考虑到很多人微积分和线性代数等知识的涉猎不多，我将会对涉及的内容都做出基本说明，也并不会涉及过深入的东西，然后争取串成一个故事，扩展一下大家的视野。...其实无论是什么视角，都是为了能更好的解决训练收敛的问题。 1 常微分方程与欧拉法 很多人平时接触的方程大部分是代数方程、超越方程等等，比如： ? 其解是一个或几个数值，例如上式的解为： ?...需要说明，对于常微分方程，只有某些特殊类型的方程能求得解析解，大部分是很难求得解析解的，所以实际中主要依靠数值法来近似计算求得数值解，以一个简单的具有初始值常微分方程为例： ? 其解析解为： ?...而数值解只能给出部分、离散的自变量、因变量近似数值对，例如 ? 欧拉法便是一种非常经典的一阶数值方法。给定初始值和一系列固定间隔h的离散时间点，则可迭代计算： ? 得到微分方程的数值解。...容易证明对于零和博弈(f=-g)，在纳什均衡点，其雅可比矩阵： ? 是负定的。反过来，可以通过检查雅可比矩阵的性质来判断是否达到了局部收敛，如果在某个点，其一阶导数为0 ?
未完待续…… 分析 可能是你们在学校里做过用代数的方法来分析反向传播。对于普通函数，这很简单。但当解析法很困难时，我们通常尝试数值微分。...雅可比矩阵 有时我们需要找出输入和输出都是向量的函数的所有偏导数。包含所有这些偏导数的矩阵就是雅可比矩阵。 有函数 ? 雅可比矩阵J为: ? ?...我们考虑x的组成，以及它的成分如何影响药物的整体效果。 ? 在这里，我们测量的是整个药物的效果对药物中这个小成分的敏感度。 一个简单的模型 ?...符号对符号导数 到目前为止，您已经了解了如何得到神经网络中节点梯度的代数表达式。通过链式法则在张量上的应用和计算图的概念。...代数表达式或计算图不处理具体问题，而只是给我们的理论背景，以验证我们正在正确地计算它们。它们帮助指导我们的编码。 在下一个概念中，我们将讨论符号对数值导数的影响。
假设损失函数为 y = f(x)，我们寻找其最小值，就是求这个函数的极值点，那么就是求其一阶导数 f'(x) = 0 这个微分方程的解。...符号计算用于求解数学中的公式解（也称解析解），得到的是 解的表达式而非具体的数值。...符号微分适合符号表达式的自动求导，符号微分的原理是用下面的简单求导规则替代手动微分： 符号微分利用代数软件，实现微分的一些公式，然后根据基本函数的求导公式以及四则运算、复合函数的求导法则，将公式的计算过程转化成微分过程...符号微分：直接对代数表达式求解析解，最后才代入数值进行计算。...2.5.2.2 雅克比矩阵 在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。
SymPy是一个用于符号数学计算的Python库。与传统的数值计算库不同，SymPy专注于处理符号表达式，使得用户能够进行符号计算、代数操作和解方程等任务。...解方程 SymPy是一个强大的方程解法工具。可以用它来解线性方程、二次方程和更复杂的方程。...= solve(equation, x) # 打印解 print(solution) 在这个例子中，我们定义了一个二次方程x**2 - 4 = 0，然后使用SymPy的solve函数求解方程，得到方程的根...高级功能 SymPy还包含许多高级功能，如解微分方程、数值积分、符号逻辑和概率统计等。这些功能使SymPy成为一个强大的符号计算工具。...}, 事件Y的概率: {probability_y}") 这个例子演示了如何使用SymPy进行基本的概率计算。
计算机代数系统 Sympy可以实现数学符号的运算，用它来进行数学表达式的符号推导和验算，处理带有数学符号的导数、极限、微积分、方程组、矩阵等，就像科学计算器一样简单，类似于计算机代数系统CAS，虽然CAS...解一元一次方程 我们来求解这个一元一次方程组。...,解一元一次方程就非常简单。...解二元一次方程组 我们来看如何求解二元一次方程组。...解三元一次方程组 我们来看如何解三元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下） $$ \begin{cases} x+y+z=12,\\ x+2y+5z=22,\\ x=4y.
前言 还记得被Jacobian矩阵和Hessian矩阵统治的恐惧吗？本文清晰易懂的介绍了Jacobian矩阵和Hessian矩阵的概念，并循序渐进的推导了牛顿法的最优化算法。...还有， 在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。...雅可比矩阵 雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数的导数 。 假设 是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。...这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵, 这就是所谓的雅可比矩阵： 此矩阵表示为： ，或者为 。 这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置yi(i=1,…,m)表示的。...海森矩阵在牛顿法中的应用 一般来说, 牛顿法主要应用在两个方面，1, 求方程的根; 2, 最优化。 1) 求解方程 并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很复杂，导致求解困难。
，海森矩阵和牛顿法的介绍，非常的简单易懂，并且有Hessian矩阵在牛顿法上的应用。...Jacobian矩阵和Hessian矩阵 发表于 2012 年 8 月 8 日 1. Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式....还有, 在代数几何中, 代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群, 曲线可以嵌入其中....雅可比矩阵 雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数的导数....假设任务是优化一个目标函数ff, 求函数ff的极大极小问题, 可以转化为求解函数ff的导数f′=0f′=0的问题, 这样求可以把优化问题看成方程求解问题(f′=0f′=0).
Maple计算器是一款功能强大的数学求解器和用途广泛的数学学习工具。无论是进行简单的计算，还是求解大学水平的数学问题，Maple计算器都可以解决。...使用这款计算器，可以探索二维和三维图形，或查看代数问题、导数或积分、矩阵运算等的分步解！...这款多功能应用可以让代数、预科微积分、微积分、线性代数和微分方程等数学问题的输入、求解和可视化变得轻而易举，而且还是免费的！您甚至可以使用相机来输入问题，这样，只需单击一下按钮即可检查您的家庭作业。...• 进行各种数学运算：无论通过何种方式输入数学问题，您都能求出导数和积分、解系数多项式、矩阵求逆、解方程组、解常微分方程等等。...• 获得详细解题步骤：除了答案之外，还可以得到各种数学题的完整解题步骤，包括解方程组、求极限/导数/积分、完成矩阵运算等等！
因此对于计算来说，我们就清楚地知道什么时候该追求精确解，什么时候不要浪费时间，而是应该尽快得到一个高效的近似解。探求代数方程的可解性问题，实际上也是在探索和明确计算的边界。...伽罗瓦思路清奇，他首先认识到方程求解的关键在于系数域和根域之间的关系，一个方程的系数属于某个域，但该方程在这个域中可能没有根，因此需要扩张出一个更大的域来包含方程的根，这个更大的域就是根域。...方程可解其次要求这个序列的商群总是素数阶的循环群。我们可以对群做类似算术的除法，得到商群的概念。那么就得到上面的正规子群序列对应的商群系列： 。...在笛卡儿和韦达发明了代数学的符号之后，经过几百年的努力，数学家们最终发现运算可以叠加到数之外的对象上，符号可以代表任何事物：数、置换、集合、旋转、变换、命题等。...这恰如20世纪对计算理论的研究，最终从初等数论中发现了不可计算函数、不可判定问题。我们所处的世界，在表象上是简单和清晰的，在内涵里却是复杂和模糊的，所以至今仍是难以理解的。
我们来看下这样美好的结果，作者是如何做到的。（其实很简单！）...基于这种思路，作者首先提出了将数学表达式转换为seq2seq表示形式的方法，并用多种策略生成了用于监督学习的数据集（积分、一阶和二阶微分方程），然后将seq2seq模型用于这些数据集，便得出了比最新计算机代数程序...不过对求解积分（或微分方程）来说，评估则相对比较简单，只要将生成的表达式与其参考解进行简单比较，就可以验证结果的正确性了。...这个表格显示了包含 500 个方程的测试集上，本文模型与Mathematica、Matlab、Maple三大著名数学软件的比较。...从正确率上可以看出，本文方法要远远优于三大著名数学软件的结果。 3、等价解 这种方法最有意思的地方出现了。通常你用符号求解软件，只能得到一个结果。
在作为数学建模和分析基础的常/偏微分方程领域，Mathematica 12 具有功能强大的求解器来对其进行符号或数值求解。...Newton-Raphson 方法求解非线性代数方程式的过程相同。...首先，如果我们删除与公式(1) 的时间导数相关的部分，则有 若将， 则变为以下简单形式： 尽管将非线性 PDE 进行线性化，与求 1 个变量的非线性方程组的数值解相同，将任意函数 u0 作为种子，由此渐进逼近使...U 和 V 浓度 u 和 v 随时间变化所描述的就是这个模型： Du 和 Dv 是各自的扩散系数，F 是物质 U 的补充率，K 是定义反应速度 V→P 的参数。...由于 Wolfram 语言在符号计算方面的优势，无论 PDE 形式如何，都可以在保证求解的高效性和统一性的同时，保证其高度通用性。有关 FEM 的内部处理的详细信息已经发布。
但是，神经网络在符号计算方面取得的成果并不多：目前，如何结合符号推理和连续表征成为机器学习面临的挑战之一。...然后展示了如何为积分和一阶、二阶微分方程的监督式训练生成数据集。最后，研究者对数据集应用 seq2seq 模型，发现其性能超过当前最优的计算机代数程序 Matlab 和 Mathematica。...表达式是基于有限的变量（即文字）、常量、整数和一系列运算符创建得到的，这些运算符可以是简单函数（如 cos 或 exp），也可以更加复杂（如微分或积分）。...一阶常微分方程（ODE 1） 如何生成具备解的一阶常微分方程？研究者提出了一种方法。给定一个双变量函数 F(x, y)，使方程 F(x, y) = c（c 是常量）的解析解为 y。...对于 c_1，研究者使用了一个简单的方法，即如果我们不想其解为 c_1，我们只需跳过当前方程即可。尽管简单，但研究者发现在大约一半的场景中，微分方程的解是 c_1。示例如下： ?
由于空间机器人的卫星基座与机械臂之间存在耦合，机械臂的运动将影响基座的运动。与地面固定基座机械臂相比，空间机器人的路径规划、运动控制和动力学建模等较为复杂。...相应的算法基本分为两类： 基于正运动学的路径规划：利用五次多项式描述关节轨迹，通过正运动学求解末端速度，对时间积分，得到非线性方程组，可通过牛顿迭代法、遗传算法、粒子群算法求解，回避动力学奇异，只适于离线规划...非完整约束特性又使基座姿态与关节角的运动历史相关。 对于自由漂浮空间机器人，无法得到位置级的运动学方程，一般多研究其速度级运动学建模。...借助滤波理论，算法层次清晰，易于理解 铰接体惯量算法 铰接体概念，推导简单，计算量小 李群李代数法 避免复杂的微分与偏微分运算，计算效率高 虚拟机械臂法 多臂及闭环系统，虚拟假想臂 等价机械臂法 真正的机械臂...，运算量大，模型不直观 广义雅可比矩阵法 计算量较小，常应用于运动控制等场合 拉格朗日法 推导简单，表达式复杂，运算量大 牛顿-欧拉法 由前向及后向递推运算组成，常用于逆动力学求解 罗伯森-维滕伯格法
通过 GPU 和 TPU 等专用硬件加速器，深度学习中广泛使用的矩阵乘法可以得到快速评估，从而可以快速执行试错型的深度学习研究。...尽管并行化已经在深度学习研究中得到了广泛的使用，但循环神经网络（RNN）和神经常微分方程（NeuralODE）等序列模型却尚未能完全受益于此，因为它们本身需要对序列长度执行序列式的评估。...将 y^(i) 代入 3 式可以得到 y^(i+1)，然后泰勒展开至一阶，得： 其中 J_pf 是 f 在其第 p 个参数上的雅可比矩阵。...3 式中的迭代过程涉及到评估函数 f、其雅可比矩阵和矩阵乘法，这些运算可以使用现代加速器（如 GPU 和 TPU）来并行化处理。如果能以并行方式求解线性方程，那么整个迭代过程都可利用并行计算。...解 y_i 可从这个并行扫描算子的结果的第二个元素获取。 并行化 RNN 循环神经网络（RNN）可以看作是一种离散版的 ODE。
阿贝尔-鲁菲尼定理 五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。 这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。...这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。...阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程： ? 那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用 a0,a1,... ,an 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。...换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。...具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论。简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群。
最近在磕 PCA 主成分分析的原理，在理解协方差矩阵的特征向量和特征值部分，对其计算的数学原理的理解上碰到了不少关于线性代数的问题，而在大学时期接触的线性代数到现在都已经忘得七七八八。...变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。...克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导． 2.8 行列式按行(列)展开 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式....本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式. 3....备注： 1）当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构． 2）下面的讨论都是假设线性方程组有解． 5.5 向量空间 5.5.1 封闭的概念 定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合
矢量/矩阵表示和可用于它们的线性代数运算，非常适合神经网络的流水线的数据流模型。当输入、权重和函数被视为向量，值的流动可被视为矩阵上的运算时，数学形式变得非常简单。 深度学习也是基于差异化的！...从任意一组网络模型权重w开始，目标是得到一个“最优”权重集合，以使给定的损失函数最小。几乎所有的神经网络都使用反向传播方法来找到这样一组权重。这个过程涉及权重值的变化如何影响输出。...测量输出如何随着权重的变化而变化，与计算输出w.r.t权重w的（部分）导数相同。对于所有的训练样例，对于所有层中的所有权重，重复该过程。 矩阵运算利用数学的两个基本分支 - 线性代数和微积分。...注意通过符号来巩固你的理解是非常重要的。特别注意诸如矢量的形状（长或高），标量或矢量，矩阵的尺寸等。矢量用粗体字表示。没有经验的人可能不会注意到粗体f和斜体f字体之间的差异，但这在等式中有很大的差异。...本文演示了如何计算简单函数的导数，以及多元函数中的偏导数（∂/∂x），矢量演算中的梯度∇f函数和和矩阵演算中的雅可比矩阵J。差不多可以说，∇f(x)函数是矢量形式f的偏导数的集合。
Colome 等 对比分析了速度级微分逆向运动学中的关节极限位置指标优化问题， 但是其研究中的算法存在一定的累计误差， 因而系统的收敛性和算法的计算稳定性难以得到保证。...将上式对时间求导可得 \dot p= J \dot q 用雅可比矩阵可以建立起机械臂末端运动速度与各关节速度之间的关系，以及末端与外界接触力和对应各关节力矩之间的关系， 因此雅可比矩阵在机械臂的运动学和动力学分析中占有重要地位...如果关节 i 为移动关节， 则雅可比矩阵的第 i 列为 如果关节 为转动关节， 则雅可比矩阵的第 列为： 由以上可求得机械臂的雅可比矩阵： 2 奇异鲁棒逆解与梯度投影法 机械臂的逆运动学分析是指...针对某一具体构型的机械臂，上式可以视为一般的线性方程组求解问题， 在雅可比矩阵行满秩的条件下， 其通解为 前项即为伪逆解， 后项中q_0 为关节空间的任一速度矢量， 正是通过调节q_0可实现冗余自由度机械臂的性能指标优化...阻尼最小二乘法求解的目标问题是： 由此可以得到奇异鲁棒通解： 其中，J^*=R^{nm},J^*=J^T(JJ^T+I)^{-1} 称为雅可比矩阵的奇异鲁棒性逆.
X=A\B为符号线性方程组A*X=B 的解。A\B近似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A....(c) 符号表达式的最简形式：simple 格式：r = simple(S)，该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形式，显示任意的能使表达式S长度变短的表达式，且返回其中最短的一个。...(d) 代数方程的符号解析解：solve 格式：g = solve(eq)，输入参量eq可以是符号表达式或字符串。 例2.4 ?...(h) 常微分方程的解析解：dsolve 格式：r = dsolve('eq1,eq2, …','cond1,cond2, …','v')，对给定的常微分方程（组） eq1,eq2, …中指定的符号自变量...符号表达式的化简 size 符号矩阵的维数 solve 代数方程的符号解析解 subexpr 以共同的子表达式形式重写一符号表达式 poly 特征多项式 poly2sym 将多项式系数转化为带符号变量的多项式
最早，SLAM 主要用在机器人领域，是为了在没有任何先验知识的情况下，根据传感器数据实时构建周围环境地图，同时根据这个地图推测自身的定位。因此本文以简单清晰的文字为大家介绍了视觉 V-SLAM。...简记为 Qf = 0 做SVD得到Q = USVT，而最终F的解是V最右的奇异向量（singular vector）； 另外，因为E矩阵完全由摄像头外参数（R和t共6个未知参数，但有一个不确定平移尺度量...从E矩阵分解得到R和t 根据视图方向与摄像头中心到3-D点的方向之间夹角可以发现，四个可能中只有情况（a）是合理的解； 确定两个视角的姿态之后，匹配的特征点 x，x’可以重建其 3-D 坐标 X，即三角化...但一些误差干扰的存在，上述线性解是不存在的；所以需要一个非线性的解，这里采用 F 矩阵定义的外极约束方程 xTFx’= 0，得到最小化误差函数为 ?...雅可比矩阵 J 和黑森（Hessian）矩阵 H 的计算为 ? ? ?
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