n 阶的希尔伯特曲线是从 [0,1] 区间到 [0,1] \times[0,1] 平面区域的映射 f_{n} ,把 0 和 1 映射到区域左下角和右下角:
f_{n}(0)=(0,0),...\quad f_{n}(1)=(1,0)
并且, 通过适当的调整,让每个 1/4 的小区间映射到 4 个区域内....不管 x 取定义域中的什么值, 都可以不断将区间四等分, 用长度为1/4,1/16,1/64的区间套来套住, 由于不同阶 Hilbert 曲线的定义, 对应的函数值也落在相应的区域套内....在 [0,1]×[0,1] 里面随便选一个点 (x,y) , 将平面不断四等分为上下左右四个闭区域, 用同样的方法, 能对应到定义域里的闭区间, 最后套出一个自变量 x_0 来, 使得 f(x_0)=(...这恰恰说明, Hilbert 曲线, 是满射(映上的), 不是单射(1-1的), 所以也不是双射.
仍然是曲线
曲线要求是 [0,1] 到 R^2 上的连续映射. 这里的连续性还比较好说.