概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 原理 [原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用] 给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。 并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 ? 2.使偏差绝对值最大的最小 ? 3.使偏差平方和最小 ? 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 代码: 1 # coding=utf-8 2 3 ''''' 4 程序:多项式曲线拟合算法 5 ''' 6 import matplotlib.pyplot
在上一篇推送中我们讲述了机器学习入门算法最小二乘法的基本背景，线性模型假设，误差分布假设（必须满足高斯分布）然后引出似然函数能求参数（权重参数），接下来用似然函数的方法直接求出权重参数。 似然估计本质 本质便是根据已有的大量样本（实际上就是利用已知的条件）来推断事件本身的一些属性参数的方法，最大估计更是最能反映这些出现的样本的，所以这个参数值也是最可靠和让人信任的，得到这个参数值后，等来了一个新样本 2-2 上个式子有个很容易记得名字，叫做最小二乘项，现在清楚地推导出了最小二乘项，原来它不是凭空而来，不是根据经验定义出来的公式！ 如果上面这项近似为奇异矩阵，那么就会引起一个最小二乘法的bug，这也是最小二乘法不能处理多重强相关性数据集的原因所在。 假定不是奇异矩阵，那么参数theta这次可以求解出来了，即： ? 那么如果不想用这种巧合的方法去求解，有没有更加通用的方法，来求解最小二乘项的极小值呢？
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是时候开始进一步体会机器学习算法了，我们先从最基本但很典型的线性回归算法之OLS说起吧，它背后的假设和原理您了解吗？本系列带来细细体会OLS这个算法涉及的相关理论和算法。 通俗点说就是找到一个面（x1, x2）能很好的拟合（y房屋价值）以上4个样本。 2 建立模型 先从最简单的线性回归思路出发，这也是机器学习的基本思路，从最简单的模型入手。 假设 1 是房屋面积的权重参数， 2 是使用年限的权重参数，那么拟合的平面便可以表示为： ? 要习惯用矩阵的表达，上面这个求和公式用矩阵表达为： ? 如果对似然函数无感觉，那么也请看一下明天推送的知识储备系列文章，一看您就明白了。 预知借助似然函数的相关理论求解权重参数，请看明天的推送，谢谢您的阅读。 主要推送关于算法的分析过程及应用的消息。 培养思维能力，注重过程，挖掘背后的原理，刨根问底。本着严谨和准确的态度，目标是撰写实用和启发性的文章，欢迎您的关注。
首先，我们要明白最小二乘估计是个什么东西？说的直白一点，当我们确定了一组数的模型之后，然后想通过最小二乘的办法来确定模型的参数。 举个两变量（一个自变量、一个因变量）线性回归的例子来说明一下，如下面所示一堆散点图。 ? 一堆观测数据绘制的散点图 上面这个图呢，我们打眼一看就想到：“这两个变量之间应该是一个线性的关系”。 同一个模型，不同参数得到不同结果 在这一堆可能的直线里面，我们要想一个办法选一个最好的出来。像选美比赛一样，台子下面需要几个举牌的评委。 这样，每条直线都可以有一个值，我们把这个距离的和最小的那条直线找出来，我们认为这条直线它最顺眼，因为它照顾到了所有的训练样本点的情绪，不偏不倚。这种方法就是最小二乘法。 那这个实际的y和我们预测的Xβ之间的距离是这样的： ? 公式4 我们要想办法在β的可能取值中找到一组特殊的β，使得上面这个式子的值最小。
在上一篇推送中总结了用数学方法直接求解最小二乘项的权重参数，然而有时参数是无法直接求解的，此时我们就得借助梯度下降法，不断迭代直到收敛得到最终的权重参数。 2 梯度下降求参数 2.1 求梯度 在上个推送中我们得出了最小二乘项的代价函数（不好理解的话，可以理解为极大似然估计时，某个部分必须取得极小值，它被称为代价函数）： ? 这样的计算量就小很多了吧，因此在机器学习中，每个时步要想让所有的样本都参与计算，往往是不可取的，相对应的，是随机选取一小批数据来参与当前时步的迭代计算，才是上策。 好了，到这里，已经把最小二乘项的两种求解方法：直接法和梯度下降法都阐述了一遍。 当然，OLS算法在sklearn库中已经有了对应的实现，但是这并不妨碍我们手动编写代码，因为我们是为了从思想层面认识机器学习最基本也非常重要的最小二乘法吧，这也是入门机器学习的相对较好的方法吧。
让我们先看个图回顾一下小学学过的计算整数乘法的竖式计算过程 ? 然后再来看如何使用Python来模拟上面的过程，虽然在Python中计算任意大的数字乘法都没有问题，但下面的代码作为一个算法的理解还是不错的，并且几乎可以直接翻译成C语言。 from random import randint def mul(a, b): '''小学竖式两个整数相乘的算法实现''' #把两个整数分离开成为各位数字再逆序 aa = list(map = [0] * (len(aa)+len(bb)) #按小学整数乘法竖式计算两个整数的乘积 for ia, va in enumerate(aa): #c表示进位，初始为0 (va*vb+c+result[ia+ib], 10) #最高位的余数应进到更高位 result[ia+ib+1] = c #整理，变成正常结果 result = int('
最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。 1.最小二乘法的原理与要解决的问题 最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，原理的一般形式很简单，当然发现的过程是非常艰难的。 损失函数定义为 其中是样本的输出向量，维度为mx1. 在这主要是为了求导后系数为1，方便计算。 根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对向量求导取0。 首先，最小二乘法需要计算的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。 那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。
下面介绍几种常见的最小二乘法： 一、全局最小二乘估计 ? ? ? 为了解决多项式拟合中的未知系数，我们构建如下的目标函数： ? ? ? 然后我们可以写个归一化方程为： ? 用矩阵的形式表示为： ? 图1 全局最小二乘（实曲线） 二、全局加权最小二乘拟合 我们可以为每个数据值分配一个权重用于最小二乘拟合中，这样我们将目标函数最小化为： ? ? ? ? ? 归一化方程的解为： ? ? 三、加权局部最小二乘 在全局最小二乘拟合中，我们假设整个域中都可以用一个单一的多项式精确地描述数据所代表的函数。 所以，为了替代全局解决方案，我们尝试通过对每个数据点 及其邻域拟合出一个低阶多项式来获得更好的解决方案。因此，有 个最小二乘拟合的值 ，每个值都是点 的近似值并且每个点的系数向量 都不同。 图2 加权局部最小二乘拟合 四、移动最小二乘法 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 总结 ? 英文原文下载：在公众号「计算机视觉工坊」，后台回复「移动最小二乘法」，即可直接下载。
最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。 1.最小二乘法的原理与要解决的问题 最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，原理的一般形式很简单，当然发现的过程是非常艰难的。 \(\frac{1}{2}\)在这主要是为了求导后系数为1，方便计算。 根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对\(\mathbf{\theta}\)向量求导取0。 首先，最小二乘法需要计算\(\mathbf{X^{T}X}\)的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。 那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。
下面介绍几种常见的最小二乘法： 一、全局最小二乘估计 ? ? ? 为了解决多项式拟合中的未知系数，我们构建如下的目标函数： ? ? ? 然后我们可以写个归一化方程为： ? 用矩阵的形式表示为： ? 图1 全局最小二乘（实曲线） 二、全局加权最小二乘拟合 我们可以为每个数据值分配一个权重用于最小二乘拟合中，这样我们将目标函数最小化为： ? ? ? ? ? 归一化方程的解为： ? ? 三、加权局部最小二乘 在全局最小二乘拟合中，我们假设整个域中都可以用一个单一的多项式精确地描述数据所代表的函数。 所以，为了替代全局解决方案，我们尝试通过对每个数据点 及其邻域拟合出一个低阶多项式来获得更好的解决方案。因此，有 个最小二乘拟合的值 ，每个值都是点 的近似值并且每个点的系数向量 都不同。 图2 加权局部最小二乘拟合 四、移动最小二乘法 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 总结 ? 英文原文下载：在公众号「3D视觉工坊」，后台回复「移动最小二乘法」，即可直接下载。
直线拟合原理 给出多个点，然后根据这些点拟合出一条直线，这个最常见的算法是多约束方程的最小二乘拟合，如下图所示: 但是当这些点当中有一个或者几个离群点(outlier)时候，最小二乘拟合出来的直线就直接翻车成这样了 ： 原因是最小二乘无法在估算拟合的时候剔除或者降低离群点的影响，于是一个聪明的家伙出现了，提出了基于权重的最小二乘拟合估算方法，这样就避免了翻车。 根据高斯分布，离群点权重应该尽可能的小，这样就可以降低它的影响，OpenCV中的直线拟合就是就权重最小二乘完成的，在生成权重时候OpenCV支持几种不同的距离计算方法，分别如下： 其中DIST_L2是最原始的最小二乘 然后用基于权重的最小二乘估算拟合结果如下： 函数与实现源码分析 OpenCV中直线拟合函数支持上述六种距离计算方式，函数与参数解释如下： void cv::fitLine( InputArray line是输出的拟合参数，支持2D与3D distType是选择距离计算方式 param 是某些距离计算时生成权重需要的参数 reps 是前后两次原点到直线的距离差值，可以看成拟合精度高低 aeps是前后两次角度差值
点云处理算法整理（超详细教程） 目录 一. 线性回归_最小二乘法、梯度下降法 二. 线性回归_最小二乘法、RANSAC算法 三. 最近点迭代_ICP算法 四. 利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。 最小二乘法与ransac的区别: （最小二乘法根据全部点进行计算，ransac根据用户设置的阈值进行计算) 在拟合平面（地面）这一需求上，平面的凹凸点（小的坑洼）是有效数据，但对所需平面来说有一定的偏移 而大的凹凸，比如地面上的障碍物、地面的深坑，这些都是偏移量过大的无效数据。 最小二乘拟合，旨在照顾所有人的想法，对所有数据进行拟合，在无效数据多且偏移量大的情况下，拟合效果不好。 ICP算法的原理与步骤：（请参照左下角网站） ICP算法的基本原理是：分别在带匹配的目标点云P和源点云Q中，按照一定的约束条件，找到最邻近点（pi，qi），然后计算出最优匹配参数R和t，使得误差函数最小
而最小二乘法的一个最简单的例子便是算术平均。 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。 Gauss 在1809 年也发表了最小二乘法，并且声称自己已经使用这个方法多年。Gauss 发明了小行星定位的数学方法，并在数据分析中使用最小二乘方法进行计算，准确的预测了谷神星的位置。 对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择： 1. 用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。 2. 用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。 3. 最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。
最小二乘法公式是一个数学的公式，在数学上称为，不仅仅包括还包括矩阵的最小二乘法。线性最小二乘法公式为a=y--b*x-。 矩阵的最小二乘法常用于测量数据处理的平差公式中，VTPV=min。 最小二乘法公式： 各项的推导过程 设拟合直线的公式为 , 其中：拟合直线的斜率为： ；计算出斜率后，根据 和已经确定的斜率k，利求出截距b。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意 为建立这就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的(Yi-Y计)的平方和 应用课题一 最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成时的经验公式 最小二乘法在数学上称为曲线拟合, 请使用拟合函数“Fit”重新计算 与 的值, 并与先前的结果作一比较.
最小二乘法(least squares method)，也称最小平方法，是一种古老而常用的数学工具，在自然科学、工程技术和人工智能等领域有着广泛地应用，其核心原理就是通过将误差平方和最小化来寻找数据的最佳匹配函数 最小二乘法原理浅析： 在实际应用中，往往通过测量或模拟得到函数y=f(x)在某些点x1,x2,..., xn处对应的函数值y1,y2,... 常用的基函数有： 1, x, x^2, ..., x^k; sin(x), sin(2x), ..., sin(kx)等 最小二乘法就是通过计算寻找一组系数使得所有数据点p(xi)与yi之差的平方和最小 (x,N); % 由模拟值yy计算Y值 Y = getY(x,yy,N); % X*A = Y，左右两边同时左除X，即得：A = X\Y; A = X\Y; % 验证计算结果 yt = getMY(A -',x,yy,'bo-',x,yt,'ks-'); title('最小二乘法拟合验证测试'); xlabel('X 轴'); ylabel('Y 轴'); legend('真实值','真实值加噪声',
.png] ◆ 上式分别为一元线性回归与写成矩阵形式的线性回归模型 4 最小二乘法 4.1 何为最小二乘法 ◆ 又称最小平方法,通过最小化残差平方和来找到最佳的函数匹配 ◆ 即最小二乘法以残差的平方和作为损失函数 ,用于衡量模型的好坏 ◆ 利用最小二乘法可以实现对曲线的拟合 4.2 最小二乘法原理 ◆ 以一元线性回归为例,演示推倒过程 [hpxcirnidw.png] 4.3 最小二乘法例子 [kfq9be5mdx.png w 的最小二乘 y 以拟合变量 x，它是一个二次规划问题： [quea2emrtb.png] 保序回归应用于统计推理、多维标度等研究中。 11 保序回归算法原理 11.1 保序回归的原理 ◆ 适用保序回归的前提应是结果数据的非递减,那么,我们可以通过判断数据是否发生减少来来触发计算 ◆ 算法描述 [z6ampzrug6.png] ◆ Spark 它可被视为顺序限制约束的最小二乘问题。基本上保序回归是最适合原始数据点的单调函数。
因此可以知道：算数平方等价于最小二乘法求得的最优解。 图中的拟合曲线应该是： 采用同样的方法，计算出平方损失之后，对损失求参数a和b的偏导数，然后让其等于零，这样相当于得到了一个二元一次方程组，然后求解a和b即可。 【总结】线性回归可以用最小二乘法来拟合各种形状，但是前提是，你要确定你的数据大概是一个怎么样的形式。是一次的还是二次方的还是怎么样的，这就需要一些经验了。 是过拟合还是欠拟合，就看自己的选择了，同样的数据，选择了不同的f(x)，可以得到不同的拟合曲线。 ? 3 正态分布 勒让德的猜想，也就是最小二乘法，这个证明并不能令人信服。 而这时最小二乘法之所以重要的原因，因为从分布上来说，如果想让误差服从正态分布，那么用最小二乘法来求解答案。 至于为什么正态分布如此重要，就需要学习中心极限定理。在这里不加赘述。
名称 Savitsky-Golay平滑算法 作用 信号平滑处理可以除去高频噪音对数据信号的干扰，是消除噪音最常用的一种方法 算法原理 通过多项式对移动窗口内的数据进行多项式最小二乘拟合，算出窗口内中心点关于其周围点的加权平均和 计算公式： [（3-1）] 式（3-1）中的 [ftbnnprf3j.png] 和 [var4oqd2cg.png] 为平滑前、后的数据， [0833kgg2u6.png] 是移动窗口平滑中的权重因子 窗口移动多项式拟合的基本思想是：利用多项式对窗口内 N = 2r + 1 的波谱点进行多项式最小二乘拟合，将窗口内等距离的数据拟合成 k 次多项式： [2gjr1tpi9i.png], [s1p0d932sk.png 实例 以窗口为5的二次多项式为例进行拟合。 设有5个数据对（等间隔）： [spm345g3pd.png]，进行二次多项式拟合： [jm94xz2icj.png] 应用最小二乘法，使误差 [25xbp3kzyh.png] 达到最小，所以分别对 [
最小二乘法拟合直线：也可以采用hough变换，但是hough变换需要计算对应参数小直线上的点数最大值，其算法复杂度(2m*180，m为图像最大尺寸），另外还需要计算相关参数。 而用最小二乘法，只需要估算相关参数（复杂度为n，n为点数），另外还可以将浮点数运算改为整数运算。直线的参数形式为Ax + By + C=0，采用这个样的参数形式就可以不用考虑斜率不存在时的情况。 最小二乘法拟合时B有可能为零，所以拟合的参数为A/B或B/A。 Ransac算法：用最小二乘法拟合直线的缺点是受噪声影响很大，所以需要采用ransac算法先估计集中的点，剔除噪声点。 这样整个算法就是ransac算法的复杂度加上最小二乘法的复杂度。 由此估计一个精确点。如果估计失败，采用原来的中心点。 最后可以去掉原有的边界检查和将一些乘法运算换成加法运算。将一些函数挑用换成宏定义或采用内联函数。
logistic回归：从生产到使用【下：生产篇】 上篇介绍了logistic模型的原理，如果你只是想使用它，而不需要知道它的生产过程，即拟合方法及编程实现，那么上篇就足够了。 代码实现 （1）Python （2）SAS （3）Matlab 1.模型的拟合 （1）回归模型的拟合流程 很多统计出身、尤其是经济统计出身的朋友，并不知道回归模型拟合的标准流程，只知道线性回归用最小二乘法 其实最小二乘问题、最小二乘法、极大似函数等，以及其他回归中用到的梯度下降算法、牛顿法等等，都是不同的东西，首先来看一下回归的一个标准拟合流程（点击查看大图）： ? 选择最优算法 为了使得实现目标函数，即误差的平方最小，我们需要选择一个算法来实现。根据微积分，我们只需要把Q对a和b分别进行求导，另其导数为0，得出来的函数就是最小值（Q函数是二次函数，又是非负的）。 不错，logistic模型中我们应该使用梯度上升算法，和梯度下降算法的原理是一样的，比如，求J(θ) 的最大值，其实也就是求-J(θ) 的最小值，加个负号，就可以用梯度下降算法了。
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