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图形编辑器开发：以光标为中心缩放画布

大家好，我是前端西瓜哥。画布缩放是图形设计工具中很重要的基础能力。...其实就是将原来真实的图形的坐标做一个线性计算转换。首先是将特定区域移动到视口中，就像摄影机从原点移动我们想要观察的某个物体上。不过实际上是物体所在的平面做了一个方向的移动。...然后再做一个缩放，就像摄影机拉近或远离与目标物体距离，效果是物体在镜头下变大或变小。转换就两步，移动然后缩放。视图矩阵转换场景坐标系到视图坐标系的转换，我们通过视图矩阵相乘来实现。...我们要做的事是，在 zoom 变化后，调整 viewport.x 和 viewport.y 的值，让光标在视图坐标系上相对视口左上角距离不变。这里得补充一个知识点。...就是两个坐标系中距离的转换：场景转视图，距离转换为 dist * zoom；视图转场景，距离的转换是 dist / zoom，因为视口看到的图形都是缩放（乘以 zoom）后的结果，所以反过来就要除回去

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基于OpenCV的位姿估计

今天我们的目标是找出我们相对于球场上的位置，从而了解我们在比赛中的全局位置。 01.什么是单应性单应性是一种平面关系，可将点从一个平面转换为另一个平面。...它是一个3乘3的矩阵，转换3维矢量表示平面上的2D点。这些向量称为同质坐标，下面将进行讨论。下图说明了这种关系。这四个点在红色平面和图像平面之间相对应。...可以在投影矩阵中编码该变换，该投影矩阵将表示3D点的4维均匀向量转换为表示图像平面上2d点的3维均匀向量。齐次坐标是表示计算机视觉中的点的投影坐标。...由于拍摄照片时会从3D转换为2D，因此深度范围会丢失。因此，可以将无限数量的3D点投影到相同的2D点，这使得同质坐标在描述可能性射线时非常通用，因为它们的比例相似。...H是单应性矩阵，是3 x 3矩阵，可将点从一个平面转换为另一个平面。在这里，变换是在Z = 0的平面和指向该点的图像平面之间进行的投影。单应性矩阵通常通过4点算法求解。

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自动驾驶视觉融合-相机校准与激光点云投影

然而激光雷达得到的是3D点云, 而单目相机得到的是2D图像, 如何将3D空间中的点投影到图像平面上, 从而获得激光雷达与图像平面相交的区域, 是本文研究的重点....上文提过, 在相机世界中, 3D外界点转换到2D图像像素点转换方程是我们可以通过相机的内在参数 intrinsic camera parameters　实现这一转换....在两个欧几里得坐标系之间来回移动是一种非线性操作, 但是一旦我们处于齐次坐标系中, 投影变换将变为线性, 因此可以表示为简单的矩阵向量乘法. 两个坐标系之间的转换如下图所示....外参矩阵现在我们已经实现了在相机坐标系中3D空间中的点P到2D像素平面中的点P'之间的映射. 但是激光雷达和相机的坐标系所在空间位置是不一样的, 它们都需要在车辆坐标系中进行校准....如果将P_rect_00改成P_rect_2, 也就是从参考相机0投影到相机2的像素坐标系中(其他相机相对与相机0有偏移b(i)). 以下为实现激光雷达3D点云投影到2D图像平面的步骤： // 1.

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基础渲染系列（一）图形学的基石——矩阵

实际上，我们执行的乘法是 ? ，这是矩阵乘法。2 x 2矩阵的第一列表示X轴，第二列表示Y轴。 ? （用2D的矩阵定义X和Y轴）通常，将两个矩阵相乘时，在第一个矩阵中逐行，在第二个矩阵中逐列。...但是，这是无效的，因为矩阵的行长已变为4。因此，我们需要在点上添加第四个组件。当此分量与偏移量相乘时，它应该为1。我们想要保留该1值，因此可以在进一步的矩阵乘法中使用它。...但是，我们不会使用该方法，因为有一些有用的转换会改变底部的行。 5 投影矩阵到目前为止，我们一直在将点从3D中的一个位置转换为3D空间中的另一个位置。但是这些点最终如何在2D显示器上绘制呢？...这需要从3D空间转换为2D空间。我们可以为此创建一个Transform矩阵！对相机投影进行新的具体转换。从单位矩阵开始。 ? 将其添加为最终转换。 ?...从齐次坐标转换为欧几里得坐标，然后进行所需的划分。 ? ? 正交投影的最大区别是点不会直接向下移动到投影平面。相反，它们会朝着相机的位置（原点）移动，直到撞到切面。

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对极几何概论

数字图像是真实世界中的对象通过光学成像设备在光敏材料上的投影。在3D到2D的转换过程中，深度信息会丢失。从单个或多个图像中恢复有用的3D信息需要使用立体视觉知识进行分析。...从外部世界的点X发出的光穿过小孔，并投射在像平面上的点x上。 3D空间中的点X和成像平面上对应的点x坐标之间的定量关系为： ? 我们可以按以下形式表示3D和2D之间的转换。 ?...基本矩阵：我们知道从摄像机1到摄像机2的运动是一个刚体，因此可以通过刚体变换将摄像机1坐标系中观察点P的坐标转换为摄像机2坐标系。 ? 其中R和T分别表示旋转和平移。...我们知道，两个向量的叉积可以转换为一个向量与另一个向量的反对称矩阵的点积，因此 ? 其中，[Tx]代表T的反对称矩阵，我们令E = [Tx] R，然后 ?...展开上面的矩阵，并以向量的形式编写它： ? 此时，上述极限约束方程可写为 ? 将八个点的对极约束放在一起可以得到一个方程组： ? 本质矩阵和基本矩阵可以通过求解方程组来求解。

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3D图形学线代基础

有时候人们也会使用方括号包含数字块来表示矩阵，这也是被允许的；矩阵真正重要的是它的性质而不是其外形。 ?...齐次坐标齐次坐标就是新增一个额外的维度，用N+1维来表示N维坐标；把坐标统一转换为齐次坐标之后就可以解决组合变换中存在平移时不能用矩阵连乘表示的问题了。首先举例说明齐次坐标，如下： ?...由于旋转矩阵为正交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵；根据转置矩阵的规律，可得： ? 最终求得视图矩阵如下： ? 投影矩阵投影矩阵则会把相机坐标系中的场景转换到投影平面上，以透视投影为例： ?...把视锥体转换为规则观察体，变换后场景中的物体丢弃 Z 轴坐标即是其在投影面上的坐标；因此最终投影变换矩阵 Mp = Mc * Mt * Ms： ?...视口变换矩阵计算得到物体在投影面上的坐标之后，还需要进行最后一步操作，把投影面坐标转换为屏幕坐标，也被称为视口变换： ?

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Python+OpenCV实现增强现实（第1部分）

前面已经解释过，我们想要找到将点从参考面映射到图像平面的转换（参见图5)。这个转换必须更新我们处理的每个新帧。 ? 图5：平面和图像之间的单应。来源: F. Moreno....我们假定相机遵循针孔模型工作，这大致意味着穿过3D点p和相应的2D点u的光线相交于摄像机的中心c。如果你有兴趣了解更多关于针孔模型的知识，这里有一个好的资源。 ? 图6：成像假定为针孔成像模型。...然而，如前所述，我们知道点p在世界坐标系而不是相机坐标系中的坐标，因此我们必须添加另一个将世界坐标系中的点映射到相机坐标系的转换。根据变换，世界坐标系中的p点的图像平面坐标是： ?...从图9我们可以得出结论，参考面与图形平面之间的单应，这是我们从之前发现的匹配中估计出的矩阵： ? 图10：参考平面和目标图像平面之间的单应矩阵。来源： F. Moreno。...我想今天就到这里了。在下一篇文章，我们将看到如何扩展我们已经估计的单应矩阵，不仅可以在投影参考面上的点，而且可以投影从参考面坐标系到目标图像的任何3D点。

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Python+OpenCV实现增强现实（第1部分）

前面已经解释过，我们想要找到将点从参考面映射到图像平面的转换（参见图5)。这个转换必须更新我们处理的每个新帧。图5：平面和图像之间的单应。来源: F. Moreno. 我们怎么能找到这样的转变呢？...我们假定相机遵循针孔模型工作，这大致意味着穿过3D点p和相应的2D点u的光线相交于摄像机的中心c。如果你有兴趣了解更多关于针孔模型的知识，这里有一个好的资源。图6：成像假定为针孔成像模型。...然而，如前所述，我们知道点p在世界坐标系而不是相机坐标系中的坐标，因此我们必须添加另一个将世界坐标系中的点映射到相机坐标系的转换。根据变换，世界坐标系中的p点的图像平面坐标是：图8：计算投影矩阵。...从图9我们可以得出结论，参考面与图形平面之间的单应，这是我们从之前发现的匹配中估计出的矩阵：图10：参考平面和目标图像平面之间的单应矩阵。来源： F. Moreno。...在下一篇文章，我们将看到如何扩展我们已经估计的单应矩阵，不仅可以在投影参考面上的点，而且可以投影从参考面坐标系到目标图像的任何3D点。

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67. 三维重建——相机几何参数标定

可以选择的约束条件有多种，我们选择了||p||^2=1。那么整个过程，可以转换为如下的表达式：这里面我们优化的就是所谓的代数误差，或者代数距离。...我想告诉你的是，在应用DLT算法时应该首先对2D点和3D点的坐标值进行归一化变换，并在计算完成后做一些反变换，才能得到最佳的结果。...假设我们现在有>=6对点，需要求得相机矩阵P，下面阐述完整的过程：第1步：2D点坐标归一化计算一个相似变换T（由平移和缩放组成），将所有2D点x变为x'=Tx，到达如下目的变换后的2D点的中心坐标变为...整个标定过程只需要用相机在不同的方向拍摄平面标定板（最少两次），而它实际上的核心思想就是我上面描述的非线性优化求解方法。...作者观察到平面板上的点和对应的像点之间可以用一个单应矩阵H关联在一起，而且只要平面板上的角点足够多（单应矩阵有8个自由度，一对点提供2个约束，所以理论上超过4个即可），就可以求出这个单应矩阵，求解方法类似于第一节所介绍的

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Camera-Lidar投影：2D-3D导航

Kitti ego车辆和传感器位置在开始分析之前，需要了解数据采集过程中传感器的相对位置。这是在一个坐标系到另一个坐标系之间执行任何转换的必要信息。...包含3x4投影矩阵参数，这些参数描述了世界坐标系上3D点到图像中2D点的映射。校准过程在[2]中说明。需要注意的是将校准cam0用作参考传感器。激光扫描仪相对于参考相机坐标系进行配准。...框间投影从线性代数的角度，投影矩阵在以均匀的坐标中表示为一个线性变换，它通过从一个向量空间到另一个向量空间x'= Px的乘法来改变点。可以对其进行合成以遍历不同的坐标系。...在这种情况下，转换矩阵主要表示传感器之间的刚体转换以及从3D到2D点的透视投影。...有了这些信息，我们可以轻松地将盒子模型转换为相机空间中的确切位置。考虑上面的图5，每个盒子实例的原点都设置在底部和中央，对应于与自我车辆和地面相同的高度。

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3D深度视觉与机械臂无序抓取

计算标定结果positional error 在 0.005（5 毫米）以内，则比较理想坐标系转换此操作旨在将点云所处的坐标系——相机 rgb 镜头坐标系转换至机器人坐标系，这一转换涉及相机外参及手眼标定结果...对于 ProjectMask 算子，不仅需要给入 AI 推理算子获得的 obj_list,还需要给入 2D 图对应的点云、2D图采图时所用的 rgb 镜头坐标系同点云坐标系的转换矩阵、相机 rgb 镜头的内参...这里已经将点云转换到了机器人坐标系，所以需要输入 rgb 镜头到机器人坐标系的转换矩阵。相机的 rgb 镜头内参可以直接从相机参数文件中读取。算子运行完成后，会获得所有检测目标的点云列表。...机械臂定位抓取定位识别根据 AI 推理后的流程，已经获得了在机器人坐标系下所有检测目标的点云列表。接下来要获得它的点云中心坐标。1）双击展开计算抓取点组中寻找目标组。...总结总的来说这只是深度相机的一小点功能，后续甚至考虑将这几个物体叠在一起又或者其他的不规则形状来体现出它性能的强大。提前训练好模型，就能实现想要的效果。你期待我用它来做些什么呢？

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自动驾驶：Lidar 3D传感器点云数据和2D图像数据的融合标注

相机数据本质上是2D的，它不提供对象的距离。尽管可以使用摄像头传感器的焦距和光圈来近似物体的深度，但是由于在将摄像头传感器将3D场景捕获到2D平面上时会固有地丢失信息，因此无法精确定位。...随后，激光雷达的每一帧图像将被转换回世界坐标系统。摄像机矩阵M1, M2, M3, M4, M5, M6将从每个摄像机坐标系统C1, C2, C3, C4, C5, C6转换回世界坐标系统W1。...将3D点云数据转换为世界坐标系通过与自我框架平移和旋转矩阵相乘，激光雷达参考系（L1）中的每个框架都将转换回世界坐标系。...从世界坐标系转换为相机坐标系下一步是通过与摄影机旋转和平移矩阵相乘，将数据从世界参照系转换为摄影机参照系。...从3D相机坐标系转换为2D相机框一旦数据进入相机参考框架，就需要将其从3D相机参考框架投影到2D相机传感器平面。这是通过与相机固有矩阵相乘来实现的。

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从零开始一起学习SLAM | 为什么要用齐次坐标？

同理，我们知道三维空间的一个平面A可以用方程 ax + by + cz + d = 0 来表示，三维空间的一个点P=(x, y, z) 的齐次坐标 P’=(x, y, z, 1)，类似的，点P在空间平面...因此，点P在平面A上的充分必要条件就是平面A 向量与P的齐次坐标P’的内积（点乘）： ?...因此，如果一个点的齐次坐标中，最后一个元素为0，则表示为无穷远点。 5、更简洁的表达欧氏空间变换这是齐次坐标最重要的一个优势之一。在以后的学习中你会更加深刻的理解。...如果用齐次坐标表示时可以将加法转换为乘法 ? 在欧氏变换中一般有两种操作：旋转和平移。...如果我们想要将向量a进行一个标准的欧氏变换，一般是先用旋转矩阵R进行旋转，然后再用向量t进行平移，其结果a’ = R*a + t，这样看起来没什么问题。

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手把手搭建游戏AI—如何使用深度学习搞定《流放之路》

方程式1：投影转换在上面的方程中，A是投影矩阵，w是世界点(3D)坐标矩阵，而p是投影点(2D)坐标矩阵。为了标定PoE的相机，也就是确定上面等式中的 A，我们会使用几个固定大小的箱子。...其数据点集合(缩写)如表1所示：世界点坐标&投影点坐标表1：数据映射接下来，我们构建一个转换矩阵A，将3D点投射到2D的点上。...在实际中，这是通过将投影矩阵乘以一个平移矩阵得到最终的投影矩阵来实现的。方程4中显示了一个平移矩阵，它可以用向量(x，y，z)来表示一组点的平移。...这些值对于将游戏窗口（大小800×600）中鼠标的移动转换为屏幕上的绝对值（通常类似于1920×1080）是很必要的。...世界点坐标 & 投影点表3：内部地图回忆一下第二部分的内容，投影地图类允许画面上的任何像素映射到3D坐标（假设玩家总是在xy平面上，然后该3D坐标会被量化为某个任意精度，让AI的世界地图变成均匀间隔网格的点

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68. 三维重建3-两视图几何

如果我们将向量的长度归一化为1，就会得到单位向量向量和向量之间是可以进行运算的，我们下面特别介绍向量和向量的点积和叉积：向量的点积向量的点积结果是一个数，通常用于确定向量之间的夹角。...当两个相机平行时，极点甚至可以位于无穷远处当我们已知一个图像点，想要搜索它在另外一个图像的对应点时，就可以利用上面讲的对极约束，只在第二幅图像的极线上进行搜索，从而加快搜索速度这个性质对我之后要讲解的立体匹配非常重要...使用单应矩阵能将一个平面图像上的点映射到另外一个平面上，它跟现在讲的本质矩阵的异同我用下图总结： 3.2 本质矩阵的数学几何解释现在我们来解释一下本质矩阵的由来。...基础矩阵 4.1 基本性质现在我们把相机坐标系中的坐标转换为像素坐标系中的坐标，这需要用到相机的内参矩阵K，如下图所示。...注意这里用了^符号来标明相机坐标系中的坐标：很容易通过Longuet-Higgins等式得到下面的式子，这就是基础矩阵F的由来：所有本质矩阵E的性质，基础矩阵都继承了，只不过应用时2D点的坐标位于图像的像素坐标系

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Direct3D 11 Tutorial 4: 3D Spaces_Direct3D 11 教程4：3D空间

点在不同的空间中具有不同的坐标。作为一维中的一个例子，假设我们有一个标尺，我们注意到标尺的5英寸标记处的点P. 现在，如果我们将标尺向右移动1英寸，则相同的点位于4英寸标记处。...对于w像素宽且h像素高的缓冲区，最右下像素具有坐标（w-1，h-1）。空间对空间的转换转换最常用于将顶点从一个空间转换为另一个空间。...在3D计算机图形学中，管道中逻辑上有三种这样的变换：世界，视图和投影变换。下一个教程将介绍单个转换操作，如转换，旋转和缩放。世界转换顾名思义，世界转换将顶点从对象空间转换为世界空间。...在计算机图形学中，FOV包含在视锥体中。视锥体由3D中的6个平面定义。这些平面中的两个平行于XY平面。这些被称为近Z和远Z平面。其他四个平面由观察者的水平和垂直视野定义。...然后，我们将修改顶点着色器以将顶点从对象空间转换为投影空间。修改顶点缓冲区由于我们开始以三维方式表示事物，因此我们将前一个教程中的平面三角形更改为多维数据集。

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将视频里物体移动轨迹绘制到2D平面图中

为解决这个问题，我们首先要意识到我们正在解决的是欧几里德空间中两个平面的转换问题。一个平面式在相机中的平面，另一个平面是投影的2D平面。因为我们需要了解两者之间存在着怎样的数学映射关系。...上图中，第一个是平移变换，直在x和y方向上平移；第二个变换时欧几里德变换，其不仅产生平移，还发生了旋转；第三个是仿射变换，是平移、旋转、缩放和剪切的组和，他可以改变点之间的距离，但是平行线在转换后还是保持平行...其中（x，y）表示一个平面中的像素坐标，（x'，y'）表示另一个平面中的像素坐标，H是表示为3×3矩阵的单应矩阵： ?...等式表明：给定一个平面中的点（x'，y'），将它乘以单应矩阵H，将从另一个平面得到其对应的点（x，y）。因此，如果我们计算出两个平面之间的H，我们可以相机图像任意像素坐标到平面图像的像素的坐标。...记下一个图像的像素坐标和匹配图像中的相应像素坐标。获得至少四个这样的点对，便可以得到H的估计值并使用它来计算任何其他对应的点对。 ?

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iOS ARKit教程：用裸露的手指在空中画画

我相信我们很快就会走向一个新的AR炒作高峰，通过这个新的重要支点，它最终可以找到它的本土市场，让增强现实应用程序开发成为主流。但是有足够的历史，让我们用代码弄脏手，看看苹果增强现实！...下面的代码演示了这一点： sceneView.hitTest通过将此2D点投影到最近的平面下方，搜索与屏幕视图中的2D点对应的真实平面。...对象跟踪的工作原理如下：首先，我们为它们提供一个图像和一个正方形的坐标，用于我们想要跟踪的对象的图像边界。之后我们调用一些函数来初始化跟踪。...iOS ARKit Vision库检测到的要素点我们将按照以下步骤初始化缩略图跟踪：上面最棘手的部分是如何将点击位置从UIView坐标空间转换为图像坐标空间。...ARKit为我们提供了displayTransform从图像坐标空间转换到视口坐标空间的矩阵，但不是相反。那么我们怎么做反过来呢？通过使用矩阵的逆。

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理解单目相机3D几何特性

所以我们首先必须了解相机如何将3D场景转换为2D图像的基本知识，当我们认为相机坐标系中的物体场景是相机原点位置（0，0，0）以及在相机的坐标系的X、Y、Z轴时，摄像机将3D物体场景转换成由下面的图描述的方式的...，它在指定的世界坐标系中旋转并将对象转换为相机坐标系。...相机坐标系中定义的一个点可以用K（摄像机矩阵）投影到图像平面上，K是一个内参矩阵，它采用fx和fy，将相机坐标系的x和y值缩放为图像平面的u和v值，此外，K还涉及sx和sy，它们将图像的原点从图像的中心转换到左上角的图像坐标系下...单应矩阵当忽略世界坐标系中的z方向时，有一种称为单应性的技术可以从图像像素恢复3D位置，换言之，我们只考虑3D世界中的平面，如果忽略世界坐标中的z方向，4x3摄像机矩阵P可以简化为3x3单应矩阵H。...方形矩阵可以有其逆矩阵H-1，它可以将图像的u，v像素映射到世界坐标系中的x，y，0坐标，如下所示：事实上，图像到图像的映射也是可以的，因为在z=0的世界坐标平面可以理解为一个图像，在游泳比赛的电视转播中

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终端图像处理系列 - OpenGL ES 2.0 - 3D基础(矩阵投影)

Overview 移动设备的屏幕是二维平面,要想把一个三维场景渲染在手机二维屏幕上，需要利用OpenGL中的矩阵投射，将三维空间中的点映射到二维平面上。...通常情况下，我们会根据画布（屏幕）的大小设定一个坐标范围，在顶点着色器中将这些坐标转换为标准化设备坐标。...为了将顶点坐标从观察变换成裁剪空间，需定义一个投影矩阵（Projection Matrix），它指定一个范围的坐标，比如每个维度上的 -100 到 100。...投影矩阵会将在这个指定范围内的坐标变换为标准化设备坐标的范围（-1。0，1.0）。使用投影矩阵能将3D坐标投影到2D的标准化设备坐标系中。...正交投影矩阵直接将坐标映射到2D平面上。不过正交投影没有透视效果，远处箱子和近处箱子投射到平面上是一样大的，这和我们日常生活中看东西时近大远小的视觉效果是不符的。

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