图论是研究图的数学理论和方法,其中图是由顶点集合及连接这些顶点的边集合组成的数学结构。图论在计算机科学、网络规划、生物信息学等众多领域都有重要应用。最小生成树(Minimum Spanning Tree,MST)是图论中一个经典问题,指在一个加权连通图中寻找一棵权值最小的生成树。克鲁斯卡尔(Kruskal)算法和普利姆(Prim)算法是解决最小生成树问题的两种著名算法。
在上一篇文章中,我们看了一下图的遍历算法,主要是对图的深度优先遍历和图的广度优先遍历算法思想的介绍。接下来让我们来看一下图的最小声成树算法。
图论中知名度比较高的算法应该就是 Dijkstra 最短路径算法,环检测和拓扑排序,二分图判定算法 以及今天要讲的最小生成树(Minimum Spanning Tree)算法了。
一个连通的生成树是图中的极小连通子图,它包括图中的所有顶点,并且只含尽可能少的边。这意味着对于生成树来说,若砍去它的一条边,就会使生成树变成非连通图;若给它添加一条边,就会形成图中的一条回路。
像图论算法这种高级算法虽然不算难,但是阅读量普遍比较低,我本来是不想写 Prim 算法的,但考虑到算法知识结构的完整性,我还是想把 Prim 算法的坑填上,这样所有经典的图论算法就基本完善了。
生成树指在无向图中找一棵包含图中的所有节点的树,此树是含有图中所有顶点的无环连通子图。对所有生成树边上的权重求和,权重和最小的树为最小生成树,次小的为次最小生成树。
应用图解决现实问题是我们使用图这种数据结构的原因所在。 最小生成树是图的应用中很常见的一个概念,一个图的最小生成树不是唯一的,但最小生成树的边的权值之和纵使唯一的。最小生成树的算法主要有Prim算法和Kruskal算法。这两种算法都是基于贪心算法策略(只考虑眼前的最佳利益,而不考虑整体的效率)。 拓扑排序是指由一个有向无环图的顶点组成的序列,此序列满足以下条件:
,向生成树中添加任意一条边,则会形成环。生成树存在多种,其中权值之和最小的生成树即为最小生成树。
在之前的文章中已经详细介绍了图的一些基础操作。而在实际生活中的许多问题都是通过转化为图的这类数据结构来求解的,这就涉及到了许多图的算法研究。
无论是有向图还是无向图,主要的存储方式都有两种:邻接矩阵和邻接表。前者图的数据顺序存储结构,后者属于图的链接存储结构。
问题描述 n个村庄间架设通信线路,每个村庄间的距离不同,如何架设最节省开销? 这个问题中,村庄可以抽象成节点,村庄之间的距离抽象成带权值的边,要求最节约的架设方案其实就是求如何使用最少的边、最小的权值和将图中所有的节点连接起来。 这就是一个最小代价生成树的问题,可以用Prim算法或kruskal算法解决。 PS1:无向连通图的生成树是一个极小连通子图。 PS2:生成树是图的一个子图,包括所有的顶点和最少的边(n-1条边)。 PS3:最小代价生成树就是所有生成树中权值之和最小的那个。 算法思路 算
克鲁斯卡尔算法是一种求解最小生成树问题的算法,其在电子文档管理系统中可以用于优化文档的管理和存储。
问题抽象: 在有向网中 A 点到 B 点的多条路径中, 寻找一条权值和最小的路径,称为最短路径.
我们在前面讲过的《克里姆算法》是以某个顶点为起点,逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。同样的思路,我们也可以直接就以边为目标去构建,因为权值为边上,直接找最小权值的边来构建生成树也是很自然的
通俗易懂的讲就是最小生成树包含原图的所有节点而只用最少的边和最小的权值距离。因为n个节点最少需要n-1个边联通,而距离就需要采取某种策略选择恰当的边。
练习题: LeetCode 1135. 最低成本联通所有城市(最小生成树+排序+并查集) LeetCode 1489. 找到最小生成树里的关键边和伪关键边(并查集+kruskal最小生成树)
PHP数据结构(十一)——图的连通性问题与最小生成树算法(1) (原创内容,转载请注明来源,谢谢) 一、连通分量和生成树 1、无向图 设E(G)为连通图G的所有边的集合,从图的任意一点出发遍历图,可以将E(G)分为T(G)和B(G),T表示已经遍历过的边的集合,B表示剩余边的集合。因此,T与图G的所有顶点构成的极小连通子图,就是G的一棵生成树。由深度优先搜索的称为深度优先生成树;由广度优先搜索的称为广度优先生成树。 2、有向图 有向图和无向图类似。有向图的强连通分量,是对图进行深度优先遍历,遍历完成后,
生成树:给定无向图G=(V,E),连接G中所有点,且边集是E的n-1条边构成的无向连通子图称为G的生成树(Spanning Tree),而边权值总和最小的生成树称为最小生成树(Minimal Spanning Tree,MST)。
关键路径——在AOE-网中有些活动可以并行地进行,所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度,路径长度最长的路径叫做关键路径(Critical Path)。
给定一张带权无向图 G=(V,E),n = |V|, m = |E|。由 V 中全部 n 个顶点和 E 中 n-1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树。边权和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树(Minimum Spanning Tree,MST)。
我们在图的定义中说过,带有权值的图就是网结构。一个连通图的生成树是一个极小的连通子图,它含有图中全部的顶点,但只有足以构成一棵树的n-1条边。所谓的最小成本,就是n个顶点,用n-1条边把一个连通图连接起来,并且使得权值的和最小。综合以上两个概念,我们可以得出:构造连通网的最小代价生成树,即最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)。 找连通图的最小生成树,经典的有两种算法,普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,这里介绍普里姆算法。 为了能够讲明白这个算法,我们先构造网图的邻接矩阵,如图7-6
该文章是一篇技术文章,主要介绍了如何通过编辑距离算法实现文本相似度的计算。文章首先介绍了编辑距离算法的原理,然后详细讲解了基于编辑距离的文本相似度计算方法,并给出了具体的实现代码。最后,文章还探讨了编辑距离算法在技术社区中的应用,包括相似度计算和相似问答系统。
No.17期 最小生成树(一) Mr. 王:我们再来讲一个时间亚线性算法——最小生成树问题。这里先简单介绍一下树的概念。 小可:那什么是树呢? Mr. 王:树的简单定义,就是一个没有回路的连通无向图。
之前学了用普里姆算法来求最小生成树的权值和,但是它的时间复杂度为O(|V2|),使用优先级队列优化后,可以优化为O(|E|log|V|)。
在一给定的无向图 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E) 中, ( u , v ) (u, v) (u,v)代表连接顶点 u u u 与顶点 v v v 的边,而 w ( u , v ) w(u, v) w(u,v) 代表此边的权重,若存在 T T T 为 E E E 的子集且为无循环图,使得 w ( T ) w(T) w(T) 最小,则此 T T T 为 G G G 的最小生成树,因为 T T T是由图 G G G产生的。
Prim 算法可以称为“加点法”,每次迭代选择代价最小的边对应的点,加入到最小生成树中,算法从某一个顶点开始,逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
生成树就是在保证自身是树(不存在环)的前提下,拥有尽可能多的边,它拥有G的所有顶点。
在加权图G=(V,E)中,求给定顶点s,d之间各边权值总和最小的路径,这就是最短路径问题。
有向图和无向图的表示法有略微的区别,注意看 G1有箭头,有向图,表示方法是 V={V~0~,V~1~,V~2~,V~3~} E = {<V~0~,V~1~>,<V~1~,V~2~>,<V~1~,V~0~>,<V~2~,V~0~>,<V~2~,V~3~>} G2无箭头,无向图,表示方法是 V={V~0~,V~1~,V~2~,V~3~} E = {(V~0~,V~1~),(V~1~,V~2~),(V~0~,V~2~),(V~2~,V~3~)}
图是一种在计算机科学中广泛应用的数据结构,它能够模拟各种实际问题,并提供了丰富的算法和技术来解决这些问题。本篇博客将深入探讨图数据结构,从基础概念到高级应用,为读者提供全面的图算法知识。
一棵 n 个节点的树可以理解为一个 n 个节点; n-1条边的连通图(一个节点可以到达任意一个其它节点)
最小生成树 生成树(极小连通子图):含有图中全部n个顶点,但只有n-1条边。并且n-1条边不能构成回路。 [在这里插入图片描述] 生成森林:非连通图每个连通分量的生成树一起组成非连通图的生成森林。 [在这里插入图片描述] 求最小生成树 使用不同的遍历图的方法,可以得到不同的生成树 从不同的顶点出发,也可能得到不同的生成树。 按照生成树的定义,n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点、n-1 条边。在网的多个生成树中,寻找一个各边权值之和最小的生成树 构造最小生成树的准则 必须只使用该网中的边来构造最小生成
Dijkstra’s algorithm(迪杰斯特拉算法)是一种用于求解单源最短路径问题的经典算法。该算法可以计算从单个起始节点到图中所有其他节点的最短路径。Dijkstra’s algorithm适用于没有负权边的有向或无向带权图。
克鲁斯卡尔算法是一种用于解决最小生成树问题的贪心算法。在电脑监控软件中,可以将网络节点之间的连接关系抽象为一张图,然后使用克鲁斯卡尔算法来寻找最小生成树,即最小的连接所有节点的路径。
克鲁斯卡尔算法是一种用于解决最小生成树问题的贪心算法。在文档管理软件中,可以将网络节点之间的连接关系抽象为一张图,然后使用克鲁斯卡尔算法来寻找最小生成树,即最小的连接所有节点的路径。
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最近在阅读 USB4 的标准,文档中多次提到 Spanning Tree,于是网上搜了搜,大概有了些概念,写下来促进理解。
普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现;并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此,在某些场合,普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。 中文名 普里姆算法 外文名 Prim Algorithm 别 称 最小生成树算法 提出者 沃伊捷赫·亚尔尼克(Vojtěch Jarník) 提出时间 1930年 应用学科 计算机,数据结构,数学(图论) 适用领域范围 应用图论知识的实际问题 算 法 贪心 目录 1 算法描述 2 时间复杂度 3 图例描述 4 代码 ▪ PASCAL代码 ▪ c代码 ▪ C++代码 5 时间复杂度 算法描述编辑 1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E; 2).初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {},为空; 3).重复下列操作,直到Vnew = V: a.在集合E中选取权值最小的边,其中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一); b.将v加入集合Vnew中,将边加入集合Enew中; 4).输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
Prim算法 1.概览 普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现;并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此,在某些场合,普里姆算
含有n个顶点的无向完全图有多少条边? n×(n-1)/2条边 含有n个顶点的有向完全图有多少条弧? n×(n-1)条边
前言 在数据结构与算法的图论中,(生成)最小生成树算法是一种常用并且和生活贴切比较近的一种算法。但是可能很多人对概念不是很清楚,什么是最小生成树? 一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子
图是非线性数据结构,是一种较线性结构和树结构更为复杂的数据结构,在图结构中数据元素之间的关系可以是任意的,图中任意两个数据元素之间都可能相关。
今天选择的是上周codeforces的ACM专场,这一场是俄罗斯ACM-ICPC的一场区域赛。对于acm感兴趣的同学可以尝试一下这套题,我感觉难度不是很大。这次选择了其中全场通过人数414人的J题,算是中等难度吧。我个人感觉非常适合新手练习,算法比较简单,主要是对编码的考验。
将一个具有 n 个顶点 e 条边的无向图存储在邻接矩阵中,则非零元素的个数是 2e。
前言 A wise man changes his mind,a fool never. Name:Willam Time:2017/3/1
1.图 图G由顶点集V和关系集E组成,记为:G=(V,E),V是顶点(元素)的有穷非空集,E是两个顶点之间的关系的集合。 若图G任意两顶点a,b之间的关系为有序对,∈E, 则称为从a到b的一条弧/有向边;其中: a是的弧尾,b是的弧头;称该图G是有向图。 若图G的任意两顶点a,b之间的关系为无序对(a,b), 则称(a,b)为无向边(边),称该图G是无向图。 无向图可简称为图。 2.完全图 3.网:带权的图 4.子图:对图 G=(V,E)和G’=(V’,E’), 若V’
次小生成树 次小生成树 我们已经熟知了求最小生成树的方法,用kruskal,prim算法都可以搞 那么我们如何求次小生成树呢? 这里次小生成树的定义是 边权和严格大于最小生成树的边权和最小的生成树 求解方法 次小生成树嘛,肯定和最小生成树脱不了关系 那么我们首先求出最小生成树 接下来,一个比较显然的思路是 枚举每一条未加入最小生成树的边,加入最小生成树,同时在最小生成树中删除边权最大的边 如果你想到了这里并写出了代码,那么恭喜你 你在里成功还有一步之遥成功掉进坑里了 比如下面的例子
图结构是数据元素呈多对多关系,就是任意两个元素存在这样的关系。如果用一个公式来表示就是由顶点集合和顶点之间的关系集合组成的一种数据结构。
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