连通图：无向图G中，若从顶点i到顶点j有路径相连，则称i,j是连通的；如果G是有向图，那么连接i和j的路径中所有的边都必须同向；如果图中任意两点之间都是连通的，那么图被称作连通图。
大清都亡了，我们村还没有通网。为了响应国家的新农村建设的号召，村里也开始了网络工程的建设。 穷乡僻壤，人烟稀少，如何布局网线，成了当下村委会首个急需攻克的难题。 如下图，农户之间的距离随机，建设网线的成本与距离成正比，怎样才能用最少的成本将整个村的农户网络连通呢？
连通图:在无向图G中，若对任何两个顶点 v、u 都存在从v 到 u 的路径，则称G是连通图。
从边赋权图上选择一部分边得到一个子图，子图与原图具有共同的顶点，子图的边是原图的边的子集，且子图具有最小的开销（边的权值之和最小），符合这样要求的子图称作最小生成树，这类问题称作最小生成树问题。
给定一个带权的无向连通图，能够连通该图的全部顶点且不产生回路的子图即为该图的生成树；
设连通图G=(V,E)，从任一顶点遍历，则图中边分成两部分：E(G) = T(G)+ B(G)，T(G)为遍历通过的边，B(G)为遍历时未通过的边，G’(V，T)为G的子图，称之为G的一棵生成树。
定义： 一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。[1] 最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。 Kruskal算法简述： 假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的
回到正题，首先介绍下什么是图的边连通度和点连通度。一般来说，点连通度是指对应一个图G，对于所有点集U属于V（G），也就是V（G）的子集中，使得G-U要么是一个非连通图，要么就是一个平凡图（即仅包含一个独立点的图），其中最小的集合U的大小就是图G的点连通度，有时候也直接称为图的连通度。通俗点说，就是一个图G最少要去掉多少个点会变成非连通图或者平凡图。当然对于一个完全图来说Kn来说，它的连通度就是n-1。 同理，边连通度就是对于一个非平凡图G，至少去掉多少条边才能使得该图变成非连通图。我们的问题就是，对于任意一个图，如何求该图的连通度以及边连通度？这跟最大流问题有什么联系？ 简单起见，我们先说如何求一个图的边连通度lamda(G)。（基于无向图考虑） 对于图G，设u，v是图G上的两个顶点，定义r（u，v）为删除最少的边，使得u到v之间没有通路。将图G转换成一个流网络H，u为源点，v是汇点，边容量均为1，那么显然r（u，v）就是流网络的最小割，根据（二）里的介绍，其等于流网络的最大流。 但是，目前为止我们还没解决完问题，因为显然我们要求的边连通度lamda（G）是所有的点对<u,v>对应的r（u，v）中最小的那个值。这样的话我们就必须遍历所有的点对，遍历的的复杂度为O（n*n）。这显然代价太高，而事实上，我们也不必遍历所有点对。
在一个无向图G中，若将某个节点v去除之后后G所包含的连通域增多，则v称作切割节点（cut vertex或关节点（articulation point）。如果一个图不含任何关节点则称之为双连通图，最典型的就是完全图。任一无向图都可视作由若干个极大的双连 通子图组合而成，这样的每一子图都称作原图的一个双连通域（bi-connected component）。例如下图中的节点3和5就是关节点。
按照官网的介绍，NebulaGraph Algorithm是一款基于GraphX 的 Spark 应用程序，通过提交 Spark 任务的形式，使用完整的算法工具对 NebulaGraph 数据库中的数据执行图计算。
图可以被看作一个群，记号为G=(V, E)。图的顶点（vertex）之间的二元关系可以看成是E中的元素，也就是图里的边（edge）。图的边是否有序则分为有序图和无序图。 在无序图中，简单图（simple graph）被定义作：没有两条边是连着相同顶点的。而如果有这样的边（称为multiple edge），那么这个图就应被称为multigraph。图里的环（loop）即为字面意义，指向自身。在这里定义pseudograph：允许环和多重边存在的图即为pseudograph。
tarjan算法 一个关于有向图的联通性的神奇算法。 基于DFS（迪法师）算法，深度优先搜索一张有向图。 名词的储备，有备无患 强连通(strongly connected)： 在一个有向图G里，设两个点 a、b。发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。 强连通图(Strongly Connected Graph)： 如果在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。 强连通分量(strongly connected c
最近双11又快到了 有女朋友的忙着帮女朋友清空购物车 有男朋友的忙着叫男朋友帮清购物车 而小编就比较牛逼了 小编沉迷学习，已经无法自拔。 那么今天小编又给大家带来什么好玩的东西呢？ 没错 那就是小编通过 夜夜修仙，日日操劳 终于修成的正果 用起来很牛逼，说出去很装逼的 最小生成树 纲要 - 什么是图(network) - 什么是最小生成树 (minimum spanning tree) - 最小生成树的算法 1 什么是图 这里的图当然不是我们日常说的图片或者地图。通常情况下，我们把图看成是一种由“顶点(no
随着学习的深入，我们的知识也在不断的扩展丰富。树结构有没有让大家蒙圈呢？相信我，学完图以后你就会觉得二叉树简直是简单得没法说了。其实我们说所的树，也是图的一种特殊形式。
在 《Tarjan 算法的思路》中我们已经给出了 Tarjan 算法中的比较重要的几个元素，我们在这里重新复习一下：
一（基本概念） 1.图的定义：图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。 2.与线性表、树的比较： （1）线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点。 （2）线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。在图结构中，不允许没有顶点。 （3）线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系
强连通分量（Strongly Connected Component，SCC）指的是有向图中的一个最大子图，该子图内的任意两个顶点均可达。要找到所有的强连通分量，可以使用Tarjan算法。
，向生成树中添加任意一条边，则会形成环。生成树存在多种，其中权值之和最小的生成树即为最小生成树。
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。 中文名 普里姆算法 外文名 Prim Algorithm 别 称 最小生成树算法 提出者 沃伊捷赫·亚尔尼克（Vojtěch Jarník） 提出时间 1930年 应用学科 计算机，数据结构，数学（图论） 适用领域范围 应用图论知识的实际问题 算 法 贪心 目录 1 算法描述 2 时间复杂度 3 图例描述 4 代码 ▪ PASCAL代码 ▪ c代码 ▪ C++代码 5 时间复杂度 算法描述编辑 1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E； 2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空； 3).重复下列操作，直到Vnew = V： a.在集合E中选取权值最小的边，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）； b.将v加入集合Vnew中，将边加入集合Enew中； 4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
这里的图当然不是我们日常说的图片或者地图。通常情况下，我们把图看成是一种由“顶点”和“边”组成的抽象网络。在各个“顶点“间可以由”边“连接起来，使两个顶点间相互关联起来。图的结构可以描述多种复杂的数据对象，应用较为广泛，看下图：
tarjan算法讲解。 tarjan算法，一个关于 图的联通性的神奇算法。基于DFS算法，深度优先搜索一张有向图。！注意！是有向图。根据树，堆栈，打标记等种种神奇方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性，就是任督二脉通不通。。的问题。 了解tarjan算法之前你需要知道： 强连通，强连通图，强连通分量，解答树（解答树只是一种形式。了解即可） 强连通(strongly connected)： 在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，
No.17期 最小生成树（一） Mr. 王：我们再来讲一个时间亚线性算法——最小生成树问题。这里先简单介绍一下树的概念。 小可：那什么是树呢？ Mr. 王：树的简单定义，就是一个没有回路的连通无向图。
1.图 图G由顶点集V和关系集E组成,记为:G=(V,E),V是顶点(元素)的有穷非空集，E是两个顶点之间的关系的集合。 若图G任意两顶点a,b之间的关系为有序对,∈E, 则称为从a到b的一条弧/有向边；其中： a是的弧尾，b是的弧头；称该图G是有向图。 若图G的任意两顶点a,b之间的关系为无序对(a,b), 则称(a,b)为无向边(边）,称该图G是无向图。 无向图可简称为图。 2.完全图 3.网:带权的图 4.子图:对图 G=(V,E)和G’=(V’,E’)， 若V’
图论是研究图的数学理论和方法，其中图是由顶点集合及连接这些顶点的边集合组成的数学结构。图论在计算机科学、网络规划、生物信息学等众多领域都有重要应用。最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中一个经典问题，指在一个加权连通图中寻找一棵权值最小的生成树。克鲁斯卡尔（Kruskal）算法和普利姆（Prim）算法是解决最小生成树问题的两种著名算法。
无论是有向图还是无向图，主要的存储方式都有两种：邻接矩阵和邻接表。前者图的数据顺序存储结构，后者属于图的链接存储结构。
若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
基本思想：（1）构造一个只含n个顶点，边集为空的子图。若将图中各个顶点看成一棵树的根节点，则它是一个含有n棵树的森林。（2）从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图。也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之（3）依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。
No.34期 缩图法（一） Mr. 王：接下来我们再谈一种常用于磁盘上存储的图的思想，叫作缩图法。我们不得不设计磁盘算法，重要原因就是内存存不下特别大的图。 所以一些基本的考虑就是，我们能不能试着把图变得小一点，使之能被放进内存中。如果经过若干次I/O 之后，使得图剩下的部分可以被放进内存中，那么处理也就变得容易多了。 小可：哦，“缩图法”名字听起来也好像是这个思想。具体怎么做呢？ Mr. 王：我们来看这样一个问题：判定一个特别大的图的连通性。显然这个大图会被存储在外存中。 Mr. 王：首先我们试着给
在图论中，最小生成树是一个重要的概念，它是一个连通图的子图，包含图中的所有节点，并且边的权重之和最小。 Prim 算法和 Kruskal 算法是两种常用的最小生成树算法。本篇博客将重点介绍这两种算法的原理、应用场景以及使用 Python 实现，并通过实例演示每一行代码的运行过程。
由于事物之间普遍联系的哲学原理，网络结构无处不在。例如，微信用户之间的好友关系形成社群网络，科学论文间的相互引用关系形成文献网络，城市之间的道路连接形成交通网络 …… 可以说，万事万物都处在一个复杂网络当中。马克思·韦伯也说：人是悬挂在自己编织的意义之网上的动物。网太重要了，所以我们每次到一个新的地方，我们都会问：老板，有网吗？wifi密码是什么？
图是非线性数据结构，是一种较线性结构和树结构更为复杂的数据结构，在图结构中数据元素之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。
最小生成树（ Minimum Spanning Tree ， MST ）是图论中的一个重要问题，涉及到在一个加权连通图中找到一棵包含所有节点且边的权重之和最小的树。最小生成树问题在许多实际应用中都有重要作用，例如通信网络设计、电路板布线、城市规划等。在本篇博客中，我们将深入探讨最小生成树算法的优化和应用，主要关注两个著名的算法： Prim 算法和 Kruskal 算法。
前言 在数据结构与算法的图论中，(生成)最小生成树算法是一种常用并且和生活贴切比较近的一种算法。但是可能很多人对概念不是很清楚，什么是最小生成树? 一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子
图论中知名度比较高的算法应该就是 Dijkstra 最短路径算法，环检测和拓扑排序，二分图判定算法 以及今天要讲的最小生成树（Minimum Spanning Tree）算法了。
按照右手原则，每次选择上一顶点的最右边的下一顶点，走过一个顶点标记一个顶点，不能走被标记过的顶点，一条路走到黑，直到无路可走，然后回溯。 这个就是先走到最大深度，不能再深入后，再返回到有支路可走的顶点继续深入到最下面。
图的“多对多”特性使得图在结构设计和算法实现上较为困难，这时就需要根据具体应用将图转换为不同的树来简化问题的求解。
通俗易懂的讲就是最小生成树包含原图的所有节点而只用最少的边和最小的权值距离。因为n个节点最少需要n-1个边联通，而距离就需要采取某种策略选择恰当的边。
在理解有向图和强连通分量前必须理解与其对应的两个概念，连通图（无向图）和连通分量。
图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。
基于无向加权图G=(V,E)，其中每个顶点vi对应一个xi，顶点vi和vj间的边有权值wij≥0
基本概念 图(Graph)：图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。 图结构：是研究数据元素之间的多对多的关系。在这种结构中，任意两个元素之间可能存在关系。即结点之间的关系可以是任意的，图中任意元素之间都可能相关。 图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成，定义为G=(V，E) 线性结构：是研究数据元素之间的一对一关系。在这种结构中，除第一个和最后一个元素外，任何一个元素都有唯一的一个直接前驱和直接后继。 树结构：是研究数据元素之间的一对多的关系。在这种结构中
又要画图了。一到这里就莫名其妙的烦，之前写过的图相关博客已经让我都删了，讲的语无伦次。 希望这篇能写好点。
图的表示：G=(V,E), V=(v|v为图中的顶点)， E=(e|e为图中的边)
线性表中任一数据元素都可以 随机存取 ，所以 线性表的顺序存储结构是一种随机存取的存储结构。
说到以Tarjan命名的算法，我们经常提到的有3个，其中就包括本文所介绍的求强连通分量的Tarjan算法。而提出此算法的普林斯顿大学的Robert E Tarjan教授也是1986年的图灵奖
一个连通的生成树是图中的极小连通子图，它包括图中的所有顶点，并且只含尽可能少的边。这意味着对于生成树来说，若砍去它的一条边，就会使生成树变成非连通图；若给它添加一条边，就会形成图中的一条回路。
No.18期 最小生成树（二） Mr. 王：接下来我们讨论一般的情况。在一般的情况中，我们先定义一些量以方便讨论。 Gi ：G 中包含所有权重小于i 的边的子图。 Ci ：Gi 中的连通分量数。 令β
在有向图G中，如果两点互相可达，则称这两个点强连通，如果G中任意两点互相可达，则称G是强连通图。
连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。
在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向图有n(n-1)/2条边。
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