常微分方程即只包含单个自变量 x、未知函数 f(x) 和未知函数的导数 f'(x) 的等式，所以说 f'(x) = 2x 也算一个常微分方程。...神经常微分方程走了另一条道路，它使用神经网络参数化隐藏状态的导数，而不是如往常那样直接参数化隐藏状态。这里参数化隐藏状态的导数就类似构建了连续性的层级与参数，而不再是离散的层级。...如原论文的上图所示，a 图表示模型能保证在误差范围为内，且随着误差降低，前向传播的函数评估数增加。b 图展示了评估数与相对计算时间的关系。...d 图展示了函数评估数会随着训练的增加而自适应地增加，这表明随着训练的进行，模型的复杂度会增加。...只有获取积分路径中所有隐藏层的梯度，我们才有可能进一步解出损失函数对参数的梯度。 因此反向传播中的第一个和第二个常微分方程 都是为第三个微分方程提供条件，即 a(t) 和 z(t)。
如果使用L1正则化（使用L1范数作为惩罚项），则更新方程会发生变化。正则化项被添加到损失函数中，以对权重进行约束。 在标准的梯度下降算法中，我们通过在梯度更新中加入正则化项来实现L1正则化。...更新方程如下： 其中： ω 是权重的第i个元素 是学习率（控制更新的步长） 是L1正则化参数（控制正则化的强度） 是损失函数 ∂/∂ω 是损失函数关于权重ω的梯度 sign(ω) 是ω的符号函数（...正数为1，负数为-1，零为0） 更新方程的第二项 * sign(ω) 是L1正则化的关键部分。...对于的更新方程，可以使用以下形式： 其中： 是权重矩阵 是学习率（控制更新的步长） 是Frobenius范数的正则化参数（控制正则化的强度） 是损失函数 / 是损失函数关于的梯度 更新方程的第二项...例如，L1正则化、L2正则化、弹性网络（Elastic Net）等，它们通过在损失函数中添加额外的正则化项，限制模型参数的大小，减少过拟合的风险。
L1正则化的原理 在机器学习中，通常使用最小化损失函数来训练模型，而L1正则化可以通过在损失函数中添加正则项来控制模型的复杂度，其目标是最小化损失函数和正则项之和： $$\underset{w}{\operatorname...L1正则化的目标是最小化损失函数和$L1$范数之和，因为$L1$范数是模型参数的绝对值之和，所以它会惩罚模型参数中的非零值，从而促使一些参数变为0。...不同的优化算法在实现L1正则化时可能有所不同，但核心思想都是在损失函数中添加$L1$范数惩罚项。 总结 L1正则化是一种常用的正则化技术，可以通过对模型参数的绝对值进行惩罚来控制模型的复杂度。...L1正则化可以将某些参数设置为0，从而实现特征选择的功能。在实现L1正则化时，可以在损失函数中添加$L1$范数惩罚项，或者在优化算法中对参数进行更新时添加$L1$范数惩罚项。...在训练模型时，我们的目标是最小化损失函数，同时还要使模型参数尽量小。为了实现这个目标，我们可以在损失函数中添加$L2$范数惩罚项。这样，当模型参数过大时，惩罚项就会增大，从而使损失函数增大。
在机器学习中，过拟合（overfitting）会使模型的预测性能变差，通常发生在模型过于复杂的情况下，如参数过多等。本文对过拟合及其解决方法进行了归纳阐述。 ?...在构建模型的过程中，在每个 epoch 中使用验证数据测试当前已构建的模型，得到模型的损失和准确率，以及每个 epoch 的验证损失和验证准确率。...当验证损失开始增加时，我们应该停止训练模型，这样就能阻止过拟合。 下图展示了停止训练模型的时机： ? 正则化 正则化可用于降低模型的复杂性。...这是通过惩罚损失函数完成的，可通过 L1 和 L2 两种方式完成，数学方程式如下： ? L1 惩罚的目的是优化权重绝对值的总和。它生成一个简单且可解释的模型，且对于异常值是鲁棒的。 ?...Dropout Dropout 是一种正则化方法，用于随机禁用神经网络单元。它可以在任何隐藏层或输入层上实现，但不能在输出层上实现。该方法可以免除对其他神经元的依赖，进而使网络学习独立的相关性。
来，回顾一下常微分方程 机器学习的传统是将基于规则的推断和统计学习对立起来，很明显，神经网络站在统计学习那一边。...然后展示了如何为积分和一阶、二阶微分方程的监督式训练生成数据集。最后，研究者对数据集应用 seq2seq 模型，发现其性能超过当前最优的计算机代数程序 Matlab 和 Mathematica。...一阶常微分方程（ODE 1） 如何生成具备解的一阶常微分方程？研究者提出了一种方法。给定一个双变量函数 F(x, y)，使方程 F(x, y) = c（c 是常量）的解析解为 y。...二阶常微分方程（ODE 2） 前面介绍的生成一阶常微分方程的方法也可用于二阶常微分方程，只需要考虑解为 c_2 的三变量函数 f(x, c_1, c_2)。...下表 8 展示了超时值对 Mathematica 准确率的影响。增加超时延迟的值可提高准确率。 ? 表 8：在不同超时值情况下，Mathematica 对 500 个函数求积分的准确率。
（后续的推文会仔细解释和实践） 3、L2正则化 L2 正则化就是在损失函数后面增加上 L2 正则化项， 公式为： ? 其中 L0为原始损失函数， 后面部分为 L2 正则化项。...4、 L1 正则化 L1 正则化时原始的损失函数后面加上一个 L1 正则化项， 即权值 w 绝对值的和除以 n， L1 正则化公式为： ?...L2正则化适用于特征之间没有关联的情况L1相对于L2更能实现权值稀疏，是由他们本身的计算方式决定的，L1是各元素绝对值之和，L2是各元素平方和的根，在对不同参数进行惩罚时，L1无论参数大小如何，...对它们的惩罚值都相同，导致那些参数大小和惩罚值相等的参数，一减就变为 0，而L2对参数的惩罚值是根据参数本身的大小来变化的，越小的参数惩罚值越小，越大的参数惩罚值越大，所以最终使得所有参数都接近 0，但不会等于...此外，权重共享有效降低了卷积神经网络中需要学习的权重的参数数量，支持网络在不断增加训练数据的同时向更深处进行扩展。
神经网络可以完成几项任务，从预测连续值(如每月支出)到分类离散类(如猫和狗)。每个不同的任务需要不同类型的损失，因为输出格式不同。对于非常特殊的任务，如何定义损失取决于我们自己。...该函数有效地惩罚了用于二值分类任务的神经网络。让我们看看这个函数的外观。 ? 二元交叉熵损失图 如您所见，有两个单独的函数，每个函数对应一个Y值。...第一个函数,当Y_pred = 1,损失= 0,这是有道理的,因为Y_pred与y完全相同，当Y_pred值变得更接近0,我们可以观察到的损失价值以非常高的速度增加，当Y_pred变成0它趋于无穷大。...二元分类损失比较 我们可以用数学方法将整个损失函数表示为一个方程式，如下所示： ? 二元交叉熵全方程 这个丢失函数也称为日志丢失。这就是为二值分类神经网络设计损失函数的方法。...希望现在您对如何为深度学习中的各种任务配置损失函数有了更深入的理解。感谢您的阅读!
---- 作者丨Mahitha Singirikonda 来源丨机器之心 导读 在机器学习中，过拟合（overfitting）会使模型的预测性能变差，通常发生在模型过于复杂的情况下，如参数过多等。...在构建模型的过程中，在每个 epoch 中使用验证数据测试当前已构建的模型，得到模型的损失和准确率，以及每个 epoch 的验证损失和验证准确率。...当验证损失开始增加时，我们应该停止训练模型，这样就能阻止过拟合。 下图展示了停止训练模型的时机： 正则化 正则化可用于降低模型的复杂性。...这是通过惩罚损失函数完成的，可通过 L1 和 L2 两种方式完成，数学方程式如下： L1 惩罚的目的是优化权重绝对值的总和。它生成一个简单且可解释的模型，且对于异常值是鲁棒的。...Dropout Dropout 是一种正则化方法，用于随机禁用神经网络单元。它可以在任何隐藏层或输入层上实现，但不能在输出层上实现。该方法可以免除对其他神经元的依赖，进而使网络学习独立的相关性。
在本文中，我们将一起理解这两种方法并在python中实现它们 Regularization 正则化 正则化通过在损失函数的末尾添加额外的惩罚项来帮助防止模型过度拟合。 其中m是批次大小。...当权重过多或权重太大时，附加的额外项会增加损失，并且可调整因子λ着重说明了我们要对权重进行多少惩罚。 为什么添加惩罚会有助于防止过度拟合？...直观的理解是，在最小化新损失函数的过程中，某些权重将减小至接近零，因此相应的神经元将对我们的结果产生非常小的影响，就好像我们正在使用 更少的神经元。 前向传播：在前进过程中，我们只需更改损失函数。...由于在此过程中某些神经元被静音，因此需要增加左神经元以匹配预期值。 反向传播：过程是将相同的函数D屏蔽为相应的dA。...结论 正则化和dropout都被广泛采用以防止过度拟合，正则化通过在损失函数的末尾添加一个额外的惩罚项来实现，并通过在正向过程中随机地使某些神经元静音来使其退出以使网络更加简洁来实现正则化。
“强基固本，行稳致远”，科学研究离不开理论基础，人工智能学科更是需要数学、物理、神经科学等基础学科提供有力支撑，为了紧扣时代脉搏，我们推出“强基固本”专栏，讲解AI领域的基础知识，为你的科研学习提供助力...，而文章《我们真的需要把训练集的损失降低到零吗？》...回顾之前的博文《从动力学角度看优化算法（三）：一个更整体的视角》[6]，设损失函数为 ，我们将 看成是看成是沿着某种时间参数 变化的轨迹 ，现在我们考虑它的变化率： ?...简单期间，我们可以直接令 那么求解参数 就转化为求解上述常微分方程组，这也是“从动力学角度看优化算法”这个系列的基本出发点。 ?...可以看到，其实就相当于往损失函数里边加入了梯度惩罚形式的正则项 ，而梯度惩罚项有助于模型到达更加平缓的区域，有利于提高泛化性能。
图：可视化的神经网络常微分方程学习动力系统 在本文中，我将尝试简要介绍一下这篇论文的重要性，但我将强调实际应用，以及我们如何应用这种需要在应用程序中应用各种神经网络。...为什么我们关注常微分方程呢？ 首先，让我们快速简要概括一下令人讨厌的常微分方程是什么。常微分方程描述了某些由一个变量决定的过程随时间的变化。这个时间的变化通过下面的微分方程来描述。...我们应该如何通过ODESolve()函数进行反向传播呢?在我们的例子中，ODESolve()函数实际上也是一个黑盒吗？在这里，我们可以利用一个由输入和动态参数组成的损失梯度函数。...神经网络常微分方程作为生成模型 作者还声称他们可以通过变分自编码器(VAE)框架构建一个时序信号生成模型，并将神经网络ODE作为其中的一部分。那它是如何工作的呢？...很明显，神经网络常微分方程的设计是为了学习相对简单的过程(这就是为什么我们甚至在标题中有"ordinary ")，所以我们需要一个建模方法能够建模更丰富的函数家族。
来源：arXiv 作者：闻菲，肖琴 【导读】Hinton创建的向量学院的研究者提出了一类新的神经网络模型，神经常微分方程（Neural ODE），将神经网络与常微分方程结合在一起，用ODE来做预测。...但我们常常忘记一点，那就是神经网络也是一种通用函数逼近器，因此，神经网络可以作为数值分析工具，用来解决更多的“经典”数学问题，比如常微分方程（Ordinary Differential Equation...将深度学习和常微分方程结合在一起，提供四大优势 残差网络、递归神经网络解码器和标准化流（normalizing flows）之类模型，通过将一系列变化组合成一个隐藏状态（hidden state）来构建复杂的变换...这些迭代更新可以看作是连续变换的欧拉离散化。 当我们向网络中添加更多的层，并采取更少的步骤时会发生什么呢？在极限情况下，我们使用神经网络指定的常微分方程（ODE）来参数化隐藏单元的连续动态： ?...Tian Qi Chen说，他尤其喜欢变量的即时改变，这打开了一种新的方法，用连续标准流进行生成建模。 目前，作者正在讲ODE求解器拓展到GPU上，做更大规模的扩展。 论文：神经常微分方程 ?
例如，在基于历史数据预测汽车价格的回归问题中，损失函数基于训练数据集中的训练样本来评估神经网络预测。损失函数量化了网络预测的汽车价格与实际价格的差距或误差幅度。...因此，对误差进行平方（如MSE中所做的那样）有助于为较大的误差赋予更高的权重，从而使模型更加精确，具有更高价值的属性。...平均绝对误差 (MAE) / L1损失 平均绝对误差 (MAE)，也称为L1损失，是回归任务中使用的损失函数，用于计算机器学习模型的预测值与实际目标值之间的平均绝对差。...平均绝对误差 (MAE) 或L1损失的数学方程为： 何时使用MAE 从上一部分中我们已经知道：MAE衡量预测值与实际值之间的平均绝对差。...铰链损失Hinge Loss Hinge Loss是一种在机器学习中用来训练分类器的损失函数，它旨在优化增加数据点与决策边界之间的间隔，因此主要用于最大间隔（maximum margin）分类。
而微分方程是一种稍微“抽象”的方程，它是表示未知函数y(x)、未知函数的导数y`(x)以及自变量x关系的方程，比如： ? 其解（如果可解）应是一个函数或者函数族，例如上式的解析解为： ?...未知函数y(x)是一元函数的称为常微分方程，若是多元函数则称为偏微分方程。方便起见，将自变量x写成时间t，则可以用微分方程来表示某些随时间变化的规律或者动力学系统： ?...2 梯度下降法 在机器学习或者神经网络中，我们大量使用梯度下降法，其实它也可以看作是一个动力系统。给定关于训练集的某种损失函数： ?...一般情况下，对相当复杂的损失函数，不太可能一步到位直接求解参数的最优解，只能通过某些算法“慢慢地”去寻找最优解，比如使用经典的梯度下降算法，参数不断更新，在参数空间留下一条美妙的轨迹，其行为与动力系统十分相像...当然，我们并不单单致力于能求解微分方程的数值解或者得到参数的轨迹，更重要的是，希望参数θ能够收敛到某个稳定点，动力系统达到某个稳定的状态，损失函数能够收敛。
神经网络可以执行多种任务，从预测连续值（如每月支出）到对离散类别（如猫和狗）进行分类。 每个不同的任务将需要不同的损失类型，因为输出格式将不同。 具体任务将定义不同的损失函数。...模型的结构风险函数包括了经验风险项和正则项，通常可以表示成如下式子： 其中，前面的均值函数表示的是经验风险函数，L代表的是损失函数，后面的 Φ是正则化项（regularizer）或者叫惩罚项（penalty...term），它可以是 L1，也可以是 L2，或者其他的正则函数。...该功能有效地惩罚了用于二进制分类任务的神经网络。 我们可以在数学上将整个损失函数表示为一个方程式，如下所示： 图片 此损失函数也称为对数损失。 这就是为二进制分类神经网络设计损失函数的方式。...现在，让我们继续来看如何为多类别分类网络定义损失。 多类别分类 当我们需要我们的模型每次预测一个可能的类输出时，多类分类是合适的。
在RNN中，爆炸梯度会导致神经网络不稳定，无法从训练数据中学习，最好的情况下，网络不能学习数据的长输入数据序列。 梯度爆炸问题是指训练过程中梯度范数的大幅增加。往往是由于长期成分的激增。...该模型是不稳定的，导致从两次更新之间的损失有巨大的变化。 训练期间模型损失呈现NaN。 如果你有这些类型的问题，你可以深入挖掘，看看你是否有梯度爆炸的问题。 这些迹象，可以用来确认是否存在梯度爆炸。...2.使用RELU激活 在深层多感知神经网络中，如果选择某些激活函数可能会出现梯度爆炸，如sigmoid函数和tanh函数。 在这里使用ReLU激活函数减少梯度爆炸。...在Keras API中使用优化器 5.使用权重正则化 还有方一种法，如果梯度梯度仍然存在，则检查网络权重的大小，并对大权重值的网络损失函数应用惩罚。...这种方法称为权重正则化，通常可以使用L1（绝对权重）或L2（平方权重）惩罚。 对权重使用L1惩罚或L2惩罚有助于解决梯度爆炸 – 关于训练RNN的难题，2013年。
对应的损失函数也加上这个惩罚项(为了惩罚 image.png )：假设 image.png image.png 为了求得最小值，使 image.png 值趋近于0，这就达到了我们的目的，得到中间坐标的方程...把以上公式通用化得： image.png 相当于在原始损失函数中加上了一个惩罚项( image.png 项) 这就是防止过拟合的一个方法，通常叫做L2正则化，也叫作岭回归。...1.3对应图形 我们可以简化L2正则化的方程： image.png image.png 表示原始的损失函数，咱们假设正则化项为： image.png 我们不妨回忆一下圆形的方程： image.png...这就说明了L2正则化不容易得到稀疏矩阵，同时为了求出损失函数的最小值，使得w1和w2无限接近于0，达到防止过拟合的问题。...同时L1正则化的函数也可以在 image.png 的二维平面上画出来。如下图： 惩罚项表示为图中的黑色棱形，随着梯度下降法的不断逼近，与棱形第一次产生交点，而这个交点很容易出现在坐标轴上。
在《神经网络中常见的激活函数》一文中对激活函数进行了回顾，下图是激活函数的一个子集—— 而在神经网络领域中的另一类重要的函数就是损失函数，那么，什么是损失函数呢？...即使新的观察结果被正确分类，如果决策边界的差距不够大，它们也会受到惩罚，损失呈线性增加。...利用深层卷积神经网络(DCNN)进行大规模人脸识别的特征学习面临的主要挑战之一是如何设计合适的损失函数来提高识别能力。中心损失惩罚了深部特征与其在欧氏空间中相应的类中心之间的距离，以实现类内紧凑性。...L1损失函数用于最小化误差，是以绝对误差作为距离。L1不受离群值的影响，因此，如果数据集包含离群值，则 L1更可取。...AI系统中的偏差与偏见 面向AI 的数据生态系统 机器学习与微分方程的浅析 神经网络中常见的激活函数 老码农眼中的大模型（LLM） 《深入浅出Embedding》随笔 机器学习系统架构的10个要素 清单管理
为什么需要激励函数 首先，为什么需要激励函数（Activation Function）呢？ 因为现实并没有我们想象的美好，激励函数是为了解决我们日常生活中不能用线性概括的问题而提出，如二分类问题。...首先把整个神经网络简化为一个式子：y = W · x 其中，y称为预测值、W是参数、x称为输入值。那么，非线性方程如何描述这个问题呢？我们增加一个AF()函数，如下所示。 ?...非线性方程：y = AF( W · x ) 其中，AF就是所谓的激励函数。如下所示，常见的激励函数包括relu（x为-1时值为0，x为1时值为1）、sigmoid、tanh等。...Sigmoid函数：是连续、可导、有界，关于原点对称的增函数，呈S形，具体可用反正切函数arctan或指数函数exp来实现，如f(x)=arctan(x)/(pi/2), f(x)=1/(1+e-x)。...正规化是预测值与真实值平方，加上W的平方 L3：加立方，L4：加四次方 由于过度依赖的W会很大，我们在上述L1和L2公式中惩罚了这些大的参数。
在这里，λ是调整参数，它决定了我们要惩罚模型灵活性的程度。模型灵活性的提高由其系数的增加来表示，如果我们要最小化上述函数，则这些系数需要很小。这就是Ridge回归技术防止系数升高太高的方法。...在统计中，这称为L1范数。 让我们以不同的角度看一下上述方法。岭回归可以看作是求解方程，系数的平方和小于或等于s。和Lasso可以被认为是作为一个方程式，其中系数的模量的总和小于或等于s。...这意味着对于位于β1²+β2²≤s所给定圆内的所有点，岭回归系数具有最小的RSS（损失函数）。 类似地，对于Lasso，等式变为|β1| + |β2|≤s。...这意味着对于|β1| + |β2|≤s所给定的菱形内的所有点，Lasso系数具有最小的RSS（损失函数）。 下图描述了这些方程式。 ?...但是，在Lasso的情况下，当调整参数λ足够大时，L1惩罚具有迫使一些系数估计值精确等于零的效果。因此，Lasso方法还执行变量选择，并且据说可以产生稀疏模型。 正则化实现了什么？
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