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第七章 Logistic 回归

本章含盖 7.1 分类 7.2 假设陈述 7.3 决策界限 7.4 代价函数 7.5 简化代价函数与梯度下降 7.6 高级优化 7.7 多元分类:一对多 分类 ? 如何开发一个分类算法? ? ?...如果,我们能够最小化函数J里面的这个代价函数,它也能工作。但实际,如果我们使用这个代价函数,它会变成参数 Θ 非凸函数。...如果我们能够使用这些算法来计算 J(θ) 和 它偏导数,那么这些算法就是为我们优化代价函数不同方法。 BFGS —— 共轭梯度法 和 L-BFGS 就是其中一些更高级优化算法。...它们需要一种方法来计算 J(θ) ,还需要一个计算导数项方法。然后使用比梯度下降法更复杂算法最小化代价函数 ?...Conjugate gradient、BFGS、L-BFGS 这三种算法有很多优点。 1,使用其中任何一个算法,你通常不需要手动选择 学习率α。

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机器学习算法Python实现--逻辑回归

为什么不用线性回归代价函数表示,因为线性回归代价函数可能是非凸,对于分类问题,使用梯度下降很难得到最小值,上面的代价函数是凸函数 ? 图像如下,即y=1时: ? 可以看出,当 ?...趋于1,y=1,与预测值一致,此时付出代价cost趋于0,若 ? 趋于0,y=1,此时代价cost值非常大,我们最终目的是最小化代价值 同理 ? 图像如下(y=0): ?...2、梯度 同样对代价函数求偏导: ? 可以看出与线性回归偏导数一致 推到过程 ? 3、正则化 目的是为了防止过拟合 在代价函数中加上一项 ?...注意j是重1开始,因为theta(0)为一个常数项,X中最前面一列会加上1列1,所以乘积还是theta(0),feature没有关系,没有必要正则化 正则化后代价: # 代价函数 def costFunction...中fmin_bfgs函数 调用scipy中优化算法fmin_bfgs(拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno costFunction是自己实现一个求代价函数

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拓端tecdat|R语言投资组合优化求解器:条件约束最优化、非线性规划求解

CG:适用于高维无约束问题低内存优化 BFGS:简单无约束准牛顿方法 L-BFGS-B:用于边界约束问题优化 SANN: 模拟退火法 Brent: 用于一维问题(实际是调用optimize()...使用自适应约束算法,在线性不等式约束下最小化一个函数(调用optim())。...# 不等式约束(ui %*% theta >= ci): x 0.1constrOptim(c(.5, 0) nlm(): 这个函数使用牛顿式算法进行目标函数最小化...最小二乘法 – 让我们从一个简单LS例子开始:最小化 当然,我们可以使用R基础线性模型拟合函数lm()。...然而,如果问题不属于任何类别,那么就必须使用非线性优化一般求解器。在这个意义,如果一个局部解决方案就够了,那么可以用许多求解器包。

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机器学习第7天:深入了解逻辑回归

二、逻辑回归代价函数 1. 公式: ? 综合起来为: ? 其中 ? 2. 公式推导过程: 代价函数推导分两步进行: 寻找一个合适预测函数,一般表示为h函数。...寻找预测函数 Logistic Regression虽然名字里带“回归”,但是它实际是一种分类方法,用于两分类问题(即输出只有两种),显然,预测函数输出必须是两个值(分别代表两个类别),所以利用了Logistic...构造代价函数 ? 上面的n改成m,笔误。 三、梯度下降法求J(θ)最小值 ?...)) #直接使用最小化方法,效果不好 '''调用scipy中优化算法fmin_bfgs(拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) - costFunction...是自己实现一个求代价函数, - initial_theta表示初始化值, - fprime指定costFunction梯度 - args是其余测参数,以元组形式传入,最后会将最小化

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Andrew Ng机器学习课程概述(一)

这门课基本上算是入门入门,概要地介绍了机器学习各方面算法以及实际简单运用,几乎不需要什么额外数学知识(意思是你大概是本科学历学过高数线代概率论之类这种)就能听懂,所以我也就做一个更简单目录式概要...然后一个重点概念是代价函数(cost function),用来判断你预测函数和正真的值差距,而拟合最终结果就是让这个代价函数最小化。...之后就谈到最小化方法梯度下降法(gradient descent),利用代价函数对于Θ偏导数来更新Θ,以得到最小代价函数值。...第三章 矩阵知识 主要科普矩阵知识,包括矩阵运算,转置之类,基本都是课堂学过。...最后一节介绍了诸如Conjugate Gradient(共轭梯度)、BFGS、L-BFGS之类方法。

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SoftMax回归详解

代价函数 现在我们来看看softmax回归算法(在下面的公式中:1{.}表示示性函数)。定义代广义价函数如下: ? logistics回归代价函数为: ?...可以看到,Softmax 代价函数与 logistic 代价函数在形式非常类似,只是在Softmax损失函数中对类标记 k 个可能值进行了累加。...在Softmax 回归中将 x 分类为类别 j 概率为: ? 对于 J(θ) 最小化问题,目前还没有闭式解法。因此,我们使用迭代优化算法(例如梯度下降法,或 L-BFGS)。...此时 Hessian矩阵变为可逆矩阵,并且因为是凸函数,梯度下降法和 LBFGS等算法可以保证收敛到全局最优解。为了使用优化算法,我们需要求得这个新函数 J(θ) 导数,如下: ?...此时 Hessian矩阵变为可逆矩阵,并且因为是凸函数,梯度下降法和 LBFGS等算法可以保证收敛到全局最优解。为了使用优化算法,我们需要求得这个新函数 J(θ) 导数,如下: ? ?

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划重点!十分钟掌握牛顿法凸优化

2 牛顿法凸优化 一部分介绍牛顿法如何求解方程根,这一特性可以应用在凸函数优化问题上。 机器学习、深度学习中,损失函数优化问题一般是基于一阶导数梯度下降。...现在,从另一个角度来看,想要让损失函数最小化,这其实是一个最值问题,对应函数一阶导数 f'(x) = 0。...所以,目前神经网络损失函数优化策略大多都是基于梯度下降。 值得一提是,针对牛顿法缺点,目前已经有一些改进算法。这类改进算法统称拟牛顿算法。比较有代表性BFGS 和 L-BFGS。...BFGS 算法使用近似的方法来计算 Hessian 矩阵逆,有效地提高了运算速度。但是仍然需要将整个 Hessian 近似逆矩阵存储起来,空间成本较大。...L-BFGS 算法是对BFGS 算法改进,不需要存储 Hessian 近似逆矩阵, 而是直接通过迭代算法获取本轮搜索方向,空间成本大大降低。

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三维重建14-立体匹配10,经典视差优化算法Fast Bilateral-Space Stereo

一般来说,可以用下面的式子来表示,其中C表示代价函数。 这一项用于约束全局代价最小化。但是代价函数中通常含有噪声和错误,直接最小化求得结果也会有很多问题,所以还需要第2项平滑项。...数码相机内图像处理-更多图像滤波中内容: 高斯滤波只使用了空间距离来衡量像素权重,而双边滤波则在空间距离基础,加入了像素亮度距离。...利用双边空间优化全局代价函数 我们看看下面Jon构建代价函数,加号前面一项是平滑项,后面一项是数据项,我们就是要最小化这个式子, 全局匹配代价函数 4.1 平滑项 平滑项 平滑项中di和dj是一幅视差图中不同位置像素视差值...作者选择它并非因为它有什么神奇地方,仅仅是因为它非常高效,特别是当我们需要最小化之前提到全局代价函数时这一点尤为重要。...所以这里采用了线性插值方法,将在双边空间中离散g函数变为连续,原论文公式如下: 双边空间中全局代价函数 最优化问题有很多求解方法,作者采用是一种叫做L-BFGS方法,这是一种在有限内存空间中进行优化算法

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吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 3:回归问题和正则化

主要讲解内容包含: 逻辑回归 代价函数 线性回归和逻辑回归比较 正则化问题 逻辑回归 分类问题 假设预测变量y是离散值,需要使用逻辑回归Logistic Regression,LR算法,实际它是一种分类算法...;说明此时:直线x1+x2=3就是决策边界 复杂模型边界问题 代价函数Cost Function 如何拟合LR模型参数θ 1....线性模型中代价函数是模型误差平方和 : 如果直接使用线性模型中代价函数,即误差平方和,得到代价函数是个非凸函数,但是实际我们期望看是凸函数(右边) 重新定义逻辑回归代价函数 将上面的两个式子进行合并...其他求解代价函数最小算法 共轭梯度conjugate gradient 局部优化法Broyden fletcher goldfarb shann,BFGS 有限内存局部优化法LBFGS 多类别分类...经过正则化处理后模型和原模型对比: 如果λ过大,所有的参数最小化,模型变成了hθ(x)=θ0,造成了过拟合 正则化线性回归Regularized Linear Regression 正则化线性回归代价函数

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Octave梯度下降法最优化代价函数一个例子—ML Note 38

01 — 笔记 本节讲高级优化是相对于一节梯度下降法来说,相对于一节梯度下降法本节优化算法速度更快,更适合解决大型机器学习问题。是什么样高级算法呢? 除了梯度下降法还有?...上图中,使用梯度下降法时候每一步我们都需要编码做两件事(1)求偏导数;(2)求代价函数值。 为了实现上面的两个小目标,除了梯度下降法,还有几种更加高级、复杂算法可选。如下图: ?...共轭梯度、BFGS、L-BFGS就是其中三个比较常用。这三种算法优点:不需要手动设置学习率\alpha;收敛速度比较快。这三种算法,比较复杂,需要花好多天时间才能弄明白,这里吴老师没有详细介绍。...上图中costFunction有两个返回,一个jVal即代价函数、一个gradient数组即theta向量每个分量偏导数。 其次,我们使用optimset函数创建一个最优化参数选项。...总结 总结一下,我们使用梯度下降一类方法对有n+1个维度参数向量代价函数进行优化关键是定义一个如下图所示函数函数中要给出代价函数求法、每个维度上偏导数求法,即:返回代价函数、各个方向上梯度

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详细对比深度神经网络DNN和高斯过程GP

在考虑这些方法应用时会出现一个自然问题:“什么时候以及为什么使用一种算法比另一种更有意义?” 在本文中,我们将讨论在什么情况下需要使用哪种方法。在我们讨论之前首先需要了解这些方法是如何相互关联。...对于高斯过程,边缘似然目标往往更非凸,因此,通常使用二阶梯度下降算法(例如 L-BFGS [5])进行优化以避免局部最小值。...总结:GPs一般采用二阶优化方法,如L-BFGS[5],使用目标函数Hessian; dnn一般采用一阶优化方法,如SGD[8],使用目标函数梯度。...与 DNN 一样,GP 也会努力最小化函数(通常是具有内核正则化项负对数似然),就像神经网络努力最小化损失函数一样。 总结:DNN 和 GP 都通过一阶和二阶优化方法改进他们模型。...因此,如果定义 GP 数据集是动态则需要重新拟合/添加新数据点,这将涉及重新计算协方差矩阵逆,这是一项代价高昂操作。

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吴恩达笔记3_回归问题和正则化

吴恩达机器学习-3-逻辑回归与正则化问题 第三周主要讲解内容包含: 逻辑回归 代价函数 线性回归和逻辑回归比较 正则化问题 逻辑回归 分类问题 假设预测变量y是离散值,需要使用逻辑回归Logistic...复杂模型边界问题 ? 代价函数Cost Function 如何拟合LR模型参数$\theta$ ? 1. 线性模型中代价函数是模型误差平方和 : ?...如果直接使用线性模型中代价函数,即误差平方和,得到代价函数是个非凸函数,但是实际我们期望看是凸函数(右边) ? 重新定义逻辑回归代价函数 ? 将上面的两个式子进行合并: ? ?...因此,即使更新参数规则看起来基本相同,但由于假设定义发生了变化,所以逻辑函数梯度下降,跟线性回归梯度下降实际是两个完全不同东西。...其他求解代价函数最小算法 共轭梯度conjugate gradient 局部优化法Broyden fletcher goldfarb shann,BFGS 有限内存局部优化法LBFGS 多类别分类one-vs-all

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【技术分享】L-BFGS算法

2.22.png 2.6 OWL-QN算法 2.6.1 L1 正则化   在机器学习算法中,使用损失函数作为最小化误差,而最小化误差是为了让我们模型拟合我们训练数据,此时, 若参数过分拟合我们训练数据就会有过拟合问题...简单来讲,OWL-QN算法是指假定变量象限确定条件下使用L-BFGS算法来更新,同时,使得更新前后变量在同一个象限中(使用映射来满足条件)。...2.6.2 OWL-QN算法具体过程 1 次微分   设$f:I\rightarrow R$是一个实变量凸函数定义在实数轴开区间内。...2 伪梯度   利用次梯度概念推广了梯度,定义了一个符合上述原则伪梯度,求一维搜索可行方向时用伪梯度来代替L-BFGS梯度。   其中   我们要如何理解这个伪梯度呢?...,第四步要求估计Hessian矩阵时依然使用损失函数梯度。

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梯度检验与高级优化

再假设我们已经用代码实现了计算 J(θ)导数函数 ,接着我们使用 θ :=θ-a*g(θ)来实现梯度下降算法。那么我们如何检验 实现是否正确呢? 回忆倒数数学定义: ?...迄今为止,我们讨论都集中在使用梯度下降法来最小化J(θ) 。如果你已经实现了一个计算J(θ) 和 J(θ) 差值函数,那么其实还有更精妙算法最小化J(θ) 。...此类算法详细讨论已超出了这份讲义范围,但是L-BFGS算法我们以后会有论述(另一个例子是共轭梯度算法)。你将在编程练习里使用这些算法一个。...使用这些高级优化算法时,你需要提供关键函数:即对于任一个 θ ,需要你计算出J(θ) 和J(θ) 偏差 。...之后,这些优化算法会自动调整学习速率/步长值 a大小(并计算Hessian近似矩阵等等)来自动寻找 J(θ) 最小化时 θ 值。诸如L-BFGS和共轭梯度算法通常比梯度下降法快很多。

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Python 非线性规划 scipy.optimize.minimize

简介 scipy.optimize.minimize() 是 Python 计算库 Scipy 一个功能,用于求解函数在某一初始值附近极值,获取 一个或多个变量标量函数最小化结果 ( Minimization...注意:**这个函数常用于非线性规划极值求解,只给出一个极值,并且不保证全局最优 函数定义 函数格式 scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method...指定 tol 后,所选最小化算法会将一些相关特定于求解器公差设置为 tol。 要进行详细控制,请使用特定于求解器选项。 options dict, optional 求解器选项字典。...除 TNC 外所有方法都接受以下通用选项:maxiter **int:**要执行最大迭代次数。 根据方法,每次迭代可能使用多个函数评估。disp bool: 设置为 True 可打印消息。...fun callable 定义约束函数

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【数学应用】机器学习常用最优化算法小结

机器学习基本概念 统计机器学习整个流程就是:基于给定训练数据集,由实际需求,需要解决问题来选择合适模型;再根据确定学习策略,是最小化经验风险,还是结构风险,即确定优化目标函数;最后便是采用什么样学习算法...; -hinge损失函数,对应SVM; 这里所说策略就是指:当目标函数仅含有损失函数时,对应经验风险最小化策略,即选择最优模型在训练集平均损失最小;而当目标函数由损失函数项和正则化项构成时...,对应结构风险最小化策略,即选择最优模型不仅在训练集平均误差比较小,同时在测试集也能有不错表现,也就是说得到模型 要有较好泛化能力。...当样本集数目足够大时,由于样本覆盖量足够大,能较好地体现实际数据分布,直接采用经验风险最小化策略就能保证有很好学习效果;但当样本 容量不够充足时,并不能很好体现真实数据分布,因此过于追求减小模型在训练集误差...常见迭代优化算法有梯度下降,牛顿法,拟牛顿,高斯-牛顿,BFGS,L-BFGS。。。 1)梯度下降 梯度下降也称为最速下降法,属于一阶优化算法

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Keras实现风格迁移

风格迁移 风格迁移算法经历多次定义和更新,现在应用在许多智能手机APP。 风格迁移在保留目标图片内容基础,将图片风格引用在目标图片。 ?...风格损失函数 内容损失函数使用单个上层,但是Gatys定义风格损失函数使用多个convnet层:尝试捕获由convnet提取所有空间比例样式参考图像外观,而不仅仅是单个比例。...流程: 设置一个网络,同时为风格参考图像,目标图像和生成图像计算VGG19图层激活函数值; 使用在这三个图像上计算图层激活值来定义前面描述损失函数,可以将其最小化以实现风格迁移; 设置梯度下降过程以最小化此损失函数...Gatys论文中使用L-BFGS算法。...L-BFGS算法包含在SciPy包中,在SciPy实现中有两个限制: 要求损失函数值、梯度函数值作为两个独立函数传递; 必须flat展开向量,而图片数组是3D。

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深入机器学习系列之BFGS & L-BFGS

为了求可行方向r,可以使用two-loop recursion算法来求。该算法计算过程如下,算法中出现y即上文中提到t: ? 算法L-BFGS步骤如下所示。 ?...2.6 OWL-QN算法 2.6.1 L1 正则化 在机器学习算法中,使用损失函数作为最小化误差,而最小化误差是为了让我们模型拟合我们训练数据,此时, 若参数过分拟合我们训练数据就会有过拟合问题...简单来讲,OWL-QN算法是指假定变量象限确定条件下使用L-BFGS算法来更新,同时,使得更新前后变量在同一个象限中(使用映射来满足条件)。...2.6.2 OWL-QN算法具体过程 1 次微分 设 ? 是一个实变量凸函数定义在实数轴开区间内。这种函数不一定是处处可导,例如绝对值函数 ? 。...2 伪梯度 利用次梯度概念推广了梯度,定义了一个符合上述原则伪梯度,求一维搜索可行方向时用伪梯度来代替L-BFGS梯度。 ? 其中 ? ? 我们要如何理解这个伪梯度呢?

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三维重建15-立体匹配11,经典算法Fast Bilateral Solver

左:SGBM算法结果 右:今日介绍算法结果 那么如此神奇效果,是如何做到呢? 我在上一篇文章79....一篇文章所讲Fast Bilateral-Space Stereo,解决是立体匹配问题——它将立体匹配当成下面的全局匹配代价最小化问题进行解决。...首先是其匹配代价函数过于简单,上面公式中第二项是就是匹配代价项,也即是数据项。...Fast Bilateral-Space Stereo算法另外一个问题是,作者把上述代价映射到了双边空间,用一种叫做L-BFGS方法进行求解,这是Broyden,Fletcher,Goldfarb,...BFGS四人帮 同时,Fast Bilateral-Space Stereo求解方法也无法应用到深度学习过程中,因为其代价函数也无法求导进行反向传播。这一点我之后再谈。

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CRF++代码分析

内容包括拟牛顿法目标函数、梯度、L2正则化、L-BFGS优化、概率图构建、前向后向算法、维特比算法等。背景知识请参考《条件随机场》。 训练 先从训练开始说起吧 ? 该函数解析命令行之后调用: ?...然后计算每个节点和每条边代价(也就是特征函数乘以相应权值,简称代价): ?...用此id就能在alpha向量中取到最终权值,将权值累加起来,乘以一个倍率(也就是所谓代价参数cost_factor),得到最终代价cost。...控制着惩罚因子强度。可见要最小化目标函数,正则化项 ? 也必须尽量小才行。模型参数平方和小,其复杂度就低,于是就不容易过拟合。关于L1、L2正则化推荐看Andrew NgML公开课。...[k] += alpha[k] / C; L-BFGS优化 梯度和损失函数有了,之后就是通用函数LBFGS优化了。

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