【高等数学】【2】导数与微分 1. 导数概念 1.1 导数定义 1.2 简单函数的导数 1.3 单侧导数 1.4 导数的几何意义 1.5 函数可导性与连续性的关系 2. 函数的求导法则 2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 2.2 正割函数的导数公式 2.3 反函数的求导法则 2.4 复合函数的求导法则 2.5 基本求导法则与导数公式【常用🔅】 3. 高阶函数 3.1 n阶导数 3.2 莱布尼茨公式 4. 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 4.1 隐函数的导数 4.2 对数求导法 4.3
上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数，今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下，今天的文章很重要，想要看懂机器学习各种公式推导，想要能够自己推一推各种公式，函数求导是基础中的基础，在算法这个领域，它比积分要重要得多。
自动微分技术，在各大深度学习框架里面得到了广泛的应用。但是其实究其原理，就是一个简单的链式法则。要实现一个自动微分框架是非常容易的事情，难的是高阶的自动微分和端到端的自动微分。这篇文章主要介绍一阶自动微分的基础Python实现，以及一些简单的测试案例。
多元复合函数是用在bp神经网络或者叫做神经网络的bp算法当中。深度学习是基于深度神经网络的。多元复合函数在神经网络算法当中有很大的用处。习惯性当中，把多元复合函数求导法则称为链式法则。
太郎在超市买了2个苹果、3个橘子。 其中，苹果每个100日元，橘子每个150日元。 消费税是10%，请计算支付金额。
机器之心专栏 作者：七月 本文的目标读者是想快速掌握矩阵、向量求导法则的学习者，主要面向矩阵、向量求导在机器学习中的应用。因此，本教程而非一份严格的数学教材，而是希望帮助读者尽快熟悉相关的求导方法并在实践中应用。另外，本教程假定读者熟悉一元函数的求导。 本文公式太多，微信上展示会有一些问题。所以本文适合读者了解矩阵、向量求导，而详细地学习与分析请下载本文的PDF版。 PDF 下载地址：https://pan.baidu.com/s/1pKY9qht 所谓矩阵求导，本质上只不过是多元函数求导，仅仅是把把函数的
引言 深度学习模型的训练本质上是一个优化问题，而常采用的优化算法是梯度下降法（SGD）。对于SGD算法，最重要的就是如何计算梯度。此时，估计跟多人会告诉你：采用BP（backpropagation）算
本文是我在阅读 Erik Learned-Miller 的《Vector, Matrix, and Tensor Derivatives》时的记录。 本文的主要内容是帮助你学习如何进行向量、矩阵以及高阶张量（三维及以上的数组）的求导。并一步步引导你来进行向量、矩阵和张量的求导。
几乎所有机器学习算法在训练或预测时都归结为求解最优化问题，如果目标函数可导，在问题变为训练函数的驻点。通常情况下无法得到驻点的解析解，因此只能采用数值优化算法，如梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法。这些数值优化算法都依赖于函数的一阶导数值或二阶导数值，包括梯度与Hessian矩阵。因此需要解决如何求一个复杂函数的导数问题，本文讲述的自动微分技术是解决此问题的一种通用方法。关于梯度、Hessian矩阵、雅克比矩阵，以及梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法，各种反向传播算法的详细讲述可以阅读《机器学习与应用》，清华大学出版社，雷明著一书，或者SIGAI之前的公众号文章。对于这些内容，我们有非常清晰的讲述和推导。
导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。 导数在生活中的应用非常的广泛，求各种瞬时值（如瞬时速度...）都需要用到导数，如何得到导数，当然是要进行求导，简单函数的求导非常容易，但是对于某些稍微复杂的函数，用定义法进行求导就相对麻烦了，这时就需要用到导数公式已经求导法则以简化其运算。这个东西是每个人必须掌握的。
导数的概念 导数的定义 注意 导函数的定义 单侧倒数 注意点 函数的连续性 注意： 课后例题 导数的四则运算 定理 定理的推广 法则1的推广： 法则2的推广： 另外： 课后例题 反函
链式法则是微积分中复合函数的求导法则。 复合函数，是指一个函数作为另一个函数的自变量。 如f(x)=3x，g(z)=z+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g(f(x))=f(x)+3=3x+3
若函数 x=\varphi(x) 严格单调且可导，则其反函数 y=f(x) 的导数存在，且有：
深度学习范式主要是通过发现经验数据中，错综复杂的结构进行学习。通过构建包含多个处理层的计算模型（网络模型），深度学习可以创建多个级别的抽象层来表示数据。例如，卷积神经网络CNN可以使用大量图像进行训练，例如对猫狗分类去学习猫和狗图片的特征。这种类型的神经网络通常从所采集图像中，包含的像素进行学习。
本文主要介绍在机器学习公式推导过程中经常会用到的矩阵和向量求导入门知识。之前的文章也提过，本科的高数和线性代数课程中一般都没有介绍这部分知识，于是可能就有朋友会担心矩阵求导是不是很难很高深，其实完全不用担心，理解它只需要了解导数和矩阵的概念就足够了。
反向传播算法是人工神经网络训练时采用的一种通用方法，在现代深度学习中得到了大规模的应用。全连接神经网络（多层感知器模型，MLP），卷积神经网络（CNN），循环神经网络（RNN）中都有它的实现版本。算法从多元复合函数求导的链式法则导出，递推的计算神经网络每一层参数的梯度值。算法名称中的“误差”是指损失函数对神经网络每一层临时输出值的梯度。反向传播算法从神经网络的输出层开始，利用递推公式根据后一层的误差计算本层的误差，通过误差计算本层参数的梯度值，然后将差项传播到前一层。
\[(x^a)'= ax^{a-1} \\ (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2} \\ (a^x)'=a^x\ln{a} \\ (\log_a{x})'=\frac{1}{x\ln{a}} \\ (\sin{x})'=\cos{x} \\ (\cos{x})'=-\sin{x} \\ (\tan{x})'=\sec^2{x} \\ (\cot{x})'=-\csc^2{x} \\ (\sec{x})'=\sec{x}\tan{x} \\ (\csc{x})'=-\csc{x}\cot{x} \\ (\arcsin{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arccos{x})'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arctan{x})'=\frac{1}{1+x^2} \\ (arccot{x})'=-\frac{1}{1+x^2} \]
从上图，我们得到了这样的几个信息，指数函数过(0,1)点，单调递增/递减，定义域为(−∞,+∞)，值域为(0,+∞)，再来我们看一下sigmoid函数的图像：
sigmoid Sigmoid函数，即f(x)=1/(1+e-x)。是神经元的非线性作用函数。 2. 函数： 1.1 从指数函数到sigmoid 首先我们来画出指数函数的基本图形：
不定积分计算的是原函数(得出结果是一个式子) 定积分计算的是具体的数值(得出的结果是一个具体的数字)
本文和下文以 Automatic Differentiation in Machine Learning: a Survey 这篇论文为基础，逐步分析自动微分这个机器学习的基础利器。
本篇博客只是博主为了记录重要概念写的 本博客内的文章均可通过百度“漫步微积分”找到 三：如何计算切线的斜率 四：导数的定义 六：极限 七：连续函数 八：多项式求导 其实也就是分开求导 九：乘法和除法法
导数是高等数学中非常重要的知识点，也是人工智能的算法应用中比较常用的一个知识，这一章我们的重点就是讲解一下导数和其求导法则。首先我们来看一下导数的基本概念:函数的变化率，即函数的变化速度，叫做函数的导数。 设函数y = f(x) 在函数x0的某邻域内有定义，当x在点x0有增量∆x（x0+∆x仍在该邻域内）。这时y=f(x)有增量∆y=f(x0+∆x)-f(x0)，当∆x无限趋近于零时，∆y/∆x存在，则这个极限值就叫做函数y=f(x)在点x0处的导数，公式如下：
前几天 灰灰哥回家了，家里有点小事，没有带电脑回家，不好意思，今天给大家补一下前几天的基础。谈正题，今天更新的还是导数与微分的问题，有问题的欢迎留言。
“强基固本，行稳致远”，科学研究离不开理论基础，人工智能学科更是需要数学、物理、神经科学等基础学科提供有力支撑，为了紧扣时代脉搏，我们推出“强基固本”专栏，讲解AI领域的基础知识，为你的科研学习提供助力，夯实理论基础，提升原始创新能力，敬请关注。
好了，今天的题目就到这里了，最近，个人认证通过了。第一题利用了二项式的展开式定理，后面主要是凑要求的式子，综合利用变形求得，最后直接变形就可以得出结果。（注意二项式定理的逆用）。第二题主要考察函数求导，注意乘法的公式的应用，再利用导数存在的必要条件，求出单个函数在某点左右（该点导数不存在）的导数值，最后带入即可。第三题是考察参数式的导数问题，首先求导数，先变为直角坐标，然后进行求导，注意切线垂直的应用，带入检验即可。有问题留言，谢谢大家的支持！
基本初等函数通过四则运算和复合可以得到复杂函数，其中减法与加法等价，除法与乘法等价：
f(x)在点x_{0}处可导 \iff f(x)在点x_{0}处左、右导数皆存在且相等。
本文将从反向传播的本质、反向传播的原理、反向传播的案例三个方面，详细介绍反向传播（Back Propagation）。
也就是，** y 方向的增量 = 斜率值 X x方向的增量 + ε X x方向的增量 **
文章首发于本人CSDN账号:https://blog.csdn.net/tefuirnever
在上篇文章当中我们回顾了不定积分的定义以及简单的性质，我们可以简单地认为不定积分就是求导微分的逆操作。我们要做的是根据现有的导函数，逆推出求导之前的原函数。
DSPy 很牛，它不同于 RAG 的思路（建立本地知识库，给提示语更专业的背景知识），DSPy 做了两件事情，第一是它将大模型的执行分解成为一个流程，也可以称之为“程序”，然后引入优化器，可以微调、自我反馈流程中的每个步骤。
本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。
本文对吴恩达老师的机器学习教程中的正规方程做一个详细的推导，推导过程中将涉及矩阵和偏导数方面的知识，比如矩阵乘法，转值，向量点积，以及矩阵（或向量）微积分等。
神经网络的快速发展离不开底层数学算法的演进。反向传播算法作为神经网络中学习的主力，最初是在20世纪70年代引入的，但其重要性直到1986年由一篇着名的论文才得到充分的重视，其作者是DavidRumelhart，GeoffreyHinton和RonaldWilliams。该论文描述了几种神经网络，而其中反向传播比其他早期的学习方法快得多，从而可以使用神经网络来解决以前不能解决的问题。 说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生： 📷 其对应的表达式如下： 上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值，它们就是深度
BP算法(即反向传播算法)适合于多层神经元网络的一种学习算法，它建立在梯度下降法的基础上。BP网络的输入输出关系实质上是一种映射关系：一个n输入m输出的BP神经网络所完成的功能是从n维欧氏空间向m维欧氏空间中一有限域的连续映射，这一映射具有高度非线性。它的信息处理能力来源于简单非线性函数的多次复合，因此具有很强的函数复现能力。这是BP算法得以应用的基础。
用tensorflow，pytorch这类深度学习库来写一个神经网络早就不稀奇了。
解题思路，参数方程的导数是有公式的，一阶导分别对中间变量求导即可，再相除。二阶到看成一阶导对变量导数，按照变量替换的原则进行还原之后也是对中间变量的复合。
吴立德老师亲自讲解前馈神经网络和BP算法，让初学者对基础更加了解，对以后网络的改建和创新打下基础，值得好好学习！希望让很多关注的朋友学习更多的基础知识，打下牢固的基石，也非常感谢您们对我们计算机视觉战
NDArray可以很方便的求解导数，比如下面的例子：（代码主要参考自https://zh.gluon.ai/chapter_crashcourse/autograd.html） 用代码实现如下：
f'(x)=(x^3)‘+(4cosx)‘-(sin(π/2))‘=3x^2-4sinx-0
所谓反向传播，与之相对的就是正向传播。神经网络执行是从前到后的，这是正向传播，而为神经网络的各个节点求导，则需要从最后一个输出节点向前推导，因为顺序是从后往前的，所以成为反向传播。
本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。
前言：最近在跟着吴恩达老师(Andrew Ng)的视频课程学习机器学习，该视频是2014年拍的，虽然有点老，但理论却并不过时，是非常经典的机器学习入门教程，也正是因为这是入门教程，所以视频中的有些数学知识只给出了结论却未进行推导，这对于入门来说再适合不过了，但如果想深入学习机器学习理论和算法就得对那些数学公式的来龙去脉有比较清楚的认识。所以随着学习的深入，我不知道为什么的地方也越来越多，所以我决定先搞清楚视频中涉及到的那些未被推导的数学公式之后再继续学习后面的视频教程。在搞清楚那些数学知识的时候我会在纸上进行演算，但纸质介质对我来说并不利于长时间保存因而不利于备忘，于是决定把学习到的知识和心得组织成一系列文章发布在公众号上，一方面利于自己温故而知新，另一方面也希望这些文字对有同样疑惑的网友有那么一丁点儿用处。
本文和上文以 Automatic Differentiation in Machine Learning: a Survey为基础，逐步分析自动微分这个机器学习的基础利器。
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