线性代数，基础知识，温故知新。...L1范数： 矩阵中的每个元素绝对值之和，它是L0范数的最优凸近似，因此它也可以近似表示稀疏 F范数： 矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的优点在它是一个凸函数，可以求导求解...乘,其结果等于kA 行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列) 行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A 把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是...\overrightarrow{\mathbf{v}}构成的平面，其方向符合右手规则 叉积的模等于\overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf...) \in \mathbb{R}^{m \times n} ，定义： 阿达马积(Hadamard product)（又称作逐元素积） image.png 克罗内积(Kronnecker product
利用取整和求余函数，可以得到整数或精确到小数点后的几位，例如： ? 注：产生-10到10之间的随机数，其中round的作用是将小数取整，即四舍五入的作用 然后精确小数点到某一位是否就有想法了。。。...向量的三种积 三种积包括点积、叉积、混合积，它们在高等数学里代表的含义我就不多说了，想知道具体含义以及原理，就自行了解了，感觉讲这些太麻烦了，直接说在MATLAB中的实现，点积由函数：dot实现，叉积由函数...：cross实现；混合积就是由这点积和叉积的函数一起实现，顺序是：先叉积后点积，顺序不可颠倒，不然要出错，针对这三个来点例子： ?...可以看到D是由A和B转置的乘积，刚刚也说过了，乘法需要一个矩阵的列数要和后一个矩阵的行数保持一致，接着说下除法，除法分为左除和右除，就是“\”和”/”，这个就是线代里的左除和右除，即表达式两边同时左除或者右除...有没有发现，这边的左右除和刚刚矩阵的左右除是不是不一样，你品，你细品~ 当两个矩阵维数一致，可以直接进行乘方运算，指数以及底数当然也可以是标量： ?
叉积的几何意义： 对两个矢量进行叉积的结果，会得到同时垂直于这两个矢量的新矢量。...，两个矢量的叉积，会得到垂直于两个矢量的新矢量，但是与其垂直的有两个向量。...这时前面学到的左/右手坐标系就派上用场了，它用来确定叉积得到新矢量的方向朝哪边。...将大拇指与a同向，食指与b同向，中指指向的方向就是叉积结果的方向，所以使用左、右手就会得到不同的朝向，如下图： 同理，左右手法则也通用可以用来判断，如下图： 矩阵 矩阵的定义 矩阵（Matrix），...和矢量联系起来 矢量，我们通常写成：a = (x, y, z)，可以看出矢量与矩阵一样，也是个数组。将矢量按照矩阵的写法，可以看成是n x 1的列矩阵或1 x n的行矩阵，n对应矢量的维度。
线性代数学习请移步https://www.bilibili.com/video/av6731067 不得不说，这位up主讲的是真心好，尤其是点积叉积那一部分，直接刷新世界观QWQ。...线性相关 一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献 你有多个向量， 并且可以移除其中的一个而不减小张成的空间 这种情况发生时，我们称他们是“线性相关”的 ?...如果所有的向量都给张成的空间增加了新的维度，他们就被称为“线性无关” ? 矩阵 这介绍怎么这么鬼畜。。 ? ?...我对矩阵乘法的理解： 首先把$M_1$的$[e,g]$看成一个向量，$[f,h]$看成一个向量 左乘$M_2$实际是两个向量分别与$M_2$相乘 $M_2$可以看做将基底进行变换的矩阵 根据线性变换的性质...叉积 定义 视频中并没有明确的给出叉积的定义 大概就是算出两个向量的行列式来构成第三个向量 正负 对于$i \times j$，若$i$在$j$右侧，则叉积为正，否则叉积为负 ? 计算 ?
但是，这在大多数计算机图形应用程序中很常见。 二维平面中的任何位置都可以通过一对数字来标识。 但是，我们也可以将位置（4，3）视为与（0，0）点或原点的偏移量。...向量运算 您可以使用任何一种方法（x和y坐标或角度和大小）来引用矢量，但是为了方便起见，程序员通常使用坐标符号。...通过将速度添加到先前位置来找到新位置。 指向目标 在这种情况下，您有一个坦克，希望将其炮塔指向机器人。从机器人的位置减去水箱的位置即可得出从水箱指向机器人的向量。...a.cross(b)与给出的结果不同b.cross(a)。所得的矢量指向相反的方向。 计算法线 叉积的一种常见用法是在3D空间中找到平面或曲面的表面法线。...但是，在3D中，这还不够。我们还需要知道要旋转的轴。通过计算当前朝向和目标方向的叉积可以发现。所得的垂直向量是旋转轴。
向量的乘法向量乘法有两种，一种是点乘，一种是叉乘，它们有着不同的几何和物理含义，如果你阅读后不是很理解可以在[数学库演示效果]中点击向量乘法，查看它的实际应用, 阅读源码更容易理解其概念。...0;叉乘叉乘和点乘有两点不同,首先向量叉乘运算的结果不是标量，而是一个向量；其次，两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直，以二维空间为例，向量 a 和 b 的叉积，就相当于向量 a（蓝色带箭头线段...A，相当于对矩阵A中的列向量做线性组合，如下图：用列向量左乘矩阵A，相当于对矩阵A中的行向量左线性组合，如下图：根据上述概念扩展到矩阵乘法中的左乘与右乘, 思路是一样的，设置一个矩阵B，如下图:用矩阵B...来左乘矩阵A，如下图:因此矩阵B左乘矩阵A得到的新矩阵的每一行都是矩阵A的行向量的线性组合，同理,矩阵B右乘矩阵A得到的新矩阵的每一列都是矩阵A的列向量的线性组合下面列举一些McGeMatrix3d提供的方法...参数 行索引、列索引m1.getData(0, 0)如何在mxcad中使用矩阵，可以查看[数学库演示效果]中对点的旋转平移和缩放|对实体进行仿射变换|查看具体的效果和源码可以更容易理解使用。
a和b 的叉积是垂直于a和b的向量。如果a和b是向量的数组，则默认情况下，向量由a和b的最后一个轴定义，并且这些轴的尺寸可以为2或3。...参数表 叉积来了哈~ 向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。...平时见到的各种积： 这里可以简单的总结一下 对于这样的东西，一个好的可视化解释，可以让你记忆犹新： 叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。...据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 在数学里面，我们给定一种运算法则后会试图将它融入到现有的数学体系。...为什么说力矩，因为最后有叉积。 这是我们的判断是否处于平衡状态 因为要叉积计算，注意两个向量的个数 这里也注意内在，位置是矢量，分力也是矢量，所以可以计算。
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。如 【点乘】 在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。...向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。...【叉乘】 向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。...表示方法 两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。...性质 几何意义及其运用 叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。
关于局部敏感哈希算法，之前用R语言实现过，但是由于在R中效能太低，于是放弃用LSH来做相似性检索。...其中一种方法是利用随机投影树，对所有的数据进行划分，将每次搜索与计算的点的数目减小到一个可接受的范围，然后建立多个随机投影树构成随机投影森林，将森林的综合结果作为最终的结果。 ...利用这棵树对新的点进行最近邻计算时，首先通过计算该点与每次划分所用向量的点积，来找到其所属于的叶节点，然后利用这个叶节点内的这些点进行最近邻算法的计算。.... 2、相应拓展 Wright等人 已将随机投影的方法应用于视角变化的人脸识别，Nowak等人 采用随机投影的方法学习视觉词的相似度度量，Freund等人将随机投影应用于手写体识别上，取得了很好的效果。.... 3、随机投影森林构造向量+聚类 论文《基于随机投影的场景文本图像聚类方法研究》中，将每一个叶子节点当成一维特征，用叶子节点的特征点个数作为叶子节点的描述，最后得到测试图像的特征向量。
点积和顺序无关 两个向量相互垂直时，点积为0 两个向量方向相同时，点积为正；相反时，点积为负 ? ? 向量的叉积 叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量。...向量的叉积不满足交换律 对偶向量 给定一个向量，如果存在这样一个映射,它把给定的向量映射为一个实数,就说这个映射是对偶向量。...值域：某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R(A)来表示。 维数定理 对于 ? 矩阵 ? ，有 ? 其中 ? 表示X的维度。 列空间 矩阵 ?...奇异值分解可以用来干这个事情，奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法： 分解形式： ?...一般的，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网络中，我们称之为张量。 一阶张量可以用向量表示，二阶张量可以用矩阵表示。
主要包括查询解析器和查询优化器 执行引擎：基于优化后的查询计划，从存储引擎获取数据执行计算操作并返回结果 存储引擎：提供数据结构组织和存储方式，保证数据可靠、安全、高效的读取数据抽象数据模型数据模型是一种抽象方法...，tuple)：具体的实体列(属性，attribute)：表字段信息关系模型的三要素：关系运算集合：即关系代数，描述关系操作的集合，这些操作应用于关系（表），其运算对象和结果均为关系（表）关系数据结构：...指定列(属性)，列运算，从关系R中选择若干属性组成新的关系并∪：R∪S，在关系R或关系S或两者中的元素的集合，一个元素在并集中只出现一次，R和S是同类型的，对应的属性集(字段列表)相同、属性次序相同、属性名可不同交...∩：R∩S，在R和S中都存在的元素的集合，一个元素在交集中只出现一次，R和S是同类型的差-：R-S，在R中而不在S中的元素的集合，R∩S=R-(R-S)，R和S是同类型的笛卡尔积X：RXS，是R与S的无条件连接...笛卡尔积X：广义连接，所有行进行组合，字段拼接，行交叉组合，一般没有使用意义条件连接θ：在广义连接的结果中，施加条件，加以选择，留下符合要求的元组自然连接⋈：参与连接的表，必须具有相同的属性列，在某些公共属性上具有相同值的元组外连接
为叉乘的向量积，其计算公式如下： 3....，先计算好所要某种变换所需要的元素填写入矩阵，然后逐一将模型的所有顶点和矩阵相乘就可以将模型的所有顶点按所希望的变换为新的坐标（除非矩阵元素设置错误），这里可以看出，矩阵中的每个数据（元素）是至关重要的...矩阵中的数据排列可以使用列矩阵，也可以使用行矩阵，但在做乘法时必须要行列交叉做乘积，OPENGL中使用列矩阵。...合并方法是将多个矩阵相乘来计算出复合矩阵。三维变换中参与乘法运算的两个矩阵都必须是4X4矩阵，相乘时，每个新元素也通过点乘运算后获得，所得的新矩阵也是4X4的方阵。...矩阵相乘的计算公式分解： 复合矩阵计算方式为，将左边的矩阵M的每个行元素与右边矩阵N的每列元素进行点乘运算就是新矩阵C的对应的元素。
anchor-free目标检测，之前已经应用于基于anchor的方法。...通过将伪IoU度量合并到端到端单阶段anchor-free目标检测框架中，研究者观察到它们在pascal一般目标检测基准上的性能和MSCOCO的一致。...新提出的方法（单模型和单尺度）与其他最近最先进的anchor-free的方法比较，也取得了类似的性能。...首先预设一组不同尺度不同位置的固定参考框，覆盖几乎所有位置和尺度，每个参考框负责检测与其交并比大于阈值 (训练预设值，常用0.5或0.7) 的目标，anchor技术将问题转换为"这个固定参考框中有没有认识的目标...如检测结果所示，新提出的方法产生的假阳性更少，定位更准确。 © THE END
anchor-free目标检测，之前已经应用于基于anchor的方法。...通过将伪IoU度量合并到端到端单阶段anchor-free目标检测框架中，研究者观察到它们在pascal一般目标检测基准上的性能和MSCOCO的一致。...新提出的方法（单模型和单尺度）与其他最近最先进的anchor-free的方法比较，也取得了类似的性能。...首先预设一组不同尺度不同位置的固定参考框，覆盖几乎所有位置和尺度，每个参考框负责检测与其交并比大于阈值 (训练预设值，常用0.5或0.7) 的目标，anchor技术将问题转换为"这个固定参考框中有没有认识的目标...对于回归器子网络，在上图(c)中，它还遵循四个堆叠的3×3卷积层和256个卷积层，最后附加了每个空间位置具有4个滤波器的3×3卷积层。 损失函数 4 实验及可视化 一些检测结果的可视化。
如果我们将向量的长度归一化为1，就会得到单位向量 向量和向量之间是可以进行运算的，我们下面特别介绍向量和向量的点积和叉积： 向量的点积 向量的点积结果是一个数，通常用于确定向量之间的夹角。...根据上面的定义，我们知道了最重要的两点： 两个向量叉积结果是一个向量，且这个新向量和原始的两个向量都正交， 如果两个向量的方向一致，那么它们叉积结果向量的长度为0 叉积结果的数学表达略微复杂，但还是可以理解的...两个向量叉积结果是一个向量，且这个新向量和原始的两个向量都正交 如果两个向量的方向一致，那么它们叉积结果向量的长度为0 两个向量点积的结果是一个数。...，且这个新向量和原始的两个向量都正交 如果两个向量的方向一致，那么它们叉积结果向量的长度为0 两个向量点积的结果是一个数。...三维重建2——相机几何参数标定中所描述的，我们现在采用的方法是一种DLT方法，而这种方法在实际使用时需要首先对数据进行归一化。
2b 矩阵 - 向量积 分解为矩阵 - 向量积的矩阵乘法看起来像一个垂直平面（左侧参数与右侧参数每一列的积），当它水平扫过立方体内部时，将列绘制到结果上： 观察一个分解的中间值可能很有意思，即使示例很简单...这是后面会提到的 LoRA： 3 热身：表达式 我们可以怎样的方式将这种可视化方法扩展用于矩阵乘法的分解？...之前的示例可视化的是矩阵 L 和 R 的单次矩阵乘法 L @ R，但要是 L 和 / 或 R 本身也是矩阵乘法呢？ 事实证明这种方法可以很好地扩展用于复合表达式。...下面是将这种分区方法应用于未分区的注意力层的样子： 下面则是应用于以 BPT 方式分区的层的情况： 6d 可视化一次一个 token 解码的过程 在自回归式的一次一个 token 的解码过程中，查询向量由单个...注意 L @ R 中的垂直和水平模式： 7b 将 LoRA 应用于注意力头 LoRA 将这种分解方法应用于微调过程的方式是： 为每个权重张量创建一个要进行微调的低秩分解，并训练其因子，同时保持原始权重冻结
的点积，可以将向量w朝着过原点的向量v所在的直线进行投影，然后将w投影后的长度乘上向量v的长度（注意两个向量的的夹角）。...联想之前所学的线性变换过程，假设u是二维空间变换到一维空间后的基向量： 在第三讲中我们已经知道，一个2*2的矩阵，[[a,c],[b,d]]其实代表了一种线性变换，它把原来的[1,0]变换到[a,b]的位置...而根据矩阵乘法的计算方法，便可以将投影的计算方法和对位相乘再相加的方法联系起来。...叉积是通过两个三维向量生成一个新的向量，新的向量满足下面三个条件： 1）垂直于这两个向量所张成的平面 2）其长度等于这两个向量所形成的四边形的面积 3）其方向满足右手定则 右手定则如下： 接下来看看叉积的具体计算...接下来，深入理解叉积的含义，我们通过线性变换的眼光来看叉积。
但在二叉树中，由于每一个元素可以有两个后件（即两个子结点），因此，用于存储二叉树的存储结点的指针域有两个：一个用于指向该结点的左子结点的存储地址，称为左指针域；另一个用于指向该结点的右子结点的存储地址，...二叉树的遍历 二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树中的所有结点。二叉树的遍历可以分为以下三种： 前序遍历（DLR）： 若二叉树为空，则结束返回。...，成本昂贵； 软件工程 软件工程是应用于计算机软件的定义、开发和维护的一整套方法、工具、文档、实践标准和工序。...（4）广义笛卡尔积（×）：设关系 R 和 S 的属性个数分别为 n、m，则 R 和 S 的广义笛卡尔积是一个有（n+m）列的元组的集合。...每个元组的前 n 列来自 R 的一个元组，后m 列来自 S的一个元组，记为 R×S。 4.
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