利用向量积（叉积）计算三角形的面积和多边形的面积： 向量的数量积和向量积： （1） 向量的数量积 （1） 向量的向量积 两个向量a和b的叉积（向量积）可以被定义为： 在这里θ表示两向量之间的角夹角（...向量积的模（长度） 可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。...，利用三阶行列式，写成： 计算任意多边形的面积：（顶点按逆时针顺序排列） 求多边形面积最基础的方法就是用剖分法来做的，就是把多边形分成若干个三角形，然后对每个三角形求面积，求面积，在有精度要求的情况下，...最适合解决任意多边形面积的方法是：向量积法。 顶点为Pk(k=1,2,3…n)的多边形，其顶点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)…(xn,yn)。...在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。
游戏开发中的向量数学 介绍 坐标系（2D） 向量运算 会员访问 添加向量 标量乘法 实际应用 运动 指向目标 单位向量 正常化 反射 点积 面对 叉积 计算法线 指向目标 介绍 本教程是线性代数的简短实用介绍...但是，这在大多数计算机图形应用程序中很常见。 二维平面中的任何位置都可以通过一对数字来标识。 但是，我们也可以将位置（4，3）视为与（0，0）点或原点的偏移量。...点积是对两个向量返回标量的运算。与既包含幅度又包含方向的向量不同，标量值仅包含幅度。 点积的公式有两种常见形式： 和 但是，在大多数情况下，最容易使用内置方法。...，我们看到了如何将其用于查找两个向量之间的角度。...但是，在3D中，这还不够。我们还需要知道要旋转的轴。通过计算当前朝向和目标方向的叉积可以发现。所得的垂直向量是旋转轴。
每个 y_i 可以解释为输入向量 ? 与矩阵 W 的第 i 行之间的点积。 当光通过设置，矩阵向量乘法中涉及的所有标量乘法和加法被并行计算完成。...在第一个表征实验中，研究者计算了随机选择的向量对的点积（图 2a），将通过点积计算得到的表征结果直接应用于通用矩阵向量乘法的设置（看作向量 - 向量点积计算）。...而点积计算的答案是标量，因此只需使用单个检测器，编码点积答案的光信号由能够分辨单个光子的灵敏光电检测器测量。...如上图 2b 所示，为了证明设置可以基于大尺寸向量使用每个标量乘积少于 1 个光子的计算，研究者测量了尺寸约为 50 万的向量之间点积的数值精度。...研究者还证实了，当每个标量乘法使用较少数量的光子时，可以计算出较短向量之间的点积（图 2c）。
向量 矩阵 张量 向量是标量的推广，矩阵是向量的推广,张量是任意维度的推广。...）是相同位置的按元素乘积的和： ? 。 矩阵-向量积 现在我们知道如何计算点积，我们可以开始理解 矩阵-向量积（matrix-vector products）。回顾矩阵 ? 和向量 ? 。...在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数 ? 。向量范数要满足一些属性。给定任意向量 ? ，第一个性质说，如果我们按常数因子 ?...然而，虽然这些更奇特的对象确实出现在高级机器学习中（包括[深度学习中]），但当我们调用向量的反向计算时，我们通常会试图计算一批训练样本中每个组成部分的损失函数的导数。...我们的目的不是计算微分矩阵，而是批量中每个样本单独计算的偏导数之和。 对非标量调用backward需要传入一个gradient参数，该参数指定微分函数关于self的梯度。
线性代数将复杂问题转变为简单、直观和高效的计算问题。下面的例子可以表明实现同样的功能，线性代数的代码表达是如何的简洁与美观。...标量运算 标量运算即为向量和数字间的运算。向量与数的运算就是向量内每一个元素与这一个数进行相应的运算。如下图的一个标量运算： ? 向量间运算 在向量间的运算中，对应位置的值可以组合而产生一个新向量。...向量乘法 向量的乘法有两种类型：一种是点积，另一种是 Hadamard 积。 点积 两个向量的点积结果是一个标量。向量和矩阵（矩阵乘法）的点积在深度学习中是最重要的运算之一。...矩阵的标量运算和向量的标量运算是一样的。...可以简单地将标量和矩阵中的每一个元素做运算处理（如加、减、乘、除等）。 ?
第一，矩阵对矩阵的导数应包含所有mnpq个偏导数，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。...在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于中每个子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。 然后来建立运算法则。...仍然要利用导数与微分的联系，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧： 线性：。 矩阵乘法：，其中表示Kronecker积，与的Kronecker积是。...再谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求呢？从导数与微分的联系入手， ，可以推出链式法则。 和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。...我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是
在Lucene中引入Int4量化 在我们之前的博客中，我们详细介绍了Lucene中标量量化的实现。我们还探讨了两种特定的量化优化。...现在，我们来探讨这个问题：在Lucene中，int4 量化是如何工作的，以及它是如何对齐的？ 存储和评分量化向量 Lucene将所有向量存储在一个平面文件中，使得可以根据某个序号检索每个向量。...由于已知这些值在0-15之间，我们可以准确地知道何时需要考虑值溢出，并优化点积计算。一个点积的最大值是15*15=225，这可以放入一个字节中。...对于误差修正计算和其推导的更详细解释，请参见标量点积的误差修正。...找到最佳分桶 进行标量量化的简单和朴素的方法可以让你走得很远。通常，你选择一个置信区间，从中计算向量值的允许极限。
无穷范数 image.png 为向量中绝对值最大的元素的值。...，易于计算 image.png 行列式 方阵 A 的行列式，记作 det(A)或|A|： image.png 计算公式： D=\sum (- 1) ^ {k } a_{1 k_{ 1} } a...： image.png 向量积 点积**（Dot Product）** 对应元素乘积和，结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar） image.png 叉乘（cross product...Hadamard product)（又称作逐元素积） image.png 克罗内积(Kronnecker product) image.png 偏导数 标量对标量的偏导数：\frac{\partial...标量对矩阵( m \times n阶矩阵)的偏导数： image.png 向量（ m维向量）对标量的偏导数：\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{u}}}{\
图片Chris Hegarty多年来，Java 平台上运行的代码一直受益于自动向量化——HotSpot C2 编译器中的superword优化，将多个标量操作打包到 SIMD（单指令多数据）向量指令中。...底层基本操作Lucene 向量搜索实现的核心在于查找两个向量之间的相似性时使用的三个基本操作：点积、平方和余弦距离。这些操作都有浮点和二进制变体。为了简洁起见，我们只看其中一个基本操作——点积。...这是一个简化的标量点积实现，已经去除了展开，（真正的实现可以在这里看到）：最近的变化是JDK现在提供了一种API，可以在运行时可靠地编译为SIMD指令的计算。...这里再次给出一个简化版本的点积代码，但这次使用了Panama向量API：虽然代码可能会变得冗长，但是如果它符合惯用语法并且易于理解如何映射到运行时的硬件，那么它会更易于维护。...AVX 512 指令一次跨过点积计算 16 个值；512 位大小 / 每个值 32 位 = 每次循环迭代 16 个值。
深度学习-数学基础 概述 对神经网络中出现的数学信息进行解释 正文 网络架构 类：分类问题中的某个类别 样本：数据点 标签：某个样本对应的类 损失函数（loss function）：网络如何衡量在训练数据上的性能...，即网络如何朝着正确的方向前进。...在训练和测试过程中需要监控的指标（metric）：如果是分类问题一般预测正确占总预测的比例 神经网络中的数学术语 张量 张量：数据的维度或者是数据的容器 标量：仅包含一个数字的张量叫作标量；切记是一个数字...点积运算 一般用.来表示，它和逐元素运算的不同在于点积运算在乘法之后还要进行加法运算，因此两个向量点积最终生成的是一个标量，而1个矩阵和1个向量点积，生成一个向量 张量变形 张量变形是指改变张量的行和列...，以得到想要的形状，如(2,3)的2D张量，通过张量变形重组为（6,）的向量 神经网络计算原理 神经网络是由一个个层组合而成，每个层都会对输入进行添加权重，对于计算开始时间，神经网络会给出一个初始化的值
学习Excel技术，关注微信公众号： excelperfect 在前面的几篇文章中，我们自定义的函数使用定义为Range的参数来从Excel工作表中获取数据，例如： Function VINTERPOLATEB...vArr = theParameter TestFunc = vArr End Function 在VBE中，在赋值给函数的返回值的语句行设置断点，如下图1所示 ?...因此，在通用目的的用户自定义函数中，希望使用Variant型参数，并且经常需要确定变体的类型以及上限和下限。..., 数组, 或单元格区域 ' 找到上限和下限以及类型 'type=1:单元格区域, 2:2维variant数组, ' 3：1-维variant数组(列的单行), 4:标量...代码的图片版： ? 小结：在通用目的的用户自定义函数中，必须使用Variant类型的参数而不是Range类型。可以通过在处理变量之前确定变体包含的内容来有效地处理出现的问题。
这里F是非标量张量所以我们需要把梯度参数传递给和张量F维数相同的反向传播函数 ? 在上面的代码示例中，将梯度参数传递给backword函数并给出了所需的梯度值a和b。...要理解这一点，我们需要了解.backward()函数是如何工作的。再次提到这些文档: torch.autograd是一个计算向量-雅可比积的引擎。...即给定任意向量v，计算其乘积J@v.T注:@表示矩阵乘法 一般来说，雅可比矩阵是一个全偏导数的矩阵。如果我们考虑函数y它有n维的输入向量x它有m维的输出。...T = J 但是，当输出张量是非标量时，我们需要传递外部梯度向量v，得到的梯度计算雅可比向量积，即J@v.T 在这里，对于F = a*b在a = [10.0, 10.0] b =[20.0, 20.0]...在前向传播过程中，自动动态生成计算图。对于上面的代码示例，动态图如下: ? 从上面的计算图中，我们发现张量A和B是叶节点。我们可以用is_leaf来验证: ?
MATLAB 中两个向量的点积 a = (a1, a2, …, an) and b = (b1, b2, …, bn) 由以下给定: a.b = ∑(ai.bi) 下述函数可以计算两个向量 a 和...： |v| = √(v1^2 + v2^2 + v3^2 + … + vn^2) MATLAB中需要采按照下述步骤进行向量的模的计算： 采取的矢量及自身的积，使用数组相乘（*）。...标量乘法会产生相同类型的新的一个向量，原先的向量的每个元素乘以数量。...例如，可以相加，相减分割标量向量。 MATLAB向量的加法和减法 在 MATLAB 中当进行两个向量的加法与减法的时候，这两个向量的元素必须有相同的类型和数量。...针对该种情况 ，可以使用冒号(:) 来生成等差元素向量。 在 MATLAB 中如何建立一个等差元素向量？解决方法如下。
如何在深度学习中使用线性代数？ 神经网络将权重存储在矩阵中。 线性代数使矩阵运算变得更加快捷简便，尤其是在 GPU 上进行训练的时候。 实际上， GPU 是以向量和矩阵运算为基础的。...标量操作 标量运算涉及向量和某个数字。 我们可以通过对向量中的所有项进行加，减，乘，除操作来对其进行修改。...向量乘法 向量乘法有两种类型：点积和 Hadamard乘积 。 点积 两个向量的点积是一个标量。 向量和矩阵的点积（矩阵乘法）是深度学习中最重要的操作之一。...矩阵的标量运算与向量一样。...以下图为例(取自 Khan 学院的线性代数课程)，矩阵 C 中的每个元素都是矩阵 A 中行与矩阵 B 中列的点积。
标量、向量、矩阵、张量。 标量(scalar)。一个标量，一个单独的数。其他大部分对象是多个数的数组。斜体表示标量。小写变量名称。明确标量数类型。实数标量，令s∊ℝ表示一条线斜率。...Ai,:表示A中垂直坐标i上一横排元素，A的第i行(row)。右下元素。A:,i表示A的第i列(column)。明确表示矩阵元素，方括号括起数组。...超过两维的数组。一个数组中元素分布在若干维坐标规则网络中。A表示张量“A”。张量A中坐标(i,j,k)元素记Ai,j,k。 转置(transpose)。矩阵转置，以对角线为轴镜像。...两个相同维数向量x、y点积(dot product)，矩阵乘积x⫟y。矩阵乘积C=AB计算Ci,j步骤看作A第i行和B的第j列间点积。...两个向量点积满足交换律x⫟y=y⫟x。矩阵乘积转置 (AB)⫟=B⫟A⫟。两个向量点积结果是标量，标量转置是自身，x⫟y=(x⫟y)⫟=y⫟x。
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。如 【点乘】 在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。...向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。...【叉乘】 向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。...而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。 *运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。...应用 在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。
张量[1]是向量和矩阵到 n 维的推广。了解它们如何相互作用是机器学习的基础。 简介 虽然张量看起来是复杂的对象，但它们可以理解为向量和矩阵的集合。理解向量和矩阵对于理解张量至关重要。...点积的输出是一个标量。它不返回向量。 Hadamard（乘法） Hadamard 乘积用于执行逐元素乘法并返回一个向量。...通过这个视图，就可以清楚如何在矩阵上执行点积。发生乘法的唯一方法是第一个矩阵中的行数与第二个矩阵中的列数匹配。...在上图中，很明显，左侧矩阵中的每个向量（或行）都乘以第二个矩阵中的每个向量（或列）。因此，在此示例中，A 中的每个向量必须与 B 中的每个向量相乘，从而产生 16 个点积。...嗯，如前所述，二维的点积主要是将向量彼此相乘。在三维中，重点是按矩阵相乘，然后对这些矩阵中的每个向量执行点积。 上图应该有助于解释这一点。将两个 3D 张量视为矩阵向量可能会有所帮助。
向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量...=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。...相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。...对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面...在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。
但是在学习卷积神经网络的过程中，我们常常会看到一股清流般的存在—1*1的卷积！ 比如在残差网络的直连里： ? 残差网络的Bootleneck残差模块里： ?...在GoogleNet的Inception模块里： ? 都有1*1卷积核的出现，那么它到底是做什么的？我们应该如何理解1*1卷积的原理？...当1*1卷积出现时，在大多数情况下它作用是升/降特征的维度，这里的维度指的是通道数（厚度），而不改变图片的宽和高。...在这里先计算一下参数数量，一遍后面说明，5个卷积核，每个卷积核的尺寸是1*1*6，也就是一种有30个参数。 我们还可以用另一种角度去理解1*1卷积，可以把它看成是一种全连接，如下图： ?...w1—w6是一个卷积核的权系数，如何要计算b2—b5，显然还需要4个同样尺寸的核。
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