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【运筹学】整数规划、分支定界法总结 ( 整数规划 | 分支定界法 | 整数规划问题 | 松弛问题 | 分支定界法 | 分支定界法概念 | 分支定界法步骤 ) ★★

: 选择合适的 决策变量 与 决策变量取值 ; 选取变量 , 使得变量的一组取值 , 能更好对应线性规划问题的解决方案 ; 每个项目有对应的两个选择 , 投资 / 不投资 , 分别使用 1 和...】整数规划 ( 相关概念 | 整数规划 | 整数线性规划 | 整数线性规划分类 ) 博客中的整数线性规划概念 , 上述线性规划是 整数线性规划 ; 上述整数线性规划 的 松弛问题 是一个线性规划 , 可以使用单纯形法对其进行求解...; 满足 ① 得到最优解 , ② 根据现有条件可以排除最优解在该分支中 , 二者其一 , 就可以进行定界 ; 定界的作用是 剪掉没有讨论意义的分支 , 只讨论有意义的分支 ; 2、分支定界法求解整数规划步骤...可以使用单纯形法求上述线性规划的最优解 , 本次使用图示法 , 求的最优化 ; 使用图示法解得上述 松弛问题 最优解 \begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{18}{11} \...\leq [x_i] 和 x_i \geq [x_i] + 1 , 形成 两个新的 松弛问题 , 就是两个分支 ; 选择 非整数取值的变量 x_1 = \cfrac{18}{11} \approx

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【运筹学】分支定界法 ( 分支定界法求整数规划示例 ) ★★

可以使用单纯形法求上述线性规划的最优解 , 本次使用图示法 , 求的最优化 ; 使用图示法解得上述 松弛问题 最优解 \begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{18}{11} \...分支 操作 , 分成两个 分支松弛问题 \rm LP1 和 \rm LP2 ; 三、第一次分支操作 ---- 分支操作 : 任选一个 非整数解变量 x_i , 在 松弛问题 中加上约束 ,...x_i \leq [x_i] 和 x_i \geq [x_i] + 1 , 形成 两个新的 松弛问题 , 就是两个分支 ; 选择 非整数取值的变量 x_1 = \cfrac{18}{11}...: ① 根据整最优解是否是整数判定 : 首先看 分支 松弛问题 最优解 是否是整数 , 如果是那就停下来 , 如果不是继续向下分支 ; ② 根据界的优劣判定 ( 定界思想 ) : 是否继续向下分支 ,...x_i \geq [x_i] + 1 对应的 分支新增约束条件是 x_1 \geq 3 ; 这里得到了 \rm LP21 分支下的两个 分支松弛问题 \rm LP211 和 \rm LP212

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【运筹学】对偶理论 : 互补松弛定理应用 ( 原问题与对偶问题标准形式 | 已知原问题最优解求对偶问题最优解 | 使用单纯形法求解 | 使用互补松弛定理公式一求解 | 互补松弛定理公式二无效 ) ★★

---- 方法一 : 写出上述线性规划的对偶问题 , 然后使用单纯形法求最优解 , 首先写出 对偶问题 , 然后转为 标准形式 , 找 单位阵 作为基矩阵 , 然后得到基变量 , 假设非基变量为 0...求出 基解 , 在单纯形表中计算 检验数 , 如果 检验数都小于 0 就是最优解 , 如果检验数都大于 0 , 则不是最优解 ; 根据检验数确定 出基变量 , 然后计算出 入基变量 , 进行下一次迭代...; 方程组 同解变换, 构造单位阵 , 然后计算检验数 , 继续按照上述方法进行迭代 ; 该方法比较麻烦 ; 五、使用互补松弛定理公式一求解 ---- 方法二 : 利用 互补松弛定理 计算 ; 写出原问题的对偶问题...2y_1 + 2y_2 \geq 4 \\\\ \rm y_1 + y_2 \geq 1 \\\\ \rm y_1,y_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} 给对偶问题的约束方程添加剩余变量...或 剩余变量 ; 上面 " 五、使用互补松弛定理公式一求解 " 小节 使用的是 \rm Y_sX^0 = 0 公式进行求解 , 在本小节中使用 \rm Y^0 X_s = 0 公式进行求解 ;

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【运筹学】线性规划数学模型 ( 知识点回顾 | 可行解 | 最优解 | 阶梯型矩阵 | 阶梯型矩阵向量 | 基 | 基向量 | 基变量 | 非基变量 )

0 & (i = 1 , 2 \cdots n) \end{cases}\end{array} 3、线性规划标准形式 标准形式特点及转化步骤 : 按照如下顺序进行处理 ; 约束条件都是等式 , 且右侧常数...\geq 0 , 小于等于不等式加上松弛变量 , 大于等于不等式减去剩余变量 ; 决策变量 \geq 0 , 没有约束的变量 x_j = x_j' - x_j'' , 使用两个变量代替...可行域 : 所有的可行解组成的集合 , 称为可行域 ; 最优解 : 使目标函数达到最大值的可行解 , 称为最优解 ; 线性规划求解就是在 可行解 中找出一个 最优解 ; 将线性规划转化为标准形式 , 就可以使用求解方程组的方法..., 高斯消元法 ; 将系数矩阵 A 和 B 做成一个矩阵 \bigl( A B \bigr) , 进行行变换 , 消元成阶梯形式 , 此时可以判断该方程组是否有解 , 如果有 , 可以将所有的解解出来..., 其可以任意取值的 , 当 x_3 取任意值时 , 通过阶梯型矩阵 , 可以计算出 x_1 和 x_2 的值 ; 假设 x_3 取值为 k , 那么 : x_2 = k + 2

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【运筹学】对偶理论总结 ( 对称性质 | 弱对偶定理 | 最优性定理 | 强对偶性 | 互补松弛定理 ) ★★★

( 没有约束 )––约束变量是大于等于 \geq 0 的约束条件是大于等于不等式 \geq 约束变量是小于等于 \leq 0 的约束条件是小于等于不等式 \leq 约束变量是自由变量 (..., 如果检验数都大于 0 , 则不是最优解 ; 根据检验数确定 出基变量 , 然后计算出 入基变量 , 进行下一次迭代 ; 方程组 同解变换, 构造单位阵 , 然后计算检验数 , 继续按照上述方法进行迭代...; 该方法比较麻烦 ; 4、方法二 : 使用互补松弛定理公式一求解 方法二 : 利用 互补松弛定理 计算 ; 写出原问题的对偶问题 : \begin{array}{lcl} \rm minW = 10y..., 就可以得到三个方程 ; 根据 对偶理论中的 强对偶性 , 如果 原问题 与 对偶问题 都有可行解 , 只要有一个问题有最优解 , 则 两个问题都有最优解 , 二者的最优解的目标函数值相等 ; 这里求一下对偶问题的目标函数值...或 剩余变量 ; 使用上述互补松弛定理 , 求出 给定的最优解 对应的对偶问题线性规划 松弛变量的值 ; 将 松弛变量 代入到 约束方程等式 中 , 求解出的值就是线性规划问题的最优解 ; 还有一种方式

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【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 ) ★★

---- ① 先处理变量没有约束的问题 , 需要用两个 \geq 0 的变量替换原来的变量 ; 这里特别注意 , 之后处理 约束方程 , 每个步骤都要讲该变量替换掉 ; 该步骤优先级最高 ;...处理变量无约束的问题 ( 变量必须大于 0 ) 处理决策变量 x_3 无约束的问题 , 在标准形式中 , 所有的变量必须都 \geq 0 ; 这里使用 x_3' - x_3'' 代替 x..._3 , 新增加的两个变量 x_3' , x_3'' \geq 0 注意之后的每个步骤都要考虑 将 x_3 转为 ( x_3' - x_3'' ) ; 2....目标函数转化 转化顺序说明 : 在处理上述转化时 , 需要加入新的变量 , 如 无约束的变量需要增加两个变量 , 约束方程的 松弛变量 和 剩余变量 , 因此目标函数最后转化 ; ( 1 ) 将新增的变量加入...原目标函数为 : min W = -2x_1 + x_2 + 3( x_3' - x_3'' ) 新增的变量 : ① 之前 x_3 没有约束变量 , 使用 x_3' , x_3'' 代替

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【运筹学】分支定界法 ( 分支定界法相关概念 | 分支定界法求解整数规划步骤 | 分支定界理论分析 | 分支过程示例 )

; 满足 ① 得到最优解 , ② 根据现有条件可以排除最优解在该分支中 , 二者其一 , 就可以进行定界 ; 定界的作用是 剪掉没有讨论意义的分支 , 只讨论有意义的分支 ; 二、分支定界法求解整数规划步骤...松弛问题 最优解 : 如果 该 最优解就 是整数 , 那么得到整数规划最优解 ; 如果 该 最优解 不是整数 , 那么转到下一个步骤 分支 与 定界 ; ( 2 ) 分支 与 定界 : 任选一个 非整数解变量...x_i , 在 松弛问题 中加上约束 : x_i \leq [x_i] 和 x_i \geq [x_i] + 1 形成 两个新的 松弛问题 , 就是两个分支 ; 上述分支 , 分的越细致 ,...0 \end{cases}\end{array} 分支都是基于松弛问题进行的 , 为松弛问题分支 , 组成两个新的松弛问题 ; 下图是求解结果 ( 图解法 ) : 最优解 x_1 = \cfrac...2 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} 这样就将一个线性规划 , 分解成了两个问题分支 , 分别找两个分支问题的所有整数解 ; 整数规划的整数解

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【运筹学】线性规划 图解法 ( 唯一最优解 | 无穷最优解 | 无界解 | 无可行解 )

图解法 : 适用于 两个 或 三个 变量 , 如果是两个变量 , 需要绘制直角坐标系 , 如果是 三个变量 , 需要绘制立体坐标系 ; 2....单纯形法 : 适用于任意变量 , 但必须将线性规划数学模型转为标准形式 ; 本篇只讨论 两个变量的 图解法 , 在直角坐标系中进行绘图 ; 图解法意义 : 1....局限性大 : 实际情况下 , 我们都使用单纯形法求线性规划的解 , 图解法只能处理 2 到 3 个变量的线性规划问题 ; 2....优势 : 图解法 简单 , 直观 , 便于初期对线性规划问题的 原理 和 几何意义 进行深入理解 ; II....} x_1 + 3x_2 \geq 6\\\\ x_1 + x_2 \geq 4\\\\ 3x_1 + x_2 \geq 6\\\\ x_1 , x_2 \geq 0 \end{cases} \end{

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【机器学习】算法原理详细推导与实现(五):支持向量机(下)

如果 (varphi(x)) 和 (varphi(z)) 向量夹角越小，即两个向量越相似(余弦定理)，那么 (varphi(x)) 和 (varphi(z)) 将指向相同的方向，因此内积会比较大；相反的如果...(varphi(x)) 和 (varphi(z)) 向量夹角越大，即两个向量相似度很低，那么 (varphi(x)) 和 (varphi(z)) 将指向不同的方向，因此内即将会比较小。...左边使用线性的时候，使用svm学习出 (omega) 和 (b) 后，新来样本 (x) 就可以代入到 (omega^Tx+b) 中进行判断，但是像图中所示是无法判断的；如果使用了核函数过后， (omega...那怎么办呢，我们需要将模型进行调整，以保证在不可分的情况下，也能够尽可能地找出分隔超平面。 看下面的图可以解释： ?...为了推出这个步骤，我们需要相对于 (alpha_i) 、 (alpha_j) 进行更新，假设取值是 (alpha_1) 、 (alpha_2) ，即假设 (alpha_1) 、 (alpha_2) 不再是变量

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【运筹学】对偶理论 : 对偶问题引入 ( 生产产品线性规划 | 设备租赁线性规划 | 对偶问题引入 )

, 不能超过 12 小时 , 甲产品需要使用设备 1 两个小时 , 乙产品需要使用设备 1 两个小时 , 生成约束方程 2x_1 + 2x_2 \leq 12 ; 设备 2 的约束方程...: 设备 2 的使用时长 , 不能超过 8 小时 , 甲产品需要使用设备 2 一个小时 , 乙产品需要使用设备 2 两个小时 , 生成约束方程 x_1 + 2x_2 \leq 8...2 \leq 12 ; 变量约束 : 产品 1 和产品 2 的个数必须是大于等于 0 , 肯定没有负数 ; x_1 \geq 0 , x_2 \geq 0 最终生成的线性规划数学模型为...四、对偶问题引入 ---- 上述问题从不同角度出发 , 得到了两个线性规划 : 生产利润最大化线性规划模型 : 有 2 个变量 , 4 个约束条件 , 目标函数求最大值 ; 设备租赁线性规划模型...: 有 4 个变量 , 2 个约束条件 , 目标函数求最小值 ; 两个线性规划之间的对比 : 生产利润最大化线性性规划模型 中的 x_1 系数是 \begin{pmatrix} \

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吴恩达笔记3_回归问题和正则化

吴恩达机器学习-3-逻辑回归与正则化问题 第三周主要讲解的内容包含： 逻辑回归 代价函数 线性回归和逻辑回归的比较 正则化问题 逻辑回归 分类问题 假设预测的变量y是离散的值，需要使用逻辑回归Logistic...Regression，LR的算法，实际上它是一种分类算法 二元分类问题 将因变量dependent variable可能属于的两个类分别称为负向类negative class和正向类positive...如果直接使用线性模型中的代价函数，即误差平方和，得到的代价函数是个非凸函数，但是实际上我们期望看的是凸函数（右边） ? 重新定义逻辑回归的代价函数 ? 将上面的两个式子进行合并： ? ?...可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法，例如PCA 正则化。 保留所有的特征，但是减少参数的大小magnitude* ?...Attention： 一般地，不对\theta_0进行惩罚；加上正则化参数实际上是对参数\theta进行惩罚。经过正则化处理后的模型和原模型的对比： ?

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【运筹学】线性规划数学模型 ( 线性规划三要素 | 一般形式 | 标准形式 | 标准形式转化 | 可行解 | 最优解 | 基 | 基向量 | 基变量 | 非基变量 ) ★★

= b_i 这个 x_{n+i} 称为剩余变量 ; 4、总体顺序说明 ① 先处理变量没有约束的问题 , 需要用两个 \geq 0 的变量替换原来的变量 ; 这里特别注意 , 之后处理 约束方程...处理变量无约束的问题 ( 变量必须大于 0 ) 处理决策变量 x_3 无约束的问题 , 在标准形式中 , 所有的变量必须都 \geq 0 ; 这里使用 x_3' - x_3'' 代替 x..._3 , 新增加的两个变量 x_3' , x_3'' \geq 0 注意之后的每个步骤都要考虑 将 x_3 转为 ( x_3' - x_3'' ) ; 2....目标函数转化 转化顺序说明 : 在处理上述转化时 , 需要加入新的变量 , 如 无约束的变量需要增加两个变量 , 约束方程的 松弛变量 和 剩余变量 , 因此目标函数最后转化 ; ( 1 ) 将新增的变量加入...可行域 : 所有的可行解组成的集合 , 称为可行域 ; 最优解 : 使目标函数达到最大值的可行解 , 称为最优解 ; 线性规划求解就是在 可行解 中找出一个 最优解 ; 将线性规划转化为标准形式 , 就可以使用求解方程组的方法

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【运筹学】线性规划 单纯形法 ( 原理 | 约定符号 | 目标系数矩阵 C | 目标函数变量矩阵 X | 约束方程常数矩阵 b | 系数矩阵 A | 向量 | 向量符号 | 向量 Pj )

单纯形法引入 : 在线性规划中 , 约束方程个数 , 一般情况下会小于变量个数 , 因此会有多个解 , 单纯形法就是针对这种情况求解的方法 , 可以得到符合要求的线性规划的最优解 ; II ....单纯形法 基本原理 ---- 单纯形法原理 : ① 初始单纯形 : 先从线性规划 约束方程 中找出单纯形 , 每个单纯形可以解出一组变量的解 ; ② 判定趋势 ( 是否最优 ) : 然后判断这个解 影响的...线性规划 标准形式 ---- 线性规划标准形式 : 使用单纯形法 求解 线性规划问题 , 这里要求线性规划数学模型必须是标准形式 , 有如下要求 : ① 目标函数 : 变量组成的目标函数 , 求解极大值...= b , X \geq 0 \end{array} 2....系数替换方案 : 在线性规划 普通公式中 , 约束方程系数 a_{ij} 可以使用 P_j 进行替换 ; \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i \\\\ i = 1,2

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假设检验 (hypothesis testing)

定义 假设检验是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立 假设 由定义可知，我们需要对结果进行假设，然后拿样本数据去验证这个假设。...一般都会根据假设推导出一个服从某个标准分布的变量，然后根据该标准分布查表积分，比较统计量和显著水平对应的统计量来判定是否拒绝原假设。...给定显著性水平α后，查表就可以得到具体临界值，将检验统计量与临界值进行比较，判断是否拒绝原假设。...假设检验步骤 提出原假设与备择假设 从所研究总体中出抽取一个随机样本 构造检验统计量 根据显著性水平确定拒绝域临界值 计算检验统计量与临界值进行比较 两种假设检验 假设检验根据业务数据分为两种：一个总体参数的假设检验和两个总体参数的假设检验...变量 描述 统计量分布 标准正态分布 $\bar{x}$ 两个总体样本均值 $\mu$ 两个总体的均值 $s$ 样本标准差 $\sigma$ 总体标准差 $n$ 两个样本量 $z $ ($\sigma

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【运筹学】线性规划数学模型 ( 三要素 | 一般形式 | 向量形式 | 矩阵形式 )

① 减小资源消耗 : 任务 和 目标确定 , 统筹兼顾 , 合理安排 , 用最少的资源完成上述任务和目标 ; 资源包括 资金 设备 原料 人力 时间 等 ; ② 获得最大效益 : 资源是固定的 , 进行合理安排...线性规划示例 ---- 某工厂生产 甲 , 乙 两种产品 , 分别要使用 A , B , C , D 四种设备进行加工 , 按照工艺流程规定 , 每种产品 在不同设备上加工所需的时间如下表所示 , 如何安排生产...甲乙两种产品数量的限制 , 两个产品的数量必须大于等于 0 ; x_1 \geq 0 , x_2 \geq 0 按照上述条件 , 计算出 Z 的最大值 , 就是生产甲乙两种产品的最大利润 ; III...或 不等式 组成 , 如上述 3 ~ 7 的四种设备的使用时间限制 和 决策变量的取值范围 ; IV ....\geq 0 \cdots x_2 \geq 0 \end{cases} 上述线性规划中 , 有 n 个决策变量 , m 个约束条件不等式 ; 简写形式 : 有 n 个变量 , m

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扔球进桶与负载均衡

切尔诺夫上界（Chernoff's bound） 以上两个不等式都是关于一个随机变量的，现在对于多个随机变量（例如连续扔多次硬编的游戏），我们可以限制其远离期望的概率。...这告诉我们在负载均衡场景中，单纯使用随机的方法分配请求是不够好的。那么我们能否做得更好？接下来我们继续深入。 三、闭着眼睛选两个，再瞅一眼！...Michael Mitzenmacher的博士论文的第1.2节；由于证明需要非常细致地对条件概率进行处理，我们在本章中仅介绍证明的思路，且限制d = 2。...，在\lambda = 0.99时我们可以画出图像： [ratio-2-choices.png] 可以看见，只要有一小部分任务“选两个再多瞅一眼”，就能显著降低队列长度的期望。...我们进一步介绍了当球数远多于桶数时，随机挑两个的结果使得最大负载与平均负载的差值（Gap）与球数不再相关，以及动态模型中随机挑两个的策略也可以得到和静态模型中相似的结果。

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LaTeX常用篇(一)---公式输入

事实上，使用word的墨迹公式(磨叽？？？ ? )写一个简单的数学公式也还是比较方便的。然而，当我们需要大量输入复杂的数学公式时，用word就十分崩溃了。...3.1.1 行内公式   直接使用一组$包着想要输入的内容，来具体看一个例子： 随机变量$X$的分布函数为$F(x)$，求出它的对应的密度函数$f(x)$ 显示效果： 随机变量 X 的分布函数为 F(...^2$$ 显示效果： 我们熟知的勾股定理是： a^2 + b^2 = c^2 ---- 3.2 有编号公式   有时我们在写论文的时候，要对公式进行编号标注，这时可以使用以下几种方式： 3.2.1 手动编号...中，不等于\(\neq\)使用\neq表示，小于等于\(\leq\)使用\leq表示，大于等于\(\geq\)使用\geq表示 ps：可以看到，输入的公式被看成了一个整体，并没有分别对这些公式进行编号。...{align} ps：可以看到，输入的公式被分别进行编号。

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