一、动态规划的基本思想 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。 在这类问题中，可能会有许多可行解。 每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。 基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。 适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。 如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。 我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。 这就是动态规划法的基本思路。 具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。 二、设计动态规划法的步骤 找出最优解的性质，并刻画其结构特征； 递归地定义最优值（写出动态规划方程）； 以自底向上的方式计算出最优值； 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。 步骤1～3是动态规划算法的基本步骤。 在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略； 若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4。 三、动态规划问题的特征 动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质： 最优子结构： 当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。 重叠子问题： 在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。
前面三篇文章已经为大家介绍了利用动态规划算法解决问题的思路以及相关的代码实现，最为核心的就是第一步利用数学中函数的思想来建立模型，然后求解问题。这三个问题构建的数学函数都有一个共同的特征就是所构建的函数都是一元函数即y = f(x)。
动态规划是一种常用且高效的算法技术，用于解决一类具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。在本篇博客中，我们将重点介绍动态规划的基本概念与特点，探讨其在解决典型问题中的应用，并通过实例代码演示动态规划算法的实现，每行代码都配有详细的注释。
对于一个具有n个输入的最优化问题，其求解过程往往可以划分为若干个阶段，每一阶段的决策依赖于前一阶段的状态，由决策所采取的动作使状态发生转移，成为下一阶段决策的依据。从而，一个决策序列在不断变化的状态中产生。这个决策序列产生的过程称为多阶段决策过程。
动态规划算法的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，并先求解子问题，再根据子问题的解得到原问题的解。这种方法的优点在于避免了重复计算，从而提高了算法的效率。
动态规划是一种用于解决复杂问题的优化技术，它通过将问题分解为子问题，并存储子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度，因此它比回溯法、暴力法等要快许多。 首先，我们要找到某个状态的最优解，然后在它的帮助下，找到下一个状态的最优解。
动态规划算法一直是面试手撕算法中比较有挑战的一种类型。很多的分配问题或者调度问题实际上都可能用动态规划进行解决。（当然，如果问题的规模较大，有时候会抽象模型使用动归来解决，有时候则可以通过不断迭代的概率算法解决查找次优解）
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）算法是一种通过将问题(比较复杂)划分为相互重叠的子问题(简单易于求解)，并解决子问题来解决原问题的方法。它通常用于优化问题，其中需要找到最优解或最大/最小值。
活动选择问题是一个典型的贪心算法问题，其目标是选择一组不重叠的活动，使得这些活动的总时间最长。动态规划也可以用来解决这个问题，但需要更多的存储空间来保存子问题的解。
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。
感兴趣的话可以参考 算法竞赛、小白学DP(动态规划) 学习相关代码的具体实现(Java版)
顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。希望贪心算法得到的最终结果是整体最优的。贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。 在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
dynamic programming被认为是一种与递归相反的技术，递归是从顶部开始分解，通过解决掉所有分解出的问题来解决整个问题，而动态规划是从问题底部开始，解决了小问题后合并为整体的解决方案，从而解决掉整个问题。
递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质
前面写过一篇博文，介绍了什么是动态规划算法。动态规划算法的最大特点，原始问题可以通过分解成规模更小的子问题来解决，子问题之间互成依赖关系，也就是先计算出来的子问题的结果会影响到后续子问题的结果。
斐波那契数列是计算机科学中一个经典的问题，动态规划是解决该问题的高效算法技术。本篇博客将重点介绍斐波那契数列问题的动态规划解法，包括状态定义、状态转移方程、边界条件和状态转移过程，并通过实例代码演示动态规划算法的实现，每行代码都配有详细的注释。
👆关注“博文视点Broadview”，获取文末赠书 ---- 递归 递归算法是一类非常常用的算法，它是一种直接或间接调用原算法本身的算法。递归算法最大的特点就是“自己调用自己”，对于一些具有递归特性的问题，使用递归算法来解决会更加简单明了，且易于实现。 在使用递归算法解决实际的问题时，要自顶向下地将一个大问题拆分成同类的小问题，然后利用同类问题这一特性构造出解决问题的递归函数，也就是这种“自己调用自己”的模型，再通过程序实现这个递归函数。 下面通过一个实例理解递归算法。 走楼梯问题：一个楼梯共有10级台
这里借这道题目了解一下动态规划的相关算法。说到动态规划，最简单和熟悉的例子就是斐波拉切数列，这里就不做讲解了，如果不是很熟悉，可自行搜索研究一下。
动态规划性质： 1 最优子结构性质 2 子问题重叠性质 ----->该问题可用动态规划算法求解的基本要素 1 最优子结构 当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。最优子结构性质提供了该问题的可用动态规划算法求解的重要线索。 动态规划，利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归的从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。 2 重叠子问题 动态规划，避开了递归时，重复的计算相同子问题的过程，对每个子问题只解一次，而后将其保存在一个表格中，当再次需要的时候，只是简单的用常数时
当研究一条DNA或蛋白质序列时，主要关注的是其包含的遗传信息；当研究两条或多条DNA或蛋白质序列时，则主要关注不同序列之间的差别与联系。在生物信息学中，对生物大分子的序列比对是非常基本的工作。
动态规划 动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决 基本思路 动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。 算法实现 使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划三要素： （1）
主要推送关于对算法的思考以及应用的消息。培养思维能力，注重过程，挖掘背后的原理，刨根问底。本着严谨和准确的态度，目标是撰写实用和启发性的文章，欢迎您的关注。 01 — 你会学到什么？ 在前面的两个推送： LeetCode实战：动态规划算法是怎么一回事 动态规划：括号知多少 我们通过两个实际问题，《装水做多的容器》和《括号知多少》，初步对动态规划有了一个初步了解。 在本推送中，我们将解决以下两个问题： 动态规划牺牲空间换来了什么？ 动态规划如何提升时间性能的？ 再举动态规划的一个实际例子 02 — 动态规划相
顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路径问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
:考虑如上图所示的4 * 4的方格阵列,我们把它看成一个小世界.这个世界有16个状态,图中每一个小方格对应一个状态,依次使用0-15标记他们.图中状态0和15分别位于左上角和右下角,是终止状态,用灰色表示.
1.动态规划 算法的核心思想是：将大问题划分成小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
0-1 背包问题是一个典型的动态规划问题，其目标是在给定的重量限制下最大化背包中物品的总价值。每个物品可以选择放入背包或不放入背包（0-1表示），并且每种物品只有一个。
很多读者反应，就算看了前文 动态规划详解，了解了动态规划的套路，也不会写状态转移方程，没有思路，怎么办？本文就借助「最长递增子序列」来讲一种设计动态规划的通用技巧：数学归纳思想。
在前面算法题目解析：从一道题目看动态规划这篇文章中，描述了动态规划的概念、原理和典型示例，今天用几道典型的动态规划题目来做为练手，达到掌握的目的。70. 爬楼梯是一道简单题，但比较典型，先从它开始。
在之前的文章当中，我们一起探讨了二分、贪心、排序和搜索算法，今天我们来看另一个非常经典的算法——动态规划。
使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划三要素： （1）问题的阶段 （2）每个阶段的状态 （3）从前一个阶段转化到后一个阶段之间的递推关系。 递推关系必须是从次小的问题开始到较大的问题之间的转化，从这个角度来说，动态规划往往可以用递归程序来实现，不过因为递推可以充分利用前面保存的子问题的解来减少重复计算，所以对于大规模问题来说，有递归不可比拟的优势，这也是动态规划算法的核心之处。 确定了动态规划的这三要素，整个求解过程就可以用一个最优决策表来描述，最优决策表是一个二维表，其中行表示决策的阶段，列表示问题状态，表格需要填写的数据一般对应此问题的在某个阶段某个状态下的最优值（如最短路径，最长公共子序列，最大价值等），填表的过程就是根据递推关系，从1行1列开始，以行或者列优先的顺序，依次填写表格，最后根据整个表格的数据通过简单的取舍或者运算求得问题的最优解。 f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}
在强化学习（二）马尔科夫决策过程(MDP)中，我们讨论了用马尔科夫假设来简化强化学习模型的复杂度，这一篇我们在马尔科夫假设和贝尔曼方程的基础上讨论使用动态规划(Dynamic Programming, DP)来求解强化学习的问题。
动态规划算法 例： 走楼梯，可以一次上一阶，也可以，一次上两阶，根据楼梯的阶数来判断有几种上楼梯的方法。 分析： f(1) = 1; 1种 f(2) = 2; 2种 f(3) = f(1) + f(2);3种 f(4) = f(3) + f(2) ;5种 … 依次类推 代码如下: #include<iostream> using namespace std; int WalkCount(int n) { //可以一次走一阶台阶，也可以一次走两阶台阶 if (n < 0) {
背包问题是计算机科学中一个重要的组合优化问题，动态规划是解决该问题的高效算法技术。本篇博客将重点介绍背包问题的动态规划解法，包括状态定义、状态转移方程、边界条件和状态转移过程，并通过实例代码演示动态规划算法的实现，每行代码都配有详细的注释。
其中最重要的一个更新是支持了递归算法的可视化，而且可视化的方式可以说是我之前系列文章所阐述的算法思想的的具体实现，我真的动手把抽象的思想给展示出来了，绝对可以帮助你更好的理解算法的本质！
" 回文串 ( Palindrome ) " 是 正反都一样的字符串 , abccba , 001100 等字符串 ;
主要推送关于对算法的思考以及应用的消息。培养思维能力，注重过程，挖掘背后的原理，刨根问底。本着严谨和准确的态度，目标是撰写实用和启发性的文章，欢迎您的关注。 0 — 回顾 利用了6天时间，细细总结了8个常用排序算法的原理到源码兑现，如果您对排序算法感兴趣或者想了解这些算法用到的思想，比如分治法，递归调用，堆排序等，然后尽量学着将这些思想用到工作的coding中去，请参考之前推送： 冒泡排序到快速排序做的那些优化 直接选择排序到堆排序做的那些改进 直接插入排序到希尔排序做的那些改进 归并排序算法的过程图解
动态规划算法将递归算法写成非递归算法，算法把子问题的答案系统的记录在一个表内减少了对子问题的反复求解，提高程序的运行效率。
听到 动态规划 这个响亮的大名你可能已经望而却步，那是因为这个响亮的名字真的真的很具有迷惑性，不像递归、回溯和贪心等等算法一样，其文即其意，而动态规划则不同，很容易望文生义，真可谓害人不浅，今天我就带大家一起扒一扒 动态规划 的裤子。
这个可以转动的圆盘类似是一个密码机关，中间偏上的位置有个红色的指针看到没，你只要转动圆盘可以让指针指向不同的字母，然后再按下中间的按钮就可以输入指针指向的字母。
今天这篇文章我构思很久，也写了很久，全文3330字，21张图。如果可以的话，希望文末能点赞支持下，谢谢。
动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
——where2go 团队
我们小时候上学的时候，从家到学校的方案应该有多种，假如某一天你想知道走哪一条路最快到学校，走哪一条路最慢，走哪一条路风景最好，该怎么办呢？
动态规划有时被认为是一种与递归相反的技术。 递归是从顶部开始将问题分解，通过解决掉所有分解出小问题的方式，来解决整个问题。 动态规划解决方案从底部开始解决问题，将所有小问题解决掉，然后合并成一个整体解决方案，从而解决掉整个大问题。
动态规划（Dynamic Programming）是一种解决优化问题的算法思想，通常用于解决具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。动态规划将问题分解成一系列重叠的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
上一篇文末已经提到了记忆化搜索是动态规划（Dynamic Programming）的一种形式，是一种自顶向下（Top-Down）的思考方式，通常采用递归的编码形式；既然动态规划有自顶向下（Top-Down）的递归形式，自然想到对应的另外一种思考方式自底向上（ Bottom-Up ），也就是本篇要写的内容。
今天推荐一款可视化的动态规划的项目 PathPlanning，可以辅助我们理解动态规划的相关算法，一次性搞定它。
比如说一个算法问题使用暴力解法需要指数级时间，如果能使用动态规划消除重叠子问题，就可以降到多项式级别的时间，如果满足贪心选择性质，那么可以进一步降低时间复杂度，达到线性级别的。
什么是贪心算法呢？贪心算法可以认为是动态规划算法的一个特例，相比动态规划，使用贪心算法需要满足更多的条件（贪心选择性质），但是效率比动态规划要高。
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