今天对计算几何中的Voronoi多边形（即泰森多边形）和Delaunay三角剖分进行了学习，整理资料如下（摘自百度百科）。...泰森多边形也称为Voronoi图。...定义 Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。...要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则： 1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。...如下图所示： 2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。
2D约束三角剖分，2D和3D Delaunay三角剖分； （2）Voronoi图。2D和3D的点，2D加权Voronoi图，分割Voronoi图等； （3）多边形。...还提供了加权点集的规则(Regular)三角剖分。Delaunay和规则三角剖分提供了最近邻查询和构建双Voronoi和power图。...包提供了简单的三角剖分(其面取决于顶点的插入顺序)和Delaunay三角剖分。还提供了加权点集的规则三角剖分。Delaunay和规则三角剖分提供了最近邻查询和原语来构建双Voronoi和power图。...如果每个约束边都是Delaunay边，则约束Delaunay三角剖分就称为符合条件的Delaunay三角剖分。...因为约束Delaunay三角剖分中的任意一条边要么是Delaunay边，要么是约束边，所以符合条件的Delaunay三角剖分实际上就是Delaunay三角剖分。唯一的区别是一些边被标记为受约束的边。
【定义】Delaunay三角剖分：如果 T 只包含Delaunay边，那么T被称为Delaunay三角剖分. 来张图直观体会一下三角剖分 上图左边的离散点集 V 的 三角剖分 就是右边....所以 Delaunay 三角剖分给我们的直观感觉就是 空圆特性给我们的感觉是：每个三角面（或者叫三角网格）相对独立，因为任何一个三角网格的外接圆都不会接纳除了这三个点之外的点....所以Delaunay三角剖分其实并不是一种算法，它只是给出了一个好的三角剖分的定义 为了方便，除非特别声明，否则下文提及的三角剖分指的就是 Delaunay三角剖分 三角剖分和其他问题的联系....然后进一步就得到了 Voronoi图 的一个多边形. 最后，我们来研究一下 三角剖分 的具体算法. 因为前面说了，三角剖分 并不是一个实际的算法，而仅仅是一个较美的三角剖分的定义而已....：Delaunay 三角形，表示已经确定了的最后一定在 三角剖分中的三角网格. edge_buffer：边缓冲区, 用于存储遍历 temp_triangle_list 的过程中发现要被分裂的三角形的三条边
常见三角网格划分_voronoi图和Delaunay三角剖分 五. PCL曲面聚类分割算法优缺点分析 六. 区域增长算法、欧几里得聚类算法 七....常见三角网格划分_voronoi图和Delaunay三角剖分 https://blog.csdn.net/tuibianyanzi/article/details/51886916 Voronoi图的定义...定义3：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分 Voronoi图和Delaunay三角剖分的对偶关系：Voronoi图的一个顶点同时属于三个Voronoi...连接三个共点的Voronoi多边形分别对应的三个节点（种子点）则形成一个Delaunay三角形，所有这样的三角形的集合就是著名的Delaunay三角剖分如右图所示。 ?...Voronoi图的定义 ? Delaunay三角剖分定义 目录 五.
CGAL (Computational Geometry Algorithms Library) CGAL是一套开源的C++算法库，提供了计算几何相关的数据结构和算法，诸如三角剖分（2D约束三角剖分及二维和三维...Delaunay三角剖分），Voronoi图（二维和三维的点，2D加权Voronoi图，分割Voronoi图等），多边形，多面体（布尔运算），网格生成（二维Delaunay网格生成和三维表面和体积网格生成等...），几何处理（表面网格简化，细分和参数化等），凸壳算法，搜索结构（近邻搜索，kd树等），插值，形状分析，拟合等。...CGAL功能非常强大，是我们学生做科研的必备程序库之一。 但需要较强的C++代码掌控能力，特别是基于C++ Template的开发。...CGAL CGAL系大名鼎鼎的计算几何算法库，采用C++语言，代码中大量使用模板，相对比较难读。可以支持float, double, CORE的高精度或者gmp等任意精度库。
3.1 三角剖分简介 三角剖分是为了之后的纹理贴图，我用了OpenCV中的Delaunay三角剖分函数，这种剖分算法的可以使所形成的三角形的最小角最大。...3.2 Bowyer-Watson算法 目前采用逐点插入方式生成的Delaunay三角网的算法主要基于Bowyer-Watson算法，Bowyer-Watson算法的主要步骤如下： 1）建立初始三角网格...连接R的任意一条对角线，形成两个三角形，作为初始Delaunay三角网格。 2）逐点插入：假设目前已经有一个Delaunay三角网格T,现在在它里面再插入一个点P,需要找到该点P所在的三角形。...} 我们知道三角剖分是对散点集进行处理的，我们知道了散点集就可以获得点集的三角剖分。...当可以通过输入点（散点集）得到Delaunay三角剖分后，接下来，我们用一下两个函数设置和清除相关的Voronoi划分： cvCalcSubdivVoronoi2D( subdiv ); // Fill
不过，计算机图形学中的网格处理绝大部分都是基于三角网格的，三角网格在图形学和三维建模中使用的非常广泛，用来模拟复杂物体的表面，如建筑、车辆、动物等，你看下图中的兔子、球等模型都是基于三角网格的 ?...平面三角化的过程中用到了基于Delaunay三角剖分 的空间区域增长算法 （3）最后根据平面内投影点的拓扑连接关系确定各原始三维点间的拓扑连接，所得三角网格即为重建得到的曲面模型 Delaunay 三角剖分简介...而Delaunay 三角剖分是一种常用的三角剖分的方法，这个方法比较常见，关于点集的很多种几何图都和Delaunay三角剖分相关，如Voronoi图，当然这些很复杂了。...我们这里只是简单介绍一下Delaunay 三角剖分，不然估计你要头大了。 小白：师兄，你一连说了几个我从来没听过的术语，我已经头大了。。 师兄：哈哈，那打住，只简单提一下Delaunay 三角剖分。...你看下面这个图，左侧就是不满足Delaunay 三角剖分，右侧是Delaunay 三角剖分的结果。 ?
此次，又做了大量《传热学》或《流体力学》相关算例补充（热辐射和对流的例子尚没有完成）。 先从吃饭说起，如何就近“觅食”？Voronoi算法为“懒癌”晚期患者就近“觅食”提供了最优化方法。...关于Voronoi图或者Delaunay图，之前提过一次，原文在这里。看动画体验下Delaunay三角化： ? 可以到小程序中体验该交互程序：Delaunay三角化。...可见这样得到了一套三角网格单元，类似有限元三角单元网格。事实上Delaunay三角化是网格剖分的一类非常常见的方法，一种二维有限元三角网格剖分思路如下图： ?...有了网格才能基于该网格离散各类PDE。...终于引到本文主题：现将几个《传热学》相关的小程序总结如下，可在微信中点击体验： 有限元三角单元网格自动剖分 Delaunay三角化初体验 （理论戳这） Contour等值线绘制 （理论戳这） 2D非稳态温度场有限元分析
应用：人脸检测的核心技术 代码： #include #include #include ...triangulation and voronoi tessellation....\n"; } //画出三角剖分的顶点 static void draw_subdiv_point( Mat& img, Point2f fp, Scalar color ) { circle(...img, fp, 3, color, FILLED, LINE_8, 0 ); } //画出三角剖分的边 static void draw_subdiv( Mat& img, Subdiv2D& subdiv...it++) { subdiv.insert(*it); Mat img_copy = img_ori.clone(); // 画三角剖分
二、算法分析与设计 Voronoi图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。生成V图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。...1.建立Voronoi图方法和步骤 本次实验采用的是Delaunay三角剖分算法。...image.png 建立Voronoi图算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建Delaunay三角网。...Delaunay三角网的生成 建立Voronoi图的关键是Delaunay三角网的生成。Delaunay三角网的特性： （1）空圆性，任一三角形外接圆内部不包含其他点。...（7）具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。 Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。
——华罗庚 几何是基于形的数学。相比于代数的抽象，几何以其触手可及和举目即视的“形”揭开艰深数学的神秘面纱。...这就是著名的Voronoi图（Voronoi diagram）计算问题。常常伴随该问题出现的是用于三角网格化的Delaunay三角剖分（Delaunay triangulation）。...图1:Voronoi图（左）与Delaunay三角剖分（右） 现在，我要去博物馆与朋友集合。...在前面的故事场景中，提到的基本是基于离散数据和模型的算法，而计算几何绝不仅仅是离散问题和算法的集合，它也拥有一脉与微分几何及逼近论息息相关的血液。...上世纪六、七十年代，汽车、轮船制造业与计算机图形系统初遇，通过简单鼠标操作拖动控制网格即可调整设计光滑曲线的Bézier曲线应运而生，它的孪生兄弟de Casteljau算法可将控制网格在不断细分下达到同一条光滑曲线
---- Delaunay三角化 Delaunay三角化，是点云的一种三角化方法，它具有某些好的性质： 网格中的最小角最大化 任意三角形的外接圆内不含三角形以外的顶点 三角化的网格是点云的凸包 最大化所有三角面片的内切圆的平均值...---- Delaunay网格优化 Delaunay优化，可以优化网格的连接关系，减少狭长三角形，保持网格顶点数目和位置不变。如下图所示，图2和图3是图1点云不同的三角化结果。...---- 重心Voronoi优化 重心Voronoi优化，可以减少狭长三角形。它和Delaunay优化的区别是，它不仅优化网格顶点的连接关系，还要优化顶点的位置。...如下图1所示，虽然这是一个Delaunay三角化，但明显可以看出其网格质量很很差的，经过一系列几何优化（如重心Voronoi优化）后，顶点分布更加均匀，然后再做一个Delaunay三角化就得到了图2的结果...有兴趣的读者，欢迎参考视频：Delaunay三角化；Voronoi图
概述 对于平面上的点集，通过Delaunay三角剖分算法能够构建一个具有空圆特性和最大化最小角特性的三角网。...空圆特性其实就是对于两个共边的三角形，任意一个三角形的外接圆中都不能包含有另一个三角形的顶点，这种形式的剖分产生的最小角最大。...关于网格化以及三角网剖分，在CGAL中提供了非常详尽繁复的解决方案，我这里选择了CGAL::refine_Delaunay_mesh_2这个接口，这个接口能够将多边形区域构建成一个Delaunay三角网...结果 在QT界面上绘制一个多边形，只用多边形上的点，最后的三角网格效果： ?...参考 Delaunay三角剖分学习笔记
点集合的三角剖分是指如何将一些离散的点集合组合成不均匀的三角形网格，使得每个点成为三角网中三角面的顶点。...在实际工作中，使用最多的三角剖分是Delaunay三角剖分。通过Delaunay三角剖分算法能够构建一个具有空圆特性和最大化最小角特性的三角网。...空圆特性其实就是对于两个共边的三角形，任意一个三角形的外接圆中都不能包含有另一个三角形的顶点，这种形式的剖分产生的最小角最大。...这些特性可能有些难以理解，但是我们可以先谨记一点：Delaunay三角网是一种特性最优的三角剖分。...比如这里的构建Delaunay三角网，并没有新的点对象生成出来，只是对点集进行了组织，点还是原来哪些点，并没有变化。
平均基准点的Delaunay三角剖分 首先，我们需要计算这68个基准点的坐标平均值，我们利用这68个点（图6蓝色点）以及输出图像边界上的8个点（上图绿色点）来计算Delaunay三角剖分（上图红色边框）...更多Delaunay三角剖分细节请看这里（https://www.learnopencv.com/delaunay-triangulation-and-voronoi-diagram-using-opencv-c-python...Delaunay三角剖分将图像分解成若干三角形。Delaunay三角剖分的结果是一个三角形列表，用76个点（68个人脸基准点+8个边界点）的序号表示。...[ 62 68 60 32 50 49 15 16 72 9 8 58 53 35 36 … ] 基于Delaunay三角剖分的图像扭曲 至此，我们计算出了人脸基准点的平均位置，并用这些位置计算出Delaunay...如上图所示，左图是变换后输入图像的Delaunay三角剖分，中图是平均关键点的三角剖分。注意，左图的三角形1对应中图的三角形1。用左图三角形1的三个顶点及其对应的中图三个顶点计算变换矩阵。
Build.cs中增加模块 // Fill out your copyright notice in the Description page of Proj...
Delaunay 三角剖分 在获得了68个面部基准点之后，我们结合人脸所在的矩形的四个顶点和每条边的中心点，将人脸所在的矩形分割成如下图所示的三角形的组合。 这一方法又称为Delaunay三角剖分。...更多细节请看：https://www.learnopencv.com/delaunay-triangulation-and-voronoi-diagram-using-opencv-c-python/...叠加经过仿射变换的Delaunay剖分三角形 Delaunay三角剖分将图像分解成若干三角形后，再分别对齐各个三角形区域，对其中像素值进行平均。...I，J和M中分别得到了76个点，以及由这76个点剖分而成的三组三角形。...Step-3：扭曲Delaunay剖分三角形 对于图像I中的一个三角形，使用step-2中计算出的放射变换，将其中每一个像素通过仿射变换对应到M中对应的位置去。
对于点集P的Delaunay三角剖分DT(P)具有如下性质： 点集P 当中的任意点均不在Delaunay三角剖分中的任意一个三角形的外接圆当中。...而对于存在Delaunay三角剖分的点集P，我们总可以通过下述构造方法构造Delaunay三角剖分： 取一个外接四边形，使得所有的点均位于这个四边形内部，然后对其构造一个初始的三角剖分 ，它总是存在的...相连接，构成新的三角形，此时构造得到的新的三角剖分即为包含点 的Delaunay三角剖分； 删除步骤1中额外加入的4个外接点，并同步移除与之相连的所有边，剩下的图形即为目标点集P的一个Delaunay...但是，Delaunay三角剖分虽然保证了连通性，但是检索效率并不总能够得到保证，且完整构造Delaunay三角剖分图的算法复杂度太高，所以在实际应用当中事实上并无法使用。 2....NSW算法 NSW算法是基于Delaunay三角剖分的一个近似优化，他借鉴了三角剖分的形式，但是并不像三角剖分那么复杂，借用参考链接中各类博客中的说法，他在三角剖分当中增设了高速公路，而不是严格按照Delaunay
由于泰森多边形在空间剖分上的等分性特征，因此可用于解决最近点、最小封闭圆等问题，以及许多空间分析问题，如邻接、接近度和可达性分析等。 ? 也就是我们常说的Voronoi图，百度讲的也比较清楚。...最常用的生成方法是Delaunay 剖分方法。TIN在表示复杂表面方面具有许多优越性，国面被广就应用于数字制用、地用表面的模型化及分析以及LIS中。...在所有可能的三角网中，狄洛尼（Delaunay)三角网在地形拟合方面运用的较普遍，因此常被用于TIN的生成。...狄洛尼三角网是在所有可能的三角网中,Delaunay 三角网在离散点均匀分布的情况下能够避免产生有过小锐角的三角形。...Delaunay三角网，全称应该是狄洛尼不规则三角网（Delaunay Triangulated Irregular Network），主要就是应用于TIN的构建，立体模型的生成。
. # (Creating a Triangulation without specifying the triangles results in the # Delaunay triangulation
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