c，从小到大枚举 i >= n，判断有没有不喜欢的数字。 贪心的去选应该不太成立，后面可能比所有可用的都大。 d，前n-a+b-1有i步向下走，剩余的步数，有n-1-i步向下走。...abc293 d，并查集，不在同一集合里ans2 --， 在同一集合里ans1 ++ e，分治/矩阵快速幂。分治：类似于(1+a^n/2)(1+a+...+a^n/2)的形式。...用公式法的话因为不一定有逆元，会错。 f，有两种思考方式： 枚举base，check01 枚举01，check 枚举base大小 前一种是O(n)的，后一种如果位数少，配合二分，复杂度较低。...d，a，b（a \le b）两个因子，容易知道a在1e6的范围内，所以枚举a，找满足条件最小的b，其实就是b= \lceil{m/a}\rceil，枚举过程中判下a与b的大小关系和b \le n，最后判无解...容易看出，离散化后是不大于n*n的区域，然后从大到小枚举行，从大到小枚举列，到遇到相交的点为空值时退出，显然这样包含最优解，后面需要想时间复杂度。
(Cantor’s way) 集合 是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称 为这个集合的元素。...,商的英文是quotient,所以用Q来表示 R表示集合理论中的实数集,而复数中的实数部分也以此符号为代表,英文是real numbe 1.2 集合表示 1.2.1属于关系 \alpha \in...一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。...1.3 集合基数 1.3.1 什么是集合基数 集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A| 若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set) 若一个集合的基数是无限的...两个无限集合的“大小”已经不能单纯使用集合中的元素个数来衡量。ℵ0 表示一切可数集合的基数，是一种抽象的表达。
优化问题，在本例中是最小化问题，可以用以下方式表示 给定:一个函数f:一个{\displaystyle \to}\to R，从某个集合a到实数 搜索:A中的一个元素x0，使得f(x0)≤f(x)对于A中的所有...在连续优化中，A是欧氏空间Rn的某个子集，通常由一组约束、等式或不等式来指定，这些约束、等式或不等式是A的成员必须满足的。在组合优化中，A是离散空间的某个子集，如二进制字符串、排列或整数集。...LINDO -(线性、交互式和离散优化器)用于线性规划、整数规划、非线性规划、随机规划和全局优化的软件包。“什么最好的!”Excel外接程序使用LINDO执行线性、整数和非线性优化。...TOMLAB 支持全局优化，整数规划，所有类型的最小二乘，线性，二次和无约束的MATLAB编程。TOMLAB支持gu、CPLEX、SNOPT、KNITRO和MIDACO等解决方案。...AIMMS AMPL APMonitor -免费的学术和商业用途一样，与朱莉娅，Python和MATLAB集成。
注：神经网络的误差函数是 l 一个标量，在求参数最优解时，我们需要计算 l 对向量偏置 b 的偏导数 ∂l/∂b (∂标量/∂向量)。 ∂标量/∂矩阵 当 y 是标量，x 是大小为 m×n 的矩阵。...注：此类偏导数比较少见，通常我们研究的是单变量输出对多变量输入，而不是反过来的。 ∂矩阵/∂标量 当 y 是大小为 m×n 的矩阵，x 是标量。 ?...该矩阵的大小是 m×n，称为雅克比 (Jacobian) 矩阵。看个简单的具体例子： ? 在神经网络中，y 和 x 有两种线性关系用的最多，如下： ? 根据具体问题，y 和 x 会写成列向量或行向量。...情况一：列向量 y 对矩阵 W 求导，其中 y = Wx 根据向量 y (n×1) 和矩阵 W (n×m) 的大小，∂y/∂W 是个三维张量，大小为 n×(n×m)。...情况二：行向量 y 对矩阵 W 求导，其中 y = xW 根据向量 y (1×n) 和矩阵 W (m×n) 的大小，∂y/∂W 是个三维张量，大小为 n×(m×n) 。
对于 中的每一个因子，有 我们希望R 和 尽可能的接近，因为每一个元素的差异可能为正，可能为负，我们采用所有元素差值的平方和作为R 和 差异的表征。...这样就会产生一个问题，当矩阵P ✖ Q 不断逼近 R 时，未评分项都会趋近于0。产生的结果就是 user 对这个 item 没有任何兴趣。实际应用中，我们并不会让P Q的乘积和R一模一样。...比如我们将所有已经评分的 (user，item，rating) 组成一个集合T（T也是常说的训练数据 training data），我们需要的是对这个集合内的元素偏差 之和 尽可能的小。...基于以上分析，我们将偏差 e 的定义域重新现在在集合T上，由此得到偏差的表达式为： 正则化 上面的算法是分解矩阵最基础的算法。还有更多的分解方法，当然这些方法也会更复杂。...(K, M) // 开始循环 while (true) { var R_ = P * Q // 偏差矩阵，如果用户评分为零，表示用户没有看过这个电影，对应的偏差值为
我们来简单分析一下，首先，我们枚举所有的元素，复杂度是 O(n^2) ，其次我们要遍历所有的set，判断元素是不是在所有的set中都能找到。复杂度是 O(n) 。...乘在一起，总体的复杂度在 O(n^3) 。这里的n的范围是1000，基本上一定会超时。 转变思路的原因是因为觉得在所有set中都出现这个判断条件有些复杂，因为对于每一个元素都需要遍历所有的set。...那有没有办法不用枚举直接判断呢？ 优化点就在这里，我们只要稍稍转变思路，存储一下每一个元素出现的list的数量。...同时给你一个下标从 0 开始大小为 n 的整数数组 persons ，persons[i] 是第 i 个人来看花的时间。...请你返回一个大小为 n 的整数数组 answer ，其中 answer[i]是第 i 个人到达时在花期内花的 数目 。
MAP的大小由存放图像的矩阵元素值域决定，如矩阵元素值域为[0，255]，则MAP矩阵的大小为256Ⅹ3，用MAP=[RGB]表示。...M、N分别表示图像的行列数，三个M x N的二维矩阵分别表示各个像素的R、G、B三个颜色分量。RGB 图像的数据类型一般为8位无符号整形，通常用于表示和存放真彩色图像，当然也可以存放灰度图像。...它的数据信息包括一个数据矩阵和一个双精度色图矩阵，它的数据矩阵中的值直接指定该点的颜色为色图矩阵中的某一种，色图矩阵中，每一行表示一种颜色，每行有三个数据，分别表示该种颜色中红、绿、蓝的比例情况，所有元素值都在...（1）采样 采样是将空间上连续的图像变换成离散的点，采样频率越高，还原的图像越真实。 采样把一幅连续图像在空间上分割成 M×N 个网格，每个网格用一亮度值来表示。一个网格称为一个像素。...此数字矩阵M×N就作为计算机处理的对象了。灰度级一般为0－255（8bit量化）。下图表示的是如何将连续的转化为离散的情况。
numsleft 包含 nums 中从下标 0 到 i - 1 的所有元素（包括 0 和 i - 1 ），而 numsright 包含 nums 中从下标 i 到 n - 1 的所有元素（包括 i 和...如果 i == 0 ，numsleft 为 空 ，而 numsright 将包含 nums 中的所有元素。...如果 i == n ，numsleft 将包含 nums 中的所有元素，而 numsright 为 空 。...那么当我们枚举i+1的划分位置时，相当于 集合当中增加了一个元素nums[i+1]，而 集合中少了一个元素nums[i+1]。我们只需要根据nums[i+1]的值去调整答案即可。...首先可以想到枚举，我们枚举出所有的子串，再分别计算出这些子串的hash值。但显然这样的复杂度很大，是 的复杂度，估算一下就知道，在这题当中是无法接受的，一定会超时。 那有没有什么办法可以优化呢？
、枚举实例、偏重程度等方面来确定，一般来说，隶属函数为值域在[0,1]上的分段函数 模糊集合 模糊集合的表示，个人认为最经典的就是zadeh表示法，它有很多好处(后面说)，其中有限模糊集A为 这里论域...],这里的R是m*n的二维矩阵，即模糊矩阵 如果模糊矩阵的元素值要么为1要么为0，则成为布尔矩阵 如果模糊方阵(m=n)的对角线元素都为1，则成为模糊自反矩阵 如果模糊矩阵 ,则等价于 如果模糊矩阵...之间的贴近度为N(A,B) 海明贴近度 用的是L1范数 有限集型 无限集型，即 欧几里得贴近度 用的是L2范数 即 黎曼贴近度 黎曼贴近度只需要确保函数黎曼可积就行，黎曼可积可以理解为在离散型的时候也可积...固定模糊集 A ，如果模糊集 B 越靠近 A ，会使内积增大而外积 减少，所以用格贴近度来刻画两个模糊集的贴近程度，即格贴近度为 识别规则 若给定一个未知的样本，如何识别它的隶属，有两种办法 最大隶属原则...A，为n个样本，m个特征 数据标准化处理，最好采用极差归一化方法 建立模糊集合，定义隶属度函数(一般采用 ) 生成模糊相似矩阵，矩阵元素这里可选格贴近度或者上述的其他贴近度 聚类主过程，迭代不同置信水平
形式上，\(I_{n} \in R^{n×n}\) 单位矩阵的结构很简单：所有沿主对角线的元素都是 1，而所有其他位置的元素都是0 矩阵 \(A\) 的 矩阵逆（matrix inversion）记作...这是对于任意 \(b\) 的取值都有解的充分必要条件 不存在一个 \(m\) 维向量的集合具有多于 \(m\) 个彼此线性不相关的列向量，但是一个有多于 \(m\) 个列向量的矩阵有可能拥有不止一个大小为...用 \(diag(v)\) 表示一个对角元素由向量 \(v\) 中元素给定的对角方阵。...U\) 是一个 m × m 的矩阵，\(D\) 是一个 m × n 的矩阵，\(V\) 是一个 n × n 矩阵。...(x^{(m)}\) 中的每一个，这些点是给定的数据集或者采样的集合。
因此，线性代数研究的就是向量集合上的各种运算，包括线性空间和线性变换，而矩阵就是将两者联系起来的纽带。 向量和基，在所有N维向量集合中施加满足交换律和结合律的加法和数乘运算，一个线性空间就诞生了。...但我们不能直接就说该线性空间是N维的，因为线性空间的维数取决于该集合中基的个数，基就是该向量集合中的最大无关组，集合中的任意一个向量都可以用基来线性表示，所以基可以看成是该线性空间上的坐标轴，而向量就是在此坐标轴上的坐标...因为自相关特性，后面的元素可以由前面的元素线性表示，看到线性就应该想到建立线性模型使用矩阵求解，因此再递推一项f(n+1)=0·f(n)+1·f(n+1)，就可以得到一个自相关的线性映射 ?...二、线性代数进阶： 在一个线性空间中，对于线性变换T，若取定一组基 ? ，一定能找到矩阵M来描述这组基的运动轨迹。同时，若取另一组基 ? ，则可以用矩阵N来表示。...那么我们有没有办法从原始特征中挑选彼此间不相关的特征，或者将原始特征映射到一个新的维度挑选能包含最大信息量的特征？前者在某种程度上属于线性回归中要解决的多重共线性问题，而后者是我们现在要讨论的PCA。
如果每个元素都属于R，向量有n个元素，向量属于实数集R的n次笛卡儿乘积构成集合，记ℝⁿ。明确表示向量元素，元素排列成一个方括号包围纵列。向量看作空间中点。每个元素是不同坐标轴上的坐标。...索引向量元素，定义包含元素索引集合，集合写在脚标处。用符号-表示集合补集索引。 矩阵(matrix)。一个二维数组。每个元素由两个索引确定。粗体大写变量名称。...如果实数矩阵高度为m，宽度为n，A∊ℝ⁽m*n⁾。表示矩阵元素，不加粗斜体形式名称，索引逗号间隔。A1,1表示A左上元素，Am,n表示A右下元素。“:”表示水平坐标，表示垂直坐标i中所有元素。...张量A中坐标(i,j,k)元素记Ai,j,k。 转置(transpose)。矩阵转置，以对角线为轴镜像。左上角到右下角对角线为主对角线(main diagonal)。A的转置表为A⫟。...Ax=b，A∊ℝ⁽mn⁾是已知矩阵，b∊ℝ⁽m⁾是已知向量，x∊ℝⁿ是求解未知向量。向量x每个元素xi都未知。矩阵A第一行和b中对应元素构成一个约束。 单位矩阵、逆矩阵。
向量被称为向量空间的对象的片段。向量空间可以被认为是特定长度（或维度）的所有可能向量的全部集合。三维实值向量空间（用 ℝ^3 表示）通常用于从数学角度表示我们对三维空间的现实世界概念。 ?...为了明确识别向量的必要成分，向量的第 i 个标量元素被写为 x [i]。 在深度学习中，向量通常表示特征向量，其原始组成部分定义特定特征的相关性。...这些元素中可能包括二维图像中像素集强度的相关重要性或者金融工具的横截面的历史价格值。 Python 中定义向量和一些操作： ? ? 矩阵 矩阵是由数字组成的矩形阵列，是二阶张量的一个例子。...如果 m 和 n 均为正整数，即 m, n ∈ ℕ，则矩阵包含 m 行 n 列，共 m*n 个数字。 完整的矩阵可写为： ? 将所有矩阵的元素缩写为以下形式通常很有用。 ?...矩阵-标量相加 将给定的标量加到给定矩阵的所有元素。 ? 矩阵-标量相乘 用给定的标量乘以给定矩阵的所有元素。 ? 矩阵乘法 矩阵 A 与矩阵 B 相乘得到矩阵 C。 ? ?
,s^{(m)}\} 表示会话集合，每个会话s中包含一系列的交互商品，商品集合表示为 I=\{i_1,...,i_n\} ，序列s表示为 s=(s_1,......交互的类型有很多，包括点击、购买等，这里简化为是否交互，不区分具体类型，定义一个矩阵 X \in \mathbb{R}^{m\times n} ，m是会话集合大小，n是商品集合大小，其中的元素等于1表示有交互...SLIM是这方面的开创新工作，它制定了一个线性模型，该模型约束 B 中的所有元素都是非负且零对角线的。...使用这两个矩阵的随机游走是一个随机过程，也可以看作是均匀离散时间上商品的马尔可夫链。...为了在随机游走中利用商品转移矩阵，每个元素应该是从一个节点到另一个节点的转移概率。
朱莉娅的类型系统是动态的，但是通过表明某些值属于特定类型，可以获得静态类型系统的某些优点。这对于生成有效的代码有很大的帮助，但更重要的是，它允许对函数参数类型的方法分派与该语言进行深度集成。...朱莉娅类型系统的一个特别与众不同的特征是，具体类型不能互为子类型：所有具体类型都是最终类型，并且只能具有抽象类型作为其超类型。虽然这乍看起来似乎过分地限制了它，但它带来了许多有益的结果，但缺点却很少。...朱莉娅类型系统的其他高级方面应在前面提到： 对象值和非对象值之间没有划分：Julia中的所有值都是真正的对象，其类型属于单个完全连接的类型图，其所有节点均属于类型。...朱莉娅的字体系统被设计为功能强大且富有表现力，但清晰，直观且不引人注目。许多Julia程序员可能永远都不会觉得需要编写显式使用类型的代码。...NTuple{N,T}是一个方便的别名，例如Tuple{Vararg{T,N}}，一个元组类型正好包含type的N元素T。 单例类型 这里必须提到一种特殊的抽象参数类型：单例类型。
数学运算和基本函数 Julia提供了所有其数字原始类型的基本算术运算符和按位运算符的完整集合，并提供了标准数学函数的全面集合的可移植且有效的实现。 ?...x 否定 改变true以false反之亦然 朱莉娅的晋升系统自然而自动地对参数类型混合的算术运算“起作用”。有关升级系统的详细信息，请参见转换和升级。...或的一元运算符√，也有一个相应.√的元素将其按元素应用。....^ b将其解析为“点”调用 (^).(a,b)，该调用执行广播操作：它可以组合数组和标量，相同大小的数组（逐个执行操作），甚至不同形状的数组（例如，组合行向量和列向量）产生矩阵）。....< 1给出一个布尔数组，其条目为true，其中的对应元素A在0和1之间。
矩阵 \(A_{nm}\)表示一个\(n\)行\(m\)列的矩阵。.../上三角矩阵的行列式值是所有对角线上元素的乘积 证明： 大概感性的理解一下吧，考虑行列式的定义中，我们需要枚举\(a_{i{p_i}}\)，那么当\(i = n\)(也就是最后一行)，我们只有一种取值(...) 有了这些性质，我们就可以用高斯消元在\(O(n^3)\)的时间复杂度内求出矩阵行列式的值 伴随矩阵 余子式： 将方阵的第\(i\)行和第\(j\)行同时划去，剩余的一个\(n - 1\)阶的矩阵的行列式值称为元素...\(a_{ij}\)的余子式，通常记为\(M_{ij}\) 代数余子式： 元素\(a_{ij}\)的代数余子式为\(C_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}\) 拉普拉斯展开 对于一个方阵...V\)的维度，同时\(v\)也是\(V\)的最小生成集合，同时也是极大线性无关组 对于一个矩阵\(A\)，把它的每一行看做一个行向量，那么它的极大线性无关组大小称为\(A\)的行秩，同理也可以定义\(A
---- 对一个串x∈B^n，我们定义x的weight=x里1的个数，记号写作|x|（和集合的势写法一致）。...对一个encoding function：B^m -> B^n，定义其minimum distance（最小距离）为对其编码后的所有B^n的串中的最小汉明距离。...我们要记住几个说法：d:B^n -> B^m被称作（n，m） decoding function associated with e，就是我们常见的解码函数，且它是onto的（即所有B^m的串都能被涵盖...它满足这样一个关系 若要证明，只需取B^n中的一个串y，然后写出d(y) = y1y2……ym，然后取B^m中的一个串b，写出（d◦e）(b) = b即可证得上图式子成立。...这一定理被用于快捷地解决maximum function的纠错数目。 coset leader：即一个群里的coset中weight最小的那个元素。记号写为ε。
image.png 离散卷积可以看作矩阵的乘法，然而，这个矩阵的一些元素被限制为必须和另外一些元素相等。例如，对单变量的离散卷积，矩阵的每一行中的元素都与上一行对应位置平移一个单元的元素相同。...除了这些元素相等的限制以外，卷积通常对应着一个非常稀疏的矩阵（一个几乎所有元素都为令的矩阵）。这是因为核的大小通常要远小于输入图像的大小。...如果有m个输入和n个输出，那么矩阵乘法需要mxn个参数，并且相应的算法时间复杂度为 ? 。如果我们限制每一个输出拥有的连接数为k，那么稀疏的连接方法只需 ? 个参数以及 ? 的运行时间。...），但是它显著地把模型的存储需求降低至k个参数，并且k通常要比m小很多个数量级。因为m和n通常有着大致相同的大小，k在实际中相对于mxn是很小的。...在这种情况下，多层感知机对应的邻接矩阵是相同的，但每一个连接都有它自己的权重，用一个6维张量W来表示，W的索引分别是：输出的通道i，输出的行j和列k，输入的通道l，输入的行偏置m和列偏置n。
，优先挑选比值高的商品 这三种策略都不能保证得到最优解 蛮力枚举 枚举所有商品组合： 2^n-1 种情况 检查体积约束 递归函数KnapsackSR(h,i,c)： 在第 h 个到第 i 个商品中...动态规划 从蛮力枚举到带备忘递归 优化子问题解，避免重复计算 构造备忘录P[i,c]，P[i,c]表示在前i个商品中选择，背包容量为c时的最优解 输入：商品集合{h,......cdot m) 最长公共子串 子串：给定序列中零个或多个连续的元素组成的子序列 蛮力枚举 序列X和序列Y各选择一个位置 依次检查元素是否匹配： 元素相等则继续匹配 元素不等或某序列已达端点...,p_n ， U_i 的维度是 p_{i-1}\times p_i 输出： 找到一种加括号的方式，使得矩阵链标量乘法的次数最少 如何保证不遗漏最优分割位置： 枚举所有可能位置 i..j-1 ，共...=j 时，矩阵链只有一个矩阵，乘法次数为0。
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