求数值距离对称矩阵中的对角平方坐标 - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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Excel公式技巧91：求对角线单元格中的数值之和

Excel公式与函数非常强大，往往能够实现你认为不可能的需求。例如下图1所示的例子，我只想求单元格区域B5:F9中对角线单元格中的数值之和。 ?...因为我们要求的是对角线上的单元格数值之和，对于矩阵来说，对角线上的行列号相等，在本例中，行号从第5行开始至第9行，列号从第2列开始至第6列，相差3，所以将列号+3，使行列号相等，从而能够获取相应的数值。...公式中， B5:F9 将解析为一个5行5列的矩阵: {10,0,0,0,0; 0,20,0,0,0; 0,0,30,0,0; 0,0,0,40,0; 0,0,0,0,50 } 而ROW(B5:F9)将解析为列矩阵...： {5;6;7;8;9} COLUMN(B5:F9)+3 解析为行矩阵： {2,3,4,5,6}+3 即： {5,6,7,8,9} 对于 {5;6;7;8;9}={5,6,7,8,9} 解析为： {TRUE...FALSE; FALSE,FALSE,TRUE,FALSE,FALSE; FALSE,FALSE,FALSE,TRUE,FALSE; FALSE,FALSE,FALSE,FALSE,TRUE } 上述两个矩阵相乘

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深度学习系列笔记(二)

张量(tensor) 一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中。...每个实对称矩阵都可以分解成特征向量和特征值： A=Q\Lambda Q^T 。其中 Q 是 A 的特征向量组成的正交矩阵，\Lambda 是对角矩阵。...U和V都定义为正交矩阵，D为对角矩阵，注意D不一定是方阵。对角矩阵D对角线上的元素称为矩阵A的奇异值。 A的非零奇异值是A^TA特征值的平方根，同时也是AA^T特征值的平方根。...SVD最有用的性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。...当行数多于列数时，可能没有解，此时通过求伪逆得到的x使得Ax和y的欧几里得距离\begin{Vmatrix} Ax-y\end{Vmatrix}_2最小.

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教程 | 从特征分解到协方差矩阵：详细剖析和实现PCA算法

样本标准差即样本方差的平方根。即每一样本点到样本均值之间的平均距离。n 个样本的方差却只除以 n-1 是因为样本只是真实分布的估计量，样本方差也只是真实方差的估计量。...如下所示，样本的标准差 s 和方差 var(X) 都是无偏估计： ? ? 因为样本标准差和方差都是先求距离的平方再求平方根，因此距离一定是正数且不会抵消。假设我们有如下数据点（散点图）： ?...因为协方差矩阵为实对称矩阵（即 Aij=Aji），所以其必定可以通过正交化相似对角化。因为这两个变量的协方差为正值，所以这两个变量的分布成正相关性。...总的来说，协方差矩阵定义了数据的形状，协方差决定了沿对角线对称分布的强度，而方差决定了沿 x 轴或 y 轴对称分布的趋势。...黑色实线代表 x-y 轴坐标系而红色虚线是另外一个坐标系。在第一个坐标系中 v = (1,1)，而在第二个坐标系中 v = (1,0)。因此矩阵和向量可以在不同坐标系中等价变换。

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【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) （上）

平方根法(Cholesky decomposition) 一种矩阵运算方法，又叫Cholesky分解。所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解得到的求解对称正定方程组的一种有效方法。...它是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角矩阵的对角元也是大于零的。...这里不会详细介绍该方法的计算方法，简单说明一下该方法会带来哪些好处。 1.求逆矩阵我们都知道求一个矩阵的逆矩阵是一个非常耗时的过程，而对于一个上(下)三角矩阵而言，求逆矩阵就简单很多。...答案在下面的特征值分解/对角化定理中：当且仅当方阵\(A∈R^{n×n}\)满秩(即有n个独立的特征向量)时，有 \[A=PDP^{-1}\] 其中\(P\)是由\(A\)的特征矩阵组成的可逆矩阵...是由n个正交特征向量组成的矩阵(此时有\(P^{-1}=P^T\),证明略)，\(D\)是特征值组成的对角矩阵下图直观地给出了对称矩阵对角化的过程： ?

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学习笔记DL005:线性相关、生成子空间，范数，特殊类型矩阵、向量

表示从原点出发到向量x确定点的欧几里得距离。简化||x||，略去下标2。平方L⁽2⁾ 范数衡量向量大小，通过点积x⫟x计算。平方L⁽2⁾范数在数学、计算上比L⁽2⁾范数更方便。...平方L⁽2⁾范数对x中每个元素的导数只取决对应元素。L⁽2⁾范数对每个元素的导数和整个向量相关。平方L⁽2⁾范数，在原点附近增长缓慢。 L⁽1⁾范数，在各个位置余率相同，保持简单数学形式。...diag(v)表示对角元素由向量v中元素给定一个对角方阵。对角矩阵乘法计算高效。计算乘法diag(v)x，x中每个元素xi放大vi倍。diag(v)x=v⊙x。计算对角方阵的逆矩阵很高效。...长方形对角矩阵D，乘法Dx涉及x每个元素缩放。D是瘦长型矩阵，缩放后末尾添加零。D是胖宽型矩阵，缩放后去掉最后元素。对称(symmetric)矩阵，转置和自己相等矩阵。A=A⫟。...不依赖参数顺序双参数函数生成元素，对称矩阵常出现。A是矩离度量矩阵，Ai,j表示点i到点j距离，Ai,j=Aj,i。距离函数对称。

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二次型和对称阵

这个程度可以用一个数值来表示，这个数值越大，弹力就越大。现在，我们把这个弹簧换成一个更复杂的系统，比如一个弹簧床。...对称矩阵是指转置矩阵和自身相等的方形矩阵。也就是说，一个矩阵A是对称矩阵，当且仅当A的转置矩阵A^T等于A本身： A = A^ 元素对称性：对称矩阵的元素关于主对角线对称。...特征值：实对称矩阵的特征值都是实数。特征向量：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。对角化：实对称矩阵可以被正交矩阵对角化。二次型：对称矩阵与二次型密切相关。...但是用的是惯性指数对称就是对称， A是个n阶的对称矩阵就像这样二次型是数学中一个重要的概念，它表示n个变量的二次齐次多项式。也就是说，二次型中每一项的次数都是2。...当我们将一个二次型通过线性变换化为标准形（即只有平方项的和）时，正的平方项的个数称为正惯性指数，负的平方项的个数称为负惯性指数作用是：反映二次型的本质性质：惯性指数是二次型的一个内在属性，它不随坐标变换而改变

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博客 | MIT—线性代数（下）

需要注意的是，A*A共轭=实部和虚部的平方和，向量X·X共轭= |X|^2 ，这在复数矩阵中非常重要。最后，对称矩阵中主元的符号与特征值符号相同，即正主元的个数=正特征值的个数。...另外，由特征值相同引出两大类矩阵，其一为特征值构成的对角矩阵，第二就是若当标准型矩阵，若当标准型是个上三角形矩阵，它是相似矩阵族中除对角元素以外形式最好的矩阵，若当标准化的作用就是，对于一类无法对角化的矩阵来说...14、奇异值分解：矩阵的奇异值分解是指对任意矩阵A均可分解成2个正交矩阵与1个对角矩阵的乘积，即 A=U·E·V^T 。对称矩阵对角化就是一种特殊的奇异值分解，但普通矩阵对角化则不是。...对图像压缩来说，最重要的就是基U的选取，需要满足快速求逆和压缩性良好，快速求逆表示基向量矩阵需要能快速求逆，而压缩性良好则表示选取的基要能明确且平稳的表示信号至噪声的过渡。...更一般的，若r求A伪逆，A伪逆可以使A行空间向量一一映射至A列空间向量，A伪逆可以通过SVD来解决，SVD可以将对A伪逆的求解转化到求对角阵E的伪逆上来。

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matlab命令，应该很全了！「建议收藏」

^P 对A中的每一个元素进行操作四、数值计算 1、线性方程组求解（1）AX=B的解可以用X＝A/B求。XA=B的解可以用X= A/B求。...最大浮点数值 inf 无穷大 realmin 最小浮点数值 inputname 输入参数名 varargin 函数中输入的可选参数 j 复数单元 varargout 函数中输出的可选参数附录...环境 exp 指数函数 expand 符号计算中的展开操作 expint 指数积分函数 expm 常用矩阵指数函数 expm1 Pade法求矩阵指数 expm2 Taylor法求矩阵指数...solve 求代数方程的符号解 spalloc 为非零元素配置内存 sparse 创建稀疏矩阵 spconvert 把外部数据转换为稀疏矩阵 spdiags 稀疏对角阵 spfun 求非零元素的函数值...sph2cart 球坐标变为直角坐标 sphere 产生球面 spinmap 色图彩色的周期变化 spline 样条插值 spones 用1置换非零元素 sprandsym 稀疏随机对称阵

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【机器学习笔记之七】PCA 的数学原理和可视化效果

X 的协方差矩阵计算如下： ? 可以看到这个矩阵对角线上的两个元素分别是两个字段的方差，而其它元素是 a 和 b 的协方差。...于是优化目前等价于将原始数据变换到这组基上后，要使新数据表示的协方差矩阵对角化，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列。...这样，优化目标变成了寻找一个矩阵 P，满足 PCP? 是一个对角矩阵，即对 C 进行对角化（3）如何求 P： C 是一个是对称矩阵，在线性代数书上可以找到“实对称矩阵对角化”的内容。...一个 n 行 n 列的实对称矩阵一定可以找到 n 个单位正交特征向量 e1,e2,⋯,en，由它们按列组成的矩阵 E=(e1，e2，⋯，en) 可以将 C 对角化：（4） ?...对角元素为各特征向量对应的特征值。于是 P=E?，即 P 的每一行都是 C 的一个特征向量。（5）这样，就得到了 PCA 步骤中的第 3～6 步。 ---- 3.

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距离和相似性度量在机器学习中的使用统计

闵可夫斯基距离闵可夫斯基距离（Minkowski distance）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，假设数值点 P 和 Q 坐标如下： ?...假设样本点（列向量）之间的协方差对称矩阵是，通过 Cholesky Decomposition（实际上是对称矩阵 LU 分解的一种特殊形式）可以转化为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积：...消除不同维度之间的相关性和尺度不同，只需要对样本点 x 做如下处理：。处理之后的欧几里得距离就是原样本的马氏距离：为了书写方便，这里求马氏距离的平方）： ?...马氏距离的变换和 PCA 分解的白化处理颇有异曲同工之妙，不同之处在于：就二维来看，PCA 是将数据主成分旋转到 x 轴（正交矩阵的酉变换），再在尺度上缩放（对角矩阵），实现尺度相同。...向量和信号都是离散值，如果是连续的函数值，比如求区间[-1, 1] 两个函数之间的相似度，同样也可以得到（系数）组分，这种方法可以应用于多项式逼近连续函数，也可以用到连续函数逼近离散样本点（最小二乘问题

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PCA 的数学原理和可视化效果

X 的协方差矩阵计算如下： ? 可以看到这个矩阵对角线上的两个元素分别是两个字段的方差，而其它元素是 a 和 b 的协方差。...于是优化目前等价于将原始数据变换到这组基上后，要使新数据表示的协方差矩阵对角化，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列。...这样，优化目标变成了寻找一个矩阵 P，满足 PCP? 是一个对角矩阵，即对 C 进行对角化（3）如何求 P： C 是一个是对称矩阵，在线性代数书上可以找到“实对称矩阵对角化”的内容。...一个 n 行 n 列的实对称矩阵一定可以找到 n 个单位正交特征向量 e1,e2,⋯,en，由它们按列组成的矩阵 E=(e1，e2，⋯，en) 可以将 C 对角化：（4） ?...对角元素为各特征向量对应的特征值。于是 P=E?，即 P 的每一行都是 C 的一个特征向量。（5）这样，就得到了 PCA 步骤中的第 3～6 步。 ---- 3.

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深度学习-数学基础

但是在很多情况下，平方 \(L^{2}\) 范数也可能不受欢迎，因为它在原点附近增长得十分缓慢。在某些机器学习应用中，区分恰好是零的元素和非零但值很小的元素是很重要的。...长方形的矩阵也有可能是对角矩阵。非方阵的对角矩阵没有逆矩阵，但我们仍然可以高效地计算它们的乘法。...\(A\) 的非零奇异值是 \(A^{⊤}A\) 特征值的平方根，同时也是\(AA^⊤\) 特征值的平方根迹运算返回的是矩阵对角元素的和 \[ Tr(A) = \sum_i A_{i,i} \]...正态分布的中心峰的 x 坐标由 \(\mu\) 给出，峰的宽度受 \(\sigma\) 控制在具有相同方差的所有可能的概率分布中，正态分布在实数上具有最大的不确定性。...然而，它并不是真的距离因为它不是对称的：对于某些 \(P\) 和 \(Q\)，\(DKL(P||Q) ̸= DKL(Q||P)\)。

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PCA主成分分析（下）

数学中的美，是不是也是寻找那个导数为零的极值点？实际问题中，我们认为凸型函数是函数中是相对完美而且最容易求极值点的。...形如：的方程，可以表示为：其中：我们得出： 1. 二次型矩阵A，若是一个对角矩阵，对角线上的元素值，决定了图形的形状。 2. 左图的A决定了图形为正圆，右图则为椭圆 3. ...我们已经知道上述二次型符合凸函数性质，实际中凸函数的极值问题，往往是带约束的求极值问题，也就是说我们要在求极值的同时加上一个条件——凸优化问题比如在X的2范式——X的长度——为1的情况下，求上述二次型的极值...回忆二次型矩阵的几何意义。对于二次型矩阵A，特征值就是图形进行伸缩的量，对应特征向量的就是图形旋转的方向。而对称矩阵的特征向量两两正交，实际上正是构成了旋转后的坐标方向。...就是旋转后新的坐标轴问题分析到这里，我们引出了特征值，似曾相识。 PCA就是利用了协方差矩阵的较大特征值，得到坐标旋转变换后，保留数据点最大拉伸（最分散）的那个坐标“轴”，即最佳数据投影方向。

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【陆勤践行】机器学习中距离和相似性度量方法

闵可夫斯基距离闵可夫斯基距离（Minkowski distance）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，假设数值点 P 和 Q 坐标如下： ? 那么，闵可夫斯基距离定义为： ?...马氏距离实际上是利用 Cholesky transformation 来消除不同维度之间的相关性和尺度不同的性质。假设样本点（列向量）之间的协方差对称矩阵是 ?...，通过 Cholesky Decomposition（实际上是对称矩阵 LU 分解的一种特殊形式）可以转化为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积： ? 。...消除不同维度之间的相关性和尺度不同，只需要对样本点 x 做如下处理： ? 。处理之后的欧几里得距离就是原样本的马氏距离：为了书写方便，这里求马氏距离的平方）： ?...，不同之处在于：就二维来看，PCA 是将数据主成分旋转到 x 轴（正交矩阵的酉变换），再在尺度上缩放（对角矩阵），实现尺度相同。

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Numpy库

在NumPy中，提供了丰富的高级数学函数和统计函数，这些函数可以用于各种数据分析和科学计算。以下是一些主要的高级数学和统计函数：高级数学函数线性代数：方阵的迹：计算方阵对角线元素之和。...矩阵距离：计算两个矩阵之间的距离。矩阵逆和伴随矩阵：求解矩阵的逆矩阵和伴随矩阵。解多元一次方程：求解线性方程组。求矩阵的秩：计算矩阵的秩。傅立叶变换：用于频域分析。...NumPy 提供了 numpy.linalg.eig () 或 numpy.linalg.eigh () 函数来实现这一分解，其中 eig() 用于一般矩阵，而 eigh() 专门用于对称矩阵。...总之，NumPy在机器学习项目中的应用不仅限于数值计算和线性代数运算，还包括对数据预处理的优化和对模型训练过程的加速。 NumPy在图像处理中的应用案例有哪些？...调换x,y坐标：可以使用NumPy对图像进行坐标变换，例如交换图像的x坐标和y坐标。添加mask：通过逻辑运算符对像素值进行掩码处理，可以实现特定区域的图像处理。

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3D图形学线代基础

对于任意向量，模的大小等于其每个维度数值的平方和然后开根号；这也就是 ThreeJS 框架中各向量类型计算长度的 length 函数的实现，以二维向量 Vector2 为例（其中 x 和 y 表示二维向量在...主要原因在于 2D 坐标系相对于 3D 坐标系更简单更容易理解（降维打击），虽然 3D 比 2D 多一个维度，但基本数学规律却是类似的；比如求三维向量 Vector3 的长度，同样也是计算每个维度数值的平方和然后开根号...上图中 OA 向量沿着 X 轴正方向平移一定距离 m 得到 CB 向量，已知 A 点坐标为（x1，y1），求 B 点坐标（x2，y2）。...还是一样的问题 OA 向量沿着 X 轴正方向平移一定距离 m 得到 CB 向量，已知 A 点坐标为（x1，y1），求 B 点坐标（x2，y2）。...已知方阵即可得变换后的基向量 OC、OD，再根据平行四边形面积公式求该方阵行列式： ? 对于二维方阵来说，其行列式等于对角元素的积减去反对角元素的积。

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呆在家无聊？何不抓住这个机会好好学习！

行列式只表征了矩阵变换前后面积的变化，对于方阵来说，得知其变换中运动的“方向”与“距离”十分重要。...），在R中使用*符号来计算： ④对角有关的运算把矩阵的行换成列称为矩阵的转置，如果矩阵A的转置矩阵等于本身也即AT=A，那么称之为对称矩阵，对角矩阵一定为对称阵。...在R中矩阵求逆可用函数solve()，应用solve(a, b)运算结果是解线性方程组ax=b，若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆，例如：线性变换线性变换可以用矩阵表示，那么如何描述线性变换的特征...在向量的矩阵变换中，不同的向量变换的方向、距离不一样，但是矩阵特征值λ对应的特征向量其变换方向不变，仅进行比例为λ的长度伸缩。...假如把矩阵变换看成坐标系变换，也即使用矩阵的坐标系来描述向量，那么求特征向量实际上是一个正交化过程，使用特征向量上的投影也即特征值来描述所对应的坐标系。

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主成分分析详解_pca主成分分析贡献率

可以这样认为，有10篇文档，x是10篇文档中“learn”出现的TF-IDF，y是10篇文档中“study”出现的TF-IDF。第一步，分别求x和y的平均值，然后对于所有的样例，都减去对应的均值。...对角线上分别是x和y的方差，非对角线上是协方差。...上述过程如下图2描述：正号表示预处理后的样本点，斜着的两条线就分别是正交的特征向量（由于协方差矩阵是对称的，因此其特征向量正交），最后一步的矩阵乘法就是将原始样本点分别往特征向量对应的轴上做投影...的某一特征值为λ，对应的特征向量为ξ，有所以，是半正定的对称矩阵，即是半正定阵的二次型，由矩阵代数知识得出，目标函数存在最大值！...我们有矩阵代数中的定理知，向量经矩阵映射前后的向量长度之比的最大值就是这个矩阵的最大奇异值，即：式中，是矩阵A的最大奇异值（亦是矩阵A的二范数），它等于（或）的最大特征值开平方。

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Jacobi方法求实对称阵的特征值

Jacobi方法用于求实对称阵的全部特征值、特征向量。...对于实对称阵 A，必有正交阵 Q ，使 QT A Q = Λ 其中Λ是对角阵，其主对角线元素λii是A的特征值，正交阵Q的第j列是A的第i个特征值对应的特征向量。如何将实对称矩阵化为对角矩阵？...下面以二维平面旋转矩阵为例，来展示旋转矩阵是如何将实对称矩阵的非对角元素化0的。在二维平面上，超平面旋转矩阵退化为如下的形式： ?...向量x = [ 1,√3]'，逆时针旋转60度后，第二个坐标分量为0 ? 由此可见，只要旋转角度合适，就可以将实对称矩阵的非对角元素化为0，从而形成对角矩阵。...接下来就要找这个合适的旋转角度，也就是求一个旋转角，使得矩阵经过旋转变换之后，有非对角元素出现0。 ? ? 下面是一个例子： ? ? ? ? ? ? ?

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MATLAB命令大全+注释小结

() 根据向量创建对角矩阵，即以向量的元素为对角元素 magic() 创建魔方矩阵 rand() 创建随机矩阵，服从均匀分布 randn() 创建随机矩阵，服从正态分布 randperm..., 还可以用cat(2,A,B) repmat(M,v,h) 将矩阵M在垂直方向上聚合v次，在水平方向上聚合h次 blkdiag（A，B）以A，和B为块创建块对角矩阵 length ...^P 对A中的每一个元素进行操作四、数值计算 1、线性方程组求解（1）AX=B的解可以用X＝A\B求。XA=B的解可以用X= A/B求。...求多项式的根（返回所有根组成的向量）注：用ploy（A）求出矩阵的特征多项式，然后再求其根，即为矩阵的特征值。...i 复数单元 realmax 最大浮点数值 inf 无穷大 realmin 最小浮点数值 inputname 输入参数名 varargin 函数中输入的可选参数

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