集合E中的元素表示了节点是否邻接。 邻接：若两个顶点之间有边存在，则称这两个顶点邻接。 关联：若边的无序对（有序对）包含该节点，则称该顶点与这条边相关联。 孤立点：度为0的节点。...*有向图的边集由有序对构成，无向图的边集由无序对构成 度（无向图）：节点的度指的是与节点v邻接的节点数。记作：deg(v). 入度：以顶点v为终点的边的数目，称为v的入度。...出度：以顶点v为始点的边的数目，称为v的出度。 度（有向图）：出度和入度之和。 完全图：具有最多的边数，即：任意两个节点之间都有一条边存在的简单图。...连通图：图中任意两个节点间都存在路。 测地线路：是指节点u和v之间长度最短的路，简称为测地线。 标记图：给所有的节点都给以记号来表示。 子图的数目：对于一个标记图而言，它的子图的数目是：2ʌk。...k为标记图中连接了被标记节点的边的数目。 连同分量：在非连通图中，各个分支称为连同分量。严格来说，图的连同分量指的是极大连同子图。极大不是最大。
若顶点vi和vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，表示为(vi,vj)。 如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。...无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)； 顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。...n-1条 按路径长度递增指的是这n-1条路的计算原则即， 先找第一条最短路（v，vi），所有n-1条路中最短的路 再找第二条最短路（v，vj） … 基本思想： 1、设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点...6.6 有向无环图及其应用 AOV AOV网：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，称这样的有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网。
无向边：若顶点vi到vj之间的边没有方向，则称这条边为元向边（Edge），用无向序偶对（vi,vj）来表示。...如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图（Undirected grpahs） 有向边：若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）。...在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。...含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...以顶点v为头的弧的数目称为v的入度（InDegree），记为ID（v）；以v为尾的弧的数目称为v的出度（OutDegree），记为OD(v)；顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v) 无向图G=
基本概念 生成树 给定一个带权的无向连通图，能够连通该图的全部顶点且不产生回路的子图即为该图的生成树； 极小连通子图 一个连通图的生成树是一个极小连通子图,它含有图中全部N个顶点且只有足以构成一棵树的N...-1条边； 最小生成树 (简称MST) 给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使得树上所有边的权总和最小，这棵生成树就叫做最小生成树； 给定N个顶点的无向连通图，其最小生成树一定有N-1条边；...最小生成树中含有N个顶点； 最小生成树中的N-1条边都在给定的无向连通图中； 问题引出 首先看这样一个场景： ?...现在有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G)，需要修路将这7个村庄连通起来； 问如何修路保证使得各个村庄连通起来，并且修路的总长度最短； 思路：需要保证修路的条数尽可能少且每条路的长度尽可能短，即 N个顶点...，就是在给定含有N个顶点的带权无向连通图中，找出包含N个顶点且只有N-1条边的连通子图，也即常说的极小连通子图，并保证该子图的权值和最小 普利姆算法思路： 1）设G=(V,E)是给定的无向带权图，T=
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 对于无权的图来说： 若从一顶点到另一顶点存在着一条路径，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它等于该路径上的顶点数减1。...由于从一顶点到另一顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，我们把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。...Floyd算法 Floyd算法（Floyd-Warshall algorithm）又称为弗洛伊德算法、插点法，是解决给定的加权图中顶点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包...矩阵中map[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值； 如果i和j不相邻，则map[i][j]=∞。...无向图构建最短路径长度邻接矩阵： 核心代码： 有向图构建最短路径长度邻接矩阵： 步骤： 核心代码： 发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn
而图中的顶点（把图中的数据元素称为顶点）是多对多的关系，即顶点间的关系是任意的，图中任意两个顶点之间都可能相关。也就是说，图的顶点之间无明显的层次关系，这种关系在现实世界中大量存在。...4、无向完全图：在一个无向图中，如果任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为无向完全图(Undirected Complete Graph)。...路径长度(Path Length)定义为路径上边或弧的数目。在图 (a)交通网络图中，从顶点A到顶点B存在 4 条路径，长度分别为1、2、2、4。...这是因为图中的顶点之间是多对多的关系，图中的任何一个顶点都可能和其它的顶点相邻接。所以，在访问了某个顶点之后，从该顶点出发，可能沿着某条路径遍历之后，又回到该顶点上。...例如， n 个城市之间的一个公路网，给定这些城市之间的公路的距离，能否找到城市 A 到城市 B 之间一条距离最近的通路呢？如果城市用顶点表示，城市间的公路用边表示，公路的长度作为边的权值。
---- 10.2 特殊的图及其相关定义 在无向图中，我们称两个顶点是adjacent/neighbors当且仅当是被边e连起来的。...图的adjacency list表示法：列出图的所有顶点在左侧，右侧列出相邻的顶点。有向图中则左侧列出起始点，右侧为终点。...在连通无向图中，每两个点都有simple path。在一个不完全连通的无向图中，connected component指极大的连通子图，这可以有多个。...如果感觉可能是同构，其实可以把同构函数定义出来来判断isomorphic。 用邻接矩阵乘法可以判断路径。A^n对应位置（i，j）的元素就是在原来图中i到j的路径，n是路径长度。...旅行商问题：在给定无向有权图寻找权值和最小的哈密顿回路。值得注意的是，这个路径不一定存在，但这个无向图是完全图的时候（Kn）则必存在。这里直接给出最佳算法，省略过多引入和介绍。
数组结构特点：数据元素数目固定、数据元素具有相同的类型、数据元素的下标关系具有上下界的约束且下标有序。 一旦定义了数组，结构中元素个数和元素之间的关系就不再发生改变，因此数组适用于采用顺序存储结构。...(i>=1) 2）深度为k的二叉树至多 （2的k次方）-1 个节点。(i>=1) 3）在任意一颗二叉树中，若终端节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0 = n2+1。 等......从数据结构逻辑关系看，图中任意顶点都与其他顶点有关，而图中所有顶点都有可能与某一顶点有关。在图中，数据结构中的数据元素用顶点表示，数据元素之间的关系则用边表示。...1、有向图：若图中每条边都是有方向的，则称G为有向图。 2、无向图：若图中每一条边都是无方向的。 3、无向完全图：若一个图像图具有n个顶点，若每一个顶点与其他n-1个顶点之间都有边，则称为无向完全图。...显然含n个顶点的无向完全图共有n(n-1)/2条边。 4、有向完全图：有n个顶点的有向完全图中孤的数目为n(n-1)，即任何两个不同顶点之间都有方向相反的两条弧存在。 等...
如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图（Undirected graphs）。 有向边：若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）。...在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。 图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。...图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。 无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。...，直至得到一个长度为n的有序序列为止，这种排序方法称为2路归并排序。
结点的路径长度是指从根结点到该结点的路径上分支的数目 树的带权路径长度是指树中所有叶结点的带权路径长度之和 给定n个权值并作为n个叶结点按一定规则构造一棵二叉树，使其带权路径长度达到最小值，则这棵二叉树被称为最优二叉树...，也称哈夫曼树 完全无向图中的每两个顶点之间都存在着一条边 完全有向图中的每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边 假设图中有n个顶点，e条边，则： 完全无向图含有e=n(n-1)/2条边； 完全有向图含有...e=n(n-1)条边； 在一个无向图中，若存在一条边(u,v),则称顶点u与v互为邻接点 顶点的度是指图中与该顶点相关联的边的数目 有向图顶点的度 顶点v的入边数目是该顶点的入度，记为ID(v)...; 顶点v的出边数目是该顶点的出度，记为OD(v); 顶点v的度等于它的入度和出度之和，即D(v)=ID(v)+OD(v) 若无向图G中任意两个顶点之间都有路径相通，则称此图为连通图 若无向图为非连通图...，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量 若有向图中任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称此有向图为强连通图 常见的图的存储结构有两种，分别为：邻接矩阵和邻接表 无向图的邻接矩阵是对称的(可采用压缩存储
（计算方法：网络中边数量的2倍除以节点数） 有向图中顶点入度之和等于顶点出度之和。 路径长度（Path length）——节点与节点之间的距离，即两节点间所需经过的最小边数。...平均路径长度——网络中所有成对节点之间的路径总数除以网络中所有成对节点的数目（节点的对数），就是平均路路径长度。...联通度（Connectivity）——图中的这样的k个节点，从图中去掉所有的这些节点以及它们关联的所有边后，所得到的图不再是连通图或是平凡图，称k为图的节点连通度。...加权度为加权出度和加权入度的总和。有向图的平均加权度：加权度总和/2*节点数；无向图的平均加权度：加权度总和/节点数。 网络直径（graph distance）——网络中任意两结点间距离的最大值。...其中（节点数节点数-节点数）即为n*(n-1)，也就是n个节点可能产生的最大边数（有向图，若是无向图则要除以2）。图密度就是用实际边数除以可能产生的最大边数，结果越大表示图中节点连接越紧密。
（3）线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。...3.无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对（Vi，Vj）来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。...5.在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。...10.图中顶点与顶点之间的路径却是不唯一的。 路径的长度是路径上的边或弧的数目。 第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。...如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。 3.图中顶点之间有领接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。
无向图：若图的每条边都没有方向，则称该图为无向图。 有向图：若图的每条边都有方向，则称该图为有向图。 顶点的度： 对于无向图，顶点的度表示以该顶点作为一个端点的边的数目。...对于有向图，顶点的度分为入度和出度。入度是以该顶点为终点的入边数目，出度是以该顶点为起点的出边数目，该顶点的度等于其入度和出度之和。 图的表示： 邻接矩阵和邻接表。...路径长度：一条路径上经过的边的数量。 环：某条路径包含相同的顶点两次或两次以上。 有向无环图：没有环的有向图，简称DAG。...带权有向图的最短路径长度：源点Vm到终点Vn的所有路径中，权值和最小的路径是最短路径，其长度是最短路径长度。 完全图：任意两个顶点都相连的图称为完全图，又分为无向完全图和有向完全图。...Prim算法 经典面试题 1.克隆图 题目描述（力扣133）： 给定无向连通图中一个节点的引用，返回该图的深拷贝（克隆）。
实现一个算法来定向无向图中的边，使其成为强连通图。罗宾斯定理断言，当且仅当无向图是双边连通的（没有桥）时，这是可能的。...（有向无环图中的传递闭包是唯一的且是原始有向图的子图。） 奇长度路径。...通过按拓扑顺序放松顶点，我们可以在时间复杂度为 E + V 的情况下解决带权有向无环图的单源最短路径和最长路径问题。 一般带权有向图中的最短路径。...给定一个加权线图（无向连通图，所有顶点的度为 2，除了两个端点的度为 1），设计一个算法，在线性时间内预处理图，并能在常数时间内返回任意两个顶点之间最短路径的距离。 部分解决方案。...假设你可以执行的唯一操作是 2 路合并：给定长度为 n1 的一个已排序数组和长度为 n2 的另一个已排序数组，用长度为 n = n1 + n2 的已排序数组替换它们。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。...图 G5无向连通图的生成树 为(a)、(b)和(c)图所示： G5 G5的三棵生成树： 可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。...基本思想是： 1) 设无向连通网为G＝（V，E），令G 的最小生成树为T，其初态为T＝（V，{}），即开始时，最小生成树T 由图G 中的n 个顶点构成，顶点之间没有一条边，这样T 中各顶点各自构成一个连通分量...若以图中的顶点来表示活动，有向边（弧）表示活动之间的优先关系，则这样活动在顶点上的有向图称为AOV 网（Activity On Vertex Network）。...单源点的最短路径问题：给定带权有向图G＝（V，E）和源点v∈V，求从v 到G 中其余各顶点的最短路径。在下面的讨论中假设源点为v0。
对于有向图路径也是有向的，路径的方向只能是从起点到终点，且与它经过的每一条边的方向一致。 路径上的边或弧的数目称之为该路径的长度。 除始点和终点外，其他各顶点均不同的路径称之为简单路径。...从一个顶点出发又回到该顶点，则所经过的路径称为回路。 始点和终点相同的简单路径称之为简单回路。 在无向图中，从一个顶点到另一个顶点之间有路径，则称这两个顶点是连通的。...（4）无向图的边数等于邻接表中边表结点数的一半，有向图的弧数等于邻接表（逆邻接表）中出边表结点（入边表结点）的数目。 需要说明的是： （1）在邻接表的每个线性链接表中各结点的顺序是任意的。...那么在顶点vi、vj之间考虑前k个顶点时，顶点vi到vj的当前最短距离为以下两个距离中小的：在考虑前k-1个顶点基础上将vk放在vi到vj的路径上，此时产生新的路径长度为D(k-1)[i][k] + D...从源点到各个顶点，以至从源点到汇点的有向路径可能不止一条。这些路径的长度也可能不同。完成不同路径的活动所需的时间虽然不同，但只有各条路径上所有活动都完成了，整个工程才算完成。
即结点之间的关系可以是任意的，图中任意元素之间都可能相关。 图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成，定义为G=(V，E) 线性结构：是研究数据元素之间的一对一关系。...同理，将具有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图。 完全无向图 对于无向图，若图中顶点数为n ，用e表示边的数目，则e [0，n(n-1)/2] 。...#### 完全有向图 对于有向图，若图中顶点数为n ，用e表示弧的数目，则e[0，n(n-1)] 。具有n(n-1)条边的有向图称为完全有向图。...if (G->vexs[k]==*vp) return(k) ; return(-1) ; /* 图中无此顶点 */ } 向图中增加顶点 向图中增加一个顶点的操作，类似在顺序存储的线性表的末尾增加一个数据元素.../* 是带权的有向图或无向图 */ } return(k) ; } 向图中增加一条弧 根据给定的弧或边所依附的顶点，修改邻接矩阵中所对应的数组元素。
图2.3所示图中的边为有向边。 图2.3 2.4 无向图 无向图：若图中任意两个顶点之间的边均是无向边，则称该图为无向图。 图2.2所示图为无向图。...在无向图中，这也暗示了顶点 u 也与顶点 v 邻接。换句话说，在无向图中邻接关系是对称的。 2.8 路径 路径：在图中，依次遍历顶点序列之间的边所形成的轨迹。 ...例如：下图所示的无向图，采用数组存储形式如下。 图5.1 注：图中的数组存储方式简化了边的权值为 1 。 无向图的数组存储主要有以下特性： （1）顶点数组长度为图的顶点数目n。...图5.2 有向图的数组存储主要有以下特性： （1）顶点数组长度为图的顶点数目n。边数组为n X n的二维数组。...（2）链表的长度即为顶点的度。例如：V1顶点的度为3，则以V1为头节点的链表中表节点的数目为3。 有向图采用邻接表方式存储 例如：图 6.3 所示的有向图采用邻接表存储。
这就是带权图中求最短路径的问题，此时路径的长度不再是路径上边的数目总和，而是路径上的边所带权值的和。...带权图分为无向带权图和有向带权图，但如果从A地到B地有一条公路，A地和B地的海拔高度不同，由于上坡和下坡的车速不同，那么边和边上表示行驶时间的权值也不同。...一、单源点最短路径 单源点最短路径是指给定一个出发点（源点）和一个有向图，求出源点到其他各顶点之间的最短路径。...对于下图左边所示的有向图G，设顶点0为源点，则其到其他各顶点的最短路径如下图右边所示。 ? ...（2）在图中任意两个顶点Vi和Vj之间加入顶点Vk，如果Vi经Vk到达Vj的路径存在并更短，则用A[i,k]+A[k,j]的值代替原来的A[i,j]值。
弧：若E 是有方向的,则称 为顶点 v 和顶点 w 之间存在一条有向边，也称为弧。 无向图：由顶点集和边集构成的图。...路径长度：路径上边或弧的数目/权值之和。 简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径。 简单回路（简单环）：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径。...[在这里插入图片描述] 连通图 - 无向图 - 图G中任意两个顶点之间都有路径相通 - 连通分量：若无向图为非连通图，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量。...顶点i 的度＝第 i 行 (列) 中1 的个数； 矩阵中1的个数的一半为图中边的数目 很容易判断顶点Vi 和顶点Vj之间是否有边相连(看矩阵中i行j列值是否为1) 顶点不变，在图中增加（删除）边：只需对二维数组对应分量赋值...图的特点：图中可能存在回路，且图的任一顶点都可能与其它顶点相通，在访问完某个顶点之后可能会沿着某些边又回到了曾经访问过的顶点。怎样避免重复访问 ？
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