intros n m H. injection H as H1. apply H1. Qed....Prove the princple of explosion: Theorem ex_falso_quodlibet : forall (P:Prop), False -> P....Theorem contradiction_implies_anything : forall P Q : Prop, (P /\ ~P) -> Q. Proof....{f g : X -> Y}, (forall (x:X), f x = g x) -> f = g....Lemma tr_rev_correct : forall X, @tr_rev X = @rev X.
: nat eq1 : n = m eq2 : forall q r : nat, q = r -> [q; o] = [r; p] ============================ [n; o...] = [m; p] apply eq2. n = m It works by working backwards....Theorem trans_eq : forall (X:Type) (n m o : X), n = m -> m = o -> n = o....In Coq Intensive 2 (2018), someone proposed the below which works: Example trans_eq_example'' : forall...intros n m H. inversion H. reflexivity. Qed.
虽然都以有类型λ演算为理论基础（Agda是UTT，Coq是归纳构造演算），但是表现在证明上，两者就有很大的不同了。在Agda中，命题的证明就是给出一个类型的一个项。...可以说，在Agda中证明一个命题能充分体现Curry-Horwad同构的实质。进一步的说，Agda根本没有强调“证明”，而你的每一次证明，其实都是C-H同构的体现。而Coq却完全相反。...Q : Set} → ((P → Q) → P) → P peirce→em : peirce → em peirce→em h = h λ x → inj₂ λ a → x (inj₁ a)...em→peirce : em → peirce em→peirce h {P} x with h {P} ... | inj₁ p = p ... | inj₂ ¬p = x (λ p → ⊥-elim...(¬p p)) Definition pierce := forall (p q : Prop), ((p -> q) -> p) -> p.
Wow… CoqI: What’s Coq logic? Forall + Inductive type (+ coinduction), that’s it....Q (H : P ∧ Q) : Q ∧ P := match H with | conj HP HQ ⇒ conj HQ HP end....fun P Q H ⇒ match H with | or_introl HP ⇒ or_intror Q P HP | or_intror HQ ⇒ or_introl Q P...: ∀x : A, P x → ex P....A -> Prop) (x : ?A), P x -> ex P To prove ex P, given a witness x and a proof of P x.
Either defined via set X ⊆ P or x ∈ P, or defined via function P : X -> Bool or P : X -> {⊥, ⊤}....Back to Coq “relation” is a general idea. but in Coq standard lib it means “binary relation on a set...Back to Coq Inductive clos_refl_trans {A: Type} (R: relation A) : relation A := | rt_step x y (H :...: Type) (R : relation X) : relation X := | multi_refl : forall x : X, multi...R x x | multi_step : forall x y z : X, R x y -> multi R y z -> multi R x z We name it step, standing
这个定义真的是偏函数吗？...intros st n st' HX Heval. this looks much better as inference rules: H(x) = n H; x := x + 2 ⇓...-> st X + 2; st) X = st X + 2 In inference rule: H : string → nat ===============================...= (x ↦ H(x) + 2); H)(x) = H(x) + 2 Case no_whiles_terminating Theorem no_whilesR_terminating_fail:...forall c, no_whilesR c -> forall st, exists st', st =[ c ]=> st'.
Then, for each of the constructors of P, inversion H generates a subgoal in which H has been replaced...如果某种整个结构的集容纳一个良基偏序， 那么每个非空子集一定都含有最小元素。...[x] (Char x) | MApp s1 re1 s2 re2 (H1 : exp_match s1 re1) (H2 : exp_match s2...: Prop) : bool → Prop := | ReflectT (H : P) : reflect P true | ReflectF (H : ¬P) : reflect P false....Coq 标准库中的 ASCII 字符串也是归纳定义的，不过我们这里为了之前定义的 match relation 用 list ascii. to define regex matcher over list
在课堂时提到关于 eqb_ty 的一个细节（我以前也经常犯，在 ML/Haskell 中……）： 我们能不能在 pattern matching 里支持「用同一个 binding 来 imply 说他们两需要...尤其是在 Coq function 还是 total 的情况下 Digression: Improving the Notation 这里我们可以自己定义一个 Haskell do notation 风格的...: forall x T11 t12 v2, value v2 -> (app (abs x T11 t12) v2) --> [x:=v2]t12 | ST_App1...对于函数，我们需要手动指定 match 的顺序 stepf t1 => None 只代表这是一个 normal form，但不一定就是 value，还有可能是 stuck 了，所以我们需要额外的 assertion...最后把 step 中的 value p -> 改成了 value v1 -> value v2 ->， 因为 valuef (pair v1 v2) 出来的 valuef v1 && valuef v2
存在量词出现在一个或者多个全称量词的辖域内 对于一般情况： \forall x_1(\forall x_2(\cdots \forall x_n(\exists yP(x_1,x_2,\cdots ,x_n...,y)))\cdots) 存在量词 y 的 Skolem 函数为 y=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n) Skolem 化：用 Slolem 函数代替每个存在量词化的变量的过程 如本例中两个存在量词...\wedge (\neg P(x,\color{green}{f(x)})\vee \neg R(x,\color{green}{g(x)}))) H....⭐️谓词逻辑中的归结原理：（含有变量的子句的归结） 谓词逻辑的归结比命题逻辑的归结要复杂得多，其中一个原因就是谓词逻辑公式中含有个体变量与函数。因此寻找互补的子句的过程就比较复杂。...合一： 寻找相对变量的置换，使两个谓词公式一致 如： C_1=P(x)\vee Q(a), C_2=\neg P(b)\vee R(x) 解： \sigma = f(a)/x ; x 用 f(a) 替换
,b) 其中： * A(x) 为一元谓词；H(x,y) 为二元谓词 * A(a) 为一元谓词常项；H(a,b) 为二元谓词常项 ## 引入量词 > > \forall" : 任意的 x > * 存在量词...设 F(x): x 是火车，G(x): x 是汽车，H(x,y): x 比 y 快 则命题符号化为：\forall x(F(x)\rightarrow \exists y(G(y)\wedge H(x,...命题逻辑中的等价式的代换实例是谓词逻辑中的等值式 如：A\rightarrow B \Leftrightarrow \neg A\vee B 相当于 P(x)\rightarrow Q(x)\Leftrightarrow...量词否定转换 \neg \forall xP(x) \Leftrightarrow \exists x\neg P(x) \neg \exists xP(x) \Leftrightarrow \forall...x\neg P(x) 3.
添加数学公式 输出美观规范的数学公式，要清楚它们的格式和代码，在编辑栏中输入代码，对应的公式会在下面实时显示，如： 3....H H H η \eta η \eta Θ \Theta Θ \Theta θ \theta θ \theta I I I I ι \iota ι \iota K K K K κ \kappa κ \kappa...P P P ρ \rho ρ \rho Σ \Sigma Σ \Sigma σ \sigma σ \sigma T T T T τ \tau τ \tau Υ \Upsilon Υ \Upsilon υ...\Psi ψ \psi ψ \psi Ω \Omega Ω \Omega ω \omega ω \omega 三角函数 三角函数 Markdown sin \sin sin \sin 对数函数...如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
默认情况下，上、下标符号仅仅对下一个组起作用。一个组即单个字符或者使用 {..} 包裹起来的内容。...同时，大括号还能消除二义性，如 $x^5^6$ 将得到一个错误，必须使用大括号来界定 ^ 的结合性，如 {x^5}^6 ：\displaystyle{x^5}^6 或者 x^{5^6} ：\displaystyle...括号插入 小括号和中括号 使用原始的 ( )、[ ]即可，如 (a+b) [x+y]：\displaystyle(a+b) [x+y]。...三角函数 \sin x : \sin x \arctan x : \arctan x 比较运算符 小于(\lt )：\lt 大于(\gt )：\gt 小于等于(\le )：\le 大于等于...表格中各行使用 \ 分隔，各列使用 & 分隔。使用 \hline 在本行前加入一条直线。
-------- ∀ n : nat, P n induction tactic is wrapper of apply t_ind Coq 为每一个 Inductive 定义的数据类型生成了归纳原理...这里，整个定义都是被集合 X 参数化的： 也即，我们定义了一个族 list : X -> Type, 对于每个 X，我们都有一个对应的项: list X, which is a Type, 可写作 list...因此，其归纳定理 list_ind 是一个被 X 参数化多态的函数。...当应用 X : Type 时，返回一个特化在 list X : Type 上的归纳原理 list_ind : ∀(X : Type) (P : list X → Prop), P [] →...归纳假设就是 P n' -> P (S n') 这个蕴含式中的前提部分 使用 nat_ind 时需要显式得用 intros n IHn 引入，于是就变成了 proof context 中的假设.
L 层的MPGNN+VN \mathcal{N} = (P, L_1, \dots, L_L, R) 由一个将输入特征映射到 d 维的映射 P 、 L 个MP+V层 L_1,\dots,L_L 和一个最终读出函数...K)^\top}{\sqrt{d_h}}\right)\mathbf{X}\mathbf{W}_V 其中softmax函数在每一行进行归一化。...首先，假设位置编码是图同构的，作者证明了2层MLP和1层MPGNN是通用函数逼近器： \forall\varepsilon >0 \exists f \in F : \forall G \in \mathcal...{G}_{S}^{p} \forall v \in V(G) |f(G)(v) - h(G)(v)| \leq \varepsilon 其中 F 是2层MLP或1层MPGNN的集合， h 是目标函数。...如果令 h 为图上NP-hard问题的特征函数，如判断图是否3-可着色，并假设 P \neq NP ，则有： GPS \not\approx h, MPGNN+VNs \not\approx h 进一步地
二级变量其实是一组自然数的序列，由于自然数对应着常量和变量，自然数的序列当然可以对应一个PM公式，我们也可以把它称为命题变量，这种变量可以代入不同的命题，如“x>y”、“0=0”、“∃x∙x=succ(...更加复杂的原始递归函数可以通过应用下列公理给出的运算来获得， ④复合：给定k元原始递归函数f和k个m元原始递归函数g1，…，gk，f和g1，…，gk的复合，也就是m元函数h(x1，…，xm) = f(g1...⑤原始递归：给定k元原始递归函数f和k+2元原始递归函数g，定义k+1 元函数h为， h(0，x1，…，xk)= f(x1，…，xk) h(succ(n)，x1，…，xk) = g(h(n，x1，…，xk...但是，要严格按照原始递归的定义来推导出某个函数是原始递归的，过程会很复杂。 我们举个简单的例子吧，证明h（x）=x是一个原始递归函数。...令0元函数f=0，二元函数g（x，y）=succ（x）； 按照原始递归公理定义h（0）=f；h（n+1）=g（h（n），n）； 由此得到函数h（x）=x。
表示 x, y 具有 关系 F , 如 : F G(x, y) 表示 x 大于 y ; 存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ; ① 语言对应 : 对应 自然语言 中...” , “每一个” 等 ; ② 表示方式 : 使用符号 \forall 表示 ; ③ 解读1 : \forall x 表示个体域中 所有的 x ; ④ 解读2 : \forall x( F...或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑 F(x) 或 G(x, y) 部件 再次进行组合 ; 如下 谓词逻辑 : \forall x (F(x) \rightarrow...\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )) 其中 \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ) 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个..., 就得到了最开始的 \forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )) 3、 当且仅当谓词逻辑 当且仅当 谓词逻辑
可以简单的认为是；\(f(x) = x\)。 态射(morphism) 态射可以理解为一个函数，在范畴论中，往往表示为一个对象和另一个对象的map关系。...比如：指数函数是一个同态。...Law:} \\ \forall w, x, y, z \in Ob(C), h: w \to x, g: x \to y, f: y \to z \\ (h \circ g) \circ f = h...协变(covariant)函子 \(F: C \to D\), F包含： 对于每一个 C 中的对象x，对应一个 D 中的F(x)。...同构意味着两个数学结构X和Y中的元素是存在一一对应。 那么，Y上的性质(态射)意味着X上存在一个对应的性质(态射)。
二、方法简介 1、产生随机变量的组合法 将分布函数\(F(x)\)分解为若干个较为简单的子分布函数的线性组合 \[F(x)=\sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x) \] 其中 p_{i...}> 0 \ (\forall i) \sum_{i=1}^{K}p_{i}=1 ，\(F(x)\)是分布函数。...\(z=x\)，则\(z \sim F(x) = \sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x)\) 证明\(z\)的分布函数为 \[P(z \leqslant t) = P((z \leqslant...根据此定理，我们给出产生随机数的组合算法如下： 产生一个正随机数\(\xi\)，使得\(P(\xi = i) = p_{i} \ (i = 1,2,…,K)\)； 在\(\xi = i\)时，产生具有分布函数...该算法中首先以概率\(p_{i}\)选择子分布函数\(F_{i}(x)\)，然后取\(F_{i}(x)\)的随机数作为\(F(x)\)的随机数。
/bin/bash # v2 tag=$1 repo forall -p -c git log -1 $tag --pretty=format:'%h' 此时就没有冗余信息了，输出格式清爽多了。.../bin/bash # v3 tag=$1 repo forall -p -c git log -1 $tag --pretty=format:'%h' | awk '{tmp=$0;getline;.../bin/bash # v4 tag=$1 repo forall -p -c git log -1 $tag --pretty=format:'%h' | awk '{tmp=$2;getline;.../bin/bash" > $file echo "" >> $file repo forall -p -c git log -1 $tag --pretty=format:'%h' | awk '{tmp.../bin/bash" > $file echo "" >> $file repo forall -p -c git log -1 $tag --pretty=format:'%h' | awk '{tmp
,x^{(i-1)})) 独立性和条件独立性 x\perp y \forall x\in X,y\in Y, p(X=x,Y=y)=p(X=x)P(Y=y) x\perp y \mid z \forall...在一些情况下，我们希望概率分布中的左右质量都集中在一个点上，这可以通过Dirac函数\delta (x)定义概率密度函数来实现：p(x)=\delta(x-\mu) 该函数被定义成在除了0以外的所有点的值都为...每次实验，样本是由哪个组件分布产生的取决于从一个Multinoulli分布中采样的结果：P(X)=\sum\limits_i P(c=i)P(X\mid c=i) 这里P(c)是对各组件的一个Multinoulli...我们可以使用香农熵来对整个概率分布中的不确定性总量进行量化: H(X)=E_{X\sim P}[I(X)]=-E_{X\sim P}[\log P(X)] 也记作H(P)。...一个和散度密切联系的量是交叉熵，H(P,Q)=H(P)+D_{KL}(P\mid\mid Q)=-E_{X\sim P}\log Q(X) 0\log 0在信息论中可以处理为 \lim _{x\to
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