本文全面深入地探讨了梯度下降及其变体——批量梯度下降、随机梯度下降和小批量梯度下降的原理和应用。...该算法的核心思想非常直观：找到一个函数的局部最小值（或最大值）通过不断地沿着该函数的梯度（gradient）方向更新参数。 什么是梯度下降？ 简单地说，梯度下降是一个用于找到函数最小值的迭代算法。...在机器学习中，这个“函数”通常是损失函数（Loss Function），该函数衡量模型预测与实际标签之间的误差。通过最小化这个损失函数，模型可以“学习”到从输入数据到输出标签之间的映射关系。...Optimized theta:", theta) 输出： Optimized theta: tensor([[0.5780], [0.7721]], requires_grad=True) 批量梯度下降的主要优点是它的稳定性和准确性...这既是优点也是缺点：不稳定性可能帮助算法跳出局部最优解，但也可能使得收敛速度减慢。 在接下来的部分，我们将介绍一种折衷方案——小批量梯度下降，它试图结合批量梯度下降和随机梯度下降的优点。
然而，我们想要达到的全局最小值点，却是无法实现的。现在，如果你将权值初始化在 A 点，那么你将会收敛到局部极小值点，而且，一旦你收敛到这个极小值点，梯度下降将没法使你离开这里。...尽管它在 x 方向上是一个最小值点，但是它在另一个方向上是局部最大值点，并且，如果它沿着 x 方向变得更平坦的话，梯度下降会在 x 轴振荡并且不能继续根据 y 轴下降，这就会给我们一种已经收敛到最小值点的错觉...随机性的解救 那么，我们如何在尝试收敛到全局最优值的同时摆脱局部极小值和鞍点呢？答案是使用随机梯度下降。 到目前为止，我们一直使用通过对训练集上的所有可能样本的损失值求和得到的损失函数进行梯度下降。...即使我们陷在「一个样本损失函数」的局部最小值点，下一个随机采样点的「一个样本损失函数」的损失情况也可能不同，从而使我们能够继续移动。 当它收敛的时候，它会收敛到几乎所有「一个样本损失函数」的最小值。...余弦退火与重启相结合 最近的一篇论文介绍了一种叫做「随机加权平均」的技术。作者提出了一种方法，首先收敛到最小值，缓存权重，然后将学习率恢复到更高的值。
BGD批量梯度下降算法 是一种基于梯度的优化方法，其工作原理是通过多次迭代来寻找误差函数的最小值。在每次迭代中，算法会基于一组训练样本计算误差函数的梯度，并在此基础上更新模型参数。...由于BGD算法在每次迭代时都需要计算所有训练样本的梯度，因此它通常会对内存和计算资源产生较大的压力。 相对于其他梯度下降算法，BGD具有以下优点： 能够在较短时间内获得较好的收敛效果。...由于每次迭代都需要计算所有训练样本的梯度，因此算法的收敛速度往往较慢。此外，BGD算法不容易处理在线学习问题，因为在线学习通常需要对单个样本进行计算，而批量梯度下降算法需要对所有样本进行计算。...SGD：大部分时候你向着全局最小值靠近，有时候你会远离最小值，因为那个样本恰好给你指的方向不对，因此SGD是有很多噪声的，平均来看，它最终会靠近最小值，不过有时候也会方向错误，因为SGD永远不会收敛，而是会一直在最小值附近波动...由于上述两种因素的矛盾， Batch_Size 增大到某个时候，达到时间上的最优。 由于最终收敛精度会陷入不同的局部极值，因此 Batch_Size 增大到某些时候，达到最终收敛精度上的最优。
基于以上概念我们进一步了解批量梯度更新 BGD，顾名思义，它就是一次性把所有样本同时计算之后得到梯度值，然后更新参数。这种方法十分简便，它对凸函数可以收敛到全局最优值，对于非凸函数则收敛到局部最优值。...而基于梯度更新也意味着面临一些挑战： 选择恰当的初始学习率很困难，学习率太大会妨碍收敛，导致损失函数在最小值附近振荡甚至偏离最小值； 非凸的损失函数优化过程存在大量的局部最优解或鞍点； 参数更新采用相同的学习率...首先了解一下牛顿法（二阶优化方法），它利用 Hessian 矩阵的逆矩阵替代人工设置的学习率，在梯度下降的时候可以完美的找出下降方向，不会陷入局部最小值。...Adagrad 最大的变化是没有学习率的设置，但是到训练后期进入局部最小值雷区之后就会反复在局部最小值附近抖动。...抛砖引玉，期待你们的更优答案： 1.SGD + Momentum 被大量用在CNN 、NLP 问题上 2.Adam + SGD Adam加速收敛过程，可能陷入到局部最小值或无法收敛，此时用小学习率
批量梯度下降能够保证更好的收敛到误差平面全局最小值，并且到达一个非凸误差平面的局部最小值。...然而批次梯度下降算法收敛到一个局部最小点后，参数就不会再改变（参数确定，认为达到条件，参数被放置于该点，就是这个意思）。...另一方面，当这个更加复杂化的收敛达到理想最小值点时，随机梯度下降算法也可能使它继续跳过这个点（有利总有弊么，没毛病！）。...然后经过验证，当我们根据步数的增加逐步降低学习速率（步长）时，随机梯度下降一定会最终收敛到非凸误差平面的局部最小值和凸优化的全局最小值（在大多数情况下是非凸的），这种效果和批次下降是一样的（最后的效果一样...我们想要一个更聪明的球——它应该有向哪里走的概念，这样的话在山坡再次升起之前球可以做减速（这样就不会冲过最小值点）。 Nesterov 加速梯度（NAG）算法提供了一种对动量预测的方法。
批量梯度下降法保证收敛于凸误差曲面的全局最小值和非凸曲面的局部最小值。 2.2 随机梯度下降 相反，随机梯度下降(SGD)会更新每个训练示例x(i)和标签y(i)的参数。 ?...SGD执行频繁的更新，其方差很大，导致目标函数波动很大，如图1所示。 当批量梯度下降收敛到参数所处盆地的最小值时，SGD s波动一方面使其能够跳到新的、潜在的更好的局部最小值。...另一方面，这最终会使收敛变得复杂到最小值，因为SGD将继续超调。...然而，已有研究表明，当我们缓慢降低学习速率时，SGD表现出与批量梯度下降相同的收敛行为，几乎可以肯定分别收敛到非凸优化和凸优化的局部最小值或全局最小值。...学习速率过小会导致收敛速度过慢，而学习速率过大会阻碍收敛，导致损失函数在最小值附近波动甚至发散。
该论文研究了深度线性神经网络上梯度下降的情况，能保证以线性速率收敛到全局最小值。...此外，基于轨迹的分析也正开始涉足图景方法之外的领域——对于线性神经网络情况，他们已经成功确立在任意深度下梯度下降到全局最小值的收敛性。...考虑到数据-标签分布各有不同（他们称之为「targets」），Bartlett 等人展示了可证明梯度下降以线性速率收敛到全局最小值的案例——在 ?...具体而言，我们分析了任意不包含「瓶颈层」的线性神经网络的梯度下降轨迹，瓶颈层是指其隐藏维度不小于输入和输出维度之间的最小值 ? ；还证明了以线性速率到全局最小值的收敛性。...图景分析目前仅限于浅（两层）模型，而基于轨迹的方法最近已经处理了任意深度的模型，证明了梯度下降能以线性速率收敛到全局最小值。但是，这一成功仅包含了线性神经网络，还仍有很多工作有待完成。
Benjamin Grimmer 我们接下来看一看这项工作的具体内容。 研究概览 本文通过一种计算机辅助分析技术，在平滑凸优化中建立了可以证明更快的梯度下降收敛速度。...通过相关 SDP 可行解的存在，作者证明了应用非恒定步长模式后的下降保证，从而获得更快收敛保证。...Grimmer 让计算机进行了数百万次步长序列的排列，从而找到那些最快收敛到答案的序列。 Grimmer 发现，最快的序列总是有一个共同点，即中间的一步总是很大，其大小取决于重复序列中的步骤数。...不过，虽然这些见解可能会改变研究人员对梯度下降的看法，但可能不会改变这项技术目前的使用方式。...不仅最大的一步总是恰好在中间，而且它的两边也会出现同样的模式：继续放大并细分序列，会得到一个「几乎分形的模式」，大的步长被小的步长包围。
，学习率 Learning Rate，它影响了每一步的步长； 如果学习率太低，算法需要经过大量迭代才能收敛，这将耗费很长时间： 反之，如果学习率太高，这会导致算法发散，值越来越大，最后无法找到好的解决方案...有的可能看着像洞、像山脉、像高原或者是各种不规则的地形，导致很难收敛到最小值。 如果随机初始化，算法从左侧起步，那么会收敛到一个局部最小值，而不是全局最小值。...成本函数将不再是缓缓降低直到抵达最小值，而是不断上上下下，但是从整体来看，还是在慢慢下降。随着时间的推移，最终会非常接近最小值，但是即使它到达了最小值，依然还会持续反弹，永远不会停止。...开始的步长比较大（这有助于快速进展和逃离局部最小值），然后越来越小，让算法尽量靠近全局最小值，这个过程叫做模拟退火：因为它类似于冶金时融化的金属慢慢冷却的退火过程。...它们最终都接近最小值，但是批量梯度下降的路径实际上是在最小值处停止，而随机梯度下降和小批量梯度下降都继续走动。
实际上，当你运行随机梯度下降时，和批量梯度下降相比收敛的形式是不同的。随机梯度下降所做的就是连续不断地在某个区域中朝着全局最小值的方向徘徊，而不是直接达到全局最小值。...因此，通常我们用随机梯度下降法能得到一个很接近全局最小值的参数。 最后一点细节，在随机梯度下降法中，我们有一个外层循环（Repeat 这一层），它决定了内层循环的执行次数。...因为学习速率更小了，所以下降的更慢了，但也得到了一个很好的收敛结果。这是因为，随机梯度下降算法不是直接收敛到全局最小值，而是在一个范围内反复震荡，最后逐渐接近全局最小值。...如果，你想让随机梯度下降更好地收敛到全局最小值，你可以做的就是让学习速率α 的值随时间变化逐渐减小。所以，一种典型的方法就是，让 α 等于： ?...但如果你能很好地调整这些参数，最后得到的图像，你的算法还是会在最小值附近震荡，但它会更接近最小值。因为这时，你减小了学习速率，那么这个震荡也会越来越小，直到收敛到非常靠近全局最小的地方： ?
你们都知道局部最小值是我们的克星，所以我一直在讨论这个问题，那就是如何避免局部最小值。但问题并不明显，有很多机器学习的问题没有局部最小值。即使你有局部最小值，梯度下降似乎可以轻松回避它们。...现在我们来讨论一个凸问题，是一个类似碗的形状。我们希望寻找f(x)的最小值。这是梯度下降方程。可以证明它是收敛于全局最优解的，以1/k的速率，对于平滑函数。...最重要的是，达到最优所需的迭代的次数是独立于维度的。这是一个惊人的数学事实。也许并不是所有人都这样认为，但事实的确如此。这意味着你可以运行无限维度的梯度下降，仍然不会减慢它的速度。...这就给出了多项式d的三次方的收敛速度，所以你不能这样做，你不能用一个扁平的饼状区域来代替它，你要用真正的饼状区域，但这就涉及到一些很深奥的微分几何，所以我们转而使用扩散过程。...扰动梯度下降，它确实能够脱离鞍点，高效性只是它的一方面，所以这有些振奋人心，你不需要去计算二阶信息，所以我们这种基于梯度的方法是很优秀的。
Feature Scaling（特征缩放） 如果你有一个机器学习问题，这个问题有多个特征，如果你能确保这些特征都处在一个相近的范围，确保不同特征的取值在相近的范围内，这样梯度下降法就能更快地收敛。...而如果你用这个代价函数来运行梯度下降的话，你要得到梯度值，最终可能需要花很长一段时间并且可能会来回波动，然后会经过很长时间，最终才收敛到全局最小值。...如果你用这样的代价函数来执行梯度下降的话，可以从数学上来证明，梯度下降算法就会找到一条更捷径的路径通向全局最小，而不是像刚才那样沿着一条让人摸不着头脑的路径，一条复杂得多的轨迹，来找到全局最小值。...因此，通过特征缩放，通过"消耗掉"这些值的范围，在这个例子中，我们最终得到的两个特征 x1 和 x2 都在0和1之间，这样你得到的梯度下降算法就会更快地收敛。...[image] 总结： 如果α太小：收敛速度慢。 如果α太大：可能不会在每次迭代中减少，因此可能不会收敛。
梯度下降(迭代求最优值) 步长（学习率\alpha）决定了梯度下降的速度，梯度会下降到直至收敛convergence（也就是到局部最小值才停止），所以太大的步长会导致在坡底(局部最小值)震荡 初始化起点也能影响梯度下降的速度和得到的局部最小值...，最终影响结果 如果刚好初始化值为局部最小值，则代价函数J_\theta的值为0 梯度下降时，学习率\alpha不需要变更，因为在梯度下降的过程中，代价函数的梯度\partial_{J}会随着慢慢下降而减小...function)与线性回归 凸函数没有局部最优，只有一个全局最优，像这种函数，只要使用线性回归总是能收敛到全局最优 1.2.3 批梯度下降法(Batch Gradient Descent) 考虑全局的一种方法...1.2.5 小技巧 如何能够快速判断梯度下降是否正在有效工作/收敛呢？...但是该方式的缺点是通常这个阈值不好选择 1.2.5.1 总结 \alpha学习率太小会导致梯度下降速度很慢 \alpha太大会导致梯度反向增长，震荡，甚至是收敛速度慢等 设置较小的学习率总能收敛，但是速度会偏慢
一、梯度下降算法基础回顾在探讨海森矩阵之前，我们先来回顾一下梯度下降算法的基本原理。梯度下降算法的目标是寻找一个函数的最小值，它的核心思想是基于函数在某一点的梯度来决定下一步的移动方向。...简单来说，梯度是函数在某一点的变化率，它指向函数值上升最快的方向。而梯度下降算法则是沿着梯度的反方向，也就是函数值下降最快的方向，不断地更新当前的点，逐步逼近函数的最小值。...因为对于凸函数，我们可以保证从任意初始点出发，梯度下降算法最终都能收敛到全局最优解。而如果函数不是凸函数，梯度下降算法可能会陷入局部最优解，无法找到全局最优。...通过利用海森矩阵，我们可以在一定程度上克服这些问题，提高算法的收敛速度和稳定性。（3）调整学习率学习率是梯度下降算法中的一个重要超参数，它决定了每次迭代中参数更新的步长。...它从判断函数凸性、优化搜索方向到调整学习率等多个方面，深刻地影响着梯度下降算法的行为和效果。
缺点： （1）准确度下降。由于即使在目标函数为强凸函数的情况下，SGD仍旧无法做到线性收敛。 （2）可能会收敛到局部最优，由于单个样本并不能代表全体样本的趋势。 ...SGD，每次更新参数只需要一个样本，因此若使用这30W个样本进行参数更新，则参数会被更新（迭代）30W次，而这期间，SGD就能保证能够收敛到一个合适的最小值上了。...（2）每次使用一个batch可以大大减小收敛所需要的迭代次数，同时可以使收敛到的结果更加接近梯度下降的效果。...使其能够跳出局部最小值，继续沿着梯度下降的方向优化，使得模型更容易收敛到全局最优值 batcha_size的选择带来的影响： （1）在合理地范围内，增大batch_size的好处： a....Fixed Learning Rate一般取0.1或者0.1附件的值，可能不是最好但是一定不会太差 4.2选取最优的初始值θ 首先，初始值θ不同，获得的代价函数的最小值也可能不同，因为每一步梯度下降求得的只是当前局部最小而已
该技术在1950年代首次提出，可以通过观察参数变化如何影响目标函数，选择一个降低错误率的方向来更新模型的每个参数，并且可以进行继续迭代，直到目标函数收敛到最小值。 SGD是梯度下降的一种变体。...上图来自cs231n，根据上面的描述Adam能迅速收敛到一个“尖锐的最小值”，而SGD计算时间长步数多，能够收敛到一个“平坦的最小值”，并且测试数据上表现良好。 为什么ADAM不是默认优化算法呢?...但SGD具有统一尺度，训练误差小，在测试数据推广时效果也会好 Adam使用的指数移动平均并不能使学习率单调下降，这将导致它不能收敛到最优解，从而导致泛化性能较差。...Adam学习到的学习率在某些情况下可能太小而不能有效收敛，这会导致它找不到正确的路径而收敛到次优点。 Adam可能会大幅提高学习率，这不利于算法的整体性能。...对于这种泛化差距的一种经验解释是，自适应梯度算法倾向于收敛到尖锐的极小值，其局部地区的曲率较大，所以泛化性能较差，而SGD则倾向于寻找平坦的极小值，因此泛化较好。
研究相当令人惊讶地表明：仅仅使用适当扰动就足以使GD非常高效地避开鞍点；实际上，从收敛速率对维度依赖上来看，几乎就像是鞍点不存在一样。 扰动梯度下降 在经典梯度下降领域，给定一个函数 ?...而且它们也无法保证当用户观察到一段相对平坦的学习曲线时，究竟是在鞍点附近还是已经收敛到局部最小值。最后，它们更无法保证 GD 在非凸优化中能像在凸优化中那样快速解决高维问题。...经典理论研究收敛到一阶驻点 ∇f(x)=0 的速度，是通过研究找到 ϵ-一阶驻点 （|∇f(x)|≤ϵ）所需的步数。与此类似，我们研究避开严格鞍点的速度，也就是收敛到二阶驻点 ?...因此，该定理证明了在一个附加的 Hessian-Lipschitz 条件下，一种有扰动的 GD 变种能快速收敛到二阶驻点，且所需的时间与 GD 收敛到一阶驻点所需的时间几乎一样。...我们通过实验确认了这种现象，比如，上面右图中 d=10 的情况。 结论 在这篇文章中，我们展示了一种梯度下降的扰动形式可以快速收敛到二阶驻点，且速度和标准梯度下降收敛到一阶驻点的速度一样快。
本周主要介绍了梯度下降算法运用到大数据时的优化方法。...如图示，因为每次只更新一个权重，所以相比于批量梯度下降的收敛路线，随机梯度下降要更加崎岖迂回一些。而且每次收敛的结果也不一定相等。...因此算法虽然会逐渐走向全局最小值的位置，但是可能无法站到那个最小值的那一点，而是在最小值点附近徘徊。...2）Mini-Batch Gradient Descent 上面的随机梯度下降的收敛过程显得比较任性，所以综合前面提到的两种梯度算法的优点提出了小批量梯度下降算法，即每次考虑一小批量的数据来更新权重，算法如下...这就是在线学习机制，然后就像我们所看到的，我们所使用的这个算法与随机梯度下降算法非常类似，唯一的区别的是，我们不会使用一个固定的数据集，我们会做的是获取一个用户样本，从那个样本中学习，然后丢弃那个样本并继续下去
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