AOE网—关键路径 6.最短路径 a.单源最短路径 (Dijkstra算法) b.Dijkstra（迪杰斯特拉）算法 c.所有顶点之间的最短路径(Floyd算法) 二.练习题...事件的最早发生时间Ve(j)： 事件的最迟发生时间Vl(i)： 活动as的最早开始时间e(s)： 活动as的最迟开始时间l(s)： 6.最短路径 a.单源最短路径 (Dijkstra...有8个结点的无向图最多有 条边。...用普里姆(Prim)算法求具有n个顶点e条边的图的最小生成树的时间复杂度为 O(n2) ；用克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的时间复杂度是 O(elog2e) 。 15....用Dijkstra算法求某一顶点到其余各顶点间的最短路径是按路径长度 递增 的次序来得到最短路径的。 18. 拓扑排序算法是通过重复选择具有 0 个前驱顶点的过程来完成的。
1.最小生成树 1.1 问题背景： 假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。...在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?...在AOV 网中，若从顶点i到顶点j之间存在一条有向路径，称顶点i是顶点j的前驱，或者称顶点j 是顶点i的后继。...(3)从汇点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i](n-2≥i≥0)； (4)根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间...算法的基本思想是： 设置两个顶点的集合S 和T＝V－S，集合S 中存放已找到最短路径的顶点，集合T 存放当前还未找到最短路径的顶点。
在图中，一个顶点可以和其它多个顶点相连，当这样的顶点访问过后，如何选取下一个要访问的顶点？ 解决方案：深度优先遍历和广度优先遍历。...求顶点i的度： 邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数。 判断顶点 i 和 j 之间是否存在边： 测试邻接矩阵中相应位置的元素arc[i][j]是否为1。...求顶点 i 的度： 顶点i的边表中结点的个数。 判断顶点 i 和顶点 j之间是否存在边： 测试顶点 i 的边表中是否存在终点为 j 的结点。...； 输入顶点信息，初始化该顶点的边表； 依次输入边的信息并存储在边表中； 3.1 输入边所依附的两个顶点的序号i和j； 3.2 生成邻接点序号为j的边表结点s； 3.3 将结点s插入到第i个边表的头部...单源点到其他顶点的最短路径 Dijkstra方法，O（n2） 任意一对顶点之间的最短路径 Floyd方法，O（n3） 单源点最短路径问题 问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从
如果图的所有边都是有向边，那么该图叫做有向图。 一个图不能有重复的边。在无向图的任意两个顶点之间，最多只能有一条边。在有向图的任意两个顶点i和j之间，从顶点i到顶点j最多有一条边。...从顶点j到i也最多有一条边。 一个图不可能包含自连边，即(i,i)形式的边。自连边也叫做环。 在图的一些应用中，我们可能要为每条边赋予一个表示成本的值。我们称之为权。...所有发言人都只会说英语，而每一个与会人员所懂得的语言是L1，L2,……，Ln中的一种。翻译小组合一在有英语和其他语言之间互译。现在是任务是如何使翻译小组的人数最少。...一个具有n个顶点和n(n-1)/2条边的无向图是一个完全图(complete graph)。 下面就是n=1,2,3,4时的完全无向图 ? 设G是一个有向图。顶点i入度是指关联至该顶点的边数。...一个有向图是强连通的，当且仅当对于每一对不同顶点i和j，从i到j和从j到i都有一条有向路径。 对于每一个n(n>=1)，都存在一个恰有n-1条边的无向连通图。
在加权图G=(V,E)中，求给定顶点s,d之间各边权值总和最小的路径，这就是最短路径问题。...这个问题主要分为两类： 单源最短路径：在图G中，求给定顶点s到其他所有顶点di之间的最短路径 全点对间最短路径：在图G中，求“每一对顶点”之间的最短路径 求单源最短路径，其实就是求从起点出发的最短路径生成树的过程...简单版本的狄克斯特拉算法就是这样的： 设图G=(V,E)所有顶点的集合为V，起点为s，最短路径生成树中包含的顶点集合为S。在各计算步骤中，我们将选出最短路径生成树的边和顶点，并将其添加到S。...对于各顶点i，设仅经由S内的顶点s到i的最短路径成本为d[i]，i在最短路径中的父节点为p[i] 初始状态下，将S置空。...初始化s的d[s]=0,除此以外的d[i]=∞ 循环进行下述处理，直到S=V为止 从V-S中选出d[u]最小的顶点u 将u添加到S，同时将与u相邻且属于V-S的所有顶点v的值按照下述方式更新 if(d[
图的最短路径算法 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。...确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。...该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。 指定一个起始点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。 ?...请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。...……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。
图2-8 一场说走就走的旅行 2.5.1 问题分析 根据题目描述可知，这是一个求单源最短路径的问题。给定有向带权图G =（V，Ｅ），其中每条边的权是非负实数。此外，给定V中的一个顶点，称为源点。...现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度，这里路径长度指路上各边的权之和。 如何求源点到其他各点的最短路径呢？...Dijkstra算法的基本思想是首先假定源点为u，顶点集合V被划分为两部分：集合S和 V−S。初始时 S 中仅含有源点 u，其中 S 中的顶点到源点的最短路径已经确定。...一旦S包含了所有顶点，dist[]就是从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。 （1）数据结构。...p[]：记录源点到某顶点的最短路径上的该顶点的前一个顶点（前驱）。flag[]：flag[i]等于true，说明顶点i已经加入到集合S，否则顶点i属于集合V−S。
所谓单源节点是指给定源节点，求图中其它节点到此源节点的最短路径。如下图所示：给定源节点a，求节点b到a的最短距离。 (图来自于参考资料2) 那么如何寻找？...如果想看这个最小距离所经过的路径，可以回溯，前提是你在步骤3里面加入了当前节点的最优路径前驱节点信息。...g.n - 1; i++) { min = INF;//找到的点 目前最小 //这个循环每次从剩余顶点中选出一个顶点，通往这个顶点的路径在通往所有剩余顶点的路径中是长度最短的 for...set[u] = 1;//将选出的顶点并入最短路径中 //这个循环以刚并入的顶点作为中间点，对所有通往剩余顶点的路径进行检测 for(j = 0; j j++) { //这个...if判断顶点u的加入是否会出现通往顶点j的更短的路径，如果出现，则改变原来路径及其长度，否则什么都不做 if(set[j] == 0 && dist[u] + g.edges[u][j] < dist
数据结构–图 于2020年11月1日2020年11月1日由Sukuna发布 1.图的定义和术语 1.图 图G由顶点集V和关系集E组成,记为:G=(V,E),V是顶点(元素)的有穷非空集，E是两个顶点之间的关系的集合...(连通图的连通分量是自身) 对有向图G ● 若在图G中,每对顶点vi和vj之间, 从vi到vj,且从 vj到vi都存在路径,则称G是强连通图。...) 2.广度优先搜索:无论如何先把该结点的每个儿子先遍历了(队列) 4.最小生成树 1.DFS和BFS的生成树 生成森林:对图的每个联通分枝进行生成树搜索 5.网的最小生成树: 在网G的各生成树中...:ZJU 算法2（Floyd算法）： 算法思想： 假设求Vi到Vj的最短路径，如果从Vi到Vj有弧，则存在一条长度为arcs[i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。...path[i][j] = k;/*记录I和j之间的中间结点*/ } return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */ }
在图中两点之间的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一个顶点到其他顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。 这里的路径不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和。...1．单源最短路径 单源最短路径是指，在带权图G=(V,E)中，已知源点为s∈V，求s到其余各顶点的最短路径。...1>定理 若π=(u0=s,u1,u2,… ,uk=v)是从顶点s到顶点v的最短路径，则对于任何0 ≤ i j ≤ k，τ=(ui, ui+1, … , uj)是从顶点ui到uj的最短路径。...此定理也可以简单的描述为：最短路径的子路径也是最短路径。 2>Dijkstra（迪卡斯特拉）算法 算法基本思想： 设置两个顶点集S和T，S中存放已确定最短路径的顶点，T中窜访待确定最短路径的顶点。...接着选取T中当前最短路径长度最小的一个顶点v加入S，然后修改T中生于顶点的当前最短路径长度。
先简单介绍一下最短路径： 最短路径是啥？就是一个带边值的图中从某一个顶点到另外一个顶点的最短路径。 官方定义：对于内网图而言，最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和最小的路径。...并且我们称路径上的第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。 由于非内网图没有边上的权值，所谓的最短路径其实是指两顶点之间经过的边数最少的路径。...有些朋友想用最短对的时间，有些朋友想花最少的金钱，这就涉及到不同的方案，那么如何才能最快的计算出最佳的方案呢？ ? 最短路径求法 在网图和非网图中，最短路径的含义是不同的。...网图是两顶点经过的边上权值之和最少的路径。 非网图是两顶点之间经过的边数最少的路径。 我们把路径起始的第一个顶点称为源点，最后一个顶点称为终点。...因此，下一条长度次短的的最短路径长度必是D[j]= Min{ D[i] |v[i]∈V-S }，其中D 要么是弧( v,v[i])上的权值，或者是D[i]( v[k]∈S)和弧(v[k] ,v[i] )
因此下一条次短的最短路径的长度是：D[j] = Min{D[i] | vi ∈ V - S}，其中，D[i]或者是弧(v, vi)的权值，或者是D[k](vk ∈ S)和弧(vk, vi)上权值之和。...然后又从{V – S}中找最小值，重复上述动作，直到所有顶点都并入S中。 Floyd（弗洛伊德）算法 Floyd算法是一个经典的动态规划算法。...于是，延伸到一般问题： 1、当不经过任意第三节点时，其最短路径为初始路径，即上图中的邻接矩阵所示。 2、当只允许经过1号节点时，求两点之间的最短路径该如何求呢？...arcs[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的距离，arcs[i][1] + arcs[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。...将图中所有点分成 S(已求出解)和U(未求出解)2个点集.dist[i]表示v0到v[i]当前已求得得最短路径.A[n][n]为边集 1.从剩下的边集合中选出dist最短的边并将边的另一顶点vi
无权图的单源最短路径 这里我先说一下我的理解，我们求一个顶点到其它各顶点的最短路径，那么肯定得用bfs算法来遍历。...之前的图的遍历和应用中，dfs用了很多，那么现在完全就是类比的概念了，在求两个顶点u，v的路径长度的时候，我们给dfs加了两个形参终点v和长度的d，那么这个bfs的算法也是类是的，不过我们得需要一个数组存储每个顶点到原点的距离...Dijkstra算法的解题思想 将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v,T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。...4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。...采用松弛技术（松弛操作），对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。
注意：单独的节点也可以作为一条路径。 DAG最小路径覆盖解法如下： 把所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果DAG图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...顶点覆盖：GG 中的任意边都有至少一个端点属于SS 的顶点集合S⊂VS⊂V 。 相应的也有：最大匹配，最小边覆盖，最大独立集，最小顶点覆盖。...具体证明参考：百度百科:Konig定理 二分图的最小顶点覆盖 最大独立集 最大团 有向图中应用二分匹配 求有向图最小路径覆盖： 对于有向图的最小路径覆盖，先拆点，将每个点分为两个点，左边是1-n个点...例题 POJ3041(求最小点覆盖) 将所有x行视为一个点集，所有y列视为一个点集，那么（x，y）就表示x和y之间有一条边了。而这题所求是最小点覆盖，即最大匹配。...我们把所有串按其中1的个数和是奇还是偶分成左右两个点集. 对于任意两个串,如果他们只有1位不同,那么就在他们之间连接一条无向边.
问题来了，该如何得知这个顶点已经是最短路径上的一个顶点了？DIJKSTRA把整个顶点集划分为【最短路径顶点集】和【未确定顶点集】，目标就是在每一轮松弛操作后，能够得到当前一个最短路径上的顶点。...证明： 源点到该顶点的路径一定是最短的，所以从该顶点出发连接未确定顶点集的路径中，必然会出现一条最短路径，指向一个新的顶点。...好了，现在经过第k轮，得到了d[i]是源点s到i的【最短路径】，我们选择方法是： 从前一轮最短路径的某个顶点出发，更新所有与之相连的顶点j，选择【未确定顶点集】中的d[j]最小的顶点为新的最短路径顶点...没有，因为其他顶点d[j] > d[i]，而任何从顶点j到顶点i的连接边都是正值，不可能有比d[i]小的路径存在，所以d[i]已经是最短路径中的一个顶点了。那么由此更新它的每一条边必然是安全的。...AOJ 2249: Road Construction 给一版完整的实现，这道题是求最短路径相同的那些边的cost最小，所以先用dijkstra求一次最短路径，接着找到所有最短路径的边，选择cost最小的边即可
= b 0 <= succProb.length == edges.length <= 2*10^4 0 i] <= 1 每两个节点之间最多有一条边 解题 首次尝试 原本，我想利用树的深度优先搜索遍历...而边 m 与点 n 的关系，m 最小是 0（也就是点之间没有线），最大是 (n - 1) * n / 2，每个点之间都有连线。 因此可以预见，这样的算法效率确实很差。...算法思想 设 G=(V,E) 是一个带权有向图，把图中顶点集合 V 分成两组： 第一组为已求出最短路径的顶点集合（用 S 表示，初始时 S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合 S...在加入的过程中，总保持从源点 v 到 S 中各顶点的最短路径长度不大于从源点 v 到 U 中任何顶点的最短路径长度。 此外，每个顶点对应一个距离，S 中的顶点的距离就是从 v 到此顶点的最短路径长度。...从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
普里姆算法 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图 最小生成树 修路问题本质就是就是最小生成树问题...给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树 N个顶点，一定有N-1条边,包含全部顶点 N-1条边都在图中 ?...该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径...弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法： 迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点作为出发点, 求该顶点到其他顶点的最短路径； 弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发点和访问点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径...),Lij)，vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径 至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，是以同样的方式获得 图解分析 首先需要将各顶点之间的距离转换成邻接矩阵
前言 权重图中的最短路径有两种，多源最短路径和单源最短路径。多源指任意点之间的最短路径。单源最短路径为求解从某一点出到到任意点之间的最短路径。...如果你善于观察，从1->3、然后3->5、再5->2，其权重和为7。这条路径才是1->2之间的最短路径。也就是说，经过多个中转站也许比只经过一个中转站会让路径更短。..., i ~ k ~ j(Floyd的思想) for (int k = 1; k <= n; k ++) { // 求最小环, //至少包含三个点的环所经过的点的最大编号是...在一个含有n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多包含n-1边。而实际是，有时也不需要更新n轮。如上述过程，也就三轮而已。...核心思想 搜索到某一个顶点后，更新与其相邻顶点的权重。权重计算法则以及权重更新原则和Bellman相同。和Bellman区别是，DJ 算法搜索时，每次选择的下一个顶点是所有权重值最小的顶点。
设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图...匈牙利算法 原理：匈牙利算法通过不断求增广路来求最大匹配。因为增广路有下面四个性质： 1.增广路有奇数条边 。 2.路径上的点一定是一个在X边，一个在Y边，交错出现。...<< result << endl; return 0; } 五、覆盖和独立集 1.最小点覆盖 定义：给定一张二分图，求出一个最小的点集S，使得图中任意一条边都有至少一个端点属于S。...+n之间连边，得到拆点二分图，记为G’（上图右），则最小路径覆 盖=原图点个数-G’的最大匹配数。...– 最小路径可重复点覆盖：在一个有向无环图中（DAG）用最少的可相交的简单路径覆盖所有的点。 – 方法：先对DAG求一次传递闭包，然后当作求最小路径点覆盖。
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