本文是我介绍贝叶斯线性回归的一次尝试。我会对线性回归的频率派方法做一个简要的回顾，介绍贝叶斯解释（Bayesian interpretation），并查看将其应用于简单数据集的结果。...这就是对参数 β 的最大似然估计，因为它是在给定输入 X 和输出 y 的条件下最有可能的 β 值。矩阵形式表达的封闭解如下： ?...从分布中抽取随机样本来近似估计分布的技术是蒙特卡洛方法的应用之一。我们有许多蒙特卡洛抽样的算法，其中最常用的是马尔可夫链蒙特卡洛的变体。...随着数据点的数目增加，这些直线开始重叠在一起，因为模型参数的不确定性降低了。 为了显示数据点的数目在模型中的影响，我使用了两个模型。...使用 500 个（左图）观测值和 15,000 个（右图）观测值的贝叶斯线性回归模型的结果 在使用更少的数据点时，线性拟合的变化更大，这代表着模型中更大的不确定性。
我们可以使用矩阵方程将线性模型推广到任意数量的预测变量。 在预测矩阵中添加一个常数项1以解释截距，我们可以将矩阵公式写为： ? 从训练数据中学习线性模型的目标是找到最能解释数据的系数β。...以矩阵形式表示的封闭形式解为： ? （再一次，我们必须在β上放上'帽子'，因为它代表了模型参数的估计值。）不要让矩阵算术吓跑你！...y不被估计为单个值，而是被假定为从正态分布中抽取。 贝叶斯线性回归模型是： ? 输出y由一个以均值和方差为特征的正态（高斯）分布产生。 线性回归的均值是权重矩阵乘以预测矩阵的转置。...贝叶斯线性建模应用 我将跳过本文的代码，但实现贝叶斯线性回归的基本过程是：为模型参数指定先验（我在本例中使用了正态分布），创建模型映射训练输入到训练输出，然后用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法从后验分布中抽取样本作为模型参数...（在贝叶斯推断中，变量的范围称为可信区间，与频率推理中的置信区间的解释略有不同）。 当我们想用贝叶斯模型进行线性拟合时，我们可以绘制一系列线条，而不是仅显示估计值，每条线条表示模型参数的不同估计值。
蒙特卡罗模拟只是一种通过重复生成随机数来估计固定参数的方法。通过获取生成的随机数并对它们进行一些计算，蒙特卡洛模拟提供了一个参数的近似值。...回想一下，我们正在尝试估计我们感兴趣的参数的后验分布，即人类平均身高： 我不是可视化专家，显然我也不擅长将我的示例保持在常识范围内：我的后验分布示例严重高估了人类的平均身高。...模拟将继续生成随机值（这是蒙特卡洛部分），但要遵守一些规则来确定什么是好的参数值。诀窍是，对于一对参数值，可以通过计算每个值解释数据的可能性来计算哪个是更好的参数值，给定我们的先验信念。...在 贝叶斯框架中，您可以计算您感兴趣的参数在所有其他参数上的边际分布（这是我们上面要做的）。 为什么“传统统计”不使用蒙特卡洛方法？...假设我们实际上并不知道如何从mvn中抽样 ，让我们提出一个在两个维度上一致的提案分布，从每边的宽度为“d”的正方形取样。 比较抽样分布与已知分布： 例如，参数1 的边际分布是多少？
2，多元线性回归 假定预测值与样本特征间的函数关系是线性的，回归分析的任务，就在于根据样本X和Y的观察值，去估计函数h，寻求变量之间近似的函数关系。定义： ?...wj是系数，w就是这个系数组成的向量，它影响着不同维度的Φj(x)在回归函数中的影响度，Φ(x)是可以换成不同的函数，这样的模型我们认为是广义线性模型，Φ(x)=x时就是多元线性回归模型。...上述公式中包含XTX, 也就是需要对矩阵求逆，因此这个方程只在逆矩阵存在的时候适用。然而，矩阵的逆可能并不存在，后面“岭回归”会讨论处理方法。...在该算法中，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重.于是公式变为: ? ，W是（m,m）矩阵，m表示样本数。 LWLR使用 “核”（与支持向量机中的核类似）来对附近的点赋予更高的权重。...线性回归模型中模型调优和修正的方法包括： - 获取更多的训练样本 - 解决高方差 - 尝试使用更少的特征的集合 - 解决高方差 - 尝试获得其他特征 - 解决高偏差 - 尝试添加多项组合特征 - 解决高偏差
accuracy练习5为消费数据估计一个扩展的ARIMA模型，将温度变量作为一个额外的回归因子（使用auto.arima函数）。...该系数在5%的水平上是否有统计学意义？test(fit)练习8估计ARIMA模型的函数可以输入更多的附加回归因子，但只能以矩阵的形式输入。创建一个有以下几列的矩阵。温度变量的值。收入变量的值。...滞后一期的收入变量的值。滞后两期的收入变量的值。输出该矩阵。注意：最后三列可以通过在收入变量值的向量中添加两个NA来创建，并将得到的向量作为嵌入函数的输入（维度参数等于要创建的列数）。...温度，滞后期为0、1、2的收入。检查每个模型的摘要，并找到信息准则（AIC）值最低的模型。注意AIC不能用于比较具有不同阶数的ARIMA模型，因为观察值的数量不同。...预测需要一个未来6个时期的期望温度和收入的矩阵；使用temp变量和以下期望收入值创建矩阵：91, 91, 93, 96, 96, 96。
这是通过在模型之前添加层次结构来实现的，其中在采样算法的每个步骤中评估变量的相关性。 这篇文章介绍了使用SSVS估计贝叶斯向量自回归（BVAR）模型。...先验协方差矩阵 u_sigma_df_post <- t + u_sigma_df_prior # 后验自由度 初始参数值设置为零，这意味着在Gibbs采样器的第一步中应相对自由地估算所有参数。...从下面的输出中可以看出，在VAR（4）模型中似乎只有几个变量是相关的。常数项的概率为100％，因为它们已从SSVS中排除。...这可以通过进一步的模拟来完成，在该模拟中，对于不相关的变量使用非常严格的先验，而对于相关参数则使用没有信息的先验。...后方抽取的均值类似于Lütkepohl（2007，5.2.10节）中的OLS估计值： ## invest income cons ## invest.1 -0.219 0.001
Copula可以同时处理多个变量，例如您可以在一个群组中处理多只股票，而不仅仅是一对，以创建最终交易组合，以在更高的维度上发现错误定价。...我选择了边缘为Gamma，Beta和Student，并使用下面指定的参数。...我们将拟合两个股票 ，并尝试使用copula模拟 。 ...）$ V2在直接进入copula拟合过程之前，让我们检查两个股票收益之间的相关性并绘制回归线：我们可以看到 正相关 ：在上面的第一个例子中，我选择了一个正态的copula模型，但是，当将这些模型应用于实际数据时...为简单起见，我们将假设正态分布 。因此，我们估计边缘的参数。直方图显示如下：现在我们在函数中应用copula，从生成的多变量分布中获取模拟观测值。最后，我们将模拟结果与原始数据进行比较。
作为一个例子，考虑用均值m和标准偏差s来估计正态分布的均值（在这里，我将使用对应于标准正态分布的参数）： 我们可以很容易地使用这个rnorm 函数从这个分布中抽样 seasamples<-rn 000...在 贝叶斯框架中，您可以计算您感兴趣的参数在所有其他参数上的边际分布（这是我们上面要做的）。 为什么“传统统计”不使用蒙特卡洛方法？...然而，蒙特卡罗方法在贝叶斯统计中的作用与频率统计中的优化程序相同，这只是执行推理的算法。所以，一旦你基本知道MCMC正在做什么，你可以像大多数人把他们的优化程序当作黑匣子一样对待它，像一个黑匣子。...让我们P为链中的转移概率矩阵： P<-rbind(a(.2,.1,.7),c(.25,.25,.5)) P ## \[,1\] \[,2\] \[,3\] ## \[1,\] 0.50 0.25...假设我们实际上并不知道如何从mvn中抽样 ，让我们提出一个在两个维度上一致的提案分布，从每边的宽度为“d”的正方形取样。 比较抽样分布与已知分布： 例如，参数1 的边际分布是多少？
p=24535 最近我们被客户要求撰写关于COPULA模型蒙特卡洛的研究报告，包括一些图形和统计输出。 最近，copula 在仿真模型中变得流行起来。...输入参数 Copula 值矩阵 Copula 值，指定为范围 (0,1) 内的标量值矩阵。如果 u 是 n × p 矩阵，则其值表示 p_维单位超立方体 中的_n_个点 。...如果 是 _n ×2 矩阵，则其值表示 单位正方形中的_n_个点。...输出参数 拟合高斯 copula矩阵的估计相关参数 拟合高斯 copula 的估计相关参数，以标量值矩阵形式返回。...拟合_t_ copula 估计自由度参数 拟合_t_ copula 的估计自由度参数， 以标量值形式返回。 自由度参数 近似置信区间 自由度参数的近似置信区间，以 1×2 标量值矩阵形式返回。
**Koenker(1981) 将此假定减弱为 iid ，使得 BP 检验在实际中较多采用。...做 回归，记下此回归的 。 计算 F 统计量或者 LM 统计量并计算 p 值。（前者使用 分布，后者使用 分布）。...为保证 ，假设条件方差函数为对数形式： 对此方程进行 OLS 回归，可得 的预测值，记为 。 得到拟合值 （一定为正）。...=1/e2f] // 使用方差估计值的倒数作为权重,WLS /* 结果解读： WLS 回归的结果显示，lnpk 的系数估计值由“-0.22”(OLS 估 计值)改进为“-0.09”(其理论值应为正数)。...使用 OLS 时，变量 lnpl 的 p 值为 0.13，在 10% 的水平上也不显著; 使用 WLS 后，该变量的 p 值变为 0.002，在 1% 的水平上显著不为 0。
下面，我将介绍一些更快更简洁的方法，但是它们所提供信息量和建模的灵活性不尽相同。 各种线性回归方法的完整源码都可以在文末的GitHub链接中找到。他们大多数都依赖于SciPy包。...function），接受数据集和任何维度的多项式函数（由用户指定），并返回一组使平方误差最小的系数。...来自numpy包的简便线性代数模块。在该方法中，通过计算欧几里德2-范数||b-ax||2最小化的向量x来求解等式ax = b。 该方程可能有无数解、唯一解或无解。...方法五：Statsmodels.OLS ( ) Statsmodels是一个小型的Python包，它为许多不同的统计模型估计提供了类和函数，还提供了用于统计测试和统计数据探索的类和函数。...每个估计对应一个泛结果列表。可根据现有的统计包进行测试，从而确保统计结果的正确性。 对于线性回归，可以使用该包中的OLS或一般最小二乘函数来获得估计过程中的完整的统计信息。
让 代表将y转换为拟合值的n×n矩阵，yˆ=H∗y。在OLS回归中，类似的量是hat矩阵H=X（X⊤X）-1X⊤。...解决内生变量P和Q的结构方程，可以得到模型的简化形式 Kmenta独立地从N(0,1)中抽出20个δ1和δ2的值，然后设定ν1=2δ1和 结构方程估计如下（比较Kmenta 1986, 686）。...最后，我们可以在2SLS中使用系数协方差矩阵的估计（或自举法：例如，见Davison和Hinkley 1997）来修正非恒定误差方差的标准误差，就像Huber（1967）和White（1980；也见Long...我们将修改数据以反映非恒定误差方差，像最初那样从还原形式方程中重新生成数据，将内生变量P和Q表示为外生变量D、F和A的函数，以及还原形式误差ν1和ν2。...因此，加权的2SLS估计被计算为 将求和残差与拟合值作图，并测试非恒定误差方差，并不表明有异方差问题，但有一个相对较大的求和残差，约为-3，与其他数值相比有些突出。
特别值得一提的是，Louis和McDonnell[15]建议存储过去问题的已被优化的解，并通过基于案例的推理重新使用它们来辅助遗传算法(GA)搜索。...将车辆路径和圆弧路径作为问题的研究领域，通过将知识模因定义为从过去优化的路径解决方案中获取的转换矩阵，在各种不同大小、拓扑等的路径实例上观察到进化搜索的显著改进。...《自私基因》一书中被定义为“通过模仿进行文化传播的基本单位”，它在MA中作为个体学习过程的表现形式并没有体现模因的真实性质和潜在优点。...最近，模因被建模为一个转换矩阵，用作加速路由问题进化搜索的先验知识[13]。 在本文中，我们通过对模因搜索进行研究，通过学习跨异构问题进行持续优化，为模因计算做出贡献。...，假设输入的是常量特征，并且在映射中加入合适的偏差bias M=[M,b] , 然后(2)式子中的公式会变成(3)式， tr表示矩阵求迹 (一个n*n矩阵A的对角线,从左上方至右下方对角线)上各个元素的总和被称为矩阵
，指标矩阵 预处理：特征提取，正态化 「来自R语言用户转python数据分析的毒打」 ❝这毒打甚是酸爽，简单的回归分析，R中一行代码的事情，在python中差点劝退，这是学艺不精然后丢人现眼的感慨啊！...2. statsmodels的矩阵的形式 ❝statsmodels有两种方法，一种是通过numpy矩阵操作的形式运算，这里的OLS都是大写，另一种是formula形式，ols是小写，风格类似R。...变量 增加常数（截距） 使用OLS进行模型拟合 查看结果 结果： ?...然后我就想到，通过这种形式去将GWAS和GS的分析放进去，像GS也包括贝叶斯啊，岭回归啊（RRBLUP），参考群，候选群，交叉验证之类的概念，本质上也是机器学习的一种形式，通过这种形式调用，包括后面什么卷积神经网络等前沿性的算法考虑在内...上面这两本书，我是在哔哩哔哩上面，看到这个up主推荐的，她是个妹子，还把课讲得这么好，不推荐良心很痛的…… ?
线性回归 经典的-普通最小二乘或OLS-线性回归是以下问题: Y是一个长度为n的向量，由线性模型的目标值组成 β是一个长度为m的向量:这是模型必须“学习”的未知数。 X是形状为n行m列的数据矩阵。...我们经常说我们有n个向量记录在m特征空间中 我们的目标是找到使平方误差最小的值 这个问题实际上有一个封闭形式的解，被称为普通最小二乘问题。...解决方案是: 一旦解已知，就可以使用拟合模型计算新的y值给定新的x值，使用: 让我们用scikit-learn来验证我上面的数学理论:使用sklearn线性回归器，以及基于numpy的回归 %matplotlib...核函数的技巧在于使用设计良好的变换函数——通常是T或——从一个长度为m的向量x创建一个长度为m的新向量x '，这样我们的新数据具有高维数，并且将计算负荷保持在最低限度。...以下是一个核函数示例： kernel从m维空间创建m^2维空间的第一个例子是使用以下代码: 在核函数中添加一个常数会增加维数，其中包含缩放输入特征的新特征: 下面我们要用到的另一个核函数是线性核函数:
plt.legend(loc='upper left') pass 01 02 03 04 数值积分 数值积分的一种简单方法是在一组θ值的网格上估计值。...我们在蒙特卡洛积分中遇到的其他一些思想在这里也是相关的，例如独立样本的蒙特卡洛积分和提议分布的使用（例如拒绝采样和重要性采样）。...随机游走采样器（在此示例中使用）在当前值θ为中心处进行随机步骤 - 效率在小步长和高接受概率之间进行权衡，以及大步长和低接受概率之间进行权衡。...目前正在进行关于不同提议分布以有效采样后验分布的研究。 我们首先看一个数值示例，然后尝试理解其原理为什么有效。...示例 我们将使用熟悉的示例来估计两个硬币的偏差，给定样本对 (z1,n1)(θ1,η1) 和 (z2,n2)(θ2,η2)，其中 zi 是硬币 i 中 n_i 次投掷中头的个数。
许多贝叶斯建模方法都需要计算积分，而我看到的任何工作示例似乎都使用高斯或伯努利分布，原因很简单如果您尝试使用比这更复杂的方法，它将成为分析的噩梦。...将贝叶斯模型限制在“表现良好”的分布的小子集中，可能会极大地阻碍你对问题建模的能力，所以我们必须找到克服这一限制的方法。 蒙特卡洛近似 如果我不想分析计算某个讨厌的积分怎么办?...可以使用蒙特卡洛近似。 我们知道，我们可以通过使用目标分布的样本值计算期望通过使用目标分布的样本值计算样本均值。为什么重要?那么，期望是什么呢? ? 连续随机变量的期望。...画样本最简单的方法是使用逆CDF方法但这依赖于获得逆CDF函数它通常没有一个很好的解析形式只对一维随机变量有意义。 Metropolis算法是许多马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）采样方法的组成部分之一。...如果我们可以保证详细的平衡，那么我们也知道我们正在从马尔可夫链的固定分布中取样，我们将其作为目标分布。
比如中译音“我爱你”“I love you”,输入序列中的“我”应该与“I”对齐(贡献最大),然而在seq2seq模型中，“我”对"I","love","you"的贡献都是一致的 ?...Hard attention：Hard attention很粗暴，挑出最大权重的向量，剔除其余向量(置0)。显然这种形式的模型是不可微的，为了实现BP，这里采用蒙特卡洛采样的方法来估计模块的梯度。...卷积层有两种卷积的方式：(1)粒度为word的卷积;(2)粒度为embedding 维度上的卷积。前者相当于n-gram特征抽取，后者抽取的是向量每一维度上的信息。...得到了attention权值矩阵后，可以计算每个句子对应的attention向量，并归一化： 最后拼接起来得到attention 的re-weighted向量 作者没有添加额外的参数，只是简单的余弦距离去作为...端到端memory networks通过使用一组内存块存储事实数据库来实现这一点，并使用attention在回答查询时在内存中为每个事实建立关联模型。
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