同样对E矩阵做奇异值分解（SVD）： ? ii. 那么第一个摄像头投影矩阵简单设为 ? 而第二个摄像头矩阵P2有四种可能情况，如图（a）-（d）所示： ? 其中 ? ? ?...但一些误差干扰的存在，上述线性解是不存在的；所以需要一个非线性的解，这里采用 F 矩阵定义的外极约束方程 xTFx’= 0，得到最小化误差函数为 ?...BA示意图 这里集束（Bundle）指2-D点和3-D点之间的光线集，而修正（Adjustment）是指全局优化过程；其解法是非线性迭代的梯度下降法，如Gauss-Newton 方法和其修正 Levenberg-Marquardt...方法，因为问题自身的特性，这里的雅可比矩阵是非常稀疏的；另外，只取重建 3-D 点修正的话，称为 structure only BA，而只取视角变换修正的话，称为 motion-only BA； 在以上基础之上...那么 H 近似为 H ≈ J⊤ W J 作为梯度下降法，其 G-N 迭代的步进量即 z → z + delta z，由下面方程组计算 ? 对于上面 G-N 的迭代步进量计算，可能左边的矩阵不可逆。
最小二乘法 最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程式数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程。...我们将代数方程组用矩阵来代替可以简化推导过程，以及代码实现。 ?...但在这个代码实现中需要注意：X矩阵不能为奇异矩阵，否则是无法求解矩阵的逆的。下面是手撸最小二乘法的代码实现部分。...xTx = xMat.T * xMat if np.linalg.det(xTx) == 0.0: print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆") return...不同的是，我们不会将公式等于0来求极值，而是带入上面梯度下面公式来迭代完成求解，以下是梯度下降矩阵形式的最终求解结果。 ?
矩阵补课 特征值分解EVD，奇异值分解SVD EVD特征值分解（The eigenvalue value decomposition） SVD奇异值分解（Singularly Valuable...矩阵补课 特征值分解EVD，奇异值分解SVD \(A\)是矩阵 \(x_i\) 是单位特征向量 \(\lambda_i\)是特征值 \(\Lambda\) 是矩阵特征值 EVD特征值分解（The...存储领域，选取u，v正交基矩阵，计算奇异值矩阵，使奇异值矩阵尽量集中，即可取到 机器学习 1、Introduction E：经验 T：任务 P：概率 机器学习分类 监督学习(supervisor learning...正规方程法行不通： \(X^TX\)不可逆 元素中有redundant features,linearly dependent 过多的features，导致input维度n>m 回归问题的矩阵表达 ?...\] 通过奇异值分解（SVD），求取 \(\Sigma \) 的特征向量（eigenvectors）： \[(U,S,V^T)=SVD(\Sigma )\] 从 U 中取出前 k 个左奇异向量，构成一个约减矩阵
条件数与范数有关，因此是G的相对误差与b的相对误差之和的放大倍数。若矩阵G的条件数很大，扰动对解的影响很大，我们称这个问题是病态的，或G是病态的。...为了解决这个问题，我们可以采用基本Newton方法与最速下降法相互混合的方式。 该方法采用Newton方法，但是在Hesse矩阵 ? 奇异或者 ? 与 ? 几乎正交时，采用负梯度方向；在 ?...n个方程，n(n+1)/2个变量。 令 ? 得到： ? 因此拟牛顿条件为： ? 满足这两个方程的矩阵有很多，因此拟牛顿方法是一类方法。 ? 在上述算法中，初始矩阵 ?...一般取单位矩阵，第一步迭代方向取为负梯度方向。 那么，算法的核心就是怎么由 ? 去修正 ? ，即 ? ，而 ? 的取法是多种多样的，但是他应该具有简单、计算量小、有效的特点。...3.2 拟牛顿方法的修正公式 3.2.1 对称秩1公式 即取 ? 为对称秩1矩阵，即有 ? 。 将 ? 代入拟牛顿方程 ? 得到： ? 即有： ? 。 由于 ? 是一个数，因此u与 ?
矩阵补课 特征值分解EVD，奇异值分解SVD image.png EVD特征值分解（The eigenvalue value decomposition） 针对方阵，特征值 ?...存储领域，选取u，v正交基矩阵，计算奇异值矩阵，使奇异值矩阵尽量集中，即可取到 机器学习 1、Introduction E：经验 T：任务 P：概率 机器学习分类 监督学习(supervisor learning...正规方程法（Normal Equation） ? image.png ? b相当于y，a相当于x组成的矩阵， ? 求导过程 ? 线性代数回顾 矩阵、向量使用规范 ?...加速梯度下降方法，让\(x_i\)尺度一致 image.png 回归问题方法选择 ? 正规方程法行不通： image.png 回归问题的矩阵表达 ?...6.2 设计神经网络 快速部署、设计简单网络 plot 学习曲线，发现问题 误差分析（验证集）：数值被错误分类的特征，度量误差 误差度量 for skewed classes 偏斜类 precision
忽略关节的柔性效应， 将机械臂视为刚体， 采用修正的 D-H 方法建模。...[T矩阵] 机械臂末端坐标系相对于基座坐标系的齐次变换矩阵为 [齐次变化矩阵乘法] 冗余自由度机械臂的正运动学方程可用下式描述： p=f(q) 机械臂的运动学求解，一般从其速度层面进行分析。...如果关节 i 为移动关节， 则雅可比矩阵的第 i 列为 如果关节 为转动关节， 则雅可比矩阵的第 列为： 由以上可求得机械臂的雅可比矩阵： 2 奇异鲁棒逆解与梯度投影法 机械臂的逆运动学分析是指...根据式可求得采用阻尼最小二乘法时的末端跟踪误差为： 为了降低机械臂的末端跟踪误差， 引入变阻尼系数， 以雅可比矩阵的最小奇异\sigma_m 来度量机械臂接近奇异位型的程度： 采用阻尼最小二乘法实现了机械臂在奇异位型区间内逆运动学解的可行性...同样， 以雅可比矩阵的最小奇异值 \sigma_m表示当前时刻机械臂构型的奇异程度， 可以采用变优化系数 H(q)取为避关节极限指标， 当进行轨迹优化时， 避关节极限指标越小越好： 则其梯度向量可表示为
其基本思想是:由所给的输入、输出模式对通过作用于神经网络来建立线性方程组，运用高斯消元法解线性方程组来求得未知权值，而未采用传统BP网络的非线性函数误差反馈寻优的思想。...)v2r+…+am(2)vmr=tr(2) ……a0(p)v1r+a1(p)v2r+…+am(p)vmr=tr(p) 简写为: Av=T 为了使该方程组有唯一解，方程矩阵A为非奇异矩阵，其秩等于其增广矩阵的秩...，即:r(A)=r(A┊B)，且方程的个数等于未知数的个数，故取m=p，此时方程组的唯一解为: Vr=v0r，v2r，…vmr (4)重复第三步就可以求出输出层m个神经元的权值，以求的输出层的权矩阵加上随机固定的隐层与输入层的权值就等于神经网络最后训练的权矩阵...若有正确的结果，那么将正确的结果和产生的结果进行比较，得到误差，再逆推对神经网中的链接权重进行反馈修正，从而来完成学习的过程。...–若在输出层得不到期望的输出，则转向误差信号的反向传播流程。 这两个过程的交替进行 –在权向量空间，执行误差函数梯度下降策略，动态迭代搜索一组权向量。
具体步骤如下: (1)初始化，随机给定各连接权[w],[v]及阀值θi，rt。...)v2r+…+am(2)vmr=tr(2) ……a0(p)v1r+a1(p)v2r+…+am(p)vmr=tr(p) 简写为: Av=T 为了使该方程组有唯一解，方程矩阵A为非奇异矩阵，其秩等于其增广矩阵的秩...，即:r(A)=r(A┊B)，且方程的个数等于未知数的个数，故取m=p，此时方程组的唯一解为: Vr=v0r，v2r，…vmr (4)重复第三步就可以求出输出层m个神经元的权值，以求的输出层的权矩阵加上随机固定的隐层与输入层的权值就等于神经网络最后训练的权矩阵...若有正确的结果，那么将正确的结果和产生的结果进行比较，得到误差，再逆推对神经网中的链接权重进行反馈修正，从而来完成学习的过程。...–若在输出层得不到期望的输出，则转向误差信号的反向传播流程。 这两个过程的交替进行 –在权向量空间，执行误差函数梯度下降策略，动态迭代搜索一组权向量。
那么，手里有一些X和对应的Y,怎样才能找到θ呢？ 在回归方程里，求得特征对应的最佳回归系数的方法是最小化误差的平方和。...Normal Equation方法中需要计算X的转置与逆矩阵，计算量很大，因此特征个数多时计算会很慢，只适用于特征个数小于100000时使用；当特征数量大于100000时使用梯度法。...1，梯度下降法（Gradient Descent） 根据平方误差，定义该线性回归模型的损耗函数（Cost Function）为： ?...上述公式中包含XTX, 也就是需要对矩阵求逆，因此这个方程只在逆矩阵存在的时候适用。然而，矩阵的逆可能并不存在，后面“岭回归”会讨论处理方法。...简单说来，岭回归就是对矩阵XTX进行适当的修正，变为 ? (I是单位矩阵,对角线为1,其他为0)从而使得矩阵非奇异，进而能对式子求逆。在这种情况下，回归系数的计算公式将变成： ?
最大化似然函数：通过选择合适的优化算法（如牛顿-拉夫森法、梯度上升法等），求解使得似然函数最大化的参数值。 模型验证：利用估计得到的参数进行模型拟合，并通过残差分析、信息准则等方法验证模型的有效性。...具体的计算过程如下： 定义似然函数：假设误差项遵循正态分布，可以推导出多重线性回归模型的似然函数。 求解参数：使用等式和矩阵运算来求解似然函数的最大值对应的参数值。...模型调整：根据初始估计值进行修正，以提高估计精度和稳定性。 实际案例 在实际应用中，例如金融市场的波动性分析，MLE被用来估计波动率模型的参数。...以下是几种常见的数值优化算法及其效率和适用场景： 梯度下降法（Gradient Descent, GD）： 效率：梯度下降法的效率取决于学习率的选择、初始参数的设置以及目标函数的复杂性。...拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）： 效率：拟牛顿法如BFGS和L-BFGS等方法不需要计算二阶导数，而是通过近似更新Hessian矩阵，从而降低了计算复杂度。
因此 X 是一层到下一层的雅克比矩阵 DW 的奇异值的平方和的均值。这个局部算子反映随机选择的反向传播误差 e} 的平均乘性增长（X 1）。...除了为初始化带来新的见解，对信号传播和梯度后向传播的平均场分析为深度学习的一些其他现象带来新的解释。...这种初始化方法确保了误差后向传播的动力等距，即每一个误差向量的长度近似不变，所有误差向量对的夹角也保持不变。 在线性网络网络中可以简单地选择正交的权重矩阵（而非高斯权重）来满足动力等距。...的确，即使 X=1 ，高斯随机矩阵的乘积的最大奇异值随着网络深度线性增长，而正交矩阵的乘积所有的奇异值都等于1，所以可以达到完美的动力等距。...图4c 不同深度下以动力等距初始化的 CNN 在 CIFAR-10 上的训练准确性和测试准确性，分别如点线和实线所示。训练深度可达 10000 层。
“强基固本，行稳致远”，科学研究离不开理论基础，人工智能学科更是需要数学、物理、神经科学等基础学科提供有力支撑，为了紧扣时代脉搏，我们推出“强基固本”专栏，讲解AI领域的基础知识，为你的科研学习提供助力...贝叶斯优化 Beam Search 束搜索 Benchmark 基准 Belief Network 信念网/信念网络 Belief Propagation 信念传播 Bellman Equation 贝尔曼方程...Gradient Clipping 梯度截断 Gradient Descent 梯度下降 Gradient Descent Method 梯度下降法 Gradient Exploding Problem...梯度爆炸问题 Gram Matrix Gram 矩阵 Graph Convolutional Network 图卷积神经网络/图卷积网络 Graph Neural Network 图神经网络 Graphical...Pairwise Markov Property 成对马尔可夫性 Parallel Distributed Processing 分布式并行处理 Parameter 参数 Parameter Estimation 参数估计
你好，我是zhenguo 这是几位机器学习权威专家汇总的725个机器学习术语表，非常全面了，值得收藏！...贝叶斯优化 Beam Search 束搜索 Benchmark 基准 Belief Network 信念网/信念网络 Belief Propagation 信念传播 Bellman Equation 贝尔曼方程...Gradient Clipping 梯度截断 Gradient Descent 梯度下降 Gradient Descent Method 梯度下降法 Gradient Exploding Problem...梯度爆炸问题 Gram Matrix Gram 矩阵 Graph Convolutional Network 图卷积神经网络/图卷积网络 Graph Neural Network 图神经网络 Graphical...Pairwise Markov Property 成对马尔可夫性 Parallel Distributed Processing 分布式并行处理 Parameter 参数 Parameter Estimation 参数估计
下面是几位机器学习权威专家汇总的725个机器学习术语表，非常全面了，值得收藏！...贝叶斯优化 Beam Search 束搜索 Benchmark 基准 Belief Network 信念网/信念网络 Belief Propagation 信念传播 Bellman Equation 贝尔曼方程...Gradient Clipping 梯度截断 Gradient Descent 梯度下降 Gradient Descent Method 梯度下降法 Gradient Exploding Problem...梯度爆炸问题 Gram Matrix Gram 矩阵 Graph Convolutional Network 图卷积神经网络/图卷积网络 Graph Neural Network 图神经网络 Graphical...Pairwise Markov Property 成对马尔可夫性 Parallel Distributed Processing 分布式并行处理 Parameter 参数 Parameter Estimation 参数估计
：函数 E 表示训练误差函数，grad_E 表示其梯度。...总结： 梯度下降法通过沿着目标函数梯度的反方向更新变量，能够有效地逼近函数的极小值。在神经网络训练竞赛中，利用梯度下降法可以有效地优化权重参数，以最小化训练误差。...第十章：最小二乘问题 线性最小二乘法 应用类型： 数据拟合、参数估计、信号处理 算法简介： 线性最小二乘法（Linear Least Squares）是一种用于数据拟合和参数估计的优化方法，通过最小化目标函数与观测数据之间的平方误差...总结： 线性最小二乘法通过最小化目标函数与观测数据之间的平方误差，能够高效地处理数据拟合和参数估计问题。在数据拟合竞赛中，利用线性最小二乘法可以找到最佳拟合参数，以准确地描述实验数据。...：函数 F 表示非线性方程组，J 表示雅可比矩阵。
) 对于最小二乘法中的F最小化求解使用梯度下降算法进行求解（如果是求解最大值，则使用梯度上升算法），梯度下降算法即为从某个初始点出发，按照梯度下降的方向，每次前进一步，直到最小值点，因此需要一个步长...对此，Andrew Ng的经验建议是：如果n>10000，那么使用梯度下降算法进行求解。同时，如果(XTX)是奇异矩阵，即含有0特征值，那么其便不可逆，一个解决方法便是L2正则，后面将会讲到。...θ进行估计，在最大似然估计中，我们假定观察的样本是该样本分布下中最大可能出现的，把最大可能性所对应的参数θ对真实的θ∗进行参数估计。...特征向量α≠0，特征值λ都是对方阵来说的； n阶方阵A的特征值即为使得 齐次线性方程组(λI−A)x=0有非零解的λ值，即满足方程|λI−A|=0的λ都是矩阵A的特征值. ...若方阵的行列式值为0，即为奇异方阵，也即其含有为0的特征值，那么该方阵不可逆.
最小二乘矩阵求解与正则化，最小二乘是最常用的线性参数估计方法，早在高斯的年代，就用开对平面上的点拟合线，对高维空间的点拟合超平面。?...parameters)代价函数关于变元 x 的共轭梯度 令 得到 使得 替代协方差矩阵的直接求逆 的方法常称为...Tikhonov 正则化在信号处理和图像处理中有时也称为松弛法(relaxation method)Tikhonov 正则化的本质是通过对非满秩的矩阵A的协方差矩阵 的每一个对角元素加入一个很小的扰动...使得奇异的协方差矩阵 求逆变为非奇异矩阵 的求逆，从而大大改善求解非满秩矩阵 的数值稳定性 也就是降低cond条件数的大小。...增加的项对其施加一个惩罚，其得到的解比仅优化 更切合实际 如果矩阵A是满秩矩阵，但存在误差或者噪声是，需要采用与上面相反的做法，就是对上面的协方差矩阵 加上以恶搞很小的扰动矩阵 去干扰，类似于上面的公式
深度学习与统计力学(V) ：深度学习的泛化能力 深度学习与统计力学(VI) ：通过概率模型进行“深度想象” 在对公式(3)的误差曲面运行梯度下降之前，我们必须要选择参数 的初始配置。...因此 是一层到下一层的雅克比矩阵 的奇异值的平方和的均值。这个局部算子反映随机选择的反向传播误差 的平均乘性增长（ ）或收缩（ ）。...除了为初始化带来新的见解，对信号传播和梯度后向传播的平均场分析为深度学习的一些其他现象带来新的解释。...而在高斯初始化中，即使 ，训练时间也随着深度线性增长。的确，即使 ，高斯随机矩阵的乘积的最大奇异值随着网络深度线性增长，而正交矩阵的乘积所有的奇异值都等于1，所以可以达到完美的动力等距。...图4c 不同深度下以动力等距初始化的 CNN 在 CIFAR-10 上的训练准确性和测试准确性，分别如点线和实线所示。训练深度可达 10000 层。
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