但其实「多重背包」并没有这么常见，以至于在 LeetCode 上我都没找到与「多重背包」相关的题目。
看完前面四篇关于背包问题的文章，你会发现背包问题其实也不过如此，而且它们之间有很多相似的地方，本篇文章就来揭开它们面纱，将背包问题彻底搞定。
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
在众多背包问题中「01 背包问题」是最为核心的，因此我建议你先精读过 背包问题 第一讲 之后再阅读本文。
这是 LeetCode 上的「1449. 数位成本和为目标值的最大数字」，难度为 「困难」。
本篇我们继续完成与 完全背包 相关的练习题，共三篇。本篇是第二篇，第一篇在 这里。
其实就是在 0-1 背包问题的基础上，增加了每件物品可以选择「有限次数」的特点（在容量允许的情况下）。
在上一题 322. 零钱兑换 中，我们求的是「取得特定价值所需要的最小物品个数」。
从本篇开始，我们会完成三道与 完全背包 相关的练习题。会进入比较轻松的「完全背包」复习强化阶段 ~
这个背包，听起来就很麻烦的样子。别慌，只要你理解了前面的两种背包问题，拿下多重背包简直小菜一碟。
首先完全背包问题需要01背包问题做铺垫,如果读者01背包问题没有解决,一定要理解之后,在看完全背包问题,包括01背包的优化! 这里是01背包 这里是01背包的全部优化
在使用一维数组解决 0-1 背包问题的基础上，讲解如何解决完全背包、多重背包、分组背包、背包具体方案 和 有依赖的背包问题 ...
在上一篇中，我们对01背包问题进行了比较深入的研究，这一篇里，我们来聊聊另一个背包问题：完全背包。
在 上一讲 中我们说到，多重背包问题无法像完全背包那样，通过一维空间优化来降低时间复杂度。
但对于「组内」物品而言，由于最多只能选一件物品，因此对于成本相同的多件物品，我们应当只保留价值最大的物品，从而让总的物品数量变少。
这是 LeetCode 上的「1049. 最后一块石头的重量 II」，难度为「中等」。
01背包问题是所有背包问题的基础，之后的问题都可以在此基础之上变化，所以一定要理解清楚。尤其是对待不同问题，找出状态转移方程是解题的关键。
从状态定义我们发现，常规的分组背包问题对物品组的考虑是“线性“的（从前往后考虑每个物品组）。
leetcode 322. 零钱兑换本篇文章题解之前已经发过，但是对完全背包的解法只是模棱解释一番，今天再写一篇文章来详细探讨一下本题套用完全背包公式的解法
动态规划需要搞定三个系列：三个背包，零钱问题和股票问题。今天就开始干掉三个背包问题。
由于 LeetCode 没有与「分组背包求最大价值」相关的题目，因此我们使用「分组背包求方案数」来作为练习篇。
在最开始讲解 多重背包 时，我们就提到了「多重背包」的一维空间优化，无法优化时间复杂度。
因为这个优化十分简单，代码实现不难，且优化的时间只是常数级别的，故不给出我的理解和代码。
本文内容基本涵盖了 dd_engi 的背包九讲，在此基础上加上了自己的理解和代码实现
将每个任务看作一个「物品」，完成任务所需要的人数看作「成本」，完成任务得到的利润看作「价值」。
由于每个字符串只能被选一次，且每个字符串的选与否对应了「价值」和「成本」，求解的问题也是「最大价值」是多少。
上一讲当中我们一起学习了动态规划算法中的零一背包问题，我们知道了所谓的零一背包是指每一种物品只有一个，所以它的状态只有0和1两种，即拿或者不拿。而今天我们要来讨论物品不止有一个的情况，物品不止有一个也分两种，一种是不作任何限制，要多少有多少，这种称为完全背包问题，另一种是依然有个数限制，这种称为多重背包问题。
向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
背包系列，是动态规划里一类典型的问题，主要有：01背包，完全背包，多重背包，混合背包，二维费用背包，分组背包，有依赖背包和泛化物品等。也就是常说的背包九讲。
完全背包：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
1 01背包 2完全背包 3多重背包 4 123讲的综合 5二维费用的背包问题 6分组背包 7依赖性背包 8泛化物品 9一些变式
贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。 贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。 完全背包问题：给定n个物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包问题是如何选择入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大，与0-1背包的区别是，在完全背包问题中，可以将物品的一部分
背包问题是一类比较 特殊的动态规划 问题，这篇文章的侧重点会在答案的推导过程上，我们还是会使用之前提到的解动态规划问题的四个步骤来思考这类问题。
之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）。
01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？
今天将练习「树形背包」问题，今天的练习题是一道学习「树形背包/有依赖的背包」问题必做的入门题。
所有数的总和为sum，假设加法的总和为x，那么可以推出x = (S + sum) / 2。
对01背包问题，n个物品背包容量为v，第i个物品的价值为v[i],重量w[i]
dp[i][j] 代表考虑前 i 件物品，放入一个容量为 j 的背包可以获得的最大价值。
已知:有一个容量为V的背包和N件物品，第i件物品最多有Num[i]件，每件物品的重量是weight[i]，收益是cost[i]。
已知:有一个容量为V的背包和N件物品，第i件物品的重量是weight[i]，收益是cost[i]。
背包问题实际上是动态规划的一种经典应用，本文想通过介绍一种模板用于解决各种背包问题。
动态规划（英语：Dynamic programming，简称DP）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题 动态规划思想大致上为：若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。 由于通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。
背包问题是⼀种组合优化的问题。问题可以描述为：给定⼀组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
多重背包，算是01和完全的结合体，这次运用上模板解题。 1：题目描述 http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=546 Divideing Je
完全背包问题 相比于0-1背包问题，完全背包问题的不同在于每种物品可以挑选任意多件。 以下提供了两个函数，均可以实现计算。 #include <iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int MAX_N=100; //输入 int n,W; int w[MAX_N],v[MAX_N]; int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];//记忆化数组 void solve1() { for(
题目是这样的：来源：https://www.acwing.com/problem/content/4/
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