平衡二叉树 AVL（ 发明者为Adel'son-Vel'skii 和 Landis）是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1。...首先我们知道，当插入一个节点，从此插入点到树根节点路径上的所有节点的平衡都可能被打破，如何解决这个问题呢？ 这里不讲大多数书上提的什么平衡因子，什么最小不平衡子树，实际上让人（me）更加费解。...注：AVL 树也是一种二叉查找树，故删除策略可以参照前面文章来实现，只是删除节点后，如果平衡被打破，则也需要进行旋转以保持平衡。...现在想要插入的点是6，请看是否符合第一种情况的描述。8是不是深度最深的发生不平衡的点？6是不是插入在A的左孩子的左子树？符合是吧，那就直接按上述方法顺时针旋转7和8，效果是右图。...注意：输入数组元素就不要搞成有序的了，如果代码中没有调整的实现，整个树就是个右斜树，但即使实现了调整，也会使得每插入一次就调整一次，何必内耗啊。
但是，在Excel中插入图片并不是一件很容易的事情，需要借助于一些工具来实现。本文将介绍如何使用Hutool插入图片到Excel中，并给出详细的代码示例。...使用Hutool插入图片到Excel的方法Hutool提供了非常方便的API，可以帮助我们将图片插入到Excel中。具体步骤如下：1. 创建Excel对象首先，我们需要创建一个Excel对象。...插入图片在前面的步骤中，我们已经将Employee对象的数据写入到Excel中。现在，我们需要将照片插入到Excel中。具体步骤如下：获取Employee对象的照片URL地址。...这里我们假设Employee对象的照片要插入到第4列第2行的单元格中。...(tempFileName);总结在这篇文章中，我们介绍了如何使用Hutool插入图片到Excel中。
2.插入操作的问题 在对AVL树进行插入操作的时候，隐含的困难在于，插入一个节点可能破坏AVL树的平衡特性。例如在上图中插入一个节点6，那么如果不进行后续处理就会破坏树的平衡性。...事实上，我们只需要根据树的实际结构进行几种简单的旋转（rotation）操作就可以让树恢复AVL树的平衡性质。 2.1.四种情况，两种分类处理 根据树型结构的不同，我们将分成四种情况来进行旋转处理。...我们必须分别在两个节点之间使用两次单旋转，即一次双旋转使AVL树重新恢复平衡。...图片.png 我们观察到，二叉树的右边可以对k1-k2两个节点先进行一次SingleRotateWithLeft变换 图片.png 然后把k1及其子树看作是单旋转中的第一种情况中的Z，然后这个时候对...上面的思路其实很简单，将深度过深的树从整棵树的中间往边上转移，然后就可以参考单旋转中的操作来解决不平衡的问题了。
1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树： 它的左右子树都是AVL树 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过...，只不过AVL树的插入操作涉及到旋转操作，我们先演示一下它的全部代码 AVL树插入示例(C++)： bool Insert(const pair& kv) { // 当根节点为空时直接插入...AVL树的旋转 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。...AVL树的缺陷 缺陷 原因 插入操作复杂 为了保持树的平衡，每次插入或删除节点时，AVL树可能需要进行多次旋转操作。...我们学会了如何在插入和删除操作中通过旋转操作来保持树的平衡，这种动态调整的思想在软件开发中同样具有广泛的应用 AVL树的学习之旅虽然告一段落，但我们对数据结构和算法的探索永无止境。
可视化的图我在Rstudio中保存为png格式，放大后很模糊，我就将其保存为pdf格式，放大后也不失真，很满意。 然后我要将其放到word中，问题来了，怎么将高清的pdf图片格式放到word中呢？...废话2 将pdf复制到word中，双击pdf的图标就可以打开pdf…… ? 操作失败3 据说，word中可以直接插入pdf 「插入 ---> 对象 ----> 对象」 ?...吐槽4 我想着pdf的图片，加到论文中，这不应该是一个常规的操作么，为何我没有找到合适的方法呢，是没有写过论文的缘故吗…… 搞定5 既然无法直接插入pdf图片，那就把pdf转化为其它格式吧。...转化为JPG的格式如下： ? 放大一点，也没有失真： ? 如果是直接从R中导出的png文件，放大后失真： ? 真香6 将pdf转化为png的图片，粘贴到word中，搞定！...效果如下：可以看到从R中直接导出的png，粘贴到word中（左图），放大之后就模糊了，而从R中导出pdf然后再转为png的文件，放大之后还比较清晰。 ?
最主要的一点是： 在CurrentHashMap中是加锁了的，实际上是读写锁，如果写冲突就会等待， 如果插入时间过长必然等待时间更长，而红黑树相对AVL树他的插入更快！...红黑树和AVL树之间的区别 AVL树比红黑树保持更加严格的平衡。AVL树中从根到最深叶的路径最多为~1.44 lg（n + 2），而在红黑树中最多为~2 lg（n + 1）。...因此，在AVL树中查找通常更快，但这是以更多旋转操作导致更慢的插入和删除为代价的。因此，如果您希望查找次数主导树的更新次数，请使用AVL树。 AVL以及RedBlack树是高度平衡的树数据结构。...另一方面，插入和删除方面，AVL树速度较慢：需要更高的旋转次数才能在修改时正确地重新平衡数据结构。...对于小数据： insert：RB tree＆avl tree具有恒定的最大旋转次数，但RB树会更快，因为平均RB树使用较少的旋转。 查找：AVL树更快，因为AVL树的深度较小。
前言 树这个神奇的结构，由于其带有数学中指数增长的性质，再给予其一些特殊的性质后，被广泛应用于存储和搜索等苦力活，今天我们来学习用来搜索二叉树中的AVL树是如何实现高效的搜索功能的。...一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树： 它的左右子树都是AVL树 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1) 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。...先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 // // 2....根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种： 1....新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋 /* 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加 了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60
如何旋转？由于旋转过于复杂，后面会单独展示。...旋转过程中需要保持仍是搜索树。 更新调整孩子节点的平衡因子。 让这颗子树的高度和插入前保持一致。...旋转过程中需要保持仍是搜索树。 更新调整孩子节点的平衡因子。 让这颗子树的高度和插入前保持一致。 但实际上，我们的AVL树可能会非常的复杂，因此并不像上面的例子那么简单。...因此，如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。...但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
那么为了使整棵树基金可能平衡，那么在构造树的过程中必须随时检查每个结点的平衡因小于等于。...算法如下： 1）若树空，那么直接构造根节点 2）若树不空，那么若x大于根节点的键值，那么插入到左子树上。插入后检查根节点的平衡因子。...否则x一定插在根节点的左孩子的右子树上，则进行左右旋（LR旋转）。 3）若x大于根节点的键值，那么插入到右子树上。插入后检查根节点的平衡因子。...return avl; } ---- 删除操作 算法如下： 1）若树空，则直接返回NULL 2）若树不空，对x与根节点的键值进行比。...} } return avl; } ---- 例子 下面对依次把1，2，3，4，5插入到二叉平衡树中，并对相关操作进行验证。
，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度 这两位天才提出的 二叉搜索树 解决方案十分巧妙，通过一个 平衡因子 bf 反映每一个节点中左右子树的高度情况...，如果其中一方高度过高时（失衡，可能退化），就会通过 旋转 的方式降低高度，有效的避免了退化 如果 二叉搜索树 中节点具备以下性质 它的左右子树都是 AVL 树 左右子树的高度之差（平衡因子）的绝对值不超过...为 1 的情况下，仍然往右侧插入节点，插入后会导致 右子树 中某个节点 平衡因子 值为 2 ，此时就需要使用 左单旋 降低高度 显然，当节点 9 插入后，节点 7 的 平衡因子 变成了 2：表示它的左右子树高度差大于...）》 ---- 3、AVL树的合法性检验 3.1、检验依据 如何检验自己的 AVL 树是否合法？...及 AVL 树的属性，有可能会引发连锁旋转反应，导致一直 旋转 至 根 的位置（旋转比较浪费时间） AVL 树性能很优秀，如果在存储大量不需要修改的静态数据时，用 AVL 树是极好的，但在大多数场景中
而AVL树和红黑树是常用的自平衡二叉搜索树。它们在插入、删除和查找操作上具有较好的性能，并且在各种应用场景中被广泛使用。...因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过...1.2 AVL树的性质 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树： 它的左右子树都是AVL树 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1) 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的...3.结语 使用AVL树和红黑树时，可以按照二叉搜索树的规则进行插入、删除和查找操作。由于它们的自平衡特性，插入和删除操作可能需要进行旋转或颜色调整，以确保树的平衡性。...这些操作可以保证树的高度保持在O(logn)，从而提供了较好的性能。 在实际应用中，AVL树和红黑树都可以用于需要高效的插入、删除和查找操作的场景，例如数据库中的索引结构、编译器中的符号表等。
那大家想一下：我们在AVL树中插入了一个新结点之后，会不会影响到树中结点的平衡因子？ 毋庸置疑，这当然是会的！...那调整结点的事，我们后面再说，现在先谈一谈，插入新结点后，如何更新平衡因子！ 4.2 如何更新平衡因子？ 那首先大家思考一个问题，插入一个新结点之后，可能会影响到哪些结点的平衡因子？...AVL树的旋转 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。...我们定义一棵AVL树，然后插入一些数据中序遍历一下。...但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下。 比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过...一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树： 它的左右子树都是AVL树 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1) 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL...那么 AVL 树的插入过程可以分为两步： 按照二叉搜索树的方式插入新节点 调整节点的平衡因子 插入节点的方法和我们前文讲到的二叉搜索树插入方法一致，我们在此就不重复叙述了。...规则： 让这颗子树左右高度差不超过1 旋转过程中要保持是搜索树 更新调整孩子节点的平衡因子 让这颗子树高度和插入前保持一致 旋转还需要分成两种情况：直线旋转和折线旋转。...但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。
：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。...树的插入 AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树 那么AVL树的插入过程： 首先按照二叉搜索树的方式插入新节点 待插入结点的key值比当前结点小就插入到该结点的左子树...树的旋转 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡 根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种： 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋...1、左单旋 抽象示图： 注意： 上图在插入前AVL树是平衡的，新节点插入到60的右子树(注意：此处不是有孩子)中，60右子树增加了一层，导致以30为根的二叉树不平衡 要让30平衡，只能将30右子树的高度减少一层...但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置 总结： 如果需要一种查询高效且有序的数据结构
前言 继上篇C++探索之旅：打造高效二叉搜索树的奥秘与实践，我们继续探讨二叉搜索树的PLUS版——AVL树 在数据结构的世界里，树木生长的过程并非一帆风顺。如何在高度与平衡间取得微妙的和谐？...4.2 AVL 树的旋转 如果在一颗原本是平衡的 AVL 树中插入一个新结点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。...下面举两个左单旋的例子。 无论是这四种旋转中的哪一个，都要保证以下两点：首先在旋转的过程中要保证这棵树是搜索树，其次经过旋转后，这棵树应该变成平衡树，且降低这个子树的高度。...如果中序遍历可以得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。 验证其为平衡树。每个结点左右子树高度差的绝对值不超过1。其次检查结点的平衡因子是否计算正确。...但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
一、AVL树的概念 当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。...一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树： 它的左右子树都是AVL树 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1) 小问题：为什么是高度差不超过1，而不是相等呢？...旋转让p所在子树高度回到插入之前，不会对上层bf有影响） 原码： // 在AVL树中插入值为data的节点 bool Insert(const T& data) { //先判断是否为空 if...break; } else { //插入之前就有问题 return false; } } } 四、AVL树的旋转 旋转的目的： 保持搜索规则 当前树从不平衡旋转为平衡...降低当前树的高度 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。
： **当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差不超过1（需要对树中结点进行调整）**即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。...& kv) { //1.按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 node* newnode = new node(kv); node* cur = _root;...; } //3.破坏了AVL树的平衡性，我们就要对以pparent为根的子树就地旋转处理 //旋转的目的： //1)让这棵子树的左右高度差不超过1 //2）旋转过程中保持它是搜索树...; } //3.破坏了AVL树的平衡性，我们就要对以pparent为根的子树就地旋转处理 //旋转的目的： //1)让这棵子树的左右高度差不超过1 //2）旋转过程中保持它是搜索树...但是如果对AVL树做一些结构修改的操作，它的性能就会比较低下，例如，插入元素时要维护其绝对平衡的性质，旋转的次数会比较多。其中删除的效果最差，有可能让旋转一直持续到根节点。
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法: 当向二叉搜索树中插入新节点后, 如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的节点进行调整), 即可降低树的高度,...一棵AVL树或者是空树, 或者是具有以下性质的二叉搜素树: 它的左右子树都是AVL树 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1) 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树...那么AVL树的插入过程可以分为两步： 按照二叉搜索树的方式插入新节点 调整节点的平衡因子 // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 // 2....，因此要验证AVL树，可以分两步： 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二搜索树 验证其为平衡树 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确...但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
它是一种特殊的二叉搜索树。AVL树要求: 任一节点的左子树深度和右子树深度相差不超过1 (空树的深度为0。注意，有的教材中，采用了不同的深度定义方法，所以空树的深度为-1) 下面是AVL树: ?...我们在二叉搜索树中定义的操作，除了插入，都可以用在AVL树上 (假设使用懒惰删除)。如果进行插入操作，有可能会破坏AVL树的性质，比如: ?...插入2: 破坏AVL树 观察节点5，它的左子树深度为2，右子树深度为0，所以左右两个子树深度相差为2，不再是AVL树。由于2的加入，从节点6，1，5，3到2的层数都增加1。...但如果插入的节点不是2，而是4，会是如何呢？ ? 插入4 尝试单旋转，会发现无法解决问题。以5为根节点的子树向右单旋转后，树将以3为根节点，4,5为子节点。...总结: AVL树: 平衡，深度相差不超过1 单旋转，双旋转
在AVL树中，插入、删除和查找的时间复杂度都可以保持在 O(logN)O(\log N)O(logN)，这使得AVL树在需要频繁查询数据的应用场景中非常高效。...进阶：检查树的平衡因子及其更新的正确性 除了检测平衡性之外，还可以扩展检测模块，进一步确保AVL树中的每个节点的平衡因子在插入和旋转操作之后都得到了正确更新。以下是检测平衡因子的代码。...AVL树的应用场景及优势 AVL树适合应用于需要高效查找的场景中，例如数据库中的索引结构、缓存系统中的快速查找等。...使用AVL树可以保证数据的有序性，同时保证在最坏情况下依然具有高效的时间复杂度，非常适合需要高频率动态数据维护的场景。...通过学习AVL树，我们可以深入理解数据结构的自平衡机制，以及如何在二叉树中保持最优的性能。 希望通过这篇博客，大家对AVL树的概念、实现和用途有更深的了解。
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