一棵有 n个结点的二叉搜索树中结点的平均深度为 O(lgn)，给出这棵树高度的一个渐近上界。...这并不意味着树的高度也是 O(log n)，因为可能存在一些非常深的节点。 对于二叉搜索树来说，如果它是平衡的，即对于任何节点，其左右子树的高度差不超过 1，那么树的高度就是 O(log n)。...为了解决这个问题，我们可以使用自平衡二叉搜索树（如 AVL 树或红黑树），它们保证了树的高度始终为 O(log n)，即使在插入或删除节点导致树不平衡时也能通过旋转操作恢复平衡。...根据二叉搜索树的性质，对于包含 n 个节点的完美平衡二叉搜索树，其高度 h 是 log2(n+1)（这是因为完美平衡的二叉树中，每个节点的左右子树大小都相差不超过1，这样可以使得树的高度最小）。...首先，创建一个平衡的二叉搜索树，例如 AVL 树或红黑树。这些树在插入和删除操作后会自动调整，以保持树的高度接近 O(logn)。在这种情况下，树中节点的平均深度接近 O(logn)。 2.
前言 上一篇文章讨论的二叉搜索树，其时间复杂度最好的情况下是O(log(n))，但是最坏的情况是O(n)，什么时候是O(n)呢？ 像这样： ?...’skii和Landis 满足高度平衡属性的二叉树就是AVL树 高度平衡属性是：对于树中的每一个位置p，p的孩子的高度最多相差1 很显然前言中的第一个图并不满足高度平衡属性，第二个是满足的。...同时高度平衡属性也意味着一颗AVL树的子树同样是AVL树 并且可以通过证明(这里就不再证了)得到AVL树的高度是O(log n) 所以得出结论，AVL树可以使时间复杂度保持O(log n) 接下来的问题就是怎样保持二叉树的高度平衡属性...第一次相当于对5、10、15、17这棵子树进行了一次RR旋转，旋转方式与之前的RR方式相同，就像是以15为中心向左旋转，旋转的结果使得整棵树变成了LL的不平衡形态，然后再按照LL的旋转方式对整棵树处理。...RL同样是LR的相反模式，先将22、25、30、40这棵子树进行LL旋转，再将整棵树进行RR旋转 理解了avl保持平衡从方式后，就可以用代码来实现了 Python实现 我们使用AVL对上一篇文章中的有序映射进行优化
二叉搜索树的特性便于我们进行查找插入删除等一系列操作，其时间复杂度为O（logn），但是，如果遇见最差的情况，比如以下这棵树： ?...这棵树，说是树，其实它已经退化成链表了，但从概念上来看，它仍是一棵二叉搜索树，只要我们按照逐次增大，如1、2、3、4、5、6的顺序构造一棵二叉搜索树，则形如上图。...那么插入的时间复杂度就变成了O(n)，导致这种糟糕的情况原因是因为这棵树极其不平衡，右树的重量远大于左树，因此我们提出了叫平衡二叉搜索树的结构，又称之为 AVL 树，是因为平衡二叉搜索树的发明者为 Adel...数组中如果找到某个值在什么位置，需要循环遍历整个数组，时间复杂度为O(n),而Hash表的时间复杂度基本为O(1)。因为哈希通过一次计算大幅度缩小查找范围，比从全部数据里查找速度要快。...当 HashMap 中有大量的元素都存放到同一个桶（即数组的一个元素）中时，这个桶下有一条长长的链表，这个时候 HashMap 就相当于一个单链表，假如单链表有 n 个元素，遍历的时间复杂度就是 O(n
这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理...如果它有n个结点，其高度可保持在 O(log_2 n) ，搜索的时间复杂度O( log_2 n) 。 2....那大家想一下：我们在AVL树中插入了一个新结点之后，会不会影响到树中结点的平衡因子？ 毋庸置疑，这当然是会的！...AVL树的旋转 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。...AVL树的性能 AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 log_2 (N) 。
因为这个特性，当对二叉搜索树进行中序遍历的时候，输出一定是按升序排列的。 利用二叉搜索树，可以在O(log N)的时间复杂度下查找指定元素。...然而如果在插入二叉搜索树的时候，是以升序的方式，比如[1,2,3,4,5]，二叉搜索树会一直往右节点增加，这样会导致二叉搜索树退化成链表，查找的时间复杂度也降到了O(N)。...所谓平衡，就是让树的左右子节点的高度尽量相等，左右两边尽量保持平衡，使节点平均分布在两侧，这样使得查找效率始终维持在O(log N)，也就是树的高度。...百度百科：在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。...O(log N) 。
介绍 AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）是最早被发明的自平衡二叉查找树，它能保证查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是O(log n)。...Balance Factor，平衡因子，是当前节点的左子树高度减去右子树高度。 当平衡因子处于[-1, 1]区间时，我们认为这棵树是平衡的，否则就是不平衡状态，需要通过一次或多次旋转使其重新平衡。...左单旋转 当node.left.left被进行了一次插入操作，导致这棵树不平衡时，需要进行左单旋转，过程如下： 分析： 由于插入了节点x，使得原本以k1为根节点的AVL树不再平衡。...，需要进行左双旋转，过程如下 分析： 由于插入了节点x，使得原以k3为根节点的AVL树不再平衡。...这里不可能两个子树一样高，因为刚打破平衡时这棵树就要被重新调整了。
中序访问有序 1.2、平衡二叉树 在二叉树中，由于每个节点的左右子树可以存在空树，所以在节点数一定的情况下，如果树中的空节点越多，树的高度就会越高，如果我们看最坏的情况，这棵树将退化为一条单链。...特别的： 在结合以上2点后，这棵树由于： ①中序遍历有序 ②遍历时可根据大小快速访问到对应节点（每一层节点数量都是指数增加） 一棵被用于搜索的理想二叉树就横空出世了，即平衡搜索二叉树。...二、AVL树 2.1AVL树的概念 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。...如果它有n个结点，其高度可保持在 O(log_2 n)，搜索时间复杂度O(log_2 n)。...先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 // // 2.
，其检索的时间复杂度就会退化为O(n)。...如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，那么他就是AVL树。 假设该树有n个结点，其高度应保持在 O(log_2 n) ，搜索时间复杂度为O( log_2 n ）。...//旋转的目的： //1)让这棵子树的左右高度差不超过1 //2）旋转过程中保持它是搜索树 //3）更新旋转后的平衡因子 //4）让这棵树的高度与插入前保持一致...1，这样可以保证查询时的时间复杂度（ log_2(N) )。...总结 以上就是今天要讲的内容，本文介绍了C++中的AVL树的相关概念。
平衡二叉树 世界需要平衡，破坏平衡的一方，也许会一时很强势的称霸，最终的结局逃不过孤立和落空 定义 左、右子树是平衡二叉树； 所有结点的左、右子树深度之差的绝对值≤ 1平衡因子:该结点左子树与右子树的高度差...任一结点的平衡因子只能取：-1、0 或 1；如果树中任意一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则这棵二叉树就失去平衡，不再是AVL树； 对于一棵有n个结点的AVL树，其高度保持在O(log2n)数量级，ASL...也保持在O(log2n)量级。...在二叉平衡树上进行查找时， 查找过程中和给定值进行比较的关键字的个数和 log(n) 相当。...变种的AVL树——红黑树 颜色特征：每个结点为“黑色”或“红色” 根特征：根结点永远是“黑色”的 外部特征：扩充外部叶结点都是空的“黑色”结点 内部特征：“红色”结点的两个子结点都是“黑色”的，即：不允许两个连续的红色结点
红黑树：一棵自平衡（AVL）+二叉查找树(BST) 什么是红黑树 红黑树，Red-Black Tree 「RBT」是一个自平衡(不是绝对的平衡)的二叉查找树(BST)。...红黑树是一种特化的AVL树（平衡二叉树），都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。 ?...它虽然是复杂的，但它的最坏情况运行时间也是非常良好的，并且在实践中是高效的： 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n 是树中元素的数目。...（保证这棵树尽量是平衡的。） 性质1：每个节点要么是黑色，要么是红色。 ? 性质2：根节点是黑色。 ? 性质3：每个叶子节点（NIL）是黑色。 性质4：每个红色结点的两个子结点一定都是黑色。...但由于只需要保证RBT基本平衡就可以了。因此插入结点最多只需要2次旋转，这一点和AVL的插入操作一样。虽然变色操作需要O(logN)，但是变色操作十分简单，代价很小。
因此，他是带有条件的搜索二叉树。这个条件保证了AVL树的深度是O(log n).最简单的想法是左右两棵子树保持相同的高度。但是这种条件过于苛刻，难以使用。AVL只要求深度之差不超过1。...AVL解决了二叉搜索树带来的不平衡问题。但是要求变成了我们必须在每次操作后进行调整，以使得AVL树保持平衡。...在AVL树中就不一一实现了，只就插入做了实现，我对删除采用的是懒惰删除法。在此不在说明。只测试一下AVL树的深度是不是O(log n)以及中序遍历输出是不是有序的。...{ T = RLRotate(T); //插入右子树的左子树 } } } else { //x在这棵AVL树中，我们什么都不做,当然，我们也可以重新设计AVL...//这样的做法为我们在AVL树中做一个删除也提供了一种方式，即：懒惰删除。 //我们并不将这个节点从树中删除，而只是去更改数据出现的次数减1。
数据库系统和文件系统一般都采用 B+ 树来存储索引信息，B+ 树兼顾写和读的性能，最极端时检索复杂度为 O(logN)，其中 N 指的是节点数量，logN 表示对磁盘 IO 扫描的总次数。...比如节点 10 的平衡因子就是 3； 图 1 是一颗非常普通的树，非常容易退化为一张链表。如果把图 1 换成如下图， 根节点就变为 4，6 退化为 4 的儿子节点，这棵树就退化为一张链表。...链表的查找非常慢，只能按照节点顺序查找，每个节点都遍历一遍，时间复杂度为 O(n)，无法随机查找。...每个节点的平衡因子差值绝对值 <=1； 4. 每个节点都符合以上三个特征。 满足这样条件的树叫平衡二叉树（AVL）树。 问：那再次查找节点 5，需要遍历多少次呢？...也就说 AVL 树在查找方面性能很好，最坏的情况是找到一个节点需要消耗的次数也就是树的层数， 复杂度为 O(logN) 如果节点非常多呢？
平衡二叉树的常用算法有红黑树、AVL树等。在平衡二叉搜索树中，我们可以看到，其高度一般都良好地维持在O(log2n)，大大降低了操作的时间复杂度。...从平衡二叉树的性质可知，平衡二叉树就是避免了二叉查找树退化为单链表的极端情况。二叉查找树的查找、插入、删除较好时间复杂度是O(log n)，最差是O(n)。...二叉平衡树保证查找、插入、删除的时间复杂度稳定在O(log n)下。...在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。...平衡的二叉搜索树的分类： 平衡的二叉搜索树一般分为两类： 严格维护平衡的，树的高度控制在log2n，使得每次操作都能使得时间复杂度控制在O(logn)，例如AVL树，红黑树； 非严格维护平衡的，不能保证每次操作都控制在
树的删除 七、AVL 树的性能 八、AVL 树的代码实现 一、什么是 AVL 树 我们在前面学习二叉搜索树时提到，二叉搜索树的查找效率为 O(N)，因为当数据有序或接近有序时，构建出来的二叉搜索树是单分支或接近单分支的结构...，此时树的高度接近 n，所以最坏情况下二叉搜索树的查找效率为 O(N)； 为了应对上面这种情况，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在1962年提出了一种解决办法...的，那它就是AVL树；对于 n 个节点的 AVL 树，其高度为 O(logN)，查找的效率也为 O(logN)。...，且最多会更新到根节点的平衡因子； 祖先节点平衡因子更新过程中，如果祖先节点的平衡因子变为0或者更新到了根节点，则停止更新；如果祖先平衡因子变为2/-2，此时这棵子树不再是 AVL树，我们需要对其进行旋转将其重新调整为...，插入后改变了左右子树的高度，此时需要向上更新祖先节点的平衡因子，且最多可以更新到根节点的平衡因子 //3.更新祖先节点平衡因子过程中，祖先平衡因子变为2/-2，此时这棵子树不再是AVL树，需要进行旋转将其调整为
1.好处和用途 红黑树并不追求“完全平衡”——它只要求部分地达到平衡要求，降低了对旋转的要求，从而提高了性能。 红黑树能够以O(log2 n) 的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。...在AVL树中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。...性质: 1> 一棵n个结点的AVL树的其高度保持在0(log2(n)),不会超过3/2log2(n+1) 2> 一棵n个结点的AVL树的平均搜索长度保持在0(log2(n)). 3> 一棵n个结点的AVL...树删除一个结点做平衡化旋转所需要的时间为0(log2(n))....从1这点来看红黑树是牺牲了严格的高度平衡的优越条件为 代价红黑树能够以O(log2 n)的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外，由于它的设计，任何不平衡都会在三次旋转之内解决。
对于一棵红黑树来说，如果它里面全部的黑色结点一共有N个的话，那它的最短路径长度就差不多是 log_2 (N) 。...所以最长路径长度就可以认为差不多是2 log_2 (N) 所以红黑树的查找最少是 log_2 (N) 次，最多是2 log_2 (N) 次，所以红黑树查找的时间复杂度是O( log_2 N )，计算时间复杂度前面的常数项可以省略嘛...而AVL树也是O( log_2 N ），但AVL树是比较严格的O( log_2 N ），而红黑树是省略了常数项。...所以严格来说，红黑树的查找效率是比不上AVL树的（但对于计算机来说是没什么差别的），但是它们是同一个数量级的，都是O( log_2 N ）。...红黑树与AVL树的比较 红黑树和AVL树都是高效的自平衡搜索二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( log_2 N )。
红黑树实际上是由2-3-4树转换而来，红黑树能够以O(log2 n) 的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外，由于它的设计，任何不平衡都会在三次旋转之内解决。...平衡二叉树 在AVL树中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。...(n)),不会超过3/2log2(n+1) 2>一棵n个结点的AVL树的平均搜索长度保持在0(log2(n)). 3>一棵n个结点的AVL树删除一个结点做平衡化旋转所需要的时间为0(log2(n...为了保证平衡，AVL树中的每个结点都有一个平衡因子，它表示这个结点的左、右子树的高度差，AVL树上所有结点的平衡因子值只能是-1、0、1。...红黑树更新旋转次数，插入最多2次，删除最多3次；平衡二叉树因为严格平衡，插入最多2次，删除可达O（n），被删除结点以上父节点皆有可能旋转。
可是在外存中，如果采用一棵单纯的二叉搜索树，又会如何呢？如果数据是零散、不连续地存储在磁盘上的，那么二叉搜索树在外存中也是以O(log2N) 的复杂度进行的。...小可：这就是把一棵BFS 子树中的部分放在一个磁盘块里。 Mr. 王：那么此时，一个块中所包含的数据个数为O(log2B)。...于是每个块中的子树高度就是O(log2N)/O(log2B)=O(logBN)。从块的角度不难看出，这棵树变矮了，由O(log2N) 变成了O(logBN)。...王：在内存中，如果二叉搜索树在添加元素的过程中是不平衡的，并且不平衡达到了一定的程度，那么整棵二叉搜索树就会退化为一个线性表。这样log 的复杂性就不复存在了，退化成了O(N)。...所以计算机科学家们想出了很多方法，在内存算法中，有些很好的平衡结构，比如AVL 树、红黑树、Treap 等，这些方法都很成功地对树进行了平衡调整。
B+树索引是B+树在数据库中的一种实现，是最常见也是数据库中使用最为频繁的一种索引。B+树中的B代表平衡（balance），而不是二叉（binary），因为B+树是从最早的平衡二叉树演化而来的。...因此若想二叉树的查询效率尽可能高，需要这棵二叉树是平衡的，从而引出新的定义——平衡二叉树，或称AVL树。...平衡二叉树（AVL Tree） 平衡二叉树（AVL树）在符合二叉查找树的条件下，还满足任何节点的两个子树的高度最大差为1。...下面的两张图片，左边是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差<=1；右边的不是AVL树，其根节点的左子树高度为3，而右子树高度为1； 如果在AVL树中进行插入或删除节点，可能导致AVL树失去平衡...AVL树失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡。下面分别介绍四种失去平衡的情况下对应的旋转方法。 LL的旋转。LL失去平衡的情况下，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。
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