本文从什么是似然函数以及似然函数的定义引入最大似然函数，最后通过简单的抛硬币例子来更加具体的说明。 a 什 么 是 似 然 函 数 ？ ▲似然与概率 求概率的时候确定已知了参数，所以可以通过这些参数来求将来发生结果的可能性，而求似然的时候，是已知了实验的结果，估计参数可能的概率。 c 最 大 似 然 函 数 估 计 其实最大似然估计是似然函数最初也是最自然的应用。上文已经提到，似然函数取得最大值表示相应的参数能够使得统计模型最为合理。 从这样一个想法出发，最大似然估计的做法是：首先选取似然函数（一般是概率密度函数或概率质量函数），整理之后求最大值。 实际应用中一般会取似然函数的对数作为求最大值的函数，这样求出的最大值和直接求最大值得到的结果是相同的。似然函数的最大值不一定唯一，也不一定存在。
最大似然估计是建立在最大似然原理的基础之上。最大似然原理的直观理解是：设一个随机试验有若干个可能的结果 A1,A2,...,An A_1,A_2,... 这里用到了”概率最大的事件最可能出现”的直观想法，然后对 Ak A_k出现的概率公式求极大值，这样便可解未知参数。下面用一个例子说明最大似然估计的思想方法。 3.最大似然估计 设 L(θ)=∏i=1np(xi,θ) L(\theta)=\prod_{i=1}^np(x_i,\theta)为参数 θ \theta的似然函数，若存在一个只与样本观察值 由上可知，所谓最大似然估计是指通过求似然函数 L(θ) L(\theta)的最大(或极大)值点来估计参数 θ \theta的一种方法。 另外，最大似然估计对总体中未知参数的个数没有要求，可以求一个未知参数的最大似然估计，也可以一次求多个未知参数的最大似然估计，这个通过对多个未知参数求偏导来实现，因为多变量极值就是偏导运算。
MLE MAP 最大后验概率 wiki 机器学习基础篇——最大后验概率 MLE: 首先看机器学习基础篇——最大后验概率关于离散分布的举例(就是樱桃/柠檬饼干问题) 可见，MLE是在各种概率中，找出使发生事实概率最大的那个概率 比如那篇博文的例子，你要找到哪个袋子会使得拿到两个柠檬饼干的概率最大。根据如下公式，你要找到一个p，使得p^2最大。 ? 我们要找到一个包裹，使得上面的公式值最大。 p的取值分别为0%,25%,50%,75%,1 g的取值分别为0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1. 则MAP值为0, 0.0125 , 0.125, 0.28125, 0.1 通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。 上述都是离散的变量，那么连续的变量呢？ 我们的目标是，让上面的公式值最大。由于上式分母与θ无关，就只要让分子的值最大即可。： ?
而对总体参数进行点估计常用的方法有两种：矩估计与最大似然估计，其中最大似然估计就是我们实际中使用非常广泛的一种方法。 按这两种方法对总体参数进行点估计，能够得到相对准确的结果。 显然，对于最大似然估计，最大后验估计，贝叶斯估计来说，都属于统计的范畴。 而最大似然估计，很明显是要最大化这个函数。可以看一下这个函数的图像： 容易得出，在 θ = 0.7 \theta=0.7 θ=0.7时，似然函数能取到最大值。 5.最大后验估计(maximum a posteriori estimation) 上面的最大似然估计MLE其实就是求一组能够使似然函数最大的参数，即 θ ^ M L ( x ) = arg max 随着数据的增加，先验的作用越来越弱，数据的作用越来越强，参数的分布会向着最大似然估计靠拢。而且可以证明，最大后验估计的结果是先验和最大似然估计的凸组合。
图片来自网站 频率学派 - Frequentist - Maximum Likelihood Estimation (MLE，最大似然估计) 贝叶斯学派 - Bayesian - Maximum A Posteriori (MAP，最大后验估计) 问题引入 已知一组数据集 $D={x_1,x_2,…,x_n}$ 是独立地从概率分布 $P(x)$ 上采样生成的，且 $P(x)$ 具有确定的形式（如高斯分布，二项分布等）但参数 为了解决上述问题，统计学界存在两种不同的解决方案： 频率学派：参数 $\theta$ 是一个客观存在的固定值，其可以通过找到使数据集 $D$ 出现可能性最大的值，对参数 $\theta$ 进行估计，此便是极大似然估计的核心思想 最大似然估计 Maximum Likelihood Estimation, MLE是频率学派常用的估计方法。 最大后验估计 Maximum A Posteriori, MAP是贝叶斯学派常用的估计方法。
称其为参数θ的最大似然估计值 ? 称为参数θ的最大似然估计量 (2)若总体X属连续型，其概率密度 ? 的形式已知，θ为待估参数 则X1,...,Xn的联合密度 ? ? 的最大值，这里L(θ)称为样本的似然函数，若 ? 则称 ? 为θ的最大似然估计值，称 ? 为θ的最大似然估计值 一般，p(x;θ),f(x;θ)关于θ可微，故θ可由下式求得 ? 又因L与lnL在同一θ处取到极值，因此最大似然估计θ也可从下述方程解得： ? 解k个方程组求的θ的最大似然估计值 小结：最大似然估计法的一般步骤： **写似然函数L ** ? ,xn）为样本观察值，求\lamda的最大似然估计值 解：总体X的概率密度函数为: ? ? 设总体X分布律为： ? 求参数p的最大似然估计量 ?
极大似然估计 最大似然估计是深度学习模型中常用的训练过程。目标是在给定一些数据的情况下，估计概率分布的参数。简单来说，我们想要最大化我们在某个假设的统计模型下观察到的数据的概率，即概率分布。 最大化我们数据的概率可以写成: 上面的表达式可以被求导以找到最大值。展开参数有log((|，))。由于它是两个变量和的函数，使用偏导数来找到最大似然估计。 Value: 0.3434343434343434 σ True Value: 0.8498365855987975 σ Calculated Value: 0.8484848484848485 最大似然估计在 我们已经看到了我们想要达到的目标最大化似然函数的对数变换。但是在深度学习中，通常需要最小化损失函数，所以直接将似然函数的符号改为负。 ，计算了参数的最大似然估计。
https://blog.csdn.net/haluoluo211/article/details/78776283 机器学习EM算法以及逻辑回归算法模型参数的求解都用到了最大似然估计，本文讲解其原理 极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值！ 换句话说，极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。 最大似然估计通常是将目标函数转化为对数的形式，大大的简化了参数求解的运算。 ? ? ? ? 下面给出两个示例，一个离散变量，一个连续变量的参数估计。 ? ? ? ? ? ---- 参考: 本部分内容基本来源于 盛骤, 谢式千, 潘承毅《概率论与数理统计 第四版浙江大学》
文章目录 百度百科版本 最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。 最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。 然后，根据定义，概率总和最大的那棵树最有可能是反映真实情况的系统发生树。 查看详情 维基百科版本 在统计学中，最大似然估计（MLE）是一种在给定观察的情况下估计统计模型的参数的方法。 在给定观察结果的情况下，MLE尝试找到使似然函数最大化的参数值。得到的估计称为最大似然估计，其也缩写为MLE。 最大似然法用于广泛的统计分析。
前言 不知看过多少次极大似然估计与最大后验概率估计的区别，但还是傻傻分不清楚。或是当时道行太浅，或是当时积累不够。 这次重游机器学习之路，看到李航老师《统计学习方法》中第一章关于经验风险最小化与结构风险最小化时谈到了极大似然与最大后验的话题，第一反应是竟然在第一章就谈到了极大似然与最大后验，相信大部分初学者看到这两个词时还是怕怕的 极大似然估计与最大后验概率估计 我们这有一个任务，就是根据已知的一堆数据样本，来推测产生该数据的模型的参数，即已知数据，推测模型和参数。 因此根据两大派别的不同，对于模型的参数估计方法也有两类：极大似然估计与最大后验概率估计。 ① 极大似然估计（MLE） -她是频率学派模型参数估计的常用方法。 我们把 P(A) 看成一个关于 p 的函数，求 P(A) 取最大值时的 p ，这就是极大似然估计的思想。具体公式化描述为P(A)=p^7*(1-p)^3。
什么是最大似然估计(MLE) 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)是一种可以生成拟合数据的任何分布的参数的最可能估计的技术。 通过最大化似然函数，找到了最可能的解。 理解似然函数 顾名思义，最大似然估计是通过最大化似然函数来计算的。(从技术上讲，这不是找到它的唯一方法，但这是最直接的方法)。 取它的对数 虽然似然函数通常难以在数学上最大化，但似然函数的对数通常更容易处理。我们这样做的理论基础是：最大化对数似然的值 θ 也最大化似然函数。 分布中的λ参数的最大似然估计是什么? 总结一下，计算MLE的步骤如下: 求似然函数 计算对数似然函数 最大化对数似然函数 首先，我们已经建立了似然函数为 为了计算对数似然，我们取上述函数的对数。 总结 MLE 是一种技术，可以生成对要拟合数据的任何分布的参数的最可能估计值。估计值是通过最大化数据来自的分布的对数似然函数来计算的。
什么是最大似然估计(MLE) 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)是一种可以生成拟合数据的任何分布的参数的最可能估计的技术。 通过最大化似然函数，找到了最可能的解。 理解似然函数 顾名思义，最大似然估计是通过最大化似然函数来计算的。(从技术上讲，这不是找到它的唯一方法，但这是最直接的方法)。 取它的对数 虽然似然函数通常难以在数学上最大化，但似然函数的对数通常更容易处理。我们这样做的理论基础是：最大化对数似然的值 θ 也最大化似然函数。 分布中的λ参数的最大似然估计是什么? 总结一下，计算MLE的步骤如下： 求似然函数； 计算对数似然函数； 最大化对数似然函数。 总结 MLE 是一种技术，可以生成对要拟合数据的任何分布的参数的最可能估计值。估计值是通过最大化数据来自的分布的对数似然函数来计算的。
其实我们常用的 softmax 交叉熵损失函数，和 最大似然估计是等价的。 如果用最大似然估计呢？即：最大化已出现的样本的概率 [图片] 最大化上式等价于最小化 负的上式，所以和 softmax 交叉熵是等价的。 所以，softmax 交叉熵也是想 最大化 已出现样本的概率。
频率学派的代表是最大似然估计；贝叶斯学派的代表是最大后验概率估计。 最大似然估计(MLE) 最大似然估计，英文为Maximum Likelihood Estimation，简写为MLE，也叫极大似然估计，是用来估计概率模型参数的一种方法。 最大似然估计的思想是使得观测数据（样本）发生概率最大的参数就是最好的参数。 对一个独立同分布的样本集来说，总体的似然就是每个样本似然的乘积。 最大似然估计的求解步骤： 确定似然函数 将似然函数转换为对数似然函数 求对数似然函数的最大值（求导，解似然方程） ---- 5. 回到抛硬币的问题，最大似然估计认为使似然函数P(X∣θ)P(X|\theta)P(X∣θ)最大的参数θ\thetaθ即为最好的θ\thetaθ，此时最大似然估计是将θ\thetaθ看作固定的值，只是其值未知
一般地，事件A发生的概率与参数theta相关，A发生的概率记为P(A，theta)，则theta的估计应该使上述概率达到最大，这样的theta顾名思义称为极大似然估计。 它与Fisher的最大似然估计方法相近，不同的是它扩充了优化的目标函数，其中融合了预估计量的先验分布信息，所以最大后验估计可以看作是正则化（regularized）的最大似然估计。）被定义为 ? 在合适的条件下，训练样本数量趋向于无穷大时，参数的最大似然估计就会收敛到参数的真实值，其中上述所指的特定条件为 真实分布Pdata必须在模型族中，否则没有估计可以表示为Pdata; 真实分布Pdata必须对应于一个 因为一致性和统计效率的原因，最大似然估计通常是机器学习中的首选估计方法。 当训练样本数量很少，以至于会产生过拟合时，正则化策略如权重衰减可用于获得训练样本的有限方差较小的最大似然估计（该估计是有偏的）。
一、最大似然估计 假设有3个数据点，产生这3个数据点的过程可以通过高斯分布表达。这三个点分别是9、9.5、11。我们如何计算高斯分布的参数μ 、σ的最大似然估计？ 这很重要，因为这确保了当概率的对数达到最大值时，原概率函数同样达到最大值。因此我们可以操作简化了的对数似然，而不是原本的似然。 对以上表达式求导以找到最大值。在这个例子中，我们将寻找均值μ的MLE。为此，我们求函数关于μ的偏导数： ? 最后，我们将等式的左半部分设为0，据μ整理等式得到： ? 这样我们就得到了μ的最大似然估计。 同理，我们可以求得σ的最大似然估计 为什么是最大似然，而不是最大概率？ 这只是统计学家在卖弄学问（不过他们的理由很充分）。大部分人倾向于混用概率和似然，但是统计学家和概率论学者区分了两者。 上面说的最大似然其实就包含了这一过程。我们基于观察到的一组数据点决定均值的最大似然估计。 因此贝叶斯推断不过是使用贝叶斯定理推理数据的种群分布或概率分布的性质的过程。
极大似然估计是一种参数估计的方法。 先验概率是 知因求果，后验概率是 知果求因，极大似然是 知果求最可能的原因。 即它的核心思想是：找到参数 θ 的一个估计值，使得当前样本出现的可能性最大。 ---- 为什么要使似然函数取最大 极大似然估计是频率学派最经典的方法之一，认为真实发生的结果的概率应该是最大的，那么相应的参数，也应该是能让这个状态发生的概率最大的参数。 ---- 极大似然估计的计算过程 写出似然函数 ? 其中 x1,x2,⋯,xn 为样本，θ 为要估计的参数。 求出使得对数似然函数取最大值的参数的值 对对数似然函数求导，令导数为0，得出似然方程， 求解似然方程，得到的参数就是对概率模型中参数值的极大似然估计。 那么似然函数： ? 接下来对似然函数对数化： ? 然后求似然方程： ?
3 极大似然估计（MLE） 估计量与估计值经常容易混淆，估计量是个变量，比如说人类平均身高u,也可以说是期望，我们经常用 ? 极大似然估计步骤： 确定数据分布，写出似然函数 取log 求导取极值，找到极大值点 求出估计值 例如 ? 似然函数：联合概率密度函数 ? ，称为数据集D的似然函数 ? 根据极大似然估计，找到是的似然函数最大的参数值作为参数的估计量 ? 两边同时取对数，便于参数求解 ? ? 现在我们明白了为什么要对似然函数取极大，即使格林也能投进三分球，但是我认为库里投进机会（概率）最大，所以下次三分球观测数据来了，我就认为是参数库里投的，这是最可能接近真实球员参数的是最似然的。 4 最大后验概率估计（MAP） 极大似然估计，估计参数是为了使似然函数P(X|θ)最大(这里X 你可以看作只有一个数的变量，也可以看作数的集合，抽象的看待它)，而最大后验概率是为了使得P(X|θ)P(θ
本文介绍极大似然估计（MLE，Maximum Likelihood Estimation）和最大后验概率估计（MAP，Maximum A Posteriori Estimation）。 极大似然估计MLE 极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。 通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。 } p\left(x_{i} \mid \theta\right) MLE image.png 为了便于计算, 我们对似然函数两边取对数，生成新的对数似然函数 (因为对数函数是单调增函数, 因此求似然函数最大化就可以转换成对数似然函数最大化 l(\theta) 最大的 \theta值, 则 \hat{\theta}减该是“最可能"的参数值, 那么 \hat{\theta} 就是 \theta的极大似然估计量。
这样我就得到了不管是最大化似然还是最小化KL散度都是在得到最优的θ\pmb{\theta}θθθ。最大似然这样就变成了最小化负log似然(NLL)，或者等价的，交叉熵的最小化。 最大似然的性质 最大似然主要的吸引力在于它可以被证明是最好的估计器逼近，当样本数量m趋近于无穷时，它收敛的比率随着m增大而增大。 在以下两个条件下，最大似然估计器具有一致性(consistency)的性质： ? Cramér-Rao lower bound (Rao, 1945; Cramér, 1946)证明了没有其他的一致性估计器能比最大似然估计器取得更低的MSE。 因为一致性和高效性，最大似然通常是使用机器学习的首选估计器。当样本数量足够小以至于会产生过拟合时，可以采用诸如权重衰减等正则策略来得到一个具有更小方差的最大似然的有偏版本，尤其是在训练数据受限时。
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