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考研（大学）数学 极限与连续（4）

解：先证明 a_n\ge 2,a_1=4,a_2=\sqrt{2+a_1}=2.44949\ge 2 ，假设 a_k\ge 2,a_{k+1}=\sqrt{1+a_k}=\sqrt{2+2}=2\ge...解题思路：一般给出递推数列的极限问题一般就是用单调有界准则去做去做，证明有界可采用放缩法，此题使用数学归纳法比较好，数学归纳先假设，先假设 k 项成立，在证明 k+1 项也成立。...解：（1）先证明有界性， a_1>0,a_2=1-e^{-a_1} > b0 ，假设 a_k > 0,a_{k+1}=1-e^{-a_k} > 0 ，由数学归纳法，对任意 n ，均有 a_n > 0...解题思路：第一问跟上面那题有点相似，首先有界，仍然用的是数学归纳法，而单调性是用拉格朗日中值定理来证明（这里要注意小技巧）。...提高 设函数 f\left( x \right) 可导且 0\le f^{'}\left( x \right) \le \dfrac{k}{1+x^2}\left( k > 0 \right) ，对任意的

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USING INDUCTION TO DESIGN 使用归纳法设计算法【全文翻译】

数学归纳法是一个非常强大的证明方法。使用如下：让T是一个我们想证明的定理。假设T包含一个值可为任意自然数的参数n。...其次，我们利用已知的数学证明技巧来设计算法，这一点很重要，因为它开启了利用在别的学科多年发展过程中形成的强大的技术进行算法设计的时代。 一般而言，在算法领域使用归纳法和数学证明技巧并不是第一次见到。...三个例子 计算多项式的值【Q1】 问题：给定一个实数序列an,an-1,…a1,a0和一个实数x，计算下面这个多项式的值 Pn(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+…a1*x+a0 ---- 这个问题看上去并不像是一个使用归纳法求解直观例子...因此我们可以使用下面的假设运用归纳法对其进行求解： 归纳假设：我们已经知道如何去计算一个多项式，该多项式在x处的输入项有an-1,…a1,a0（即我们知道如何计算Pn-1(x)） 我们现在可以使用这假设运用归纳法来解决该问题...在这一点上看上去使用归纳法很无聊因为它仅仅是复杂了一个简单的解决方案，上面提到的算法仅仅是按照多项式的数学方式对多项式从右到左进行计算而已。然而，我们很快就会看见这种方法的强大之处。

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拜占庭将军：背后的数学证明

和反证法类似，数学归纳法的证明通常也分为两步： 证明 n=1 的时候命题成立； 假设 n=k-1 时命题成立，证明 n=k 时命题也成立。...可以看出，数学归纳法和反证法比较类似，在上一个证明中我们利用反证法从假设命题推导已知结论，而在数学归纳法里，我们是从已知结论推导假设命题。...这种情况下每个副官都成为了一个发令将军，发的命令是关于自己从最开始的发令将军那里所得到的命令。...如此一来，我们用同一套同步消息，且取大多数的方法就完成了从 n=k-1 到 n=k 的推导，也就证明了在 n>=4 的情况下 BGP(n, 1)的存在。...这里我们可以总结出数学归纳法的一个套路，就是想方设法在 n=k 的情况下削减掉一个将军，这样就可以复用 n=k-1 的假设，然后再削减掉一个到 n=k-2 的假设，一直递归下去到 n=1 的已知情况。

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NLP入门之形式语言与自动机学习(一)

A 以后我为了省事,比如a属于A,b属于A,c属于A的,都写成a,b,c∈A....不完全归纳法是根据一部分情况作出的推理 , 因此 , 不能作为严格的证明方法。 在形式语言与有限自动机理论中 , 大量使用数学归纳法证明某个命题。...数学归纳法的原理为 : 假定对于一切非负整数n, 有一个命题M(n) , 假设证明了 : (1)M(0) 为真; (2) 设对于任意的k≥0,M(k) 为真,如果能够推出M(k+ 1) 为真,则对一切n...因此,在使用数学归纳法证明某个关于非负整数n的命题P(n) 时,只需要证明(1)、(2) 两点即可。第(1)步称为归纳基础, 第(2)步称为归纳步骤。...在实际应用中,某些命题P(n)并非对n≥0都成立,而是对n≥N(N为大于0的某个自 然数)成立, 此时,也一样可以使用该归纳法。具体步骤如下。

2.1K61

NLP入门之形式语言与自动机学习(一)

A 以后我为了省事,比如a属于A,b属于A,c属于A的,都写成a,b,c∈A....不完全归纳法是根据一部分情况作出的推理 , 因此 , 不能作为严格的证明方法。 在形式语言与有限自动机理论中 , 大量使用数学归纳法证明某个命题。...数学归纳法的原理为 : 假定对于一切非负整数n, 有一个命题M(n) , 假设证明了 : (1)M(0) 为真; (2) 设对于任意的k≥0,M(k) 为真,如果能够推出M(k+ 1) 为真,则对一切n...因此,在使用数学归纳法证明某个关于非负整数n的命题P(n) 时,只需要证明(1)、(2) 两点即可。第(1)步称为归纳基础, 第(2)步称为归纳步骤。...在实际应用中,某些命题P(n)并非对n≥0都成立,而是对n≥N(N为大于0的某个自 然数)成立, 此时,也一样可以使用该归纳法。具体步骤如下。

2.1K130

【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )

与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 ) 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 ) 【组合数学...2, \cdots, n_k \cdot a_k \} 是多重集 , 其含有 k 个种类的元素 , n_1, n_2, \cdots, n_k 是每种元素的重复度 , 该 多重集的 r 组合数...; 相当于 a_1 取 x_1 个 , a_2 取 x_2 个 , \cdots , a_k 取 x_k 个 , 总共取 r 个 ; n_i 是无穷个数时 , 多重集的...\cdots + y^{n_k}) 多重集中的每个元素的取值个数作为 y 的次幂 , 如 a_1 元素的取值个数是 0 到 n_1 , 则该项对应的 生成函数项是 从 y 的 0...次幂 , 到 y 的 n_1 次幂 相加 ; 构成项 (1 + y + \cdots + y^{n_1}) ; 将所有元素的上述 生成函数项 乘到一起 , 就构成上述生成函数 ; 按照多项式乘法

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无约束优化

x_k 步长计算过程结束，否则，我们可以在此基础上，利用已知的三个信息 Ø(a_0)、Ø(0)、Ø’(0)，构建一个二次（平方）插值多项式来拟合Ø(a_k)。...该二次插值多项式如下所示： Ø_q(a) =( ( Ø(a_0) - Ø(0) - a_0*Ø’(0) ) / a_0 2 )*a2 + Ø’(0)*a + Ø(0) (15) 观察上面的二次插值多项式可知...，其满足如下插值条件： Ø_q(0) = Ø(0) Ø_q’(0) = Ø’(0) Ø_q(a_0) = Ø(a_0) 对二次插值多项式(15)求导并令其为零，即可获得使得该多项式取得小值的 a 值...并且选择使用 a_i+1 对应的Ø (a_i+1)和Ø’( a_i +1) 替换 a_i-1 或 a_i 相应的值，一旦确定好 a_i-1 或 a_i 中的一种后，每次都替换对应的值，如替换 a_i-1...这里有必要简略解释一下为何只使用到三次插值多项式，而没有使用更高阶的插值多项式。原因是三次插值多项式对函数某个点处的具体值有较好的拟合效果，同时又有较好的抗过拟合作用。

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贪心算法(Java)

贪心法必须进行正确性证明 贪心法的优势：算法简单，时间和空间复杂性低 3、贪心法的正确性证明 数学归纳法 叙述一个描述算法正确性的命题P(n)，n为算法步数或者问题规模 归纳基础：P(1) 或 P(n0...)为真, n0为某个自然数 归纳步骤：P(k) -->P(k+1) 第一数学归纳法 对于所有k(k P(n) 第二数学归纳法 交换论证...分析算法的解的结构特征 从一个最优解逐步进行结构变换(替换成分、交换次序等)得到一个新的解（结构上与贪心算法的解更接近） 证明：上述变换最终得到算法的解，且变换在有限步结束，每步变换都保持解的最优性不降低.... 4、活动安排问题 4.1 问题描述 设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。...这个结论可以用数学归纳法证明。

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简单易学的机器学习算法——Latent Dirichlet Allocation（理论篇）

假设对于一个事件AA，在一次试验中，其发生的概率为pp，那么其不发生的概率为1−p1-p，那么在nn次独立重复试验中事件AA恰好发生kk次的概率为： Pn(k)=Cknpk(1−p)n−k P_n...{D\left ( a_1,\cdots ,a_k \right )}x_1^{a_1}\cdots x_k^{a_k} 其中，0⩽x1⋯xn⩽10\leqslant x_1\cdots x_n\leqslant...1，且∑ki=1xk=1\sum_{i=1}^{k}x_k=1，D(a1,⋯,ak)D\left ( a_1,\cdots ,a_k \right )的形式为： D(a1,⋯,ak)=Γ(a1)⋯...从词库中选择每个词的过程满足多项式分布，总共需要从词库中抽取NN次，则全体文档的概率为： P(W)=P(w⃗ 1)P(w⃗ 2)⋯P(w⃗ m)=∏k=1N∏i=1V**ii \begin{matrix...)，n(k)mn_m^{\left ( k \right )} 表示的是第mm篇文档中属于第kk个主题的词的个数。

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【图神经网络】GCN-2（ChebyNet）

3.2 推导过程 切比雪夫多项式 谱图卷积 本身提出的卷积核 从谱图卷积开始： 其中第二行到第三行的证明如下： 需要使用数学归纳法来证明，首先证明n=1时有 3.3 图粗化 本文是用了 Dhillon...3.4 图池化 图粗化后，将该粗化图添加fake节点使得粗化图中每个顶点都有2个children，构成一个二叉树，将二叉树摊平构成一维信号（上图右部分下），然后对该信号采样即可表示为一次图pooling...graph卷积layer，所有的FCk，Ck，GCk后面都跟着一个ReLU激活函数max(x,0)，最后一个layer是softmax regression，损失能量E是带L2正则化的FCk layers...表现差了一点，可以用spectral filters的各向同性来解释，一般图中的边不具有方向（如2D网格上的像素的上、下、右和左） Text Categorization on 20NEWS 为了证明在非结构化数据上模型的能力...五、Conclusion 卷积核的参数量为K，K远小于N，相比第一代GCN减少了复杂度 具有spatial localization 证明了图的质量对性能的影响

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【组合数学】递推方程 ( 递推方程求解过程总结 | 齐次 | 重根 | 非齐次 | 特征根为 1 | 指数形式 | 底为特征根的指数形式 ) ★★

n 的次幂 ; 如 : n^{e_i-1} , 这里有 e_i 个常数 ; ③ 常数 : 常数下标是从 c_{i1} 到 c_{ie_i} , 下标的右侧部分是 1 到 e_i...) ---- 常系数线性非齐次递推方程 : H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n) , n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \...- a_kH(n-k) = f(n) , n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0 上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 0 ,...: H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n) , n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0 上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程...” 是一样的 , 但是右侧不是 0 , 而是一个基于 n 的 函数 f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ; 非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 :

98000

【cg】【球谐光照】预备知识之傅立叶变换

使用求解多元一次线性方程组的方法，如Gauss消元、LU分解、Crammer法则等[1]，便可求出该多项式所有的系数 ((a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{n-1})) 。...(g(x)) 都只需要m次乘法得出。...在了解傅立叶级数之前，我们需要先了解一些信号统计和数学相关的前置知识。 周期信号和正弦波 周期信号广泛存在于我们的日常生活中，如简谐运动[10]、电磁波、引力波等。...且只要证明 ((11.4)(11.5)) 成立，即可推导出 ((11.6)) 。下面来证明。...正如前文所述，本文的侧重点是对概念和思想的熟悉，以及推导过程中的重要步骤和结果，顺带着科普一些基础但很有趣的数学知识，所以有选择地忽略了很多细枝末节(如边界条件、级数的敛散性及相关证明、一些性质和应用等

1.9K20

【组合数学】多项式定理 ( 多项式定理 | 多项式定理证明 | 多项式定理推论 1 项数是非负整数解个数 | 多项式定理推论 2 每项系数之和 )

文章目录 一、多项式定理 二、多项式定理 证明 三、多项式定理 推论 1 四、多项式定理 推论 2 一、多项式定理 ---- 多项式定理 : 设 n 为正整数 , x_i 为实数 , i=1,2...二、多项式定理 证明 ---- 多项式中 (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n : 分步进行如下处理 : 第 1 步 : 从 n 个因式中 , 选 n_1 个因式...: 多重集 : S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq n_i \leq..., 使用 k-1 个分割线分割 k 种元素的位置 , k - 1 个分割线相当于组成了 k 个盒子 , 在每个盒子中放 0 \sim r 个不等的元素 , 放置的总元素的个数是...情况下的 组合个数 ; 结果是 : N= C(k + r - 1, r) 参考 : 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导

1.1K00

密码学：Groth16

zero-knowledge protocol：是一组数学规则，根据这些规则，在给定 instance 后，prover 可以向 verifier 证明自己知道该 instance 的 witness...1 启动阶段 该阶段对于每个 R1CS 和关联的 QAP 只需执行一次，输出的 CRS 会被 prover 和 verifier 用于生成和验证 zk-SNARK。...P(x) = g_1^{a_0 · x^0 + a_1 · x^1 + . . . a_k · x^k}模拟后门 ST = (α, β ,γ, δ, τ) 中的 τ 为秘密评估点（secret...}, g_1^{B_j(τ)}, g_2^{B_j(τ)} 可从 CRS 和 QAP 获得，这些点只需要计算一次，且可被公开，可被重用，因为对于所有的 instance 和 witness 都是一致的...如果后门已经不存在了，且 proof 通过来验证，那么 verifier 就可以确信存在一个 witness W= 使得 (I;W) 属于语言 R 。

36630

【组合数学】指数生成函数 ( 证明指数生成函数求解多重集排列 )

与多项式系数相关 ) 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质...| 指数生成函数示例 ) 一、证明指数生成函数求解多重集排列 ---- 多重集 S=\{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k...) ★ 其中每个生成函数项 f_{n_i}(x) 是 f_{n_i}(x) = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!}...f_{n_2}(x) \cdots f_{n_k}(x) , 由 k 个因式相乘得到 , 每个因式都会提供一个 \cfrac{x^{m_1}}{m_1!}...其中 m_1 + m_2 + \cdots + m_r = r \ \ \ , 0 \leq m_i \leq n_i \ \ , i= 0,1,2, \cdots , k \cfrac{x^{m_1

39100

递归算法时间复杂度分析

---- 2、代入法 代入法实质上就是数学归纳法，因此求递推式分为两步： 猜测解的形式； 用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的。   ...（如下如(b)→(c)(b)→(c)） 第三步：反复按照“第一步”的方式迭代，每迭代一次递归树就增加一层，直到树中不再含有权值为函数的结点（即叶结点都为T(1)T(1)）。...若对某个常数ε>0ε>0有f(n)=Ω(n(logba)+ε)f(n)=Ω(n(logb⁡a)+ε)，且对某个常数c<1c<1和所有足够大的n有af(n/b)≤cf(n)af(n/b)≤cf(n)，则T...最后给出主定理应用的几个练习题： 具体举例分析： 【代入法】代入法首先要对这个问题的时间复杂度做出预测，然后将预测带入原来的递归方程，如果没有出现矛盾，则是可能的解，最后用数学归纳法证明。 　　...2+O(n)=kn2+O(n),由于n2的阶高于n的阶，因而左右两边是相等的，接下来用数学归纳法进行验证即可。

1.6K20

【组合数学】组合恒等式总结 ( 十一个组合恒等式 | 组合恒等式证明方法 | 求和方法 ) ★

归纳法 数学归纳法 描述 一个与自然数相关的命题 P(n) , 根据不同的问题 , 设定 n 最小的值 , 一般情况下从 0 开始 , ( 1 ) 证明时分为以下两个步骤 : ① 归纳基础...: 先证明 归纳基础 , 如证明 P(0) 为真 ; ② 归纳步骤 : 根据 数学归纳法的种类 , 进行不同方式的证明 , 这里有 第一数学归纳法 和 第二数学归纳法 两种归纳法 ; ( 1 ) 数学归纳法...: ① 第一数学归纳法 : 从 P(n) 推导 P(n + 1) P(0) 为真 假设 P(n) 为真 , 证明 P(n + 1) 也为真 ② 第二数学归纳法 : 所有小于 n 的...-1) \to P(n) 参考 : 【组合数学】组合数学简介 ( 组合思想 2 : 数学归纳法 | 数学归纳法推广 | 多重归纳思想 ) 5 ....观察和的结果 , 使用数学归纳法证明 : 猜想一个和的结果 , 然后使用归纳法证明 ; 4 . 利用已知公式求和 :

1.2K00

排列组合公式的原理_有序排列组合公式

,n,m∈N∗,并且m≤n C0n=Cnn=1 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。...组合数的性质# Cmn=Cn−mn 可以理解为：将原本的每个组合都反转，把原来没选的选上，原来选了的去掉，这样就变成从n个元素种取出n−m个元素，显然方案数是相等的。...根据乘法原理，一共2×2×⋯×2⏟n个2相乘=2n种组合。 想要严谨的证明？数学归纳法： 当m=1时，C01+C11=2=21成立。...也可偷懒地用二项式定理证明（其实二项式定理也是用数学归纳法证明的）： (a+b)n=n∑k=0Cknan−kbk 令a=b=1，就得到了 n∑i=0Cin=2n 类似的公式（由Cmn=Cn−mn推导...CknCnkPnk 定义及概念 对于非负整数n和k，二项式系数定义为的多项式展开式中，项的系数，即 (nk)(1+x)nxk (1+x)n=n∑k=0(nk)xk=(n0)+(n1)x+⋯+(nn)xn

1.6K10

史上最简单排序算法？看起来却满是bug

下面给出证明过程。 证明 下面将通过数学归纳法来证明此算法的正确性。...要证明该算法正确，只需要证明P对于任何[i + 1..n]都成立。 根据数学归纳法，我们只要证明 P₁成立，假设 Pᵢ成立，接着再证明 Pi+1 也成立，命题即可得证。...❞ 现在，我们考虑以下几种情况： 1 ≤ j ≤ k−1 此时，由于A[1..i]是递增有序，且A[K]是满足A[k] > A[i+1] 最小的一个数，所以A[j] < A[i +1]，没有任何元素交换发生...看完这篇论文，突然想起之前有个更简单且容易理解的算法，我们暂且称之为休眠算法。 思想： ❝构造n个线程，它们和这n个数一一对应。...等所有线程都醒来，排序就结束了。 ❞ 例如对于 [4,2,3,5,9] 这样一组数字，就创建 5 个线程，每个线程睡眠 4s，2s，3s，5s，9s。这些线程睡醒之后，就把自己对应的数报出来即可。

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