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【组合数学】递推方程 ( 有重根下递推方程通解结构 | 线性无关解 | 有重根下的通解 | 有重根下的递推方程求解示例 | 递推方程公式解法总结 ) ★

该 特征根 对应的 通解中的项 是 : H_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^n 上述通解项的 系数中 , 含有...n 的次幂 ; 如 : n^{e_i-1} , 这里有 e_i 个常数 ; 1 >常数 : 常数下标是从 c_{i1} 到 c_{ie_i} , 下标的右侧部分是 1...求通解中的常数 : ( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ; \begin{cases} (...: 最高次幂是 特征方程项数 -1 , 最低次幂 0 ; ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ; ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ; 2 ....求通解中的常数 : ( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ; ( 2 ) 代入常数获得通解 :

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Why and How zk-SNARK Works: Definitive Explanation（1）

指数 i 取值为 0，1，…，d 时分别计算对 s 求幂的加密结果，即： 。 代入s计算未加密的目标多项式： 。 将对s求幂的加密结果提供给 prover: 。...解决这个问题的一种方法就是用另一个“变换”的加密值做同样的操作，充当类似算术中“校验和”（Checksum）的作用，以此确保结果是原始值的求幂值。...当然如果 verifier 想要确保在 prover 的多项式中排除了 s 的某些次幂，如 j， 他就不提供对应的密文及其变换： 和 。...具体来讲，就是 prover 选择一个随机值δ，并用它对证明中的值进行求幂： 。...思考一下如何在构造出秘密值 (t(s),α) 之后保证它的安全性。我们可以对其进行加密，方式与 verifier 在发送加密值给 prover 之前对 s 的幂使用的加密方式一致。

1.8K50
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【组合数学】递推方程 ( 递推方程求解过程总结 | 齐次 | 重根 | 非齐次 | 特征根为 1 | 指数形式 | 底为特征根的指数形式 ) ★★

: 最高次幂是 特征方程项数 -1 , 最低次幂 0 ; ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ; ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ; 2 ....求通解中的常数 : ( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ; ( 2 ) 代入常数获得通解 :...将常数代入通解 , 就可以得到最终的递推方程的解 ; 递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数 二、常系数线性齐次递推方程求解过程 ( 有重根下的通解形式 ) --...n 的次幂 ; 如 : n^{e_i-1} , 这里有 e_i 个常数 ; ③ 常数 : 常数下标是从 c_{i1} 到 c_{ie_i} , 下标的右侧部分是 1 到 e_i..., 如果重复度为 2 , 则需要提高 2 次幂 ; 为了解决上述问题 , 这里需要将 n 的次幂提高 1 , 将特解形式中的一次方项 , 设置成平方项 , 其中常数项不设置 , 即使设置了也会抵消掉

1.1K00

【组合数学】递推方程 ( 特特解示例 1 汉诺塔 完整求解过程 | 特解示例 2 特征根为 1 的情况下的特解处理 )

) + 1 初值 : T(1) = 1 求该递推方程的解 ?...: 最高次幂是 特征方程项数 -1 , 最低次幂 0 ; 最低次幂 0 , 最高次幂 1 ; ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ; x + 1 = 0 ( 5 ) 逐位将递推方程的系数...求通解中的常数 : ( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ; 将初值 T(1) = 1 代入上述通解...---- 求特解 , 将 n 的次幂提高 1 : 提高的次幂是 特征根 1 的重复度 , 如果重复度为 2 , 则需要提高 2 次幂 ; 为了解决上述问题 , 这里需要将 n 的次幂提高...: 左右两侧是相等的 , 这里 根据 n 的次幂前的系数 , 写出方程组 ; 分析 n 的次幂的系数 : n^2 系数分析 : 右侧没有 n^2 , 因此左侧的 n^2 项之前的系数为

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：UBER数据大迁徙

上面图中的大问题是：我们仍然依赖于单一的PostgreSQL （数据库管理系统）来存储大部分的数据。下面的饼图显示了数据是如何在数据库中分配的： ?...每个分片对应于一个MySQL（开放源代码的关系数据管理系统）表，以及这些分片由多个的MySQL服务器来分配。分片可以在MySQL服务器之间移动来控制负载平衡，而且容量可以在线增加。...追加（无更新）数据模型：它仅支持一个只追加数据模型中，一旦它被写入后，就不能进行修改。这对于存储交易数据，并希望防止数据损坏的系统是非常有用的。由于是只追加模型，修改会自然幂等和交换。...由于幂等和交换数据模型，这始终是安全的，不会需要跨主机的协调。 分片二级指标：指标可以在列多个字段来制作，而且由一个特定的键来（例如，用户UUID）分片。它们就如MySQL表一样在运作并在后台回填。...试错：不要期望第一次就能获得数据模型。做好多试几次和部分回填的准备。 UBER积极心态！有一个积极和敢做的态度会使全队全力以赴创造辉煌。

2.1K70

机器学习经典算法详解及Python实现--线性回归（Linear Regression）算法

回归的目的就是建立一个回归方程用来预测目标值，回归的求解就是求这个回归方程的回归系数。预测的方法当然十分简单，回归系数乘以输入值再全部相加就得到了预测值。...，(θ、x都表示(n+1，1)维列向量) Note：注意多元和多次是两个不同的概念，“多元”指方程有多个参数，“多次”指的是方程中参数的最高次幂。...wj是系数，w就是这个系数组成的向量，它影响着不同维度的Φj(x)在回归函数中的影响度，Φ(x)是可以换成不同的函数，这样的模型我们认为是广义线性模型，Φ(x)=x时就是多元线性回归模型。...上述公式中包含XTX, 也就是需要对矩阵求逆，因此这个方程只在逆矩阵存在的时候适用。然而，矩阵的逆可能并不存在，后面“岭回归”会讨论处理方法。...（三）线性回归的Python实现 本线性回归的学习包中实现了普通最小二乘和岭回归算法，因梯度法和Logistic Regression几乎相同，也没有特征数>10000的样本测试运算速度，所以没有实现。

2.2K30

【组合数学】递推方程 ( 无重根递推方程求解实例 | 无重根下递推方程求解完整过程 )

) 递推方程写法 : ① 先确定特征方程的项数 : 与递推方程项数相同 , 3 项 ; ② 在确定特征方程 x 的次幂 : 从 3-1=2 到 0 ; ③ 初步写出没有系数的递推方程...: x^2 + x^1 + x^0 = 0 ④ 填充系数 : 然后将没有系数的特征方程 x^2 + x^1 + x^0 = 0 与 F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0 对应位的系数填充到特征方程中...: x^2 前的系数 对应 F(n) 项前的系数 1 ; x^1 前的系数 对应 F(n-1) 项前的系数 -1 ; x^0 前的系数 对应 F(n-2) 项前的系数...: 最高次幂是 特征方程项数 -1 , 最低次幂 0 ; ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ; ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ; 2 ....求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ; ( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ; 递推方程

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R语言机器学习实战之多项式回归

一个简单的方法就是将每一个特征的幂次方添加为一个新的特征，然后在这个拓展的特征集上进行线性拟合，这种方法成为多项式回归。 回归分析的目标是根据自变量（或自变量向量）x 的值来模拟因变量 y 的期望值。...在简单的线性回归中，使用模型 其中ε是未观察到的随机误差，其以标量 x 为条件，均值为零。在该模型中，对于 x 值的每个单位增加，y 的条件期望增加 β1β1个单位。...因此，对于最小二乘分析，多项式回归的计算和推理问题可以使用多元回归技术完全解决，这是通过将 xx、x2x2 等视为多元回归模型中的独特自变量来完成的。  ...正如我们所预期的那样，一阶和三阶项的系数在统计上显着。 预测值和置信区间  将线添加到现有图中： 我们可以看到，我们的模型在拟合数据方面做得不错。...逻辑回归 8.python用线性回归预测股票价格 9.R语言如何在生存分析与Cox回归中计算IDI，NRI指标

1.4K20

概率论12 矩与矩生成函数

矩统计中有重要的地位，比如参数估计的一种重要方法就是利用了矩。然而，根据矩的定义，我们需要对不同阶的X幂求期望，这个过程包含复杂的积分过程，并不容易。...幂级数是数学中的重要工具，它的美妙之处在于，解析函数都可以写成幂级数的形式，比如三角函数[$\sin(x)$]可以写成： $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!}...(幂级数这一工具在数学上的用途极其广泛，它用于数学分析、微分方程、复变函数…… 不能不说，数学家很会活用一种研究透了的工具) 如果我们将幂级数的x看作随机变量X，并求期望。...... $$ 我们再次将x看作随机变量X，并对两侧求期望，即 $$E(e^{tX}) = 1 + tE(X) + \frac{t^2E(X^2)}{2!}...$$M^{\left( r \right)}(0) = E(X^r)$$ 有趣的是，多次求导系数正好等于幂级数系数中的阶乘，所以可以得到上面优美的形式。

1.7K60

【组合数学】递推方程 ( 有重根递推方程求解问题 | 问题提出 )

” 章节中 , 通解要求 方程组中的 系数行列式不等于 0 , \prod\limits_{1 \leq i < j \leq k} ( q_i - q_k ) \not= 0 , 如果有两个特征根...: 最高次幂是 特征方程项数 -1 , 最低次幂 0 ; ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ; ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ; 2 ....求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ; ( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ; 递推方程..., 3-1=2 , 最低次幂 0 ; ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 : x^2 + x + 1 = 0 ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ; 1x^2 + (-...求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ; 将 c2^n 代入到 x^2 - 4x + 4 = 0 特征方程中

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Python 数据类型详细篇：数值

复数除法 >>> (2 + 2j) / 2(1 + 1j) 1.5 求模 求模运算返回除法的余数。...1.6 幂运算 整数求幂 计算 2 的 3 次方，即 2 * 2 * 2: >>> 2 ** 38 浮点数求幂 计算 1.1 的 3 次方，即 1.1 * 1.1 * 1.1: >>> 1.1 ** 31.33100000000004...程序的输出结果和我们的期望不一致，原因是 input 返回的是一个字符串而不是一个整数，我们需要将 input 返回的结果从将字符串转换为整数。...常用的数学函数 在 Python 的 math 模块中包含如下常用的三角函数，在词条 “Python 中常用的标准库系列之 math 模块” 获取详细用法。...常用的三角函数 在 Python 的 math 模块中包含如下常用的三角函数，在词条 “Python 中常用的标准库系列之 math 模块” 获取详细用法。

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系统设计面试指南之分布式任务调度

4 执行上限 4.1 任务分类 不能延迟的任务 - 紧急任务 可延迟的任务 需定期执行的任务 - 周期性任务 基于任务类别的多个队列： 系统需确保非紧急队列中的任务不会被饿死。...如Facebook社交应用中，用户可在紧急情况下标记自己是安全的，如地震。执行此活动的任务应及时执行，否则此功能对 Facebook 用户毫无用处。...6 资源容量优化 有时资源接近过载阈值(如超过 80% 利用率)，这就是高峰期。同一资源在非高峰时段可能闲置。所以，须考虑如何在非高峰时段更好利用资源及如何在高峰时段保持资源可用。...我们要求任务是幂等的。幂等任务无论执行多少次都会产生相同的结果。 此属性是由开发人员在实现中添加的，通过某些内容(例如名称)来标识该属性并覆盖旧的。...8.3 可扩展性 任务调度程序提供可扩展性，因为设计中任务提交者是分布式的。可向集群添加更多节点以提交大规模数量的任务。 然后将这些任务保存到也是可扩展的分布式关系数据库中。

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系统设计面试指南之分布式任务调度

4 执行上限 4.1 任务分类 不能延迟的任务 - 紧急任务 可延迟的任务 需定期执行的任务 - 周期性任务 基于任务类别的多个队列： 系统需确保非紧急队列中的任务不会被饿死。...如Facebook社交应用中，用户可在紧急情况下标记自己是安全的，如地震。执行此活动的任务应及时执行，否则此功能对 Facebook 用户毫无用处。...6 资源容量优化 有时资源接近过载阈值(如超过 80% 利用率)，这就是高峰期。同一资源在非高峰时段可能闲置。所以，须考虑如何在非高峰时段更好利用资源及如何在高峰时段保持资源可用。...我们要求任务是幂等的。幂等任务无论执行多少次都会产生相同的结果。 此属性是由开发人员在实现中添加的，通过某些内容(例如名称)来标识该属性并覆盖旧的。...8.3 可扩展性 任务调度程序提供可扩展性，因为设计中任务提交者是分布式的。可向集群添加更多节点以提交大规模数量的任务。 然后将这些任务保存到也是可扩展的分布式关系数据库中。

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网络科学课程

维基百科定义: 网络科学是一个研究复杂网络的学术领域，如 -电信网络、计算机网络、生物网络、认知和语义网络以及社交网络. 考虑到: -不同的元素和演员代表的节点 -元素或角色之间的联系，如连接。...真实的网络： 总结: 要记住的东西: ER模型 ER模型中的度分布 练习: 编写代码创建ER网络 用N=256,p=0.25表示网络的期望边数;然后将您的解决方案与此视频中的解决方案进行比较 视频链接...ki(ki-1)/2 其中任何一对节点连接的概率是p 那么，i的邻居之间的期望的连接是： ER图的聚类系数: i的邻居之间的期望的连接是： 聚类系数: 在ER图中：Ci=/N: 当固定时...2)假设我们要增加N，直到只有一个连通分量 2.1)根据p和N的函数值求 2.2）N应该是什么?通过试错法求解 3）如果网络有N个节点，那么值是多少？...参数Ɣ是幂律的指数 无标度网络是一个度分布服从幂律的网络 泊松定律与幂律的比较 nd1998度分布: 什么样的伽马值减少了幂律的“长尾”？

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The Quora Topic Network（下）

在将来，当Quora更大时，由于当前缺少的主题（如羚羊解剖）的存在，羚羊主题将获得更高的indegree，但是在适当策划的主题层级中，其indegree将总是保持低于例如动物。...许多常见的网络理论指标可以很容易地使用Python软件包NetworkX计算，所以我们使用这个软件包来测量从2011年中期到现在的概率主题网络的快照的平均值和中位数indegree。...例如，在一个网络中，每个节点具有相等的被捆绑在一起的概率，你会期望看到大约一个泊松分布。...结果，我的聚类系数是13：在他们之间可能发生的3对可能的朋友中，只有一对实际上存在。 我们的主题网络的聚类系数的分布（见下图）随着主题的链接数量急剧减少。...我们有目的地选择了这种模糊的聚类方式，允许一个话题有多个父母。这对于不是一个父主题的严格子集的主题特别有用。

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- Python中的数字类型及应用

除了 int 之外，python 中还有很多的高效语法，这也是python高效开发的原因之一。...✨ 浮点型 float浮点型就是我们生活中的小数，凡是带有小数点的类型，都可以被认为是 浮点型在Python中， float 既是浮点型的代表也是浮点型定义的内置函数同样的，定义一个浮点型，并不一定需要使用...浮点数除法>>> 5 / 22.5在 Python 中，/ 是浮点数除法运算，运算结果是商，是一个浮点数。复数除法>>> (2 + 2j) / 2(1 + 1j)✨ 求模求模运算返回除法的余数。...✨ 幂运算整数求幂计算 2 的 3 次方，即 2 2 2:>>> 2 ** 38浮点数求幂计算 1.1 的 3 次方，即 1.1 1.1 1.1:>>> 1.1 ** 31.33100000000004...程序的输出结果和我们的期望不一致，原因是 input 返回的是一个字符串而不是一个整数，在 Python 中两个字符串相加表示把两个字符串连接起来。

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【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 )

文章目录 一、使用生成函数求解不定方程解个数示例 参考博客 : 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关...r 代表可以称出的重量 , 写出上述 , 带限制条件 , 并且带系数 的不定方程非负整数解的 生成函数 : x_1 项 , 带限制条件 , 没有系数 , 其 底是 y , 幂取值 0 ,...1, 2 , 对应的生成函数项是 ( 1 + y + y^2 ) x_2 项 , 带限制条件 , 带系数 2 , 其 底是 y^2 , 幂取值 0,1 , 对应生成函数项是 (y^2...)^0 + (y^2)^1 = 1+ y^2 x_3 项 , 带限制条件 , 带系数 4 , 其 底是 y^4 , 幂取值 0,1, 2 , 对应生成函数项是 (y^4)^0 + (y^...y 的次幂数是重量 , 系数是 方案个数 , 如 2y^8 项表示 , 称出 8 克重量 , 有 2 个方案 ; 总体描述 : 1 项 : 表示 y^0 , 称出 0 克 ,

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【Time Series】时间序列基本概念

1.2 时间序列成分 时间序列包含很多特征中包含诸多成分，有： 趋势：指时间序列在较长一段时间内呈现出来的持续向上或者持续向下的变动； 季节性：指时间序列在一年内重复出现的周期性波动，如气候条件、生产条件...另外，在 Python 中，可以通过指定 regression='ct' 参数来让 kps 把“确定性趋势（deterministic trend）”的序列认为是平稳的。...下图展示了白噪声的例子： ? 其自相关系数为： ? 对于白噪声而言，我们期望它的自相关值接近 0。但是由于随机扰动的存在，自相关值并不会精确地等于 0。...Box-Cox 变换既包含对数变换，又包含幂变换的依赖于参数 的变换族，定义如下： Box-cox 变换中的对数变换通常以自然对数 e 为底，因此如果 λ=0，则进行自然对数变换，否则会进行幂变换...3.Reference 用python做时间序列预测四：平稳/非平稳时间序列 如何深入理解时间序列分析中的平稳性？ 金融时间序列分析入门（一） 如何理解自相关和偏自相关图 时间序列规则法快速入门

2K10

【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )

文章目录 一、正整数拆分总结 二、正整数拆分示例 参考博客 : 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关..., 每个被拆分出的数 , 都可以有一个对应的 生成函数分项 , 每个 生成函数的项的 y 次幂项个数 , 与该 被拆分的数的取值个数种类 一样 , 如 : 某个被拆分出来的数 a_1 , 其...底是 y^{被拆分的数} , 次幂数就是 该正整数 可能的取值 , 项中的 y 次幂分项个数 就是 该 正整数 取值的种类个数 ; 正整数拆分 , 允许重复 与 不允许重复 , 区别是 被拆分的整数...: 生成函数项个数 : 就是 拆分后的正整数种类数 ; 可拆分成 2,4,8 三个数 , 那么是三个生成函数项相乘 ; 生成函数项中的 y 次幂个数 : 对应 拆分后的正整数 取值种类个数 ;...; 生成函数项中的 y 次幂 : 拆分后的正整数的 取值个数 ; 某个拆分后正整数是 5 , 那么底就是 y^5 , 出现一次 , 对应的项是 (y^5)^1 二、正整数拆分示例 ----

46600
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