轴缩放的倍率 缩放是基于坐标轴缩放的，所以如果需要朝着某个方向进行缩放的话需要旋转到轴上，缩放，再旋转回去 ?...---- 6.2 三维线性变换 三维的线性变换要比二维的复杂的多，很多时候我们的处理方法和二维相似，通过将需要变换的物体旋转到轴上然后进行三维缩放或三维错切，然后再旋转到想要的方向上 ?...6.4 变换矩阵求逆 在图形学中我们常常要用到线性变换的逆变换，将转换后的物体转换回去。...对角矩阵的逆就是将对角线上的元素取倒数 旋转矩阵的逆是反向度数的旋转矩阵 移动矩阵的逆是反向的移动矩阵 一系列合成的变换矩阵的逆是每个矩阵求逆后以相反的顺序再作用一次 正交矩阵的逆是矩阵的转置 底部是[...那么假如我们现在有一个在uev坐标系中的点，如何得到其在xoy坐标系中的坐标呢，其实这本质上还是仿射变换的思路，首先我们需要得到当前坐标系uev的基向量和原点在xoy坐标系中的坐标，然后由于我们当前目标点的坐标是在
02 — 向量的旋转变换 如下所示，在由 (e1,e2) 正交基确定的空间中，一个样本点 x = (a,b)，如果将原来的正交基 (e1,e2) 旋转一个角度 alfa 后，新的正交基变为 (e1',e2...')，求样本点在新的空间中的坐标 x' = (a',b') 和这种旋转变换的矩阵 u 。...这样向量 x 通过 u 变换矩阵，获得了一次旋转，由刚开始的矩形（由紫色边确定的），旋转到由橙色边确定的矩形，并且仅仅是做了一次旋转，向量 x 的大小没有发生任何改变。...03 — 奇异值分解 通过上面的分析，可以看出要想定位到主成分确定的正交基上，首先得保证变换后的基必须还是正交基，还记得利用特征值分解法求第一主成分的方向向量吗？...04 — 总结 今天总结了奇异值分解的基本原理。在明天的推送中，将介绍如何把一个矩阵 N*M ，分解为3个矩阵，其中两个为正交阵，中间为奇异阵。
我简单写了下推导过程，如下所示： 点乘证明 叉乘是一个升维操作，结果是一个垂直于当前向量所构成的平面的一个向量。...由于叉乘的结果是向量，向量就涉及到了方向，我们一般用的是右手坐标系。手朝着x方向伸开，然后手指向y方向旋转，伸开大拇指指向的方向就是z。如下图所示： image.png 那叉乘如何计算呢？...这时候再看下特征值分解： image.png R就是旋转，S是缩放。 这样A变换就可以看成是如下3步： 将特征向量旋转到x，y坐标轴，成为x，y方向的标准向量。...，那么就可以这样操作： 以该向量为一个坐标系，生成2个向量，使得这三个向量构成两两正交，也就是成为了一个坐标系，具体方法就是利用叉乘；对应的正交矩阵就是R，这两个向量是对应的行向量 将该向量乘以矩阵R，...这时候就可以将该向量旋转到标准坐标系的某个轴上 执行旋转 4.乘以R的装置，就可以再旋转第一步生成的坐标系中 具体公式如下，这儿是将旋转向量旋转到了z轴上： image.png
1.2.1 复习向量的知识 首先，在数学中，向量是具有长度和方向的量。在本文的范畴中，向量可用于表示空间中两个点的方向和距离。...我再小结一下： 向量是具有长度和方向的量，我们这里向量可用于表示空间中两个点的方向和距离。...因为有 所以基础矩阵里面同时包含了相机的内参数矩阵K和外参矩阵R/t，那么已知像素坐标x和x'，我们如何来求基础矩阵呢？...今天延续上一篇文章，我讲解了下面几部分内容： 三角测量：已知一对投影点，和相机矩阵，如何反求空间中的物点 对角几何：对同一场景用两个相机成像时的几何约束关系 本质矩阵：在相机坐标系中的对极几何约束的数学关系...基础矩阵：在图像像素坐标系中的对极几何约束的数学关系，以及如何用8点法来求基础矩阵 因为篇幅原因，我省掉了如何通过非线性最小二乘法自动的求解基础矩阵的过程。
在三维空间中，把一个几何不变物体做旋转、平移的运动称为刚体运动。 坐标系(e1,e2,e3)发生了旋转，变成(e1',e2',e3')，向量a不动，那么它的坐标如何变化？...旋转矩阵为正交阵，它的逆(即转置)描述了一个相反的旋转： 行列式为1的正交矩阵实际上就是一个标准正交方阵，即一个正交单位矩阵。因为是标准正交矩阵，所以逆=转置。...三维空间的单位向量 ,某个旋转是绕单位向量n进行了角度为θ的旋转，该旋转的四元数形式为： 反之如果知道q，也可以算出θ和n 之前我们知道一个三维点p旋转到p'，只需要乘以一个旋转矩阵R，则有...叉乘就是一个反对称矩阵，从向量->反对称矩阵可以写为： 反对称矩阵->向量 是反对称矩阵，找到一个三维向量 与之对应，则有 等式两边右乘R(t)，由于R为正交阵，则有 这就相当于旋转矩阵R求一次导数就相当于左乘一个反对称矩阵...这里是一个旋转矩阵的李代数。 在变换矩阵中 这里的ε是一个6维的向量，前三维的ρ作为平移，后三维的ø作为旋转，这里的 不是一个反对称矩阵，表示的是将6维向量转换成一个4维的矩阵。
对于特征值越大的特征向量，样本集在该方向上的变化越大。对于由特征向量组成的矩阵我们称为特征矩阵，特征矩阵是一个正交矩阵，即满足uTu=uuT=I。 ...关于协方差矩阵的计算，以及其中的一些数学原理，可以参考文献[3,4]。 如何理解协方差矩阵的特征向量为数据变化的主次方向，以及特征值越大，其对应的特征向量方向上的数据变化越大？ ...对于原始样例x，其在特征向量u1方向上的长度为： ? 现在我们使用特征矩阵来对样本进行旋转： ? 旋转后的坐标变换成了：(u1, u2, …, un)。 ...3）计算协方差矩阵 4）求出协方差矩阵的所有特征向量及对应的特征值。 5）根据特征值从大到小对应的特征向量，取出前k个特征向量组成一个特征矩阵u。 6）将原始数据旋转到特征矩阵u所在的空间中， ?...在利用PCA得到协方差矩阵的特征向量后，取前k个特征向量，各特征向量相互正交，此时相关性最小；再将新数据（旋转后的数据）的每一维除以标准差即得到每一维的方差为1。方差归一化： ?
在这种情况下，需要一种特征降维的方法来减少特征数，减少噪音和冗余，减少过度拟合的可能性。 PCA的思想是将n维特征映射到k维上（k<n），这k维是全新的正交特征。...上述过程如下图2描述： 正号表示预处理后的样本点，斜着的两条线就分别是正交的特征向量（由于协方差矩阵是对称的，因此其特征向量正交），最后一步的矩阵乘法就是将原始样本点分别往特征向量对应的轴上做投影...上图中，u1就是主成分方向，然后在二维空间中取和u1方向正交的方向，就是u2的方向。...u1方向上的投影的绝对值之和最大（也可以说方差最大），计算投影的方法上面已经阐述，就是将x与u1做内积，由于只需要求u1的方向，所以设u1也是单位向量。...：对一个矩阵，它对一个向量做变换，变换前后的向量的模长伸缩尺度如何才能最大？
然后我们谈到从单个矩阵中反演一组基本变换。最后，导出了一种方法，可以绕任意轴旋转实体。 4.2.1 欧拉变换 此变换是构建矩阵，以将你自己（即相机）或任何其他实体定向到某个方向的直观方式。...由于 是旋转矩阵的级联，因此它显然也是正交的。因此，它的逆可以表示为 ，当然，尽管直接使用 的转置更容易。 图4.7. 欧拉变换，以及它如何与你改变航向、俯仰和滚动角度的方式相关联。...重要的是要注意，欧拉角的一些表示将z轴作为初始向上方向。这种差异纯粹是一种符号变化，尽管可能会令人困惑。在计算机图形学中，在如何看待世界以及如何形成内容方面存在分歧：y-up或z-up。...要将螺栓固定到位，您必须围绕x轴旋转扳手。现在假设您的输入设备（鼠标、VR手套、太空球等）为你提供了一个旋转矩阵，即用于扳手移动的旋转。问题是将这个变换应用到扳手可能是错误的，它应该只围绕x轴旋转。...无论采用哪种技术，这三个向量都用于创建旋转矩阵： image.png 该矩阵将向量 转换为x 轴，将 转换为y轴，将 转换为z轴。
单位向量：指模等于1（具有 单位范数）的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。单位向量有无数个。 所以正交矩阵受到关注是因为求逆计算代价小。 我们需要注意正交矩阵的定义。...特征值及特征向量的几何意义和物理意义： 在空间中，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！...特征向量是指经过指定变换（与特定矩阵相乘）后不发生方向改变的那些向量，特征值是指在经过这些变换后特征向量的伸缩的倍数,也就是说矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量...我也赞同特征向量不改变方向的说法：特征向量永远不改变方向，改变的只是特征值（方向反转特征值为负值了）。特征向量也是线性不变量。...降维以后分类错误率与不降维的方法相差无几，但需要处理的数据量减小了一半（不降维需要处理13维，降维后只需要处理6维）。在深度学习之前，图像处理是很常用到PCA的，PCA是一个非常不错的降维方法！
2、构造矩阵的方法：可以直接用[ ]来输入数组，也可以用以下提供的函数来生成矩阵。...（3）QR（正交）分解是将一矩阵表示为一正交矩阵和一上三角矩阵之积，A＝Q×R[Q,R]=chol(A), X=Q\(U\b) （4）cholesky分解类似。...求多项式的根（返回所有根组成的向量） 注：用ploy（A）求出矩阵的特征多项式，然后再求其根，即为矩阵的特征值。...clear 删除内存中的变量与函数 pack 整理工作空间内存 disp 显示矩阵与文本 save 将工作空间中的变量存盘 length 查询向量的维数 ...函数名 功能描述 函数名 功能描述 cat 向量连接 reshape 改变矩阵行列个数 diag 建立对角矩阵或获取对角向量 rot90 将矩阵旋转
，产生错误的结果。...由于浮点数所引入的微小的量化误差，也会导致求逆结果的非常大误差。 当系统反应为病态矩阵时，微小的误差对结果将产生较大的影响。...从这个思路出发，可以先将认识系统中的相互间夹角较小的向量找出来，然后以其中一个向量为对称轴，旋转其余向量到某个合适的位置，得到一个良态的认识系统，再行求解。这样做的优点在于不涉及求点的具体位置。...例如，最小二乘法所产生的病态矩阵问题主要是由于矩阵求逆所造成的，我们使用QR分解方法来解决。...向量p是b在a上的投影，也称为b在a上的分量，可以用b乘以a方向的单位向量来计算，现在，我们打算尝试用更贴近线性代数的方式表达。
很容易找到一族沿水平轴的特征向量。但是从上图可以看出，这些特征向量无法把某个正交网格变换到另外一个正交网格。尽管如此，我们先尝试将网格旋转30度，然后看看发生了什么， ? ? ?...注意右侧红色平行四边形在原点形成的夹角已经增加。（译者注：这暗示了，如果我们增加旋转角度，平行四边形在原点形成的夹角可能增加到90度，从而变成正交网格。) 接下来将左侧网格旋转到60度： ? ? ?...右侧的网格现在几乎是正交的。事实上，如果将左侧网格旋转58.28度，左右两个网格就都是正交的了。 ? ? ?...上面描述了怎样将矩阵_M_分解成三个矩阵的乘积：V描述了原始空间中的正交基，U描述了相关空间的正交基，Σ描述了_V_中的向量变成_U_中的向量时被拉伸的倍数。 怎样做奇异值分解？...奇异值描述了在不同方向上拉伸的倍数。 在实践中，这不是获得矩阵奇异值分解的步骤，因为这个方法不是特别高效，或者在数值计算中的表现也不够好。 另外一个例子 让我们看一个奇异矩阵 ?
这个从“歪”的坐标轴旋转回正的坐标轴，不太好写。...但是这个变换的逆过程，即：从正的坐标轴旋转到“歪”的坐标轴，是好写的， 于是我们先写从“正”坐标轴变换到“歪”坐标轴的变换矩阵，再求其逆矩阵，就可以得到待求的变换矩阵。...又因为旋转矩阵是正交矩阵，所以他的逆矩阵就只需要转置一下就可以得到了！ 注意，不但相机要做这个变换，其他物体也要做这个变换，因为我们想让相机看到的景物相对不变。...如何求解第三行 任何近平面上的点不会改变（也就是对于任意的(, , , 1)，经过这个矩阵变换后，点的位置仍然不变） 任何远平面上的点，值不会改变 点(, , , 1)是可以通过矩阵变换得到(, ,...ℎℎ] 使用上面这个矩阵做变换 Rasterizing a triangle 三角形可以拼接在三维空间中的面，或者二维空间中复杂的图形 三角形内部一定是平面的 给三角形顶点定义不同属性
若样本个数明显多于特征维度，则b很有可能没有落在A的列空间中，因此方程组无解。此时，可以取 A^T·A·x’=A^T·b ，将 b 投影到A的列空间中，求解投影向量所对应的x’。...这里，标准正交化的方法就是Gram-Schmidt方法，该方法的核心就是投影，特别的，这里选取的是除去了投影向量p后产生的法向量e，同时对e单位化。...例如，若矩阵A是正交矩阵，它是通过单位矩阵立方体旋转得到。 6、 特征值和特征向量：本课主要讨论特征值和特征向量的计算。...A的特征值，方向由特征向量决定。...最后就是如何根据线性变换T求解其对应的矩阵A，通常的方法是，将线性变换T分别作用到基V中的向量vi上，再分别将作用后的结果表示为基U中所有向量ui上的线性组合， ? ，ai即为矩阵A的第i列。
方向余弦矩阵 如果在向量空间里再定义向量的长度和角度等概念必须定义内积，定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 1.1 标准正交基 标准正交基也叫规范正交基。...1.4 空间的旋转变换 平面和空间中的旋转变换是很常见的，我们在前面的例子里也多次谈到旋转矩阵，又比如工程中我们要模拟飞机在空中的前后、左右和上下的旋转动作等。因此，弄清旋转矩阵是很有意思的。...实际上这个点的旋转变换Γ 就是前面我们介绍的旋转矩阵 ,即点（或向量）的旋转变换为 = 2平面上坐标的旋转变换 如果将坐标系{xoy}也以逆时针方向绕原点旋转θ角，会得到新的坐标系｛x'oy'｝,如图所示...方向余弦矩阵：是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵。方向余弦矩阵可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系。...2 三维空间旋转变换 三维空间的情况完全类似，如图所示，将空间中任意一点P(x,y,z)对应的向量oP(与原点o相连接得到)以逆时针方向绕某一个直线L(过原点)旋转θ角，得到向量oP’，即点P(x,y,
在R中矩阵求逆可用函数solve()，应用solve(a, b)运算结果是解线性方程组ax=b，若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆，例如： 线性变换 线性变换可以用矩阵表示，那么如何描述线性变换的特征...，正交变换实际上为坐标系的保形旋转。...Ax=λx实际上就是Ax=λEx，也就是说向量x使用A来描述时仅仅是长度的变化而无方向的旋转，唯一可能的解释就是矩阵A的变换的运动方向就是沿着x的方向。...B具有不同的特征矩阵（正交化的坐标系），但是A和B在各自特征向量上的投影也即特征值相同，而这两个正交化的特征向量坐标系是可以通过简单旋转来转换的（因为P、Q均为正交矩阵，也即正交转换），我们称B为A的相似矩阵...因此，相似矩阵可以理解为拥有相同的拉伸构型但有不同的旋转。 主成分分析详解 主成分分析（PrincipalComponent Analysis，PCA），是一种数理统计方法。
两个图像具有线性（拉伸）关系，即通过变换二次型矩阵A，将正圆拉伸为椭圆。 4. 但是线性变换，只有拉伸，没有旋转。...再来变换： 两边乘以正交向量，令： 得到一个旋转后拉伸后的圆——倾斜椭圆 实际上： 现在，借助二次型矩阵A，我们又可以将函数 表示回 进一步分析问题前，先来考虑y的极值问题。...回忆二次型矩阵的几何意义。对于二次型矩阵A，特征值就是图形进行伸缩的量，对应特征向量的就是图形旋转的方向。 而对称矩阵的特征向量两两正交，实际上正是构成了旋转后的坐标方向。...总结：求二次型的极值问题，就是求二次型矩阵特征值极值问题，就是求一个原始球在旋转后的空间中最大/最小拉伸。而这个特征值对应的特征向量，就是球最大/最小拉伸的方向。...就是旋转后新的坐标轴 问题分析到这里，我们引出了特征值，似曾相识。 PCA就是利用了协方差矩阵的较大特征值，得到坐标旋转变换后，保留数据点最大拉伸（最分散）的那个坐标“轴”，即最佳数据投影方向。
矩阵变换是线性代数中的主要内容，如何理解它？本文以几何角度，理解线性变换中的矩阵，能帮助学习者对其建立直观音箱。 注：以下讨论中仅限于实数矩阵范围。...除了这个观点之外，还可以认为矩阵 是实现 的线性变换 。 我认为，研究矩阵如何实现线性变换，最简单的方式是观察它的列向量，矩阵的列向量表示标准基的 的映射。...在以矩阵 的列向量为基的 中的基向量的线性组合，即 表示经过线性变换之后，在 的列向量张成的向量空间中的向量。...上图中 A 的单位方格表示标准基下的形状；B 旋转 ；C 基于 y 轴反射；D 实现了沿横轴方向的拉伸 。 注意，当 ，对角矩阵是单位矩阵，对应着没有变换时的标准基。...用几何的方式表示，如下图所示，将一个向量投影到另一个向量方向上，如果两个向量不正交，投影的长度就是两个向量点积的结果（如下图 A 所示），下图中 B 显示两个向量正交，则投影的长度为 ，即两个向量点积结果为
，正交矩阵的特点是矩阵每列向量的长度为1且与其他向量正交(相乘为0)。...我们知道矩阵变换的几何意义就是对目标向量进行线性变换，线性变换本质就是缩放与旋转的组合，特征值分解是对那些应用后在某个方向上只会发生缩放的变换矩阵，将矩阵拆解为【旋转-缩放-反旋转】的三个矩阵连乘状态；...矩阵的特征值代表的是对目标进行缩放，特征向量则指示了发生缩放的方向，效果如下面式子：非零的特征向量a在矩阵A变换下会仅仅在向量本身的方向上发生缩放一个特征值倍率λ。...首先将特征值排列为对角矩阵D，然后按照特征值排列的顺序将特征列向量排列为矩阵Q，前面我们知道特征值分解是为了将矩阵拆解为【旋转-缩放-反旋转】三个矩阵连乘，此处我们已经有了旋转矩阵Q，缩放矩阵D，还差反旋转矩阵...这里我们其实并不需要对Q进行求逆，要知道旋转矩阵Q是由矩阵的特征向量组成的，而矩阵的特征向量都是相互正交的，对于正交矩阵我们有一个特性就是正交矩阵的逆矩阵和其转置矩阵是相同的，所以反旋转矩阵就是Q^T。
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