有没有办法在一个完全图中找到最小完全子图？

在一个完全图中找到最小完全子图的问题是一个经典的图论问题，被称为最小完全子图问题（Minimum Complete Subgraph Problem）或者最小团问题（Minimum Clique Problem）。

最小完全子图是指在一个给定的完全图中，找到一个子图，使得子图中的每两个节点之间都存在一条边，并且该子图的节点数最小。

解决最小完全子图问题的方法有很多，其中一种常用的方法是使用图的枚举和剪枝算法。具体步骤如下：

枚举所有可能的子图，可以使用深度优先搜索（DFS）或者回溯算法来生成所有可能的子图。
对于每个生成的子图，判断是否满足完全子图的条件，即子图中的每两个节点之间都存在一条边。
如果满足完全子图的条件，记录下该子图的节点数，并更新最小节点数。
在枚举过程中，可以使用剪枝算法来减少不必要的搜索。例如，如果当前生成的子图的节点数已经大于最小节点数，则可以停止对该子图的进一步搜索。

最小完全子图问题在实际应用中具有广泛的应用场景，例如社交网络分析、生物信息学、图像处理等领域。

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4.在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。 5.在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。...除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。二 1.无向图中的极大连通子图称为连通分量。...有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。 3.一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n各顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。...具体办法是设置一个访问数组visited[n]，n是图中顶点的个数，初值为0，访问过后设置为1. 3.图的遍历：深度优先遍历和广度优先遍历。...比较：深度优先遍历更适合目标比较明确，以找到目标为主要目的的情况，而广度优先更适合在不断扩大遍历范围时找到相对最优解的情况。六（最小生成树）我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。

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在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念，它强调：要是子图；子图要是连通的；连通子图含有极大顶点数；具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。...所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。...图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。...邻接表的处理办法： 1.图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。

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再完备的定义，都没有图直观。所以我在图中画了几棵“树”。你来看看，这些“树”都有什么特征？...第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。...我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。...然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。...比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

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《大话数据结构》（二）

在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。...含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...如果对于图中任意两个顶点vi,vj属于E，vi和vj都是连通的，则称G是连通图（Connected Graph）无向图中的极大连通子图称为连通分量，强调：要是子图；子图要是连通的；连通子图含有极大顶点数...有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为...与深度优先遍历在时间复杂度上是一样的深度优先更适合目标比较明确，以找到目标为主要目的的情况，而广度优先更适合在不断扩大遍历范围时找到相对最优解的情况 D.最小生成树 1.把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树

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数据结构与算法-面试

简述直接选择排序直接选择排序：每次在未排序序列中找到最小元素，和未排序序列的第一个元素交换位置，再在剩余未排序序列中重复该操作直到所有元素排序完毕。排序算法不稳定。...简述最小生成树和其对应的算法对于有 n 个结点的原图，生成原图的极小连通子图，其包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。...克鲁斯卡尔算法：先构造一个只含 n 个顶点的子图 SG，然后从权值最小的边开始，若它的添加不使 SG 中产生回路，则在 SG 上加上这条边，如此重复，直至加上 n-1 条边为止。...n次循环至n个顶点全部遍历：从权值数组中找到权值最小的，标记该边端点k 打印该路径及权值如果存在经过顶点k到顶点i的边比v->i的权值小更新权值数组及对应路径简述堆堆是一种完全二叉树形式，其可分为最大值堆和最小值堆...最大值堆：子节点均小于父节点，根节点是树中最大的节点。最小值堆：子节点均大于父节点，根节点是树中最小的节点。简述set Set是一种集合。集合中的对象不按特定的方式排序，并且没有重复对象。

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《算法设计与分析》学习笔记

稀疏图：|E|≈|V| 稠密图：|E|≈|V|² 完全图：对于一个有向或者无向图，任意两个节点之间都有边邻接（对于有向图需要两个方向的边）。...如果该边的两个顶点已经在同一个连通分量中，则舍弃该边，以避免形成环路。重复步骤2，直到最小生成树中包含图中的所有顶点为止。...通过这种方式，克鲁斯卡尔算法能够找到一个连通图的最小生成树，并且保证总权值最小。算法的关键在于选择边的过程中保证不会形成环路，以确保最终生成的树是连通的。...换句话说，对于一个给定的NP问题，如果我们有一个解，我们可以在多项式时间内验证这个解的正确性。然而，我们并不能在多项式时间内找到一个解。...这是因为NP问题通常是非确定性多项式时间可解的，意味着我们可以猜测一个解并在多项式时间内验证它，但没有一种确定性的算法能够在多项式时间内找到一个解。

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为实习准备的数据结构（11）-- 图论算法集锦

（这里可能的顺序之一是：A, B, D, E, C, F, G, H, I, J, K） ---- 定义二：完全图、连通图、连通分量、生成树在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图...目前讨论的都是简单图。在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。...在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n* (n-1) 条边。...在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是连通的。如果对于图中任意两个顶点vi、vj ∈E， vi，和vj都是连通的，则称G是连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。...所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n 个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

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听说比K-means厉害多了：谱聚类

那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢？一个自然的想法就是最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是可以发现，这种极小化的切图存在问题，如下图： ?...我们选择一个权重最小的边缘的点，比如C和H之间进行cut，这样可以最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中"Best Cut"这样的最优切图呢？...那么是不是就没有办法了呢？注意观察 ? 中每一个优化子目标 ? ,其中h是单位正交基， L为对称矩阵，此时 ? 的最大值为L的最大特征值，最小值是L的最小特征值。...在PCA中，我们的目标是找到协方差矩阵（对应此处的拉普拉斯矩阵L）的最大的特征值，而在我们的谱聚类中，我们的目标是找到目标的最小的特征值，得到对应的特征向量，此时对应二分切图效果最佳。...注意到RatioCut切图的指示向量使用的是 ? 标示样本归属，而Ncut切图使用了子图权重 ? 来标示指示向量h，定义如下: ? 那么我们对于 ? ,有： ? 推导方式和RatioCut完全一致。

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简介有向图：若E是有向边（也称为弧）的有限集合时，则称为G为有向图无向图：若E是无向边（简称边）的有限集合时，则图G为无向图完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称为该图为无向完全图...含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称为该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边。...连通、连通图、连通分量：在无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称为v和w是连通的。若图G中任意两个顶点都是连通的，则称为图G为连通图，否则称为非连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。...若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。生成树、生成森林：连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。...图的应用图的应用主要包括：最小生成（代价）树、最短路径、拓扑排序和关键路径。最小生成树一个连通图的生成树是图的极小连通子图，它包含图中的所有顶点，并且只含尽可能少的边。

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干货：图解算法——动态规划系列

nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。...动态规划系列三：最长上升子序列 3.1 最长上升子序列题目：给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。...图13 运行上面的代码，我们发现使用的内存过大。我们有没有什么办法可以压缩内存呢？...图15 动态规划系列五：最小路径和在上节中，我们通过分析，顺利完成了“三角形最小路径和”的动态规划题解。在本节中，我们继续看一道相似题型，以求能完全掌握这种“路径和”的问题。...图19 同样，运行上面的代码，我们发现使用的内存过大。有没有什么办法可以压缩内存呢？

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数据结构【第六章知识小结】

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