法来的。...最大似然估计 让总体分布尽量与样本的分布趋同，就是总体的分布与样本分布具有最大的相似性，然后再来求取模型中的参数 ，这样就可以得到比较符合最大似然估计的模型。...朴素贝叶斯是生成模型，逻辑回归是判别模型；朴素贝叶斯运用的贝叶斯理论，逻辑回归是最大化对数似然，这是两种概率哲学的区别。
举个简单的例子，朴素贝叶斯是一种非常简单和流行的概率分类器，是一种生成模型，而逻辑回归是一种基于最大似然估计的分类器，是一种判别模型。...把贝叶斯法则用到Logistic回归分类器中 把它等价于先验和似然性的乘积，因为在argmax中，分母P(x)不提供任何信息。 该结果是较早得到的朴素贝叶斯算法生成分类器。...条件随机场的概率分布 为了估计参数(lambda)，我们使用最大似然估计。为了应用该技术，我们首先对分布取负对数，使偏导数更容易计算: ?...条件随机分布的负对数似然 要对负对数函数应用最大似然，我们将使用argmin(因为最小化负函数将产生最大似然性)。为了求最小值，我们可以求导，得到: ?...CRF的梯度下降更新方程 总结一下，我们使用条件随机场，首先定义所需的特征函数，初始化随机值的权重，然后迭代地应用梯度下降，直到参数值(在本例中是lambda)收敛。
优化算法: 通过梯度下降法（Gradient Descent）来优化模型参数，使损失函数最小化。 核心逻辑 逻辑回归的核心逻辑在于将线性回归的输出映射到一个概率值，从而能够解决二分类问题。...这一核心逻辑的实现依赖于逻辑函数（sigmoid函数），并通过最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）来估计模型参数。 1....逻辑回归使用的是对数似然函数。 对于二分类问题，输出 取值为0或1。样本的预测概率为 ，则其对数似然函数为： 对整个训练集 （其中 是样本数量）取对数似然函数的总和，得到总的对数似然函数： 3....最大化对数似然函数 为了得到参数 的估计值，我们需要最大化对数似然函数 。通常使用负对数似然函数（即损失函数）来简化计算： 4....梯度下降法 通过梯度下降法，我们可以迭代地更新参数 以最小化损失函数 。梯度下降的更新规则为： 其中， 是学习率， 是损失函数关于参数 的偏导数。
一、算法介绍 Logistic regression （逻辑回归）是一种非线性回归模型，特征数据可以是连续的，也可以是分类变量和哑变量，是当前业界比较常用的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性，主要的用途...： 分类问题：如，反垃圾系统判别，通过计算被标注为垃圾邮件的概率和非垃圾邮件的概率判定； 排序问题：如，推荐系统中的排序，根据转换预估值进行排序； 预测问题：如，广告系统中CTR预估，根据CTR预估值预测广告收益...+θm*xm，求出一个z值为样本的分类概率。LR分类问题主要在于得到分类的权值，权值是通过h函数求得。在实际应用中我们需要将Hypothesis的输出界定在0和1之间，既： ?...logistic回归方法主要是用最大似然估计来学习的，所以m个样本的后验概率的似然函数为： ? 最大似然估计是求使ℓ(θ)取最大值的θ。...下图为梯度下降方法示意图。 ? 因此梯度上升方法如下： ? 通过上式可以得到权值进行预测。 三、python实现过程 实现过程： ? 改进算法，随机梯度上升算法： ?
就是最大似然函数，因为我们不止有一个样本，且样本之间是相互独立的，所以n个样本的发生概率就是这n个样本概率的乘积： ? 至此，我们建立了logistic的目标函数。...与真实之间的Y的差别平方作为目标函数，目标是使误差平方最小。而logistic模型，因变量Y是分类函数，比如0、1模型中我们计算的缺是Y的发生概率P{Y=0}、P{Y=1}。因此适合用最大似然。...现在梯度下降算法基本搞明白了，但是，这里我们是要最大化似然函数啊，应该求的是最大值啊。...不错，logistic模型中我们应该使用梯度上升算法，和梯度下降算法的原理是一样的，比如，求J(θ) 的最大值，其实也就是求-J(θ) 的最小值，加个负号，就可以用梯度下降算法了。...以上就是批量梯度下降和随机梯度下降中，每一轮迭代的思想，以及Python实现。下面要写出具体的代码： ? ?
这在很多情况下都会发生，因为用于产生隐藏单元或者输出单元的输出的激活函数会饱和。负的对数似然帮助在很多模型中避免这个问题。...用于Bernoulli输出分数的Sigmoid单元 许多任务需要预测二值型变量y的值，具有两个类的分类问题可以归结为这种形式。 此时最大似然的方法是定义y在x条件下的Bernoulli分布。...，其次使用sigmoid激活函数将z转换成概率。 在对数空间里预测概率的方法可以很自然地使用最大似然学习，因为用于最大似然的代价函数是 ?...对数似然函数之外的许多目标函数对于softmax函数不起作用，具体来说，哪些不适用对数来抵消softmax中的指数的目标函数，当指数的函数变量取非常小的负值时会造成梯度消失，从而无法学习。...如果给定了混合模型的正确的负对数似然，梯度下降将自动地遵循正确的过程。
分类器的判别函数为： 在实现贝叶斯分类器时，需要知道每个类的条件概率分布p(x|y)即先验概率。一般假设样本服从正态分布。训练时确定先验概率分布的参数，一般用最大似然估计，即最大化对数似然函数。...训练时采用最大似然估计，求解对数似然函数的极值： 可以证明这是一个凸优化问题，求解时可以用梯度下降法，也可以用牛顿法。...EM算法 EM算法是一种迭代法，其目标是求解似然函数或后验概率的极值，而样本中具有无法观测的隐含变量。因为隐变量的存在，我们无法直接通过最大化似然函数来确定参数的值。...梯度下降法只能保证找到梯度为0的点，不能保证找到极小值点。迭代终止的判定依据是梯度值充分接近于0，或者达到最大指定迭代次数。 梯度下降法在机器学习中应用广泛，尤其是在深度学习中。...最大似然估计构造一个似然函数，通过让似然函数最大化，求解出 。最大似然估计的直观解释是，寻求一组参数，使得给定的样本集出现的概率最大。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）的角度 在逻辑回归中，我们假设样本的类别服从伯努利分布，即每个样本属于正类的概率为 h_{\theta}(x^{(i)...这个假设使得逻辑回归的输出被解释为一个概率值。 我们希望找到一个参数 \theta ，使得给定样本的情况下，出现这个样本的概率最大。这就是最大似然估计（MLE）的思想。...为了方便计算，通常转换成对数似然函数： l(\theta) = \log L(\theta) = \sum_{i=1}^{m} \log P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta) 我们的目标是最大化对数似然函数...为了将最大化对数似然函数转换为最小化问题（因为大多数优化算法是针对最小化问题设计的），我们可以将对数似然函数取负号，得到对数损失函数 J(\theta) 。...总结 在逻辑回归中，对数损失函数是用来衡量模型预测值与实际类别之间差异的重要指标。 通过最大化似然函数或者几何角度的解释，我们可以理解为什么选择对数损失函数作为逻辑回归的损失函数。
对于负样本y=0，期望预测概率尽量都趋近为0。也就是，我们希望预测的概率使得下式的概率最大（最大似然法） 我们对 P(y|x) 引入 log 函数，因为 log 运算并不会影响函数本身的单调性。...： 这就在最大似然法推导出的lr的学习目标——交叉熵损失（或对数损失函数），也就是让最大化使模型预测概率服从真实值的分布，预测概率的分布离真实分布越近，模型越好。...由于最大似然估计下逻辑回归没有（最优）解析解，我们常用梯度下降算法，经过多次迭代，最终学习到的参数也就是较优的数值解。...对应的算法步骤： 另外的，以非极大似然估计角度，去求解逻辑回归（最优）解析解，可见kexue.fm/archives/8578 四、Python实现逻辑回归 本项目的数据集为癌细胞分类数据。...基于Python的numpy库实现逻辑回归模型，定义目标函数为交叉熵，使用梯度下降迭代优化模型，并验证分类效果： # coding: utf-8 import numpy as np import
如果从统计学的角度可以理解为参数 ? 和 b 的似然性的函数表达式（即似然函数表达式）,那么参数 ? 和 ? 在 m 个训练样本下的似然函数为： ?...这个似然函数表示的含义是说当参数 ? 和 ? 取不同的值时，在给定的 ? （m 个训练样本）条件下，对应的 ? 的概率，有了似然函数，只需要求出似然函数最大时参数 ? 和 ?...标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。 ? 在空间坐标中以参数 ? 和 ? 为轴画出损失函数 ? 的三维图像，可知这个函数为一个凸函数。...梯度下降就是从起始点开始，试图在最陡峭的下降方向下坡，以便尽可能快地下坡到达最低点，这个下坡的方向便是此点的梯度值。 每次迭代的时候，沿着梯度的反方向，下降速度最快，用数学公式表示如下： ?...什么是概率论中的最大似然估计 (http://www.360doc.com/content/18/0105/21/43045725_719397823.shtml)
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