强烈建议读者朋友在自己的电脑上测试上述代码，以便加强理解。其中广播的仅用到了 + 运算符，而这些广播规则对于任意二进制通用函数都是适用的，大家可以再试试乘法、除法之类的操作。...它适用的场景非常多，尤其是在矩阵运算时候，非常方便，体现了巨大优势。
矩阵是二维数组，而向量是一维数组，内置函数matmul不能实现矩阵与向量的乘法运算。在这一点Fortran不如matlab灵活。 Fortran如何实现矩阵与向量的乘法运算，现有以下三种方法供参考。...数组c的第一列就是需要的计算结果。 spread(B,2,2)就是按列扩展，成为二维数组 ? 三)利用dot_product函数。...dot_product函数是向量点积运算函数，可将二维数组的每一行抽取出来，和一维数组作dot_product运算。 ? 程序员为什么会重复造轮子？...现在的软件发展趋势，越来越多的基础服务能够“开箱即用”、“拿来用就好”，越来越多的新软件可以通过组合已有类库、服务以搭积木的方式完成。...对程序员来讲，在一开始的学习成长阶段，造轮子则具有特殊的学习意义，学习别人怎么造，了解内部机理，自己造造看，这是非常好的锻炼。每次学习新技术都可以用这种方式来练习。
（1）算术乘法，整数、实数、复数、高精度实数之间的乘法。 ? （2）列表、元组、字符串这几种类型的对象与整数之间的乘法，表示对列表、元组或字符串进行重复，返回新列表、元组、字符串。 ?...、要么其中一个为1、要么其中一个对应位置上没有数字（没有对应的维度），结果数组中该维度的大小与二者之中最大的一个相等。...数组与标量相乘，等价于乘法运算符或numpy.multiply()函数： ? 如果两个数组是长度相同的一维数组，计算结果为两个向量的内积： ?...如果两个数组是形状分别为(m,k)和(k,n)的二维数组，表示两个矩阵相乘，结果为(m,n)的二维数组，此时一般使用等价的矩阵乘法运算符@或者numpy的函数matmul()： ?...在这种情况下，第一个数组的最后一个维度和第二个数组的倒数第二个维度将会消失，如下图所示，划红线的维度消失： ? 6）numpy矩阵与矩阵相乘时，运算符*和@功能相同，都表示线性代数里的矩阵乘法。
本文的主要内容是帮助你学习如何进行向量、矩阵以及高阶张量（三维及以上的数组）的求导。并一步步引导你来进行向量、矩阵和张量的求导。...比如说，我们要计算 的第 3 个元素对 的第 7 个元素的（偏）导数，这就是向量中的一个标量对其他向量中的一个标量求导： 在求导之前，首先要做的就是写下计算 的公式， 根据矩阵-向量乘法的定义，...例如：数据矩阵 中包含非常多的向量，每个向量代表一个输入，那到底是矩阵中的每一行代表一个输入，还是每一列代表一个输入呢？ 在第一节中，我们介绍的示例中使用的向量 是列向量。...一般避免使用“三维矩阵”这种术语，因为矩阵乘法和其他矩阵操作在三维数组中的定义尚不明确。 在处理三维数组时，试图去找到一种展示它们的方法可能带来不必要的麻烦。...按照之前的方式，可以写出如下表达式： 从这个方程式可以看出，对于偏导数，只有当的情况下不为0，其他情况均为0。
在机器学习中的矩阵向量求导(一) 求导定义与求导布局中，我们讨论了向量矩阵求导的9种定义与求导布局的概念。...今天我们就讨论下其中的标量对向量求导，标量对矩阵求导, 以及向量对向量求导这三种场景的基本求解思路。 对于本文中的标量对向量或矩阵求导这两种情况，如前文所说，以分母布局为默认布局。...向量对向量求导，以分子布局为默认布局。如遇到其他文章中的求导结果和本文不同，请先确认使用的求导布局是否一样。另外，由于机器学习中向量或矩阵对标量求导的场景很少见，本系列不会单独讨论这两种求导过程。...，则不能这么使用乘法法则。 ...定义法矩阵向量求导的局限 使用定义法虽然已经求出一些简单的向量矩阵求导的结果，但是对于复杂的求导式子，则中间运算会很复杂，同时求导出的结果排列也是很头痛的。
而结果列向量的维数就是矩阵的行数，等式左边的矩阵和向量的形状也比较有意思，矩阵的列数必须等于向量的维数，只有这样才能进行矩阵和向量的乘法。...上图中，如果把左边四套房的面积代入右边的式子中，就可以得分别得到四套房的售价。如果我们用刚刚讲到的矩阵和向量的乘法表示上面这个事，写出来的式子会非常漂亮。如下图： ?...我们把模型中的两个参数揪出来组成一个列向量。然后呢，因为-40参数对应的是1，而0.25对应的是x，所以得到一个4×2的一个矩阵，而矩阵的第1列都是1....就会得到上面图中下半部分的这样的一个矩阵与向量乘法的式子，再利用前面讲的矩阵与向量乘法的运算规则，可以用一个式子就表示出4套房子的售价的运算，厉害吧？ 有些同学可能觉得这种写法多此一举，更加麻烦。...如果没有这样的规定，我们可能需要for循环在代码中实现这个事情，这就有点麻烦了。 下一讲将介绍更一般的矩阵和矩阵的乘法。
在机器学习中的矩阵向量求导(二) 矩阵向量求导之定义法中，我们讨论了定义法求解矩阵向量求导的方法，但是这个方法对于比较复杂的求导式子，中间运算会很复杂，同时排列求导出的结果也很麻烦。...因此我们需要其他的一些求导方法。本文我们讨论使用微分法来求解标量对向量的求导，以及标量对矩阵的求导。 本文的标量对向量的求导，以及标量对矩阵的求导使用分母布局。...矩阵微分的性质 我们在讨论如何使用矩阵微分来求导前，先看看矩阵微分的性质： 1）微分加减法：$d(X+Y) =dX+dY, d(X-Y) =dX-dY$ 2) 微分乘法：$d(...比起定义法，我们现在不需要去对矩阵中的单个标量进行求导了。 ...微分法求导小结 使用矩阵微分，可以在不对向量或矩阵中的某一元素单独求导再拼接，因此会比较方便，当然熟练使用的前提是对上面矩阵微分的性质，以及迹函数的性质熟练运用。
在矩阵向量求导前4篇文章中，我们主要讨论了标量对向量矩阵的求导，以及向量对向量的求导。...这两种定义虽然没有什么问题，但是很难用于实际的求导，比如类似我们在机器学习中的矩阵向量求导(三) 矩阵向量求导之微分法中很方便使用的微分法求导。 ...矩阵向量化的主要运算法则有： 1) 线性性质：$vec(A+B) =vec(A) +vec(B)$ 2) 矩阵乘法：$vec(AXB)= (B^T \bigotimes A)vec(X)...4) 逐元素乘法：$vec(A \odot X) = diag(A)vec(X)$, 其中$diag(A)$是$mn \times mn$的对角矩阵，对角线上的元素是矩阵$A$按列向量化后排列出来的。...如果遇到矩阵对矩阵的求导不好绕过，一般可以使用机器学习中的矩阵向量求导(四) 矩阵向量求导链式法则中第三节最后的几个链式法则公式来避免。
上篇笔记里(基于硅光芯片的深度学习)提到：深度学习中涉及到大量的矩阵乘法。今天主要对此展开介绍。 我们先看一下简单的神经元模型，如下图所示， ?...可以看出函数f的变量可以写成矩阵乘法W*X的形式。对于含有多个隐藏层的人工神经网络，每个节点都会涉及矩阵乘法，因此深度学习中会涉及到大量的矩阵乘法。 接下来我们来看一看矩阵乘法如何在光芯片上实现。...线性代数中，可以通过奇异值分解（singular value decomposition)，将一个复杂的矩阵化简成对角矩阵与幺正矩阵相乘。具体来说，m*n阶矩阵M可以写成下式， ?...通过多个MZ干涉器级联的方法，可以实现矩阵M，矩阵元对应深度学习中的连接权与阈值。...是否有变通的方法呢？ 2) 目前实现的神经网络还过于简单，没有隐藏层，只有输入输出层，能做的学习任务还比较简单。后续可以尝试模型更为复杂的机器学习任务。
1）点乘（即“ * ”） ---- 各个矩阵对应元素做乘法 若 w 为 m*1 的矩阵，x 为 m*n 的矩阵，那么通过点乘结果就会得到一个 m*n 的矩阵。 ?...若 w 为 m*n 的矩阵，x 为 m*n 的矩阵，那么通过点乘结果就会得到一个 m*n 的矩阵。 ?...w的列数只能为 1 或 与x的列数相等（即n），w的行数与x的行数相等 才能进行乘法运算； 2）矩阵乘 ---- 按照矩阵乘法规则做运算 若 w 为 m*p 的矩阵，x 为 p*n 的矩阵，那么通过矩阵相乘结果就会得到一个... m*n 的矩阵。...只有 w 的列数 == x的行数 时，才能进行矩阵乘法运算； ?
也就是张量与矩阵（或向量）在mode n之下的乘积。...例如，对于一个5 \times 3 \times 2的张量与2 \times 9 的矩阵相乘，我们可以看做张量被矩阵化（此例为mode-3 因为只有第三个维度才可以和矩阵相乘）为$5 \times 3...这个15也就是除去被选中进行乘法的维度以外的剩余维度可索引元素最大数量。最后该矩阵乘法的结果为一个矩阵。这是我们原本所期待的张量乘积的n-mode矩阵化后的产物。...由于内积塌缩了这个维度，使得他的大小只有1，在这里我们选择泯灭了这个mode-n所对应的维度，使得结果必然为N-1阶。（在深度学习模型中，有很多时候我们能看到（1，64，64，4）之类的张量。...由于mode-n向量乘法在定义里面减去了1个维度，这使得张量的连续向量乘法中，乘法的优先顺序变得很重要。
张量[1]是向量和矩阵到 n 维的推广。了解它们如何相互作用是机器学习的基础。 简介 虽然张量看起来是复杂的对象，但它们可以理解为向量和矩阵的集合。理解向量和矩阵对于理解张量至关重要。...通过这个视图，就可以清楚如何在矩阵上执行点积。发生乘法的唯一方法是第一个矩阵中的行数与第二个矩阵中的列数匹配。...在上图中，很明显，左侧矩阵中的每个向量（或行）都乘以第二个矩阵中的每个向量（或列）。因此，在此示例中，A 中的每个向量必须与 B 中的每个向量相乘，从而产生 16 个点积。...嗯，如前所述，二维的点积主要是将向量彼此相乘。在三维中，重点是按矩阵相乘，然后对这些矩阵中的每个向量执行点积。 上图应该有助于解释这一点。将两个 3D 张量视为矩阵向量可能会有所帮助。...由于点积是通过按元素相乘然后求和来执行的，因此首先发生的事情是每个矩阵与其相应的矩阵相乘。当这种情况发生时，矩阵乘法会导致矩阵中的每个向量与其他向量执行点积。从某种意义上说，它就像一个嵌套的点积。
符号 \in 称为“属于”，它表示“是集合中的成员”。例如 x, y \in \{0,1\} 可以用来表明 x 和 y 是值只能为 0 或 1 的数字。 标量由只有一个元素的张量表示。...len(x) 4 当用张量表示一个向量（只有一个轴）时，我们也可以通过.shape属性访问向量的长度。形状（shape）是一个元素组，列出了张量沿每个轴的长度（维数）。...张量（本小节中的“张量”指代数对象）是描述具有任意数量轴的 n 维数组的通用方法。例如，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。...向量泛化自标量，矩阵泛化自向量。 标量、向量、矩阵和张量分别具有零、一、二和任意数量的轴。 一个张量可以通过sum和mean沿指定的轴降低维度。 两个矩阵的按元素乘法被称为他们的哈达玛积。...它与矩阵乘法不同。 在深度学习中，我们经常使用范数，如 L_1 范数、 L_2 范数和弗罗贝尼乌斯范数。 我们可以对标量、向量、矩阵和张量执行各种操作。
向量（Vector） 向量是一个有序的数字数组，可以在一行或一列中。 向量只有一个索引，可以指向矢量中的特定值。 例如，V2代表向量中的第二个值，在上面的黄色图片中为“-8”。 ?...请注意，向量也是一个矩阵，但只有一行或一列。 在黄色图片的例子中的矩阵也是2×3维的矩阵（行*列）。 下面你可以看到矩阵的另一个例子及其符号： ?...这在下图最右边张量中的值为0： ? 这是上述所有概念中最通用的术语，因为张量是一个多维数组，它可以是一个矢量和一个矩阵，它取决于它所具有的索引数量。 例如，一阶张量将是一个向量（1个索引）。...下图显示了的乘法例子： ? 2.矩阵向量乘法（Matrix-Vector Multiplication） 将矩阵与矢量相乘可以被认为是将矩阵的每一行与矢量的列相乘。...它的计算方法如下： 将第二个矩阵拆分为列向量，然后将第一个矩阵分别与这些向量中的每一个相乘。 然后你把结果放在一个新的矩阵中。 下面的图片逐步解释了这一点： ? 下图进行总结： ?
张量是上面谈到的概念中最常用的一个，因为张量是一个多维数组，同时可以是一个向量或者一个矩阵，具体取决于它的索引数量。...例如，一阶张量可以表示向量（1 个索引），二阶张量可以表示矩阵（2 个索引），三阶就是张量（3 个索引），更高阶的称为高阶张量（超过 3 个索引）。...为了得到结果向量中的第一个元素 16，选择拿来和矩阵相乘的向量中的元素 1 和 5，把它们与矩阵第一行中的元素 1 和 3 相乘，像这样：1*1 + 3*5 = 16。...你只需要将第一个矩阵中的每一个元素和第二个矩阵中对应位置的元素相加或者相减就可以了。如下图所示： 矩阵间的乘法 如果你知道如何计算矩阵和向量间的乘法，矩阵间的乘法就也简单了。...注意，只有当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能把它们两个乘起来。运算结果会是一个矩阵，行数和第一个矩阵的行数相等，列数和第二个矩阵的列数相等。
淡黄色图中有一个矩阵的例子：一个 2×3 的矩阵 (行数×列数)。下图中是另一个矩阵和对应的表示形式。 ? 张量 三维张量是按照一定规律排列在方格中的数组，其中一个变量数字表示轴。...张量是上面谈到的概念中最常用的一个，因为张量是一个多维数组，同时可以是一个向量或者一个矩阵，具体取决于它的索引数量。...例如，一阶张量可以表示向量（1 个索引），二阶张量可以表示矩阵（2 个索引），三阶就是张量（3 个索引），更高阶的称为高阶张量（超过 3 个索引）。...为了得到结果向量中的第一个元素 16，选择拿来和矩阵相乘的向量中的元素 1 和 5，把它们与矩阵第一行中的元素 1 和 3 相乘，像这样：1*1 + 3*5 = 16。...矩阵间的乘法 如果你知道如何计算矩阵和向量间的乘法，矩阵间的乘法就也简单了。注意，只有当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能把它们两个乘起来。
它由一个有两条边的节点表示。三维张量是一个三维数组，因此是一个有三条边的节点……。 ? 矩阵乘法是张量的缩并 将两个矩阵相乘就相当于「粘合」它们的图。...这叫做张量的缩并（tensor contraction）。 ? 在上图中，具有相同索引 j 的边是缩并的边。这与两个矩阵只有在输入/输出维度匹配时才能相乘的事实是一致的。...对于矩阵向量乘法，也有类似的情况：一个矩阵 M 乘以一个向量 v，得到另一个向量 Mv，它是一个具有一个自由边的节点。 ?...换句话说，你可以将小空间 V 嵌入到大空间，然后再投影回 V 中，而不扭曲 V 中的向量（与拓扑中的回缩映射（retraction map）不同）。...这比可见宇宙中原子的数目还要多，后者只有 10^80 个！要想把这个矩阵存在电脑上，那么只能祝你好运。总之，张量网络有助于我们以一种原则性的、易于处理的方式处理大量参数。
参考文献[6]中较早地解释了如何用张量空间描述双线性操作，需要确定两个对应关系：（1）将矩阵乘法对应为表征张量（2）将表征张量的一种低秩分解 (将表征张量拆分为R个秩1的张量的和) 对应为一种包含R次数值乘法的矩阵乘法算法...如上图，以两个2x2矩阵为例，对应的矩阵乘法张量大小为4x4x4。 张量中的元素要么是 0 要么是 1，并用1指示具体的乘法。a、b维度表示读，c维度表示写。...与矩阵分解需要两个模式向量的外积进行求和类似，张量分解可以看作是三个模式向量的外积求和。如图，原始张量分解为R个秩（Rank）为1的张量的和，其中每个秩为1的张量是3个向量uq, vq，wq的外积。...从这个简单的例子可以看出，u向量表示的A矩阵中元素的线性组合，v向量表示B矩阵中元素的线性组合，u和v的外积表示相应线性组合值的一次标量乘法运算，并记为一个中间结果，w向量表示哪些最终结果包括该中间结果作为部分和...像围棋这样的游戏可以在线找到很多专家游戏，但是并没有张量分解相应的训练数据。3）游戏中只有一个张量，并考虑如何去分解这个张量，问题本质上没有足够的机器学习所需要的多样性。4）对称性。
在2*2矩阵的乘法中，Strassen的算法将乘法运算次数由8次降为7次。...矩阵乘法的张量表示和低秩分解 那么下一个问题就是，如何找到一种算法，构建能够消去乘法运算的中间量，同时更方便地利用强化学习技术？ DeepMind给出的答案是：将矩阵乘法转换为「低秩分解」问题。...两个n维向量的外积可以得到一个n×n的矩阵，三个n维向量的外积可以得到一个 n×n×n 的张量。 仍以Strassen的算法为例，低秩分解后的结果，即上式中的U、V、W对应为3个7秩矩阵。...这里的分解矩阵的秩决定原矩阵乘法中乘法运算的次数。 实际上，用这个方法可以将n×n矩阵乘法的计算复杂度降低至 O(Nlogn(R)) 。...在上图所指的位置，我们要选择三个向量u,v,w，进行相应计算。 一旦我们有三个向量的动作，我们就可以从原始张量中减去它。然后的目标是，找到从原始张量中减去的下一个动作。
就是向量乘法，即线性代数中的矩阵之间相乘的运算。...1.4 tf.multiply 此函数是：两个矩阵中对应元素各自相乘，即逐元素操作。逐元素操作是指把x中的每一个元素与y中的每一个元素逐个地进行运算。就是哈达玛积。...； y: 一个类型跟张量x相同的张量； 返回值： x * y element-wise； 注意： multiply这个函数实现的是元素级别的相乘，也就是两个相乘的数元素各自相乘，而不是矩阵乘法，注意和tf.matmul...向量乘法采用的乘法是线性代数中的矩阵之间相乘的运算。 1.6 DIN使用 在DIN使用如下： # 7....所以，对一个[3,2]的张量和一个[3,1]的张量相加在TF中是合法的。（这个机制继承自numpy的广播功能。
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