我们仍然是以 pbmc3k 数据集 为例子给大家展现一下基于非负矩阵分解的单细胞降维聚类分群 ； library(SeuratData) #加载seurat数据集 getOption('timeout...NMF包的nmf函数针对我们的矩阵进行了非负矩阵分解分析，得到了一个NMFfit的对象，里面的元素超级多。...： DotPlot 然后降维聚类分群可视化 前面的非负矩阵分解相当于是替代了PCA操作，但是它的结果需要导入到seurat对象里面。...+ Mono 和FCGR3A+ Mono毫无疑问是金标准，然后我们的非负矩阵分解指定区分了两个亚群，最后基于非负矩阵分解的结果重新进行FindNeighbors和FindClusters根据resolution...非负矩阵分解的其它应用 从上面的演示来看，我们的基于非负矩阵分解的单细胞降维聚类分群特殊性在于，预先就指定了待分解的单细胞亚群数量，而且可以找到每个单细胞亚群的各自的特征基因，而无需走常规的降维聚类分群流程
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 今天遇到一个很奇怪的问题：一个方阵，逆矩阵存在，但不是满秩。...问题来源 在实际应用的时候，发现返回值都是0，于是跟踪到这里，发现了这个问题：JtJ不是满秩，因此JtJN保持初始化的零值。...源代码，发现引起这个问题的原因可能是精度问题，测试之后果不其然。...结论 判断矩阵的逆矩阵是否存在时，一定要特别小心用满秩作为条件来判断，很可能会由于精度原因导致不可预估的结果。 版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。...如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
作者：Zhihuai Chen,Yinan Li,Xiaoming Sun,Pei Yuan,Jialin Zhang 摘要：非负矩阵分解（NMF）要求将（入口）非负矩阵分解为两个较小尺寸的非负矩阵的乘积...，这一点已被证明是难以处理的。...在本文的启发下，基于去量化技术的最新发展，我们提出了一种新的可分离NMF问题的经典算法。 我们的新算法在秩中的多项式时间和输入矩阵的大小中以对数运行，这在低秩设置中实现指数加速。
NMF，非负矩阵分解，它的目标很明确，就是将大矩阵分解成两个小矩阵，使得这两个小矩阵相乘后能够还原到大矩阵。而非负表示分解的矩阵都不包含负值。...为高效处理这些通过矩阵存放的数据，一个关键的必要步骤便是对矩阵进行分解操作。通过矩阵分解，一方面将描述问题的矩阵的维数进行削减，另一方面也可以对大量的数据进行压缩和概括。...在所有这些方法中，原始的大矩阵V被近似分解为低秩的V=WH形式。这些方法的共同特点是，因子W和H中的元素可为正或负，即使输入的初始矩阵元素是全正的，传统的秩削减算法也不能保证原始数据的非负性。...因此，探索矩阵的非负分解方法一直是很有意义的研究问题，正是如此，Lee和Seung两位科学家的NMF方法才得到人们的如此关注。 NMF通过寻找低秩，非负分解那些都为非负值的矩阵。...NMF算法提供了基于简单迭代的求解U，V的方法，求解方法具有收敛速度快、左右非负矩阵存储空间小的特点，它能将高维的数据矩阵降维处理，适合处理大规模数据。
Simon Funk提出了FunkSVD的方法，它不在将矩阵分解为3个矩阵，而是分解为2个低秩的用户项目矩阵，同时降低了计算复杂度： ?...这是一篇发表在Nature上的经典论文，谷歌学术显示引用将近9k，它提出了一个假设：分解出来的小矩阵应该满足非负约束。 因为在大部分方法中，原始矩阵 ? 被近似分解为两个低秩矩阵 ?...相乘的形式，这些方法的共同之处是，即使原始矩阵的元素都是非负的，也不能保证分解出的小矩阵都为非负，这就导致了推荐系统中经典的矩阵分解方法可以达到很好的预测性能，但不能做出像User-based CF那样符合人们习惯的推荐解释...在数学意义上，分解出的结果是正是负都没关系，只要保证还原后的矩阵元素非负并且误差尽可能小即可，但负值元素往往在现实世界中是没有任何意义的。...经典的矩阵分解模型是假设整个用户-项目矩阵（即UI矩阵）满足低秩假设（即全局低秩假设），即在整个系统当中，用户和项目总是满足存在相似的某种模式，即物以类聚，人以群分。
观点 核心问题是求多元方程组的解，核心知识：内积、秩、矩阵求逆，应用：求解线性回归、最小二乘法用QR分解，奇异值分解SVD，主成分分析（PCA）运用可对角化矩阵 向量 基础 向量：是指具有...image.png 伴随矩阵 为了求矩阵的逆 ? image.png 方阵的逆 AB=BA=E，那么称B为A的逆矩阵，而A被称为可逆矩阵或非奇异矩阵。...image.png 行阶梯形矩阵 最简矩阵 标准行 前者来求变量之间的关系，后者计算矩阵的秩 定理（1）表明 ，即A 经一系列初等行变换 变为B,则 有可逆矩阵P,使 如何求P？...image.png 特征值和特征向量 A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A 的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量 特征值的性质 (1)n阶方阵A...） A是正交阵的充要条件：A的列(行)向量都是单位向量，且两两正交 QR 分解（正交三角分解） 对于m*n的列满秩矩阵A，必有： ?
solvers），以及用一个随机算法计算矩阵的低秩近似。...本论文将在第二节中概述基本的线性代数知识；在第三节概述离散概率的基本知识；在第四节介绍矩阵乘法的随机算法；在第五节介绍最小二乘回归问题的随机算法；在第六节介绍低秩近似的随机算法。...2.6 奇异值分解 我们知道方阵可以分解为特征值与特征向量，但非方阵的矩阵并没不能实现特征值分解。...., min{m, n} 来表示奇异值： A 的奇异值是非负的，其数目等于 min{m, n}。A 的非零奇异值个数等于 A 的秩。...然后， 2.9 Moore-Penrose 伪逆 对于非方矩阵而言，其逆矩阵是没有定义的。而一种非常出名的推广型矩阵求逆方法 Moore-Penrose 伪逆在这类问题上取得了一定的进展。
solvers），以及用一个随机算法计算矩阵的低秩近似。...Martinsson 的工作，他利用这些方法开发了改进的低秩矩阵近似解算器 [2]；R. Vershynin 的工作，他开发了概率论工具用于分析 RandNLA 算法 [3]； J....本论文将在第二节中概述基本的线性代数知识；在第三节概述离散概率的基本知识；在第四节介绍矩阵乘法的随机算法；在第五节介绍最小二乘回归问题的随机算法；在第六节介绍低秩近似的随机算法。...2.6 奇异值分解 我们知道方阵可以分解为特征值与特征向量，但非方阵的矩阵并没不能实现特征值分解。...2.9 Moore-Penrose 伪逆 对于非方矩阵而言，其逆矩阵是没有定义的。而一种非常出名的推广型矩阵求逆方法 Moore-Penrose 伪逆在这类问题上取得了一定的进展。
在刚入门机器学习中的低秩，稀疏模型时，被各种范数搅得一团糟，严重延缓了学习进度，经过一段时间的学习，现在将其完整的总结一下，希望遇到同样麻烦的同学能有所帮助。。。...：16，MATLAB代码实现为：norm（A，inf）； 接下来我们要介绍机器学习的低秩，稀疏等一些地方用到的范数，一般有核范数，L0范数，L1范数（有时很多人也叫1范数，这就让初学者很容易混淆），L21...2.4 矩阵的核范数 矩阵的核范数即：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：10.9287， MATLAB...代码实现为：sum(svd(A)) 2.5 矩阵的L0范数 矩阵的L0范数即：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩阵A最终结果就是：6 2.6 矩阵的L1...（A，‘fro’） 2.8 矩阵的L21范数 矩阵的L21范数即：矩阵先以每一列为单位，求每一列的F范数（也可认为是向量的2范数），然后再将得到的结果求L1范数（也可认为是向量的1范数），很容易看出它是介于
：norm（a，2）； 1.3 向量的无穷范数 1.向量的负无穷范数即：向量的所有元素的绝对值中最小的：上述向量a的负无穷范数结果就是：5，MATLAB代码实现为：norm（a，-inf）； 2…向量的正无穷范数即...A的1范数先得到[6；16]，再取最大的最终结果就是：16，MATLAB代码实现为：norm（A，inf）； 接下来我们要介绍机器学习的低秩，稀疏等一些地方用到的范数，一般有核范数，L0范数，L1范数（...2.4 矩阵的核范数 矩阵的核范数即：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：10.9287， MATLAB...代码实现为：sum(svd(A)) 2.5 矩阵的L0范数 矩阵的L0范数即：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩阵A最终结果就是：6 2.6 矩阵的L1...（A，‘fro’） 2.8 矩阵的L21范数 矩阵的L21范数即：矩阵先以每一列为单位，求每一列的F范数（也可认为是向量的2范数），然后再将得到的结果求L1范数（也可认为是向量的1范数），很容易看出它是介于
维线性空间 ? 中，若对于任意向量 ? ,均有非负实数 ? ,并且其满足下列三个条件: （非负性）: ? 当且仅当 ? 时 ? （齐次性）: ? （三角不等式）: ?...的线性无关的向量的个数 矩阵的秩 如果把一个向量组看成一个矩阵， 则向量组的秩就是矩阵的秩 范数 在一个 ? 维线性空间 ? 中，若对于任意矩阵 ? ,均有非负实数 ?...阶矩阵，若存在常数 ? 及 ? 维非零向量 ? ，使得 ? 则称 ? 是矩阵 ? 的 特征值， ? 是 ? 对就特征值 ? 的 特征向量。 ? ? ? 称为矩阵 ?...矩阵分解 QR分解 设非奇异矩阵 ? ，则一定存在正交矩阵 ? ,上三角矩阵 ? ,使 ? 且当 ? 的主对角元素均为正数时，该分解式是唯一的。 [注]: 正交矩阵是 ?...SVD 奇异值分解 设 ? 是秩为 ? 的 ? 实矩阵， 则存在 ? 阶正交矩阵 ? 与 ? 阶正交矩阵 ? ， 使得 ? 其中 ? ? 为矩阵A的全部奇异值
点积和顺序无关 两个向量相互垂直时，点积为0 两个向量方向相同时，点积为正；相反时，点积为负 ? ? 向量的叉积 叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量。...矩阵的秩 矩阵的秩，为变换后的空间的维数 核与值域 核：所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常用Ker(A)来表示。...的列空间为所有可能的输出向量 ? 构成的集合，换句话说，列空间就是矩阵所有的列所张成的空间。 所以更精确的秩的定义是列空间的维数；当秩达到最大值时，意味着秩和列数相等，也即满秩。...零向量一定在列空间中 对于一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身 对于一个非满秩的矩阵来说，它将空间压缩到一个更低的维度上，变换后的已给向量落在零向量上，而“零空间”正是这些向量所构成的空间...零矩阵表示的映射是将所有的点都映射到原点的映射。 对角矩阵 在方阵中，对角线（从左上到右下）上的值称为对角元素。 非对角元素全部为0的矩阵称为对角矩阵。
spark中的非负正则化最小二乘法并不是wiki中介绍的NNLS的实现，而是做了相应的优化。它使用改进投影梯度法结合共轭梯度法来求解非负最小二乘。...，一种是非负正则化最小二乘，一种是乔里斯基分解（Cholesky）。 ...乔里斯基分解分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个上三角矩阵U的转置和其本身的乘积的分解。在ml代码中，直接调用netlib-java封装的dppsv方法实现。...非负最小二乘问题要求解的问题如下公式 其中ata是半正定矩阵。 在ml代码中，org.apache.spark.mllib.optimization.NNLS对象实现了非负最小二乘算法。...daxpy方法的作用是得到y:=step*x +y,在本代码中表示res=ata*x-atb，即梯度。 （3）求梯度的投影矩阵 求梯度矩阵的投影矩阵的依据如下公式。
矩阵的秩为线性变换的维度，方阵对应的行列式的绝对值是每个单位正方形在经过该方阵变换之后的面积，或者任意图形经过该方阵变换之后面积变化的倍数（伸缩因子），行列式值为负改变基向量的相对位置。...在R中矩阵求逆可用函数solve()，应用solve(a, b)运算结果是解线性方程组ax=b，若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆，例如： 线性变换 线性变换可以用矩阵表示，那么如何描述线性变换的特征...经过初等运算后最精简的线性方程的个数也即经过初等变换后矩阵B的最高阶非零子式的阶数称之为矩阵B的秩（rank），记为R(B)，初等变换也即保持秩不变的线性变换。...⑶特征值与特征向量 设有n阶矩阵A，如果存在数λ和n维非零列向量x使得Ax=λx，那么称λ为矩阵A的特征值，x称为矩阵A对应与特征值λ的特征向量。...现在我们返回A=PΛP-1这个式子，由于P为正交矩阵，进行的是坐标系旋转变换，Λ为对角阵，进行的是拉伸变换，因此上式是对A矩阵变换的分解，称为特征分解（Eigendecomposition）、特征值分解
马毅教授以计算机视觉为例，展示了低维模型和深度模型如何从不同角度试图攻克同一个问题：高维数据的信息提取。...并且详细展示了从低维模型角度如何分解并逐步攻克这个问题，有哪些应用，以及低维模型如何给深度模型带来可解释性。以下为机器之心对讲座内容进行的整理。 ?...如果我的数据来自上述的低秩结构，哪怕加上一些高斯噪声，我只需要对矩阵做做奇异值分解（SVD），把小的奇异值扔掉，就能得到包含的主要信息。...理论：稀疏和低秩的信息恢复 原来解线性方程的时候方程数一定要多于未知量，参数矩阵 L 是长的，噪声则用高斯的方法求个最小方差。这个方法有两百年历史。...我们也可以把一维的稀疏向量的上述性质扩展到二维的低秩矩阵：如何很少的特征把矩阵表示出来？互联网都靠解决这个问题吃饭。
15.1 SVD的定义与性质 对实矩阵的SVD，就是对一个矩阵进行因子分解，其中A的形状是(m, n)：，V是n阶正交矩阵，是降序排列的非负的对角线元素组成的(m, n)形状的矩形对角矩阵，这里的各个矩阵满足如下性质...不过一般常用的是紧奇异值分解和截断奇异值分解，其中紧奇异值分解和原来的SVD（又称完全奇异值分解）等价，而截断SVD比原始矩阵低秩。SVD的提出就是为了对矩阵进行压缩，其中截断SVD就是有损压缩。...紧奇异值分解的矩阵可以比完全SVD更小，紧的SVD的矩阵大小是和待分解矩阵的秩相关的。...在SVD中，U和V都是正交矩阵，那么V的列向量构成了空间里的一组正交基，U同理。所以这里都表示旋转或反射变换。对于，是一组非负实数，表示各个轴上的缩放变换。...根据这个定理，有一个推论可以判断一个和x同维（当然也可以不同维，同维的时候叫总体主成分）的随机变量是不是x的主成分，也就是从1到m分别是第一主成分到第m主成分： ，A是一个正交矩阵。
MADlib提供了低秩矩阵分解和奇异值分解两种矩阵分解方法。 一、低秩矩阵分解 矩阵中的最大不相关向量的个数，叫做矩阵的秩，可通俗理解为数据有秩序的程度。...MADlib低秩矩阵分解函数 MADlib的lmf_igd_run函数能够实现低秩矩阵分解功能。...低秩矩阵分解函数示例 我们将通过一个简单示例，说明如何利用madlib.lmf_igd_run函数实现潜在因子（Latent Factor）推荐算法。...奇异值分解简介 低秩矩阵分解是用两个矩阵的乘积近似还原一个低秩矩阵。MADlib还提供了另一种矩阵分解方法，即奇异值分解。...，E是单位矩阵。∑是对角矩阵，其对角线元素非负，并且被排好序，使得较大的元素先出现，即 ? 。 V的列向量 ?
如果你不知道如何去实现，那么请认真阅读下面要介绍的推荐系统之矩阵分解模型吧，相信看完之后你将会得到答案（如果木有...那就是我写的烂...请见谅 ） 矩阵分解 一提到矩阵分解（Matrix Factorization...简单回顾一下常用的矩阵分解的方法： 特征值分解：只适用于方阵 奇异值分解（SVD）：适用于任何矩阵 当然，本文也不会系统讲解矩阵分解，而是关注与推荐系统中的矩阵分解，除了推荐场景下，矩阵分解还在降维、Embedding...从推荐的角度理解矩阵分解 矩阵分解，可以理解为将一个高维稀疏的矩阵M，分解为两个低秩的矩阵U与V的过程，后续用这两个低秩向量来近似还原原本的高维稀疏向量。...在推荐中的User-Item评分矩阵，通过矩阵分解获得两个低秩向量，分别表示用户向量与商品向量，该过程相当于进行了特征提取或者数据的降维。...所以评分预测的最终目的是：得到两个低维矩阵，通过这两个小矩阵的乘积来补全大矩阵中没有评分的位置。
LoRA（Low-Rank Adaption，低秩自适应） 作为微调 LLMs 一种比较出圈的技术，其额外引入了可训练的低秩分解矩阵，同时固定住预训练权重，从而大大减少了下游任务的可训练参数数量。...相比之下，与全秩相比，低秩意味着矩阵具有冗余的行或列。...低内在维度意味着数据可以由低维度空间有效地表示或近似，同时保留其大部分基本信息或结构。换句话说，这意味着可以将适应任务的新权重矩阵分解为低维（较小）矩阵，而不会丢失太多重要信息。...例如，假设 ΔW 是 A×B 维权重矩阵的权重更新矩阵，这个权重更新矩阵可以分解为两个较小的矩阵：ΔW=W_A W_B，其中 W_A 是 A×r 维矩阵，W_B 是 r×B 维矩阵。...如果将其分解为两个较小的矩阵，一个 100×5 维矩阵 W_A 和一个 5×500 维矩阵 W_B。这两个矩阵总共只有 5×100+5×500=3000 个参数。
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