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数值计算方法 Chapter3. 曲线拟合最小二乘法

数值计算方法 Chapter3. 曲线拟合最小二乘法 1. 线性拟合和二次拟合函数 1. 线性拟合 2. 二次拟合函数 3. 型函数 2. 解矛盾方程组 1....线性拟合和二次拟合函数 最小二乘法本质上就是求一个事先定义一个函数,然后使用已知采样点结果拟合函数参数,使得所有采样点均方误差最小。...二次拟合函数 类似的,我们可以得到二次拟合函数最小二乘法结果。...型函数形如 函数直接用最小二乘法倒是没法直接求解,不过可以通过一定函数变换转换成 阶函数形式,然后我们就可以仿照上述方式进行求解了。...解矛盾方程组 书中这一小节事实上就是给前面最小二乘法内容提供一些理论上支持,没有啥更多内容,因此,我们仅在这里摘录书中定理如下: 定理3.1 (1) 为 行 列矩阵, 为列向量

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最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现

概念 最小二乘法多项式曲线拟合,根据给定m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点,而是曲线y=f(x)近似曲线y= φ(x)。...原理 [原理部分由个人根据互联网上资料进行总结,希望对大家能有用]      给定数据点pi(xi,yi),其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。...并且使得近似曲线与y=f(x)偏差最小。近似曲线在点pi处偏差δi= φ(xi)-y,i=1,2,...,m。 常见曲线拟合方法:      1.使偏差绝对值之和最小 ?      ...2.使偏差绝对值最大最小 ?      3.使偏差平方和最小 ?      按偏差平方和最小原则选取拟合曲线,并且采取二项式方程为拟合曲线方法,称为最小二乘法。 推导过程:      1. ...设拟合多项式为: ?      2. 各点到这条曲线距离之和,即偏差平方和如下: ?      3. 为了求得符合条件a值,对等式右边求ai偏导数,因而我们得到了:  ? ?

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最小二乘法小结

1.最小二乘法原理与要解决问题 最小二乘法是由勒让德在19世纪发现原理一般形式很简单,当然发现过程是非常艰难。...损失函数定义为 其中是样本输出向量,维度为mx1. 在这主要是为了求导后系数为1,方便计算。 根据最小二乘法原理,我们要对这个损失函数对向量求导取0。...首先,最小二乘法需要计算逆矩阵,有可能它逆矩阵不存在,这样就没有办法直接用最小二乘法了,此时梯度下降法仍然可以使用。当然,我们可以通过对样本数据进行整理,去掉冗余特征。...那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢?如果你没有很多分布式大数据计算资源,建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征维度后再用最小二乘法。...当样本量m很少,小于特征数n时候,这时拟合方程是欠定,常用优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征数n时候,用方程组求解就可以了。

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最小二乘法小结

1.最小二乘法原理与要解决问题      最小二乘法是由勒让德在19世纪发现原理一般形式很简单,当然发现过程是非常艰难。...\(\frac{1}{2}\)在这主要是为了求导后系数为1,方便计算。     根据最小二乘法原理,我们要对这个损失函数对\(\mathbf{\theta}\)向量求导取0。...首先,最小二乘法需要计算\(\mathbf{X^{T}X}\)逆矩阵,有可能它逆矩阵不存在,这样就没有办法直接用最小二乘法了,此时梯度下降法仍然可以使用。...那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢?如果你没有很多分布式大数据计算资源,建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征维度后再用最小二乘法。     ...当样本量m很少,小于特征数n时候,这时拟合方程是欠定,常用优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征数n时候,用方程组求解就可以了。

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MindSpore原理与实践,实现简单线性函数拟合

18.04.5 LTS \n \l MindSpore线性函数拟合 假设有如下图中红点所示一系列散点,或者可以认为是需要我们来执行训练数据。...损失函数值越小,代表结果就越好,在我们面对这个函数拟合问题中所代表就是,拟合效果越好。...在定义好损失函数之后,我们需要定义一个前向传播网络,用于执行损失函数计算,这里我们直接使用了mindspore定义好接口:mindspore.nn.loss.MSELoss: 在计算好对应参数损失函数值之后...,我们需要更新迭代参数,计算下一组参数损失函数值,以确定向哪个方向“前进”才能找到最终最低损失函数值。...总结概要 很多机器学习算法基础就是函数拟合,这里我们考虑是其中一种最简单也最常见场景:线性函数拟合,并且我们要通过mindspore来实现这个数据训练。

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最小二乘法:背后假设和原理(前篇)

是时候开始进一步体会机器学习算法了,我们先从最基本但很典型线性回归算法之OLS说起吧,它背后假设和原理您了解吗?本系列带来细细体会OLS这个算法涉及相关理论和算法。...如下图所示4条样本: 房屋面积 使用年限 房屋价值 85.17 5 68 120 12 130 102 6 104 59 3 49 现在,一个房屋面积为78,使用年限为4年房屋,根据上表提示数据预测下这个房屋价值...通俗点说就是找到一个面(x1, x2)能很好拟合(y房屋价值)以上4个样本。 2 建立模型 先从最简单线性回归思路出发,这也是机器学习基本思路,从最简单模型入手。...假设 1 是房屋面积权重参数, 2 是使用年限权重参数,那么拟合平面便可以表示为: ? 要习惯用矩阵表达,上面这个求和公式用矩阵表达为: ?...培养思维能力,注重过程,挖掘背后原理,刨根问底。本着严谨和准确态度,目标是撰写实用和启发性文章,欢迎您关注。

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正则化(1):通俗易懂岭回归

1.2 岭回归与线性模型 岭回归原理概览:在机器学习领域,某个模型在训练数据中表现良好而在测试数据中表现糟糕现象,称为过拟合(over fit)。...岭回归作用原理解析: 直线模型:最小二乘法决定直线模型参数,最佳拟合模型满足其残差平方和最小。参考往期推文:最小二乘法与线性回归。 ?...岭回归运用示例: 在前面提及仅含两个训练样本中,使用最小二乘法计算最佳拟合直线,其残差平方和为0。...接着将最小二乘法拟合直线参数带入岭回归公式中,令λ=1,计算得出该拟合直线在岭回归中值为1.69。 ?...最小二乘法对样本数量严格要求:基于最小二乘法拟合模型,仅有一个数据时,基于该样本可拟合无数条直线,故不能确定一条最佳直线,需要至少两个样本才能确定一条直线(含有两个参数模型,其中一个参数为截距)。

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基于Spark机器学习实践 (七) - 回归算法

上式分别为一元线性回归与写成矩阵形式线性回归模型 4 最小二乘法 4.1 何为最小二乘法 ◆ 又称最小平方法,通过最小化残差平方和来找到最佳函数匹配 ◆ 即最小二乘法以残差平方和作为损失函数,用于衡量模型好坏...◆ 利用最小二乘法可以实现对曲线拟合 4.2 最小二乘法原理 ◆ 以一元线性回归为例,演示推倒过程 4.3 最小二乘法例子 5 随机梯度下降 5.1 何为随机梯度下降 ◆ 随机梯度下降(SGD...,对于过拟合现象,往往都是模型过于复杂,超过实际需要 ◆ 那么,能否在损失函数计算中,对模型复杂程度进行量化,越复杂模型,就越对其进行”惩罚”, 以便使模型更加”中庸” ◆ 上面的思路就是正则化思想...◆ 比较保序回归与线性回归 10.2 保序回归应用 ◆ 保序回归用于拟合非递减数据 ,不需要事先判断线性与否,只需数据总体趋势是非递减即可 例如研究某种药物使用剂量与药效之间关系 11 保序回归算法原理...11.1 保序回归原理 ◆ 适用保序回归前提应是结果数据非递减,那么,我们可以通过判断数据是否发生减少来来触发计算 ◆ 算法描述 ◆ Spark实现求解该模型算法是pool adjacent

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最小二乘法公式

最小二乘法公式是一个数学公式,在数学上称为,不仅仅包括还包括矩阵最小二乘法。线性最小二乘法公式为a=y--b*x-。 矩阵最小二乘法常用于测量数据处理平差公式中,VTPV=min。...最小二乘法公式: 各项推导过程 设拟合直线公式为 , 其中:拟合直线斜率为: ;计算出斜率后,根据 和已经确定斜率k,利求出截距b。...Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中:a0、a1 是任意 为建立这就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)(Yi-Y计)平方和...假设一组数据 : , , …, 变量之间近似成线性关系, 试利用集合有关运算, 编写一简单程序: 对于任意给定数据集合 , 通过求解极值原理所包含方程组, 不需要给出 、 计算表达式, 立即得到...最小二乘法在数学上称为曲线拟合, 请使用拟合函数“Fit”重新计算值, 并与先前结果作一比较.

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基于Spark机器学习实践 (七) - 回归算法

.png] ◆ 上式分别为一元线性回归与写成矩阵形式线性回归模型 4 最小二乘法 4.1 何为最小二乘法 ◆ 又称最小平方法,通过最小化残差平方和来找到最佳函数匹配 ◆ 即最小二乘法以残差平方和作为损失函数...,用于衡量模型好坏 ◆ 利用最小二乘法可以实现对曲线拟合 4.2 最小二乘法原理 ◆ 以一元线性回归为例,演示推倒过程 [hpxcirnidw.png] 4.3 最小二乘法例子 [kfq9be5mdx.png...◆ 我们在前面的示例中可以看到,对于过拟合现象,往往都是模型过于复杂,超过实际需要 ◆ 那么,能否在损失函数计算中,对模型复杂程度进行量化,越复杂模型,就越对其进行”惩罚”, 以便使模型更加”中庸...◆ 比较保序回归与线性回归 [oeeai77b95.png] 10.2 保序回归应用 ◆ 保序回归用于拟合非递减数据 ,不需要事先判断线性与否,只需数据总体趋势是非递减即可 例如研究某种药物使用剂量与药效之间关系...11 保序回归算法原理 11.1 保序回归原理 ◆ 适用保序回归前提应是结果数据非递减,那么,我们可以通过判断数据是否发生减少来来触发计算 ◆ 算法描述 [z6ampzrug6.png] ◆ Spark

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点云处理算法整理(超详细教程)

利用最小二乘法可以简便地求得未知数据,并使得这些求得数据与实际数据之间误差平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。...这些异常数据可能是由于错误测量、错误假设、错误计算等产生。同时RANSAC也假设,给定一组正确数据,存在可以计算出符合这些数据模型参数方法。...最小二乘法与ransac区别: (最小二乘法根据全部点进行计算,ransac根据用户设置阈值进行计算) 在拟合平面(地面)这一需求上,平面的凹凸点(小坑洼)是有效数据,但对所需平面来说有一定偏移...而大凹凸,比如地面上障碍物、地面的深坑,这些都是偏移量过大无效数据。 最小二乘拟合,旨在照顾所有人想法,对所有数据进行拟合,在无效数据多且偏移量大情况下,拟合效果不好。...ICP算法原理与步骤:(请参照左下角网站) ICP算法基本原理是:分别在带匹配目标点云P和源点云Q中,按照一定约束条件,找到最邻近点(pi,qi),然后计算出最优匹配参数R和t,使得误差函数最小

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机器学习-范数正则化:L1正则,L2正则

那么AL1范数为: ? 3.1 成本函数构建原理 例如我们有一个数学模型: y=w0+w1x1+w2x22,其中x是输入,y是输出。...若φ=[1,x],那么y=φ*w,因此我们现在知道φ和y,我们希望通过计算得到w! 由于我们手中很多组x和y都是通过实验结果测试出来。...测量结果就会有误差,因此w不可能计算精准,那么我们很容易想到使用最小二乘法(least square) 来计算w。 我们构建一个方程,这个方程也是最小二乘法核心 ?...如上文所述,监督机器学习问题无非就是“minimize your error while regularizing your parameters”,也就是在规则化参数同时最小化误差(最小二乘法原理...最小化误差是为了让我们模型拟合我们训练数据,而规则化参数是防止我们模型过分拟合我们训练数据。因为参数太多,会导致我们模型复杂度上升,容易过拟合,也就是我们训练误差会很小。

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Python机器学习从原理到实践(2):数据拟合与广义线性回归

机器学习中预测问题通常分为2类:回归与分类。 简单说回归就是预测数值,而分类是给数据打上标签归类。 本文讲述如何用Python进行基本数据拟合,以及如何对拟合结果误差进行分析。...拟合目的是使得根据训练数据能够拟合出一个多项式函数,这个函数能够很好拟合现有数据,并且能对未知数据进行预测。...而R22函数实现来自Conway著作《机器学习使用案例解析》,不同在于他用是2个RMSE比值来计算R2。 我们看到多项式次数为1时候,虽然拟合不太好,R2也能达到0.82。...而反观1,2次多项式拟合结果,R2反而略微上升了。 这说明高次多项式过度拟合了训练数据,包括其中大量噪音,导致其完全丧失了对数据趋势预测能力。前面也看到,100次多项式拟合系数数值无比巨大。...更多原理可以参考相关资料。 下面以岭回归为例看看100次多项式拟合是否有效。

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最小二乘法原理及matlab实现

最小二乘法(least squares method),也称最小平方法,是一种古老而常用数学工具,在自然科学、工程技术和人工智能等领域有着广泛地应用,其核心原理就是通过将误差平方和最小化来寻找数据最佳匹配函数...最小二乘法原理浅析: 在实际应用中,往往通过测量或模拟得到函数y=f(x)在某些点x1,x2,..., xn处对应函数值y1,y2,......常用基函数有: 1, x, x^2, ..., x^k; sin(x), sin(2x), ..., sin(kx)等 最小二乘法就是通过计算寻找一组系数使得所有数据点p(xi)与yi之差平方和最小...-',x,yy,'bo-',x,yt,'ks-'); title('最小二乘法拟合验证测试'); xlabel('X 轴'); ylabel('Y 轴'); legend('真实值','真实值加噪声',...'拟合值'); ~~~~~~~~~~效果图~~~~~~~~~~ ?

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计算机组成原理 --- 数据信息表示

计算机内部流动信息可以分为两大类:一类是数据信息,另一类为控制信息。 数据信息是计算机加工处理对象,而控制信息则控制数据信息加工处理。...2.1 数据表示应考虑因素 1.数据类型 从大体上分类:数值数据和非数值数据。 2.数据表示范围和精确度 计算机所能表示范围和精确度与所采用数据类型和字长有关。...---- 2.4 数据信息校验 受元器件质量,电路故障或噪音干扰等因素影响,计算机在对数据进行处理,传输及存储过程中,往往会出现错误。...码距是编码体质 里 一个重要概念,通过上面的例题不难看出,通过增加码距就能把一个不具备检错编码变成具有检错功能编码。 校验码就是利用这一原理,在正常编码基础上,通过增加一些附加校验码而形成。...交叉奇偶校验 为克服简单 奇偶校验码 不能检测 有偶数位错误不足 ,人们提出了交叉奇偶校验 方法,也称为水平/垂直校验码 。 基本原理 : 对多个数据块同时进行横向和纵向奇偶校验。 ? ?

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MATLAB热传导方程模型最小二乘法模型、线性规划对集成电路板炉温优化

设计最小二乘法拟合模型中,对问题进行数值模拟。最后基于最小二乘原理,在约束条件下建立炉温曲线多目标优化模型。...数据源准备 利用MATLAB 程序解出待定温度,时间,厚度参数系数,最终将新温度和速度及厚度 建模 微分方程模型法: 数学微分法是指根据边际分析原理,运用数学上微分方法,对具有曲线联系极值问题进行求解...最小二乘法模型: 最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差平方和寻找数据最佳函数匹配。...利用最小二乘法可以简便地求得未知数据,并使得这些求得数据与实际数据之间误差平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其它一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。...2.最小二乘法会将误差开平方,所以当某个预测值和真实值差别过大时候,最小二乘法会愿意“牺牲”其他本来不错数据点,使得整个拟合曲线受异常值扰动影响较 例如: 相应炉温曲线如下: 给出各温区温度设定值

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机器学习从0入门-线性回归

线性回归基本原理 线性回归是一种经典机器学习算法,其基本原理是利用输入变量和输出变量之间线性关系来建立一个线性模型,从而进行预测。...线性回归目标是最小化预测值与真实值之间差异(即残差),通常使用最小二乘法来实现。 以下是线性回归算法基本步骤: 收集数据:收集包含输入变量和输出变量数据集。...然后,我们使用最小二乘法来求解最佳拟合直线参数 w 和 b。...{2} 最小二乘法可以使用矩阵运算进行计算,求解出最优权重系数,从而得到线性回归模型。...当MSE很小时候,说明模型对数据拟合很好,模型预测精度很高;反之,MSE很大时候,说明模型对数据拟合很差,模型预测精度很低。

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自查自纠 | 线性回归,你真的掌握了嘛?

寄语:本文对线性回归算法原理及模型,学习策略、算法求解和sklearn参数做了详细讲解。同时,用例子进行Python代码实践。...模型建立 线性回归原理 进入一家房产网,可以看到房价、面积、厅室呈现以下数据: ? image.png image.png 学习策略 1....image.png 时,可以完美拟合训练集数据,但是,真实情况下房价和面积不可能是这样关系,出现了过拟合现象。当训练集本身存在噪声时,拟合曲线对未知影响因素拟合往往不是最好。...predict(X): 预测 基于 R^2值 score:评估 练习题 请用以下数据(可自行生成尝试,或用其他已有数据集) 首先尝试调用sklearn线性回归函数进行训练; 用最小二乘法矩阵求解法训练数据...测试 在3维数据上测试sklearn线性回归和最小二乘法结果相同,梯度下降法略有误差;又在100维数据上测试了一下最小二乘法结果比sklearn线性回归结果更好一些。

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机器学习十大经典算法之最小二乘法

最小二乘法概述 最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差平方和寻找数据最佳函数匹配。...利用最小二乘法可以简便地求得未知数据,并使得这些求得数据与实际数据之间误差平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。...对于平面中这m个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据中心位置最合理。...选择最佳拟合曲线标准可以确定为:使总拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择: (1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但可能会出现计算“残差和”存在相互抵消问题。...但绝对值计算比较麻烦。 (3)最小二乘法原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

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