单位消元法(unit elimination)是一种在类型理论中使用的证明技术,用于证明恒等类型的性质。在Agda中,单位消元法可以用来证明HoTT(同伦类型论)中的高维路径的Eckmann-Hilton性质。
Eckmann-Hilton性质是指在一个代数结构中,如果存在两种不同的二元运算,且它们满足一定的条件,那么这两种运算的组合结果是相等的。在HoTT中,这个性质可以用来证明高维路径的交换律。
下面是使用单位消元法在Agda中证明HoTT中高维路径的Eckmann-Hilton性质的步骤:
步骤1:定义恒等类型和高维路径
首先,我们需要在Agda中定义恒等类型和高维路径。恒等类型可以使用Agda的内置类型≡
表示,高维路径可以使用Path
类型表示。
步骤2:定义两种二元运算
接下来,我们需要定义两种不同的二元运算。假设这两种运算分别为op1
和op2
,它们的类型为A → A → A
,其中A
是一个类型。
步骤3:定义Eckmann-Hilton条件
Eckmann-Hilton条件是指两种二元运算op1
和op2
之间的关系。在Agda中,我们可以使用函数来表示这个条件。假设这个函数为eh
,它的类型为∀ {a b c : A} → op1 (op2 a b) (op2 a c) ≡ op2 (op1 a b) (op1 a c)
。
步骤4:证明Eckmann-Hilton性质 使用单位消元法,我们可以证明高维路径的Eckmann-Hilton性质。具体步骤如下:
4.1 定义单位元
首先,我们需要定义两种二元运算的单位元。假设e1
和e2
分别为op1
和op2
的单位元。
4.2 定义单位消元函数
接下来,我们定义一个单位消元函数unitElim
,它的类型为∀ {a b : A} → op1 (op2 a e2) (op2 e1 b) ≡ op2 (op1 a e1) (op1 e2 b)
。这个函数的作用是将高维路径中的单位元消去。
4.3 使用单位消元函数证明Eckmann-Hilton条件
最后,我们使用单位消元函数unitElim
来证明Eckmann-Hilton条件。具体步骤如下:
op1 (op2 a b) (op2 a c)
和op2 (op1 a b) (op1 a c)
分别替换为op1 (op2 a b) (op2 a e2)
和op2 (op1 a b) (op1 e2 c)
。unitElim
将这两个路径中的单位元消去。refl
。这样,我们就使用单位消元法在Agda中证明了HoTT中高维路径的Eckmann-Hilton性质。
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