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对于同一双连通分量中的任何顶点A和B以及边E，总是可能有一条从A到B的简单路径通过E吗？

对于同一双连通分量中的任何顶点A和B以及边E，总是可能有一条从A到B的简单路径通过E。

在图论中，双连通分量是指一个无向图中的一个子图，该子图中的任意两个顶点都存在至少两条互不相交的路径。简单路径是指不经过重复顶点的路径。

在同一双连通分量中，由于任意两个顶点之间都存在至少两条互不相交的路径，因此总是可以找到一条从顶点A到顶点B的简单路径。这条路径可能会经过边E，也可能不经过边E，取决于具体的图结构和顶点之间的连接关系。

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相关·内容

每周学点大数据 | No.14 图论基础回顾

图的例子比如在上面的图G(V,E)中： V={A,B,C,D,E} E={(A,E),(A,D),(A,C),(B,E),(B,D),(B,C),(D,C),(D,E)} 整体上图可以分为两种：有向图和无向图...如果从一个顶点u到另一个顶点v中间途经数个顶点w1,w2,w3,…，并且这些顶点之间的边都存在的话，我们称是一条路径。小可：嗯，这在现实中也是非常普遍存在的。...王：我们定义路径的长度，为途经的边的个数。如果中间的那些顶点w1,w2,w3,…没有重复的，我们称之为简单路径。如果u和v是同一个顶点，并且至少经过一条边的话，我们称这条路径是一个回路。...小可若有所思，说：如果u本身有一条边指向自己，就是有一个圈，这样也是回路吗？ Mr. 王：虽然没有经过任何一个其他顶点，但是中间经过了一条边，它也是一条回路。...相应的，如果回路中没有出现重复的顶点，这就是一条简单回路。 Mr. 王：另外，在无向图中，如果每两个顶点之间都有一条路径，我们称它是连通图。小可：这样每个顶点就都连在一起了，整个图是连通的。

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基础算法 | 关于图论中最小生成树(Minimum Spanning Tree)那些不可告人的秘密

②对所有u∈U，v∈(V – U)（其中u,v表示顶点）的边(u,v)中，找一条权值最小的边(u’,v’)，将这条边加入到集合T中，将顶点v’加入集合U中。...U={a,b,c,d} ，V={e }，T={, ,} ? ⑸最后集合U和V中相关联的权值最小的边是，于是将e加入U。...这里简单提一提连通分量在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。如果图中任意两个顶点之间都连通，则称该图为连通图，否则，将其中较大的连通子图称为连通分量。...在有向图中，如果对于每一对顶点vi和vj，从vi到vj和从vj到vi都有路径，则称该图为强连通图；否则，将其中的极大连通子图称为强连通分量。...我们选边的标准是这样的：若边上的两个顶点从属于两个不同的连通分量，则此边可取，否则考察下一条权值最小的边。于是问题又来了，如何判断两个顶点是否属于同一个连通分量呢？这个可以参照并查集的做法解决。

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图的定义与术语的详细总结

2.4 有向图：图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称图为有向图。如下图所示：从A到B的边就是有向边（弧），A是弧尾 B是弧头。表示弧。...通过以上面的图，我们可以不难发现各个顶点的度之和=所以边数之和*2 3.2 对于有向图G=（v,{E}），如果弧属于E，则称则顶点v邻接到顶点v1，顶点v1邻接自顶点v。...连通图的基本概念 4.1连通图：在无向图中，如果从顶点v到顶点v1有路径，则称为v和v1是连通的。如果图中任意两个顶点vi,vj 属于E，vi和vj都是连通的。则称图G是连通图。...V，vi不等于vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则G是强连通图....有向图的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。上面这个图就不是强连通图，因为在A和D之间，D到A就没有路径。此图就是强连通图，它是上一个图的极大强连通子图，即是它的强连通分量。

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普林斯顿算法讲义（三）

对于每个子句 x + y，从 y’到 x 和从 x’到 y 包括边缘。声明：如果没有变量 x 与其否定 x’在同一个强连通分量中，则公式是可满足的。...要了解如何做到这一点，请注意存在一条从 w 到 v 的有向路径 P，因为 v 和 w 在同一个强连通分量中。...在 G 中找到一个完美匹配；将匹配中的边从双分区的一侧定向到另一侧；将剩余的边定向到相反方向；在不在完美匹配中的边中，返回那些端点在不同强连通分量中的边。有向图的传递闭包。...从一个顶点到另一个顶点可能有多条最低权重的路径；我们满足于找到其中任何一条。并行边和自环可能存在。...计算从 s 到每个其他顶点的最短路径；计算从每个顶点到 t 的最短路径。对于每条边 e = (v, w)，计算从 s 到 v 的最短路径长度和从 w 到 t 的最短路径长度的和。

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数据结构：图

连通、连通图、连通分量：在无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称为v和w是连通的。若图G中任意两个顶点都是连通的，则称为图G为连通图，否则称为非连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。...如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，则此图必是非连通图。强连通图、强连通分量：在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。...若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对于生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会变成一个回路。在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。...这意味着对于生成树来说，若砍去它的一条边，就会使生成树变成非连通图若给它增加一条边，就会形成图中的一条回路。假设G=(V， E)是一个带权连通无向图，U是顶点集V的一个空子集。...每个顶点出现且只出现一次若顶点A在序列中排在顶点B前面，则在图中不存从顶点B到顶点A的路径或者定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中顶点

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数据结构第六章图

简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。数据结构中讨论的都是简单图。...2.1.若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量； 2.2.若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路...当一个结点n的parent==-1，树的根节点即为n）如何将一条边所依附的两个顶点合并到同一个连通分量中要进行联通分量的合并，其中一个顶点所在的树的根节点为vex1，另一个顶点所在的树的根节点为...下一条路径长度次短的最短路径的特点：它只可能有两种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条边)；或者是从源点经过顶点v1（第一条最短路径所依附的顶点），再到达该顶点(由两条边组成)。...再下一条路径长度次短的最短路径的特点: 它可能有四种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条边)；或者从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条边组成)；或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点（两条条边

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【算法】关于图论中的最小生成树(Minimum Spanning Tree)详解

②对所有u∈U，v∈(V – U)（其中u,v表示顶点）的边(u,v)中，找一条权值最小的边(u’,v’)，将这条边加入到集合T中，将顶点v’加入集合U中。...最终的图是这样的 [1240] 算法逻辑很容易理解，但用代码判断当前边是否会引起环的出现则很棘手。这里简单提一提连通分量在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。...在有向图中，如果对于每一对顶点vi和vj，从vi到vj和从vj到vi都有路径，则称该图为强连通图；否则，将其中的极大连通子图称为强连通分量。...我们选边的标准是这样的：若边上的两个顶点从属于两个不同的连通分量，则此边可取，否则考察下一条权值最小的边。于是问题又来了，如何判断两个顶点是否属于同一个连通分量呢？这个可以参照并查集的做法解决。...它的思路是：如果两个顶点的根节点是一样的，则显然是属于同一个连通分量。这也同样暗示着：在加入新边时，要更新父节点。

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图的基本概念以及DFS与BFS算法

在无向图中，顶点对 (x, y) 是无序的，顶点对 (x,y) 称为顶点 x 和顶点 y 相关联的一条边，这条边没有特定方向， (x, y) 和 (y ， x) 是同一条边，比如下图G1和G2为无向图...邻接顶点：在无向图中 G 中，若 (u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 和 v 互为邻接顶点，并称边 (u,v) 依附于顶点 u 和 v；在有向图 G 中，若是 E(G) 中的一条边...路径：在图G = (V， E)中，若从顶点 vi 出发有一组边使其可到达顶点 vj ，则称顶点 vi 到顶点 vj 的顶点序列为从顶点 vi 到顶点 vj 的路径。...路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。...强连通图：在有向图中，若在每一对顶点 vi 和 vj 之间都存在一条从 vi 到 vj 的路径，也存在一条从 vj 到 vi 的路径，则称此图是强连通图。

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8-1 图结构

重要结论：无论是有向图还是无向图，顶点数n、边数e、和度数之间有关系：所有顶点的度数之和等于边数的2倍 ④路径和回路：从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列（包含这两个顶点），称为一条路径...若路径 / 回路中各顶点都不重复，此路径又被称为"简单路径" / "简单回路" ⑤权和网的含义图中的每条边（或弧）会赋予一个实数来表示一定的含义，这种与边（或弧）相匹配的实数被称为"权"，而带权的图通常称为网...③连通图在无向图中，若每一对顶点 u和v之间都能找到一条路径，则此图称为连通图；若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为连通分量。...（这里的子图指的是图中"最大"的连通子图）在有向图中，若每一对顶点u和v之间都存在 u到v 以及从 v到u的路径，则成为强连通图。...连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件： ●包含连通图中所有的顶点； ●任意两顶点之间有且仅有一条通路；因此，连通图的生成树具有这样的特征，即生成树中边的数量 = 顶点数 - 1。

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PHP数据结构-图的概念和存储结构

关于图的比较正式的官方定义是：图（Graph）G 由两个集合 V 和 E 组成，记为 G=(V, E) ，其中 V 是顶点的有穷非空集合，E 是 V 中顶点的有穷集合，这些顶点偶对称为边。...对于有向图来说，虽说边是有方向的，当然我们也可以定义一个来回的方向，比如和，在有向图中我们就要画上两个相反方向的箭头表示可以从1到2也可以从2到1。...(7) 路径和路径长度：从某一个顶点到另一个顶点所经过的所有顶点就是路径。如果是有向图，那么它的路径就是按照箭头的方向。...路径长度就是一条路径上经过的边或孤的数量 (8) 回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环 (9) 连通、连通图和连通分量：如果某两个结点之间是有路径的，就称这两个结点是连通的。...其实就是通过一条路径，能够让图中所有的结点串联起来。

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最小生成树算法：Kruskal 与 Prim算法

最小生成树连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不再连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。...Ⅱ、Kruskal算法任给一个有 n 个顶点的连通网络 N={V,E}，首先构造一个由这 n 个顶点组成、不含任何边的图 G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分量，其次不断从 E 中取出权值最小的一条边...( 若有多条任取其一 ) ，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到 G 中。...如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树。...但是贪心的方式和 Kruskal 完全不同。prim 算法的核心信仰是：从已知扩散寻找最小。它的实现方式和 Dijkstra算法相似但稍微有所区别，Dijkstra 是求单源最短路径。

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并查集数据结构及其实例-- day15

添加的边的两个顶点包含在 1 到 n 中间，且这条附加的边不属于树中已存在的边。...这道题中的图在树的基础上多了一条边，因此边的数量也是 n。树是一个连通且无环的无向图，在树中多了一条边之后就会出现环，因此多余的边即为导致环出现的边。可以通过并查集寻找多余的边。...初始时，每个节点都属于不同的连通分量。遍历每一条边，判断这条边连接的两个顶点是否属于相同的连通分量。...如果两个顶点属于不同的连通分量，则说明在遍历到当前的边之前，这两个顶点之间不连通，因此当前的边不会导致环出现，合并这两个顶点的连通分量。...如果两个顶点属于相同的连通分量，则说明在遍历到当前的边之前，这两个顶点之间已经连通，因此当前的边导致环出现，为多余的边，将当前的边作为答案返回。

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数据结构学习笔记（图）

*无向边用小括号“（）”表示，而有向边则用尖括号“”表示。 4.在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。...强调： *要是子图； *子图要是连通的； *连通子图含有极大顶点数； *具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。 2.从Vi到Vj和从Vi到Vj都存在路径，则称G是强连通图。...从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。对于非连通图，只需要对它的连通分量分别进行深度优先遍历。...在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将次变加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。...设G={V,E}是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列V1，V2，......,Vn,满足若从顶点Vi到Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi必在顶点Vj之前。

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《大话数据结构》总结第一章绪论第二章算法第三章线性表第四章栈和队列第五章字符串第六章树第七章图第八章查找第九章排序

如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图（Directed graphs）。简单图——在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。...除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。在无向图G中，如果从顶点v到顶点v'有路径，则称v和v'是连通的。...在有向图G中，如果对于每一对vi、vj∈V、vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。...在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。...拓扑序列：设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1，v2，……，vn，满足若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在顶点vj之前。

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重学数据结构（七、图）

对于图G ,若边集E(G)为有向边的集合，则称该图为有向图；若边集E(G)为无向边的集合，则称该图为无向图。图2：无向图（a）和有向图（b） ?...也称作一条弧，则 x为弧尾， y为弧头。在无向图中，顶点对是无序的，它称为从顶点 x与顶点y相关联的一条边。这条边没有特定的方向，（x,y）和（y,x）是同一条边。...回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。简单路径、简单回路或简单环：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。...除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。连通、连通图和连通分量：在无向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v'有路径，则称 v 和 v'是连通的。...强连通图和强连通分量：在有向图 G 中，如果对于每一对 Vi, Vj \in V,Vi \not= Vj, 从 Vi到 Vj和从 Vj 到Vi都存在路径，则称G是强连通图。

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图（graph）原

对于有向图路径也是有向的，路径的方向只能是从起点到终点，且与它经过的每一条边的方向一致。路径上的边或弧的数目称之为该路径的长度。除始点和终点外，其他各顶点均不同的路径称之为简单路径。...从一个顶点出发又回到该顶点，则所经过的路径称为回路。始点和终点相同的简单路径称之为简单回路。在无向图中，从一个顶点到另一个顶点之间有路径，则称这两个顶点是连通的。...按照长度递增的顺序依次选择E中的边（u,v），如果该边断点u、v分别是当前T的两个连通分量T1、T2中的顶点，则将该边加入到T中，T1、T2也由此边连接成一格连通分量；如果u、v是当前同一个连通分量中的顶点...依次类推，知道T中所有顶点都在同一连通分量上为止。从而得到G的一棵最小生成树T。过程如下： ? 克鲁斯卡尔算法和普里姆算法产生的生成树是相同的。不同之处：（1）边加入树的顺序不同。...1>定理若π=(u0=s,u1,u2,… ,uk=v)是从顶点s到顶点v的最短路径，则对于任何0 ≤ i < j ≤ k，τ=(ui, ui+1, … , uj)是从顶点ui到uj的最短路径。

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5.1 图的基本概念

含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边。 2、连通、连通图和连通分量在无向图中，若从顶点v到顶点W有路径存在，则称v和w是连通的。若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图。...3、强连通图、强连通分量在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。若图中任何一对顶点都是强连通的，则称该图为强连通图。...5、顶点的度、入度和出度图中每个顶点的度定义为该顶点一个端点的边的数目。对于无向图，顶点v的度是指衣服与该顶点的边的条目，记为TD(v). 在具有n个顶点e条边的无向图中，有连加TD(v)=2e。...第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。如果一个图有n个顶点，并且有大于n-1条边，则此图一定有环。 7、简单路径、简单回路在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。...除第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。 8、距离从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则该路径的长度称为从u到v的距离，若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷。

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ccf 高速公路(连通子图)

如果城市A可以通过高速公路到达城市B，而且城市B也可以通过高速公路到达城市A，则这两个城市被称为便利城市对。　　国王想知道，在大臣们给他的计划中，有多少个便利城市对。...输入格式　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示城市和单向高速公路的数量。　　接下来m行，每行两个整数a, b，表示城市a有一条单向的高速公路连向城市b。...算了，基本上是抄的，我的这篇文章就算是转载的好了。在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。...从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。 ?...>> b; V[a].adj[V[a].num] = b; // 从 a到b有一条边 V[a].num++; // 计数器加1 } solve(n); cout << answer <

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离散数学图论

图可以被看作一个群，记号为G=(V, E)。图的顶点（vertex）之间的二元关系可以看成是E中的元素，也就是图里的边（edge）。图的边是否有序则分为有序图和无序图。...欧拉公式：对于连通平面图，e为边数，v为顶点数，r是region数，满足关系v+r-e=2。欧拉公式往往和顶点的度结合起来问问题，要记得顶点的度之和=2e这一基本事实。...关于平面图有一些不那么好记的结论：对于连通简单平面图，如果v ≥ 3，那么满足e ≤ 3v-6。对于连通简单平面图，它一定有一个度不超过五的点。...对于有多个连通分量的图，这个图的着色多项式就是各连通分量的着色多项式的乘积。...我们从这里开始寻找从source到sink（终点）的一条路径，找到这条路径之后获得路径这多条弧上（记得其方向性，反方向的不在路径上）的最小数字m，将路径上所有按原方向的弧的数都减去m，与此同时，将反方向的弧的数都加上

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为实习准备的数据结构（11）-- 图论算法集锦

（这里可能的顺序之一是：A, B, D, E, C, F, G, H, I, J, K） ---- 定义二：完全图、连通图、连通分量、生成树在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图...在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是连通的。如果对于图中任意两个顶点vi、vj ∈E， vi，和vj都是连通的，则称G是连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。...比如，如果顶点A 有一条边到B、C和D，那么A的列表中会有3条边在邻接矩阵实现中，由行和列都表示顶点，由两个顶点所决定的矩阵对应元素表示这里两个顶点是否相连、如果相连这个值表示的是相连边的权重。...当在E中选择一条具有最小权值的边时，若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到 T 中；否则重新选择一条权值最小的边 c....如此重复下去，直到所有顶点在同一个连通分量上为止 Dijkstra 算法 a. 遍历与结点1相连的所有结点，找到距离最近的一个，把这个结点标记为访问过，并更新最短路径 b.

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