首页
学习
活动
专区
工具
TVP
发布
精选内容/技术社群/优惠产品,尽在小程序
立即前往

如何在Python中绘制耦合的二阶非线性常微分方程的二阶导数?

在Python中绘制耦合的二阶非线性常微分方程的二阶导数,可以通过使用数值求解方法来实现。以下是一个基本的步骤:

  1. 导入必要的库:
代码语言:txt
复制
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp
  1. 定义方程:
代码语言:txt
复制
def equations(t, y):
    x1, x2, v1, v2 = y
    dx1dt = v1
    dx2dt = v2
    dv1dt = -x1**3 - x2
    dv2dt = -x1 - x2**3
    return [dx1dt, dx2dt, dv1dt, dv2dt]
  1. 设置初始条件和时间范围:
代码语言:txt
复制
y0 = [1, 2, 0, 0]  # 初始条件
t_span = [0, 10]  # 时间范围
  1. 使用solve_ivp函数求解微分方程:
代码语言:txt
复制
sol = solve_ivp(equations, t_span, y0)
  1. 绘制结果:
代码语言:txt
复制
plt.plot(sol.t, sol.y[0], label='x1')
plt.plot(sol.t, sol.y[1], label='x2')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x')
plt.legend()
plt.show()

这样就可以在Python中绘制耦合的二阶非线性常微分方程的二阶导数。请注意,这只是一个基本的示例,具体的方程和初始条件需要根据实际情况进行调整。

页面内容是否对你有帮助?
有帮助
没帮助

相关·内容

使用Maxima求解常微分方程~

使用Maxima求解常微分方程~ 含带导数符号或带微分符号的未知函数的方程称为微分方程。 如果在微分方程中未知函数是一个变元的函数,这样的微分方程称为常微分方程。...1 一阶、二阶常微分方程的通解 Maxima 可以求解很多种类的常微分方程。 对于可以给出闭式解的一阶和二阶常微分方程,Maxima 会试图求出其精确解。 下面给出三个简单的例子。...这是因为我们这里只要列出方程,并不想让Maxima真的求导。 sol1 中的%c 和 sol2 中的 %k1 %k2 是任意常数。...ode2函数只能求解一阶和二阶常微分方程,第三个例子给出的是一个三阶常微分方程,无法求解,因此输出 false。...Maxima 中也提供了相应的求解函数 desolve(),desolve()函数既可以求解ODE 方程,也可以求解ODE方程组。函数的基本形式如下。

1.6K20

4.3 差分与简单常微分方程初值问题

差分的概念。 什么是差分运算?如下图,数值计算过程我们计算函数上某点的导数时,可以选择某点附近(可以包含该点)的两个点,取这两个点的斜率来近似表示该点的导数。...一阶导数有一阶向前差分、一阶向后差分和一阶中心差分。当然也有二阶导数的计算方法,如下图。 ? 后期我们将通过差分法求解导热问题。...---- 常微分方程的初值问题 我们求解常微分方程的初值问题,一个关于自变量x和y的常微分方程,满足: y'=x+y 其中y'表示y对x的导数,且过原点,试绘制函数曲线。...下面我们通过程序实现方程求解与绘制 先将y'函数写出来: 1. var Fun=function(x,y){ //函数 2....左侧是曲线,右侧是调试输出的坐标数据。曲线如下: ? 数据如下: ? 更加高效的常微分方程初值问题,请参考龙格库塔方法。

1.5K00
  • 天生一对,硬核微分方程与深度学习的「联姻」之路

    按照维基百科的描述:「微分方程是一种数学方程,用来描述某一类函数与其导数之间的关系」,因此一个方程如果同时包含函数及其导数,那么就可以称为微分方程。...在 17 年的《Communications in Mathematics and Statistics》中,鄂维南发表了一篇文章,他讨论了使用连续动力学系统建模高维非线性函数的想法,即微分方程与深度学习之间的关系...我们可以看到,PolyInception 多了一个二阶的复合函数,也就是说,如果 F 表示某种 Inception 模块,那么二阶的路径会穿过串联的两个 Inception 模块。...在他们的研究 ODENet 中,研究者使用神经网络参数化隐藏状态的导数,而不是如往常那样直接参数化隐藏状态。这里参数化隐藏状态的导数就类似构建了连续性的层级与参数,而不再是离散的层级。...ODENet 使用常微分方程定义了一种从隐变量到数据的映射,它可以使用相对低成本的迹运算计算雅可比行列式。

    1.4K31

    高数期末有救了?AI新方法解决高数问题,性能超越Matlab

    研究者提出了一些技术,生成包含积分和一阶、二阶常微分方程的大型训练数据集。 积分 研究者提出三种方法来生成函数及其积分。...二阶常微分方程(ODE 2) 前面介绍的生成一阶常微分方程的方法也可用于二阶常微分方程,只需要考虑解为 c_2 的三变量函数 f(x, c_1, c_2)。...对 x 执行第二次微分,得到以下方程: ? 因此,对于任意常量 c_1 和 c_2,f_c1,c2 是二阶常微分方程的解: ?...通过该方法,研究者创建了二阶常微分方程及其解的对,前提是生成的 f(x, c_1, c_2) 的解为 c_2,对应一阶常微分方程的解为 c_1。...研究者对二阶常微分方程也使用了类似的方法,不过二阶方程有两个常量 c_1 和 c_2,因此简化略微复杂一些。 无效表达式:最后,研究者从数据集中删除无效的表达式。

    1.5K20

    数学建模组队学习02---微分方程和动力系统(二)

    下面的这个内容属于我们的高等数学里面的微分方程这个章节的内容,下面的这个我放的是最简单的一类方程,就是我们的一阶线性微分方程,还有二阶常系数微分方程; 这个里面涉及我们的特征根,通解和特解相关的这个说明把...,第二个参数求解的积分区域的初始值,第三个参数是积分区域的终止值; 前面的两个参数就是我们的这个quad函数的返回值; 3.Python求解导数 1)第四行就是定义函数,两个**表示的就是x的平方,我们对于这个函数求导数...; 2)第8行就是求解在x=1位置处的导数值 4.Python求解微分方程解析解 我们看一下这个代码: 1)这个里面需要使用到一个模块sympy,如果你之前没有,需要在这个pycharm终端里面进行手动的安装...x^2; 4)因为我们没有初始条件所以这个里面会出现c1,c2之类的数字: 5.Python求解常微分方程组 5.1一个注意事项 这个教程没有说明,但是我自己练习的时候注意到了这个地方,就是直接cv代码会发现报错...工具定义; 2)eq就是我们上面需要求解的常微分方程组;4 3)con里面就是相关的初始条件说明; 4)dsolve参数就是表示的,求解这个eq方程组,初始条件就是我们的con里面的内容; 5.3矩阵求解

    6610

    考研竞赛每日一练 day 37 利用等式关系构造微分方程求解一道偏导数问题

    利用等式关系构造微分方程求解一道偏导数问题 设函数 f(u) 具有二阶连续导数, f(0)=1 , f^{'}(0)=-1 ,且当 x\neq 0 时, z=f(x^2-y^2) 满足等式 \displaystyle...,所以我们首先求出偏导数,根据偏导数对应的法则,可以求得 \dfrac{\partial z}{\partial x}=2xf^{'} , \dfrac{\partial^2 z}{\partial x...)[f(x^2-y^2)+\cos\dfrac{x^2-y^2}{2}] 即有 f^{''}(u)+\dfrac{1}{4}f(u)=-\dfrac{1}{4}\cos\dfrac{u}{2} ,此方程是二阶常微分方程...,先求通解,再求特解; 通解的特征方程为 \lambda^2+\dfrac{1}{4}=0 ,解为 \lambda_{1,2}=\pm \dfrac{1}{2}i ,所以通解为 f(u)=C_{1}\cos...点评:综合考察了偏导数的定义,以及构造微分方程的思想,后面解常微分方程是一个常规解法,考察的点多,是一道好题。

    31110

    考研综合题1

    利用等式关系构造微分方程求解一道偏导数问题 设函数 f(u) 具有二阶连续导数, f(0)=1 , f^{'}(0)=-1 ,且当 x\neq 0 时, z=f(x^2-y^2) 满足等式 \displaystyle...,所以我们首先求出偏导数,根据偏导数对应的法则,可以求得 \dfrac{\partial z}{\partial x}=2xf^{'} , \dfrac{\partial^2 z}{\partial x...)[f(x^2-y^2)+\cos\dfrac{x^2-y^2}{2}] 即有 f^{''}(u)+\dfrac{1}{4}f(u)=-\dfrac{1}{4}\cos\dfrac{u}{2} ,此方程是二阶常微分方程...,先求通解,再求特解;通解的特征方程为 \lambda^2+\dfrac{1}{4}=0 ,解为 \lambda_{1,2}=\pm \dfrac{1}{2}i ,所以通解为 f(u)=C_{1}\cos...点评:综合考察了偏导数的定义,以及构造微分方程得思想,后面解常微分方程是一个常规解法,考察的点多,是一道好题。

    47110

    有限元法(FEM)

    这种微分方程被称为常微分方程(ODE)。...还需注意的是,常微分方程中的导数是用 d 来表示的,而偏微分方程中的导数则是用更卷曲的 ∂ 来表示的。 除了方程(8),还可以知道的就是某个时间 t0 上的温度或者某个位置 x0 上的热通量。...例如,弱公式化完全允许解的一阶导数不连续,因为这种情况并不妨碍积分。但是,它为二阶导数引入的分布 则并不是普通意义上的函数。因此,在不连续点上要求(10)成立是没有意义的。...有限元仿真实践原理 在耦合方程组的求解过程中,不同的因变量可能会用到不同的基函数。一个典型的例子是纳维-斯托克斯方程的求解,其中的压力往往比速度更平滑、更易进行近似。...在某类方法中,如果一个耦合方程组中不同的因变量的基函数(以及试函数)属于不同的函数空间,那么这类方法便称为混合有限元法。

    1.9K20

    【机器学习】因微知著,穷数通灵:微积分与机器学习的量化之美

    y = R(x) 非线性微分方程: 包含未知函数及其导数的非线性组合,如 \frac{dy}{dx} = y^2 - x 。...3.2 微分方程项目:解常微分方程并比较解析解与数值解 3.2.1 项目目标 解常微分方程: \frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x} 数值解法: 使用Python的scipy.integrate.odeint...在本项目中,我们解了常微分方程: \frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x} 通过Python的scipy.integrate.odeint函数,我们得到了该方程的数值解,同时也推导出了其解析解...计算标准正态分布 N(0,1) 的期望值和方差。 可视化: 绘制概率密度函数(PDF)与期望值的关系图。 验证: 使用Python的数值积分方法验证理论结果的准确性。...展望: 在接下来的博客中,我们将继续深入学习微积分的其他重要概念,如多重积分的高级应用、微分方程的数值解法,并探讨它们在机器学习中的具体应用。

    11510

    数学建模--微分方程

    二维抛物方程:常用于描述扩散过程,如气体分子在容器中的扩散。 二维椭圆方程:用于描述静态平衡状态,如电势分布。...通过合理选择和应用不同的微分方程模型,可以有效地解决各类实际问题,提高建模的准确性和实用性。 如何在数学建模中准确识别和选择合适的微分方程模型?...描述变化规律:常微分方程能够描述函数随时间的变化规律,这在物理学中尤为重要,如物体运动轨迹、电路中电流变化等。通过求解这些方程,可以预测变化趋势,为问题解决提供依据。...以下是一些常用的数值方法及其适用问题类型的详细说明: 欧拉法是最简单的数值求解方法之一,通过将微分方程中的导数用差分代替来近似求解。...总之,在选择数值方法时,应根据具体问题的性质(如线性或非线性)、求解精度要求以及计算资源等因素综合考虑。

    21610

    Scipy 中级教程——积分和微分方程

    Python Scipy 中级教程:积分和微分方程 Scipy 是一个强大的科学计算库,它在 NumPy 的基础上提供了更多的数学、科学和工程计算的功能。...微分方程求解 Scipy 提供了 odeint 函数用于求解常微分方程组。...) plt.title('简单的一阶微分方程求解') plt.show() 在这个例子中,model 函数定义了一阶微分方程 dy/dt = -y。...时间点 t = np.linspace(0, 10, 100) # 求解二阶微分方程 y = odeint(model, y0, t) # 绘制结果 plt.plot(t, y[:, 0], label...通过这篇博客的介绍,你可以更好地理解和使用 Scipy 中的积分和微分方程求解功能。在实际应用中,可以根据具体问题选择合适的方法,并进一步深入学习相关的数学理论和算法。希望这篇博客对你有所帮助!

    44710

    非线性可视化(2)非线性相图

    前文我们介绍了线性系统的相图绘制。 这篇文章里,我们用几个例子,来介绍非线性系统的相图的绘制方法。...所以对于自治二阶系统,二阶的相平面已经可以完全的描述出系统的运动状态,无论线性还是非线性。...通常的步骤可以分为两步:(1)计算出每一个点的dy和ddy导数,(2)根据每个点得到的向量,绘制出向量场对应的流线图。 以《非线性系统》这本书中给出的一个例子作为展示。...其中二阶非线性方程的公式如下: 绘制出空间中每一个点的系统导数,绘制出流线,即可得到这个非线性系统的相图。 可以看到,非线性系统的相平面,可能拥有不止一个平衡点。...比如Van der Pol方程的ε由负变为正,平衡点由稳定变为发散,导致空间中稳定位置由一个点变为一个运动的极限环。 如果实验中能够观测到振动信号,也可以用绘制相平面的方法,观测信号的特性。

    87010

    【强基固本】揭秘 Transformer 的数学原理!

    这种观点已被成功地用于将残差网络建模到时间连续的动态系统上,后者被称为神经常微分方程(neural ODEs)。...在神经常微分方程中,输入图像 在时间间隔 (0,T) 上会按照给定的时变速度场 进行演化。因此,DNN 可以看作是从一个 到另一个 的流映射(Flow Map) 。...从图 2 和图 4 中可以看出,Transformers 具有两种不同的时间尺度:在第一阶段,所有 token 迅速形成几个簇,而在第二阶段(较第一阶段速度慢得多),通过簇的成对合并过程,所有 token...特别是,通过这些相互作用粒子系统的结构,研究者可以将其与数学中的既定主题建立具体联系,包括非线性传输方程、Wasserstein 梯度流、集体行为模型和球面上点的最优化配置等。...本文的模型只关注 Transformer 架构的两个关键组成部分:自注意力机制和层归一化。层归一化有效地将粒子限制在单位球 的空间内部,而自注意力机制则是通过经验度量实现粒子之间的非线性耦合。

    40510

    Matlab通过ode系列函数求解微分方程

    MATLAB有很多用于求解微分方程的内置函数。MATLAB包含了用于求解常微分方程(ODE)的函数,微分表达式一般如下 对于高阶微分方程必须重新表述为一个一阶系统微分方程。...并不是所有的微分方程都可以用同样的方法求解,所以MATLAB提供了许多不同的常微分方程求解器,如ode45、ode23、ode113等。...考虑一个细菌种群数学模型,x为现在的细菌数量,细菌生长率为bx,死亡率为px^2,其数学表达式为: 其中 b=1,p=0.5 function dx = bacteriadiff(t,x) b=1;...a=-1/5; b=1; param=[a b]; [t,y]=ode45(@mysimplediff, tspan, x0,[], param); plot(t,y) 使用ode23函数求解微分方程并绘制...=1; [t,w]=ode23(@diff_task3, tspan, w0); plot(t,w) 求解含有二阶的微分方程 令: 高阶的系统(二阶、三阶等)需要降为一阶来书写表达式,学过现代控制理论的应该熟悉这个

    1.1K31

    揭秘 Transformer 的数学原理!

    这种观点已被成功地用于将残差网络建模到时间连续的动态系统上,后者被称为神经常微分方程(neural ODEs)。...在神经常微分方程中,输入图像 在时间间隔 (0,T) 上会按照给定的时变速度场 进行演化。因此,DNN 可以看作是从一个 到另一个 的流映射(Flow Map) 。...从图 2 和图 4 中可以看出,Transformers 具有两种不同的时间尺度:在第一阶段,所有 token 迅速形成几个簇,而在第二阶段(较第一阶段速度慢得多),通过簇的成对合并过程,所有 token...特别是,通过这些相互作用粒子系统的结构,研究者可以将其与数学中的既定主题建立具体联系,包括非线性传输方程、Wasserstein 梯度流、集体行为模型和球面上点的最优化配置等。...本文的模型只关注 Transformer 架构的两个关键组成部分:自注意力机制和层归一化。层归一化有效地将粒子限制在单位球 的空间内部,而自注意力机制则是通过经验度量实现粒子之间的非线性耦合。

    37110

    【数值计算方法(黄明游)】常微分方程初值问题的数值积分法:欧拉方法(向后Euler)【理论到程序】

    常微分方程初值问题的数值积分法是一种通过数值方法求解给定初始条件下的常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODEs)的问题。 一、数值积分法 1....向前欧拉法(前向欧拉法) 【计算方法与科学建模】常微分方程初值问题的数值积分法:欧拉方法(向前Euler及其python实现) 向前差商近似微商: 在节点 X_n 处,通过向前差商 \frac{...y(X_{n+1}) - y(X_n)}{h} 近似替代微分方程 y'(x) = f(x, y(x)) 中的导数项,得到 y'(X_n) \approx \frac{y(X_{n+1}) - y(...向后 Euler 方法给出了一个隐式的递推公式,其中 y_{n+1} 出现在方程的右侧,需要通过求解非线性方程来获得。 求解方式: 向前 Euler 方法的解可以通过简单的迭代计算得到。...向后 Euler 方法的解需要通过迭代求解非线性方程,通常,可以使用迭代法,如牛顿迭代法,来逐步逼近方程的解。

    20510

    你没有看过的全新版本,Transformer数学原理揭秘

    这种观点已被成功地用于将残差网络建模到时间连续的动态系统上,后者被称为神经常微分方程(neural ODEs)。...在神经常微分方程中,输入图像 在时间间隔 (0,T) 上会按照给定的时变速度场 进行演化。因此,DNN 可以看作是从一个 到另一个 的流映射(Flow Map) 。...从图 2 和图 4 中可以看出,Transformers 具有两种不同的时间尺度:在第一阶段,所有 token 迅速形成几个簇,而在第二阶段(较第一阶段速度慢得多),通过簇的成对合并过程,所有 token...特别是,通过这些相互作用粒子系统的结构,研究者可以将其与数学中的既定主题建立具体联系,包括非线性传输方程、Wasserstein 梯度流、集体行为模型和球面上点的最优化配置等。...本文的模型只关注 Transformer 架构的两个关键组成部分:自注意力机制和层归一化。层归一化有效地将粒子限制在单位球 的空间内部,而自注意力机制则是通过经验度量实现粒子之间的非线性耦合。

    23210

    matlab中通过ode函数求解常微分方程附加简单的钟摆模型

    求解常微分方程常用matlab中的ode函数,该函数采用数值方法用于求解难以获得精确解的初值问题。ODE是一个包含一个独立变量(例如时间)的方程以及关于该自变量的一个或多个导数。...高阶数值方法以速度为代价减少误差: •欧拉方法-一阶展开 •中点法-二阶扩展 •Runge Kutta-四阶扩展 几种不同的求解器对比 [t,state] = ode45(@dstate,tspan,...ICs,options)计算步骤: 1.在一个文件中定义tspan、IC和选项(例如call_dstate.m) ,用来设置ode45 2.在另一个文件中定义常量和求导数(例如dstate.m)或作为调用内的函数...function dydt = dstate (t,y) alpha=2; gamma=0.0001; dydt = alpha* y-gamma *y^2; end end • 这是一个常微分方程系统...方法1:在列向量中预先分配空间,并填充导数函数 function dydt = osc(t,y) dydt = zeros(2,1) dydt(1) = y(2); dydt(2) = 1000*

    1.7K10

    SLAM后端:非线性优化

    非线性优化  假设有目标函数:  我们要求其最小值,当然是对目标函数进行求导,但通常目标函数是非线性的,因此我们需要通过以下步骤对目标函数进行求解: 给定初值 ; 对于第 次迭代,寻找增量 ,使...最小; 若 足够小,停止迭代; 否则,令 ,返回步骤2;  常见的寻找 的方法有:  我们对上述目标函数进行泰勒展开:  其中, 为一阶导数,即Jacobian矩阵, 为二阶导数,即Hessian...最速下降法  我们将二阶导数忽略,只保留一阶导数,我们寻找最快下降方向,将导数取反,则可保证函数下降,则有:  其中, 称为步长,在深度学习中称为学习率。  ...这种方法是最简单的非线性优化方法,但其需要进行很多次迭代。 2....牛顿法  我们将一阶导数,二阶导数全部保留,对增量 进行求导,并令其为0,则可以得到增量方程:  则增量的解为:  这种方法比最速下降法迭代少,更精确,但其Hessian矩阵计算过于复杂。

    99130
    领券