圓 圓形的概念的形成，是人類認知歷史上的一大里程碑。 圓周率 定义1 一个圆形的周长与直径之比： ? ? 定义2 以圆形半径为边长作一正方形，然後把圆形面积和此正方形面积比。 ?...18世纪沃利斯发现的经典圆周率公式 随着能量的增加，从变分解的极限公式里，哈根和弗里德曼找到了沃利斯的圆周率公式。...π的连分数表示： ? ? 数论 两个任意自然数是互质的概率是 ? 任取一个任意整数，该整数没有重复质因子的概率为 ? 一个任意整数平均可用 ? 个方法写成两个完全数之和。...统计学 正态分布的概率密度函数： ? 圆的内接正多边形和外接正多边形 ?...他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。
因此，这个透明正方形模型的不变操作集合，可以由基本操作来全部生成，而任意正多边形也都有类似的性质，我们统一把他们叫二面体群（dihedral group），从生成角度，记作： Dn = 的抽象，和其他所有数学领域比如从给相似对象计数到离散可数的自然数的抽象，分蛋糕的分数抽象，还有对圆，三角函数，二次方程的根引发的实数的抽象，以及对无限累加和细分的极限运算的抽象等等...这其中本身的数学模型在建立之初有着抓住重点矛盾的想法，略去了一些细节，然后方便地在数学世界里逻辑推演以后，如果你发现不符合实际，甚至在现实中产生了笑话（比如一个经典笑话就是，一个数学家拿着只够半面墙的半桶油漆涂满了所有有理点...正方形对应C4，而真实的扑克牌是长方形的，对应C2。在前面讲到《奇偶性与魔术（一）——奇偶性的数学本质》中曾经提到，奇数偶数两个子数集加上加法就构成一个C2群，当然你也可以说它与D1同构。...而和Cn群同构的还有前后两面不同，不可翻折的正多边形的对称性，时钟表盘的旋转结果，整数在模加法上的运算；以及在《序列周期性与魔术（一）——数学里的函数周期性》中我们还提到了它也是描述扑克牌叠在仅二切操作下的全集
栅格是按照设置的间距显示在图形区域中的点，类似于纸中的方格的作用，栅格只能在图形界限内显示。 6.设置正交和极轴 ①正交 类似丁字尺的绘图辅助工具，光标只能在水平方向的垂直方向上移动。...②多边形 选择绘图-正多边形，或单击正多边形按钮，或命令行输入polygon。 提供三种绘制正多边形方法： a内接圆法：多边形的顶点均位于假设圆的弧上，需要指定边数和半径。...b外接圆法：多边形各边与假设圆相切，需要指定边数和半径。 c边长方式：直接指定多边形上的大小和方向。 ③圆 选择绘图-圆命令，或单击圆的按钮，或在命令行输入circle来执行。...双色：选中该单选按钮可以在指定两种颜色之间平滑地进行双色渐变填充，在颜色选项组里可以设置颜色。 居中：复选框控制颜色渐变居中。 角度：下拉文本框控制颜色渐变的方向。 其余选项功能与图案填充一样。 ...可延伸对象必须是有端点的对象，如直线、多线等，而不能是无端点的对象，如圆、参照线等。 首先是指定延伸边界 再是选择要延伸对象 ④修剪图形： 可以将选定对象在指定边界一侧部分剪切掉。
在项目中添加命令行，实现功能的动态交互功能，具体操作请参考[mxcad |命令行]。...基于mxcad库实现圆转多边形功能圆转多边形功能是根据用户输入的边数将目标圆转变成正多边形，其中转变方式分两种情况，一种是转换后的正多边形内接于目标圆，一种是转换后的正多边形外切于圆。...内接于圆：即目标圆为多边形的外接圆，它与多边形的每个顶点都相接。因此我们可以通过在目标圆上均匀取点找到多边形的所有顶点，最后通过多段线闭合连接成多边形，如下图：2....外切于圆：即目标圆为多边形的内切圆，它与多边形的每条边都相切，且与多边形的中心在同一直线上。因此我们可以通过获取多边形的外切圆反向绘制多边形。...然后让用户根据需求选择内接于圆或外切于圆的圆转多边形转换方式，默认选择内接于圆方式。
如果我们计算五角星的内切圆半径，那么就可以得到内五边形的半径，如果再知道正五边形一条边所对的 圆心角， 就可以得到五边形的 外接圆半径，然后就可以计算出顶点坐标，这些坐标也是五角星形边线的交点坐标以及三次...我们的正五角星形可以用 Schläfli symbol {5/2} 表示，这说明它有 5 顶点，然后将这 5 个顶点平均分布到它的外接圆上，每个点相隔 360°/5 = 72° 。...通过这个函数，我们首先计算变换形状时不会改变的常量，比如五角星形的外接圆半径（外圆的半径）、正五角星和正多边形一条边所对的圆心角、五角星形和内五边形（其顶点是五角星形边的交叉点）共有的内切圆半径、内五边形的外接圆半径...所以为了将六点钟方向作为起点，我们在 getStarPoints() 函数中给所有角度添加 90° （π/2 弧度）。...正方形 TB0CB1 的顶点坐标 (live). 因此我们得到了底部曲线两个相似控制点的坐标 (0,3∙R/√2).
分享给更多人：欢迎分享给更多对编程感兴趣的朋友，一起学习！ 在python存在一个简单易用的绘图库，它就是 turtle。...海龟先向前移动x单位的距离，然后向右转再移动x单位的距离，然后在右转移动x单位的距离，最后在右转移动x单位的距离。因为操作涉及了重复，我们可以将其写为循环。...2.2 正多边形绘制 有了正方形的前车之鉴，多边形的绘制就非常简单了，比较正方形就正四边形。...(-350,350) t.pendown() sides = 6 #正多边形的边数 for _ in range(sides): t.forward(100) t.right(360/...其实和正多边形没什么区别，找到角度就可以了。
） b 半径值的正负，输入正值所绘为劣弧，输入负值为优弧 B 圆弧绘制一共有十种命令，从菜单栏直接选择调用相应简单 13 正多边形命令：polgon（POL） A 正多边形默认可选择变数为3~1024，...（DIV） 小提示：a 修改等分点格式：ddptype命令或点击格式→点样式 b 等分角可随意绘制以角顶点为圆心的任意弧，再将此弧定数等分 18 定距等分：mesure（ME） 定距等分剩余部分的位置取决于鼠标选取的方向...输入大于 0 的公差将使有缘学习更多+谓ygd3076考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 样条曲线在指定的公差范围内通过拟合点（更改所有控制点的公差）。...必须选择选定边界内的对象，以按照当前孤岛检测样式填充这些对象。选择对象时，可以随时在绘图区域单击鼠标右键以显示快捷菜单。...正值扩展对象，负值修剪对象 B 百分比（P）：通过指定对象总长度的百分数设置对象长度 C 全部（T）：通过指定从固定端点测量的总长度的绝对值来设置选定对象的长度。
对每个多面体链环来说，多边形环的个数等于正多面体的面数，朝向也一致。 下图展示了初始的状态：所有的环都贴在正多面体表面，红色箭头表示的是各个面的法向量。...生成多边形环 为了简化讨论，先不考虑多边形环的粗细，那我们要生成的仅仅是一条空间曲线，可以是任意位置、任意朝向和任意大小。...具体来说，给一个正多面体，我们需要知道它各个面的法向量作为多边形环的 zN 参数；对于各个正多边形面，我们还需要知道从面心指向其中一个角的方向向量，作为最开始的 xN 参数；此外我们还需要知道面心，作为各个多边形环的中心点...，顶点序号从 1 到 8，和之前给的坐标一一对应。...Manipulate 函数里可动态改变的值，就能创建如下界面，动态调整即可找到满意的链环参数。
根据初中几何知识，当一个正多边形边数越多时，就越接近一个圆，利用这个原理，画圆就变成了画一个边数较多的正多边形。...前面画正方形可以看作是经历了4次90度拐弯，也就是说，每次拐弯的度数等于360 / n，n为边数。...我们先来画一个n=10的正多边形： reset forward 50 repeat 9 { turnleft 36 forward 50 } 效果如图所示： 可以看到，当正多边形的边数为10时...0x04 画一个正方形螺线 正方形螺线是一个边长一直在增长的正方形，为了实现这样的效果，需要用到变量(Variable)。 在TurtleScript中使用$x方式表示变量，可以直接赋值或访问。...我们可以先定义一个初始值为5的变量$len，表示一开始的变长为5，然后经过两次拐弯后，将边长加5，继续循环。
上面都是一个懵懵懂懂的状态，咱们整理一下有用的信息： 正多边形，多少边就是多少个顶点 正多边形，有轴对称的特性，等腰锐角三角形，也有轴对称的特性。...奇数也很简单，奇数顶点不变，底边固定，也就是找能够组成锐角三角形的边数。...那么有(n-1)/2个线，其中组成锐角三角形的一半向上取整那就是(n-1)/2+1,然后乘以顶点数量n，那么在奇数情况不考虑重复所有等腰锐角三角形数量为： total=n*(((n-1)/2+1)/2)...我们认真分析一下：等腰锐角三角形三个顶点都在正多边形的边上，其实也在一个圆上，如果构成等边三角形，说明这三个顶点能够将空间均分分开(也就是顶点、圆可以均匀分成三份)。...)此时相当于这么一个流程: int temp=n*((n-2)/4); long total=temp; 因为计算的数值范围都是int，所以最后结果也是int已经越界，然后将越界的这个int结果赋值给
但是，直到欧拉才发现了一个关于多面体的重要公式，内容是正多面体顶点的数量减去边数加上面数等于2： ?...V – E + F = 2 这个等式的左边称为欧拉-庞加莱示性数，我们可以在第十二版中用EulerCharacteristic来测试： ?...在第十二版中，我们可以使用EntityList和UniformPolyhedron来为我们提供均匀多面体的信息： ? 从模型中提取信息 一般能找到的多面体模型长这样： ? 这些是均匀多面体的图形表示。...在第十二版之前，PolyhedronData有其中一部分多面体的信息。在第十二版中，我们现在可以把第一个模型表示为72个面和30个顶点： ?...我的第一个方法很简单，使用标准模型得到顶点，使用这些顶点重构多面体，然后根据右手原则改变面的朝向。下一步是将模型等比例缩放到单位尺寸，并收集精确的坐标。
(startx, starty): 这一坐标表示 矩形窗口左上角顶点的位置, 如果为空,则窗口位于屏幕中心 如: turtle.setup(width=0.6, height=0.6) turtle.setup...画笔 使用Pen()设定海龟画图对象，即画笔：turtle.Pen() 代码执行后就建立了画布，同时屏幕中间可以看见箭头(arrow)，即所谓的海龟 在海龟绘图中，海龟的起点即画布中央为 (...部分命令详解： turtle.circle(radius, extent=None, steps=None) 描述: 以给定半径画圆 参数: radius(半径)：半径为正(负),表示圆心在画笔的左边...(右边)画圆 extent(弧度) (optional) steps (optional) (做半径为radius的圆的内切正多边形,多边形边数为steps) turtle.setheading(angle...()： 用来停止画笔绘制，但绘图窗体不关闭 4.绘图举例 绘制正方形：每输入一条指令，都可以看到海龟前进绘图和转向 绘制太阳花： 绘制分形树： 绘制趣图： 绘制五角星：
想要减少展开的扭曲程度，可以在扭曲程度大的地方增加曲面割线。另一种是展开算法中的约束产生的扭曲，比如固定边界的UV展开。...网格UV展开到平面的时候，如果没有割缝产生，那么每个顶点在其相邻三角形内的纹理坐标都是一样的，故可简称为顶点的纹理坐标。如果有割缝产生，割缝处的顶点在不同三角形内的纹理坐标是不一样的。...这种情况下，顶点和纹理坐标是一一对应的，一个顶点可以存一个纹理坐标。一般这类的UV展开，都是使用的顶点纹理坐标的概念。 任意网格的UV展开：如图2情况所示。...这种情况下，缝隙处的顶点和纹理坐标是一对多的关系。可以把纹理坐标存在三角形内。在非缝隙处，纹理坐标的存储有冗余信息。...如果需要减少存储空间，也可以把纹理坐标存成一个数组（纹理坐标都不相等），然后每个三角形存纹理坐标的索引，类似OBJ的文件格式。 ---- 网格割缝和纹理坐标缝隙的区别 这是两个不同的概念。
Graphics 中的主要角色，它可以在屏幕上移动并绘制图形。...画布（Canvas）：画布是用于绘制图形的空间，通常是一个二维平面。海龟在画布上移动和绘制图形。控制命令：通过发送控制命令给海龟，可以控制它在画布上的行为。...可以给海龟对象起一个名字，例如：screen = turtle.Screen() t = turtle.Turtle()控制命令：通过调用海龟对象的方法，可以控制海龟在画布上的行为。...常用的绘图命令包括：t.circle(radius)：绘制一个圆，指定半径t.dot(size)：绘制一个点，指定大小t.polygon(n, side_length)：绘制一个正多边形，指定边数和边长控制海龟速度...t.right(144)：海龟右转 144 度，这样海龟的方向就变成了下一个顶点的方向画一个圣诞树import turtle# 创建画布和两只乌龟screen = turtle.Screen()screen.setup
一、圆周率的历史 1、中国 ★ 魏晋时期，刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法 (即「割圆术」),求得π的近似值3.1416。...★ 汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8,即π等于10的开方(约为3.162)。虽然这个值不太准确,但它简单易理解,所以也在亚洲风行了一阵。...★ 公元5世纪,祖冲之和他的儿子以正24576边形,求出圆周率约为355/113,和真正的值相比,误差小于八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。（ps. 在大部分人不知股股定理年代，真牛！）...★ 华理斯在1655年求出一道公式π/2=2×2×4×4×6×6×8×8...../3×3×5×5×7×7×9×9...... ★ 欧拉发现的e的iπ次方加1等于0,成为证明π是超越数的重要依据。...二、用python计算圆周率π 【方法】蒙特卡洛法 【程序设计思路】使用python random库随机生成点，落在正方形内，计算正方形内的圆内落点与正方形内落点之比，近似为面积之比，随机数越随机，数量越大越准确
Part3：基于自定义vertices的局部图像形变设计 区别于Part2中的自定义vertices和fragment数组的简单图像形变，这里的自定义vertices数组不仅仅局限于图像4个顶点，而是可以任意指定的...这里，我们以调整用户的脸型，从而达到蛇精脸的效果为例，如下图所示： ? 对于用户图像的人脸区域，我们分隔成若干个三角形切片，然后通过调节这些三角形的顶点来实现形变。...，否则会形成空洞（对于上图的例子，需要在最外围设置一个正方形，保持正方形的4条边不动的情况下，调整正方形区域内的顶点，从而可以达到形变后的图像任然连续这一个结果）。...该方法通过设定一些具体的规则（比如，某个像素A的邻域内点往方向v移动x个像素，则对于任意一个像素点，判断它与A之间的关系，如果落在A的邻域内，则往v方向移动x个像素）。...w0,h0为分块数，x为每个顶点的运算量 渲染时间 O(w*h) O(w*h) O(w*h)，视实际渲染区域大小 O(w*h) 代码复杂度 一般 简单 复杂 复杂 GPU受限* 否 否 否 是 *：GPU
有一个网友给了一张图，图片如下， ? 于是自己尝试了一下，用canvas看能否动态绘制能力分布图，以下是我的思路，有不足之处还望老司机们多多指教； 可以自定义参数如下： ?...1、首先是绘制多边形，现在画布中心绘制圆形，然后在园中动态获取多边形的顶点，然后使用lineTo()方法绘制正多边形；效果图如下： ?...2、为了有层次感，需要再绘制两个小的正多边形，而且这几个多边形是需要有透明度的，如下图： ? 3、依次绘制对角线及最外层图标，如下图 ?...主要原因是偶数边多边形能的图标有分布在canvas的正下方区域，解决办法是适当调整图标所在圆形的半径（iconsRadius）和中心三个多边形的半径（polygons > radius）； 2、绘制图在移动端会显示失真...，图标显示会稍微不清楚；如下图：暂时没有找到解决办法，看社区网友能否有好的解决方法。
这要从葛立恒研究的图论说起。 葛立恒当年研究了拉姆齐理论中的一个问题：给n维立方体的边上色。我们先从最简单的二维立方体，也就是正方形说起。...正方形总有有4个顶点，把这些顶点全部两两连起来，总共会有6条线。这种把所有点全部连起来的图，在数学上叫做完全图。 ?...葛立恒在5年前的科普视频里告诉我们，在正方形上，确实可以找到一种涂色方法，可以不出现单色的完全图。 ? △ 红色边所连3点没有构成完全图，因为底边是蓝色（来源同上） 那么到了3维情况会如何？...立方体顶点间总共有28条连线，给它们按照以下方式上色。 ? 你注意到了吗？有一个斜的平面中有个单色完全图，可是如果我们把最下面的边换成蓝色，那么就不能在任意一个平面内找到单色完全图了。...虽然后来有更大的TREE(3)超越它，但是葛立恒数已经如此深入人心，以至于人们一提到最大数，首先就想到它。
下图中三角形三个顶点分别是A,B,C(假设是2D空间), 其中红点可以是三角形内任意的点，该点的真实坐标为 (x,y) ，重心坐标为 (\alpha,\beta,\gamma) ，真实坐标和重心坐标满足如下关系...以下图为例，我们随便选取一个三角形内的点，然后将三个顶点和该点连接后可以得到三个子三角形，那么三个系数计算公式如下： image.png A_A 表示 Area_A ?...举例来说，如果我们想要求三角形内任意点 k 插值后的法向 n_k ，那么首先我们一直三个顶点的法向，则 n_k=\alpha n_A+\beta n_B + \gamma n_C 。 ?...举例来说，假如我们要求投影后三角形内所有点的深度信息，我们不能根据2D空间中三个顶点的深度信息做插值，而需要先计算出3D空间中的三角形内每个点的重心坐标，然后计算出3D空间中该点插值后的深度信息，最后将该深度信息填充到对应的...对于每个像素点我们都可以找到它的邻居像素点所对应的UV坐标，如下图示，其实我们也可以得到右边那样的不规则图形，然后用那个图形内部纹理的平均值作为该像素的纹理。
根据上一篇所获得的经验，这个外角的度数，正好是小海龟在任何一点向右转的度数。 有了以上的数学认识，我们就可以轻松绘制任意正多边形了。...另外，第7行，range()内的参数，也要修改，n边形，就要循环n次。 保存文件，执行。注意观察显示的界面，那只小海龟趴着不动，为什么？再观察交互模式，其实是等着用户输入边数呢。 ?...比如输入：10，然后回车。就会看到小海龟按照程序中指定的方式画图了，一个正10边形跃然“屏”上。 ? 在上面的程序中，我们实现了正多边形边数的键盘输入，那么，正多边形的边长能不能通过键盘输入呢？...在数学上，人们很早就研究了正多边形和它的外接圆的关系，也发现了这样的规律，当多边形的边数阅读，该多边形与外接圆越接近——这是一种近似地计算圆的周长的方法。...在本篇中，主要学习使用input()函数，实现了通过键盘输入数字，绘制任意边长和边数的多边形，并在最后实现了“割圆术”。读者不妨发挥自己的想象力，修改程序，看看还有什么新发现？ ----
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