如何以最快的方式计算一组指数函数的乘积？ - 腾讯云开发者社区

人体转动惯量在我第一次抛物线飞行之前，我写了一个 Mathematica 代码来计算人体在不同位置的主要转动惯量。概述其中一些研究的文章称为“失重中人体的编舞技术”。下图是使用该笔记本生成的。...在失重状态下扔球下一个需要了解的细节是，当一个球在失重状态下投掷时，它沿直线而不是抛物线运动。我们可以将这两条信息放在一起，考虑到一个人可以以侧手翻的方式旋转并将球扔给自己。...上面的右图显示了杂耍者在旋转框架中看到的东西。您注意到这些球是如何以弧线运动的吗? 要在旋转坐标系中生成绘图，如上图右侧所示，只需将线函数TL乘以一个以相同角速度向相反方向旋转的指数函数。...阿基米德螺线让我们仔细看看代表抛球的方程。简单地说，我们可以认为我们真的不需要指数之外的虚数，因为它只是代表旋转。我们可以以更方便的方式定义 g[t] 。和我一起看下一组方程。...由于是交叉乘积，所以结果总是垂直于两个输入向量。因此我们可以通过其中将交叉乘积转换为复数记号。我们可以将我们的微分方程改写为现在是做数学的时候了，看看四个解是否满足这个方程。

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离散数学数列

对于一个非齐次线性数列，形如此处F（n）是最高为t次的多项式和一个指数函数的乘积。我们要求解这个通式，如线性代数中一样，先解齐次方程，由解的结构，再加上特解即为所求的解。...---- 解齐次方程在解齐次方程的时候，先列出特征方程，如果没有重根，就把原式子中最高次的那一项留着（通常写成an），放在左边；右边是各个根的指数函数，如r1^n，r2^n等，前面设出常系数α1，α2...如果是重根，则省略写成一个指数函数，前面的系数改成m次的多项式，m为重数。 ---- 特解如果非齐次项的形式如上图中F（n）所示，应判断其中底数（有可能是1）是否是特征方程的根。...如果不是，特解形式则为P（t）*s^n（注意到特解里的底数和原来非齐次项的底数是一致的），其中t是原F（n）的最高次；若是，则应加上n^m乘到P（t）*s^n前面，作为特解。然后带入初值解出结果。...解的形式中记得通解前面是有系数的。

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哈佛、MIT学者联手，创下矩阵乘法运算最快纪录

哈佛大学和 MIT 研究者联合进行的一项研究创下了矩阵相乘的最快纪录。矩阵乘法作为一种基本的数学运算，在计算机科学领域有着非常广泛的应用，矩阵乘法的快速算法对科学计算有着极为重要的意义。...2020 年 10 月，来自哈佛大学与 MIT 的两位研究者发表了一篇论文，他们创建了有史以来矩阵相乘的最快算法，相比于之前最快算法，计算复杂度下降了 10 万分之一。...在计算它们的乘积时，需要使用矩阵 A 的对应行和矩阵 B 的对应列。具体运算方法如下图所示： ?...上述运算被称为矩阵的内积（inner product），按照上图所示的方法可以计算乘积矩阵中其他元素的值。对于上图的情况，这样的方法需要进行 8 次乘法运算，还有一些加法运算。...Strassen 提出了一组复杂的关系，从而利用 14 次加法替换了上述 8 个乘法之一。

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客户端基本不用的算法系列：矩阵的递推关系分析

如果我们想用矩阵来表示递推关系式，必须要满足 g(n) 在乘积的情况下，表现出自变量 n 自增的情况。符合这种条件的就是指数函数。...例如下式：我们将指数函数用 g(n) 来表示，并且可以发现其中有这么一个规律：这里 g(n) 的规律，其实就是我上面所说的对函数的乘积表现为自变量的加和。...所以这里可以如此构造 f(n) 的矩阵递推式：如此，含有指数函数 g(n) 为项式的情况我们也可以通过矩阵快速幂来求解。...总结与延伸学习我们专题性地研究了快速幂算法，直至现在应该将在计算机领域中所有场景的快速幂问题全部覆盖到了。...在之前的实现中，所有的矩阵乘法都是通过 O(n^3) 的方式来实现的，这里给你抛出一个有意思的矩阵乘法算法 - Strassen algorithm，它可以将矩阵乘法的时间复杂度优化到 O(n^(log7

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再看最著名的 NP 问题之 TSP 旅行商问题

这就是与多项式函数不同之处，在指数函数中，x 出现在指数部分，它的幂是一个常数倍数。这导致指数函数的增长非常快，与 x 的增加呈指数级增长。...由于指数函数的快速增长，它们不能用多项式函数来表示，因此指数函数不是多项式函数。多项式函数的增长相对较慢，而指数函数的增长非常迅速，这是它们之间的关键区别。...背包问题（Knapsack Problem）：给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，以及一个背包的容量限制，找到一种方式来放入物品，使得它们的总价值最大化，但总重量不超过背包的容量。...车间调度问题（Job Scheduling Problem）：给定一组作业和它们的执行时间，以及一组机器，找到一种方式将作业分配给机器，使得完成所有作业的时间最短。...动态规划的核心思想是根据之前计算的结果来计算当前的最短路径长度，逐步构建出整个dp数组。最后通过查找dp数组中的最短路径来找到全局最优解。

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文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （24）-- 算法导论4.2 6题

文心一言：Strassen 算法是一种用于矩阵乘法的分治算法，它将原始的矩阵分解为较小的子矩阵，然后使用子矩阵相乘的结果来计算原始矩阵的乘积。...因此，当矩阵A的行数为k时，矩阵B的列数为k，并且k为正整数。因此，对于输入矩阵规模互换的情况，我们可以使用快速幂法则来进行计算，最快需要花费的时间取决于矩阵A和矩阵B的规模。...假设 Strassen 算法作为子进程运行，那么最快需要花费的时间取决于两个因素：1.子进程启动和初始化所需的开销2.实际计算矩阵乘积所需的时间对于第一个因素，我们可以假设子进程已经启动，并已经完成了必要的初始化工作...对于第二个因素，我们需要考虑实际计算矩阵乘积所需的时间。根据 Strassen 算法的时间复杂度，当 n 足够大时，运行时间将接近 O(n^2.81)。...因此，当规模较大时，计算矩阵乘积的时间可能会非常长。对于两个输入矩阵规模互换的情况，计算复杂度和上述情况是相同的。因此，最快需要的时间也相同。

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幂函数与指数函数的区别

幂函数与指数函数的区别在数学中，幂函数和指数函数是两个经常被混淆的概念。它们都涉及到数值的指数运算，但在具体的定义和计算方法上有所不同。...幂函数与指数函数的计算方法在计算幂函数和指数函数的值时，可以借助科学计算器或编程语言的数学函数库。常见的计算方法有：幂函数计算可以使用幂运算符 ^ 或 **。...例如，在 Python 中，2 ** 3 表示 $2$ 的 $3$ 次幂，结果为 $8$。指数函数计算可以使用指数函数库，如 exp()。...需要注意的是，在不同的数学和计算机环境中，幂函数和指数函数的计算方法可能略有不同，具体可以参考所使用的工具的文档说明。总结幂函数和指数函数是数学中常见的指数运算表达方式。...通过以上示例代码，我们可以看到幂函数和指数函数在实际应用中的不同用法。幂函数适用于计算随时间指数增长的数值，例如存款利息的增长；而指数函数更适用于计算以固定速率指数增长的数值，例如人口的增长。

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Sweet Snippet 之统计二进制中 1 的个数

1) & 0x55555555) 我们可以让 val 中每 2 位一组的二进制变更为之前该 2 位二进制中 1 的个数(譬如 11 会变更为 10(10 即是 2,表示 11 中 1 的个数为 2))...理解了第一步,后面二步也便可以理解了,因为思路其实是一样的,只是分组位数逐步提高(2位一组 -> 4位一组 -> 8 位一组): val = (val & 0x33333333) + ((val >>...2) & 0x33333333) val = (val & 0x0F0F0F0F) + ((val >> 4) & 0x0F0F0F0F) 经过了上面的三步, val 以 8 位一组的方式记录了原二进制中对应...8 位二进制的 1 的个数,通过乘以常数 0x01010101,我们可以将这 4 个 8 位二进制(总共 32 位)在乘积的前8位中进行累加,由于累加发生在前8位,我们最后需要右移 24 位来获取最终的结果...: val = (val * 0x01010101) >> 24 其他有一些指令集内建支持计算汉明重量(譬如 x86 的 popcnt),直接使用这些指令来统计二进制中 1 的个数应该是最快的.

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程序员的数学

对于一切指数函数来讲，值域为(0， +∞)；指数函数的前系数为1；指数型函数：y = ?...阶乘亦可以递归方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。　　...1.5.3 排列计算公式： ? ? 　　...1.5.4 组合定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；　　　　　　　　　从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出...m) ），　　　　　　然后因为m个元素的排序方式共有m!

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BP 神经网络算法

x的值可能为[−∞,+∞],为了方便处理，需要将其压缩到一个合理的范围，还需这样的激励函数，能够将刚才的区间压缩到[0,1]。...sigmoid 是使用范围最广的一类激活函数，具有指数函数形状，它在物理意义上最为接近生物神经元。...此外，(0, 1) 的输出还可以被表示作概率，或用于输入的归一化，代表性的如Sigmoid交叉熵损失函数。然而，sigmoid也有其自身的缺陷，最明显的就是饱和性。...但这带来一个问题，中间层的误差怎么计算？我们能简单地将权重和残差的乘积，返回给上一层节点（这种想法真暴力，从左到右和从右到左是一样的）。 ?...下面一张图展示了完整的BP算法的过程，我看了不下20遍： ? 更有趣的是，sigmoid求导之后，特别像高斯（正态）分布，而且sigmoid求导非常容易。

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【算法】复变函数

可用定义法计算复变函数在一点的导数或利用常见初等函数的导数以及导数的运算法则求导。柯西定理：已知一复变函数的原函数，可求其积分。...复数四则运算的几何意义： ①两个复数乘积的模等于它们模的乘积;两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和 ②两个复数商的模等于它们模的商; 两个复数商的幅角等于被除数与除数的幅角差 ③复数的加减：...指数函数性质：ez+2kπ=ez,故指数函数ez是一个以2π为周期的周期函数。故ez在复平面上处处可导，解析。 2....在高等数学以及实际问题中,常常需要求出一些定积分或广义积分的值, 而这些积分中被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来, 或即使可以求出原函数,计算也往往比较复杂 .利用留数定理, 要计算某些类型的定积分或广...义积分, 只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数, 从而把问题大大简化, 下面通过具体例子,说明如何利用留数计算几种特殊类型的积分 . 1.含sinx，cosx的有理分式积分 2.

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干货 | 条件随机场详解之模型篇

概率无向图模型由于条件随机场是在给定一组输入随机变量条件下，另一组输出随机变量的条件概率分布模型，其特点是假设输出随机变量构成马尔科夫随机场。因此在本节首先介绍马尔科夫随机场，即概率无向图模型。...将概率无向图模型的联合概率分布表示为其最大团上的随机变量的函数的乘积形式的操作，称为概率无向图模型的因子分解。给定概率模型，舍弃无向图为G，C表示G上的最大团，Yc表示C对应的随机变量。...这里要求势函数是严格正的，通常定义为指数函数： ? 条件随机场一般的条件随机场定义：设X与Y是随机变量，P(X|Y)是在给定X的条件下Y的条件概率分布。...则，条件随机场可以写成向量w与F(y,x)的内积形式： ? 其中， ? 为了以后计算方便，下面将给出条件随机场的矩阵形式。...这样，给定观测序列x，标记序列y的非规范化概率可以通过n+1个矩阵的乘积表示，于是，条件概率Pw(y|x)是 ? 其中 ?

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为什么会有自然对数？

Portrait of John Napier (1550-1617), dated 1616. 1614年，数学家，物理学家和天文学家约翰.奈皮尔在一篇名为《奇妙对数表的构建》的文章中以和现代对数表相似的方式发表了一系列对数表...指数函数计算规则告诉我们，两个2的指数相乘，如2a×2b，你只需要将它们的指数相加。如果用其中一个除另外一个，你只需要将它们的指数相减。 ? ?...所以你需要一个表格告诉你如何将一个大数用2的指数函数表示，或者用其他数的指数函数表示，这会让你的计算变得简单很多。给定数字N，你会想要找到一个数L使得： ?...人们意识到等比数列中两个数的相乘（或相除）对应着等差数列中两个数的相加(或相减)。（对我们来说，这正是指数函数的运算规则，等比数列中是2的指数函数，相应的等差数列中是指数函数的指数。）...y/107非常接近于x/107以1/e为底的对数。这也是为什么奈皮尔的工作经常被认为是数学史上第一次提出数字e（尽管以比较模糊的方式）。今天，奈皮尔也被认为是自然对数的发明人，尽管他并没有听说过e！

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关于swap去中心化交易所系统开发技术方案分析

任何以太坊的用户都可以通过‘createExchange()’函数实现这一点。...（2）Uniswap 交易类型 ETH ⇄ ERC20 交易 ERC20 ⇄ ERC20 交易交易汇率是由 Uniswap 的恒定乘积公式来决定的：ETH 池 * token 池 = 恒定乘积值在...恒定乘积公式 Uniswap 遵循的是 AMM(Automated Market Maker，自动化做市机制)，AMM 机制由算法构成，Uniswap 的机制是恒定乘积：图示公式： x * y = k...⬇ 根据公式，恒定乘积值不变，还是 5000，除以 ETH 池中新的 ETH 数量，来得到 BAT 池中应该有的数量，那么多出来的 BAT 就是路人甲兑换的数量计算过程： ETH 池 = 10 + (...计算过程： ETH 池 = 10.997 + 0.003 = 11 BAT 池 = 454.67 新的恒定乘积值 = 5,001.37 在这次交易中，路人甲兑换的汇率为 45.33 BAT/ETH 计算过程

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看得懂的数学之美：从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，同时建立三角函数和指数函数的关系，被誉为「数学中的天桥」。 ? ? 这样的数学方程是极具美感的，而要构建这样的方程，整个思考与推导过程同样是非常优美的。...当时很多学者都在想方法去计算这个问题，但欧拉在 28 岁时就证明了它，使得数学界非常惊叹。...超越函数这种函数并不是指方程 4 那种有限的多项式函数，指数函数、三角函数及对数函数才是最出名的超越函数。 ? 上图所示分别为指数函数，对数函数及三角函数的图像。...泰勒级数泰勒级数使用无限项连加的形式来表示某一函数，每一项都是由该函数在某一点的 n 阶导数计算得来。...联系等式左右，解决问题通过联立式 7 和式 9 sinc(x) 展开后的二次项系数，即可得到我们最初想要解决的巴塞尔问题： ? 不仅如此，欧拉的推导过程产生了著名的 Wallis 乘积公式。

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谷歌 | 大改Transformer注意力，速度、内存利用率都大幅度提升（附源代码）

（相对于二次）空间和时间复杂度，而不依赖任何先验，如稀疏性或低秩。...研究者测试了从像素预测到文本模型到蛋白质序列建模的一组丰富的任务。展示了竞争的结果与其他检查的有效稀疏和密集的注意力方法，展示了新的注意力学习范式的有效性。...然而，将注意力矩阵分解为原始query和key的随机非线性函数的乘积是可以的，即所谓的随机特征（random feature），这样就可以更加高效地对相似度信息进行编码。 ?...标准注意力矩阵包括每一对entry的相似度系数，由query和key上的softmax计算组成，表示为q和k。常规的softmax注意力可以看作是由指数函数和高斯投影定义的非线性函数的一个特例。...上文描述的分解允许我们以线性而非二次内存复杂度的方式存储隐式注意力矩阵。我们还可以通过分解获得一个线性时间注意力机制。

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软件测试|Python科学计算神器numpy教程（十一）

图片NumPy数学函数：强大的数值计算工具简介NumPy是Python中广受欢迎的科学计算库，提供了丰富的数学函数，可用于处理数组和矩阵中的数值数据。...这些数学函数包含了许多常见的数学运算，如三角函数、指数函数、对数函数、统计函数等。本文将介绍NumPy中一些常用的数学函数及其用法，展示NumPy在数值计算方面的强大功能。...inf -0.]指数和对数函数NumPy提供了指数函数（如幂函数和指数函数）以及对数函数（如自然对数和以2为底的对数）。这些函数可用于计算数值的幂、指数和对数值。...，涵盖了各种常用的数值计算需求。...通过使用NumPy的数学函数，我们可以轻松地进行基本数学运算、三角函数计算、指数和对数运算以及统计分析。这些函数不仅高效，而且简化了复杂数值计算的实现过程。

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从常数到无限: 探索算法速度的次序

本文将通过介绍不同的增长项，来展示算法速度的次序，并解释这对实际编程的意义。 1. 算法速度的次序渐近分析的核心是识别算法的增长项，它揭示了算法效率随着输入规模增加而变化的规律。...下面是一些常见的增长项，按照从快到慢的顺序排列：常数时间 (O(1)): 算法的运行时间与输入的规模无关，总是保持恒定。对数时间 (O(log n)): 算法的运行时间与输入规模的对数成正比。...线性时间 (O(n)): 算法的运行时间与输入规模成正比。准线性时间 (O(n log n)): 算法的运行时间与输入规模和输入规模的对数的乘积成正比。...指数时间 (O(2^n)): 算法的运行时间是输入规模的指数函数。阶乘时间 (O(n!)): 算法的运行时间与输入规模的阶乘成正比。无限时间 (infty): 算法永远不会终止，例如死循环。...例如，在实时系统或高性能计算中，我们可能需要选择具有常数时间或对数时间复杂度的算法，以满足严格的时间要求。 3. 总结渐近分析为我们提供了一种强大的工具，帮助我们理解和比较不同算法的效率。

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BP（Back Propagation）神经网络——原理篇

从机器学习的角度来看，我们的任务就是：给定了一组数据集，其中包含了输入数据 x 和输出的真实结果 y，如何寻找一组最佳的神经网络参数，使得网络计算得到的推测值 y^ 能够与真实值 y 吻合程度最高...数值解：在一定条件下，通过某种近似计算得到的解，能够在给定的精度下满足方程。迭代的方法寻找函数最小值就是通过梯度下降 + 迭代的方式寻找数值解。...梯度上的每个元素都会指明函数在该点处各个方向的斜率，因此梯度指向函数变化最快的方向。即指向变大最快的方向和变小最快的方向，对应正梯度和负梯度。...BP神经网络应用的领域 BP神经网络被广泛应用于多个研究领域领，如环境、生物、医学、气象、天文、地理、经济学、管理学、工业、统计学、计算机、移动通信、航天、信息技术、自动化、能源、新材料、海洋等领域...这一点就类似于控制里面的闭环系统，通过反馈，利用偏差纠正偏差，从而达到满意的输出效果；对于误差的处理，利用了梯度下降法+多次迭代的方式，寻找最小的误差。

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概率论12 矩与矩生成函数

根据期望可以线性相加的特征，有: $$E(f(X)) = a_0 + a_1E(X) + a_2E(X^2) + a_3E(X^3) + ... $$ 我们可以通过矩，来计算f(X)的期望。...我们观察下面一个指数函数，写成幂级数的形式： $$e^{tx} = 1 + tx + \frac{(tx)^2}{2!} + \frac{(tx)^3}{3!}...矩生成函数的另一面，是它的指数函数的解析形式。...当然，你也可以通过矩的定义来求矩。但许多情况下，上面指数形式的积分可以使用一些已有的结果，所以很容易获得矩生成函数。矩生成函数的求解矩的方式会便利许多。...那么对于随机变量[$Z = X + Y$]，有 $$M_Z(t) = M_X(t)M_Y(t)$$ (基于独立随机变量乘积的期望，等于随机变量期望的乘积) 练习: 推导Poisson分布的矩生成函数

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客户端基本不用的算法系列：矩阵的递推关系分析

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