注意：单独的节点也可以作为一条路径。 DAG最小路径覆盖解法如下： 把所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果DAG图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...把有向图的所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果有向图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...然后：将二分图的所有边看成是从XiXi到YjYj的一条有向边，容量为1。 求最大匹配就是求ss 到tt 的最大流。 最大流图中从XiXi 到YjYj 有流量的边就是匹配集合中的一条边。...具体证明参考：百度百科:Konig定理 二分图的最小顶点覆盖 最大独立集 最大团 有向图中应用二分匹配 求有向图最小路径覆盖： 对于有向图的最小路径覆盖，先拆点，将每个点分为两个点，左边是1-n个点...) 其实每个伞兵走的就是一条有向的简单路径。
第8题 判断无向图中任意给定的两个顶点之间是否存在一条长度为k的简单路径 编写算法，判断无向图中任意给定的两个顶点之间是否存在一条长度为k的简单路径（简单路径指的是其顶点序列中不含有重复出现的顶点）。...exist_path_len(ALGraph G, int i, int j, int k): 判断在无向图 G 中，是否存在一条从顶点 i 到顶点 j 长度为 k 的简单路径。...函数返回 return 0; 解释：如果所有邻接点都没有找到符合条件的路径，则返回0，表示没有找到长度为 k 的简单路径。 总结 递归基准条件：当当前顶点是目标顶点且路径长度为0时，返回1。...递归条件：当路径长度大于0时，遍历所有邻接点，尝试找到从当前邻接点到目标顶点的路径，路径长度减1。 恢复标记：确保每次递归结束后，恢复顶点访问标记，保证路径的简单性。...返回值：如果找到符合条件的路径，则返回1；否则，返回0。 通过这种方式，函数递归地探索图中的路径，并确保路径是简单路径，最终判断是否存在一条符合长度要求的路径。
，使得该图中所有边都至少有一个端点在该集合内。...最大点权独立集=总点权-最小点权覆盖集 最大点权独立集=总点权-二分图最小割 最大流——最小割 最大点独立集——最小点覆盖集 路径覆盖 路径覆盖就是在一个DAG（有向无环图）中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点...最小路径覆盖=V-二分图最大匹配数 证明： 若匹配数为0，因为每个点都是一条路径，所以最小路径覆盖数为V； 当有一个匹配出现时，路径数就减1 边覆盖 边覆盖集是无向图的一个边集，使得该图中所有顶点都至少是集合内边的一个端点...最小边覆盖集是在无向图中，边数最少的边覆盖集。...最小边覆盖=最大点独立集 闭合子图 有向图的闭合子图是一个点集，该点集的所有出边都还指向该点集 闭合子图中，点权和最大的点集称为最大权闭合子图 正点权和-最小割 ?
定义 二分图 图中的边均为无向无权边 简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。...最大匹配数 最大匹配的匹配边的数目 最小点覆盖数 选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择 最小路径覆盖数 对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。...例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）： image.png 增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。...算法复杂度 以上就是匈牙利算法的基本流程，时间复杂度为 O(n^3) 需要找O(n)次增广路 对每个节点搜索增广路径时，边数上限为n^2，因此复杂度为 O(n^2) 最小点覆盖问题 另外一个关于二分图的问题是求最小点覆盖...：我们想找到最少的一些点，使二分图所有的边都至少有一个端点在这些点之中。
bellman-ford可以用于边权为负的图中，图里有负环也可以，如果有负环，算法会检测出负环。 时间复杂度O（VE）; dijkstra只能用于边权都为正的图中。...时间复杂度O（KE）; floyd可以用于有负权的图中，即使有负环，算法也可以检测出来,可以求任意点的最短路径，有向图和无向图的最小环和最大环。...时间复杂度O（n3）； 任何题目中都要注意的有四点事项：图是有向图还是无向图、是否有负权边，是否有重边，顶点到自身的可达性。...floyd能做很多事情，下面简单说两个，求有向图的最小环或者最大环（顶点数>=2），求无向图的最小环（顶点数>=3）。 先说求有向图最小环（最大环略）。...2、图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图称为顶点vi作为弧尾的出边表。
欧几里得距离公式： 有向图中一般对反向图求终点到源点的最短距离为启发函数。 理论有了，现在开始实战。...2.1 A*算法 例题：第K短路 给定一张 N 个点（编号 1,2…N），M 条边的有向图，求从起点 S 到终点 T 的第 K 短路的长度，路径允许重复经过点或边。...二维表上可以看出，源点至节点3有 3 条路径，直观而言，也只有3条路径。记录上看源点至节点5只有 2 条路径，而实际上不止。因为源点可以经过节点3到节点5，也就是说从源点到节点5至少有3条。...同理，源点也可以经过节点4到达节点5，至少有1条。粗算下来，源点到节点5至少应该有4条路径，距离分别为17、15、13、17。 为什么二维数组中的记录节点5的路径只有2条？...道理很简单，知道当前代价，也知道未来代码，两者之和，一定是到达目标点的最小代价。 如果能计算出图中的节点到目标点的最短距离，便能得到任一点到目标点的h(x)值。
对于有向图路径也是有向的，路径的方向只能是从起点到终点，且与它经过的每一条边的方向一致。 路径上的边或弧的数目称之为该路径的长度。 除始点和终点外，其他各顶点均不同的路径称之为简单路径。...从一个顶点出发又回到该顶点，则所经过的路径称为回路。 始点和终点相同的简单路径称之为简单回路。 在无向图中，从一个顶点到另一个顶点之间有路径，则称这两个顶点是连通的。...//求无向图的最小生成树，有向图不支持此操作 toplogicalSort(); //求有向图的拓扑序列。...无向图不支持此操作 criticalPath(); //求有向无环图的关键路径。...在图中两点之间的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一个顶点到其他顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。 这里的路径不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和。
因为增广路有下面四个性质： 1.增广路有奇数条边 。 2.路径上的点一定是一个在X边，一个在Y边，交错出现。 3.起点和终点都是目前还没有配对的点。 4.未匹配边的数量比匹配边的数量多1。...最小路径点覆盖 定义：在一个有向无环图中（DAG）用最少的不相交的简单路径覆盖所有的点。...– 证明：由于每条路径的出度和入度都不超过1，所以每条路径对应二分图中的一个匹配（我们可以把二分图的左部看成出点，右部看成入点，每条原图的有向边都是从左部出点连向右部入点的，由于路径的性质，每个路径的出点和入点一...– 最小路径可重复点覆盖：在一个有向无环图中（DAG）用最少的可相交的简单路径覆盖所有的点。 – 方法：先对DAG求一次传递闭包，然后当作求最小路径点覆盖。...，现在问最少需要多少个点放到树上，使得树的任意一条边都至少有一个端点被覆盖 思路：实质是要求最小点覆盖数，由于树是天然二分图（树没有回路），因此可以倍点法建图， 求树的最大匹配最后除以 2 即可。
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。 数据结构中讨论的都是简单图。...无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足∈E。 回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。...有向图的邻接表（出边表） 求顶点 i 的出度： 顶点 i 的出边表中结点的个数。 求顶点 i 的入度： 各顶点的出边表中以顶点 i 为终点的结点个数。...问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)，对任意顶点vi,vj∈V（i≠j），求顶点vi到顶点vj的最短路径。
二分图 二分图也叫二部图，设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in...二分图的最大匹配的含义，就是说在这A，B两个集合中不断选择两个存在连线（只有存在连线才能连起来，而且每个点只能匹配一次）的两个点相连，求最多可以有多少条连线即这个二分图的最大匹配数 可以参考 二分图匹配...性质 定义和定理： 最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目 最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择 最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连 最小路径覆盖数...：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。...增广路径 若图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径（举例来说，有A、B集合，增广路由A中一个点通向B中一个点
通俗理解：图是节点和边构成及集合。 （2） 简单图：不含环和多重边的图称为简单图。...多重图：含有多重边的图 （3） 完全图：每一对节点之间都有边相连的简单图称为完全图，有n个节点的无向完全图记为Kn 有向完全图： 每一对节点间有且仅有一条有向边的简单图 （4） 二部图：图G...（4） 出度：在有向图中，以节点vi为起始点的边数称为出度 入度：在有向图中，以节点vi为终止点的边数称为入度 1.3 子图（subgraph） （1）图G=(E,V)，若E’是E的子集，V’是...1.4 连通图 （1）各边相异的道路称为迹（trace），也成为简单路劲（simple path）；各节点相异的道路称为轨（track），也称为基本路径（essential path）；起点和终点重合的道路称为回路...（2）连通图：图中任意两点间至少有一条道路相连，则称该图为连通图。
') # 可视化 nx.draw(G, node_size=500, with_labels=True) 控制台输出结果 - 无向图 有向图（Directed Graph） 有向图的创建方式很简单，只需要把上面无向图的对象...对于有向图 G，节点 i 的入度 \text{in-degree}(i) 是指向节点 i 的边的数量，出度 \text{out-degree}(i) 是从节点 i 出发的边的数量。...路径和距离 在图论中，路径和距离是描述图中节点之间连接关系和位置关系的重要概念。 路径（Path）：在图中，路径是指图中的一系列节点，其中任意相邻两个节点之间都有边相连。路径的长度是指路径上边的数量。...如果路径中的所有节点都是不同的，则路径是简单路径。 距离（Distance）：在图中，两个节点之间的距离是指连接这两个节点的最短路径的长度。...在无向图中，如果对于每一对不同的顶点 u 和 v，都存在至少一条由边连接的路径从 u 到 v，则该图是连通的。
空间由边决定，适用边少、点多的稀疏图 如上图中，无向图用邻接矩阵存储，有向图用邻接表存储。...无向图中，关联一对顶点的边多于一条，称为平行边。...有向图中，关联一对顶点的边多于一条，且方向相同，也称为平行边。 多重图：含平行边或自环边的图。 简单图：既不含平行边，也不含自环边。 ?...05 完全图 每对顶点之间都恰有一条边的简单图，n个顶点的完全图，共有n(n-1)/2条边。 ? 06 独立集 独立集：图中两两互不相邻的顶点构成的集合，为图G的顶点集的子集。...无向图中，如果任意两个顶点之间都能够连通，则称此无向图为连通图。 ? 无向图G的一个极大连通子图称为G的一个连通分量。 ? 有向图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，则称此有向图为强连通图。 ?
在一个给定的图中求两个顶点的最短路径的算法一直是比较常用和比较重要的算法。...主要的求最短路径的算法有Floyd算法、Dijkstra算法和Bellman-Ford算法等等，本篇我们先来看一下Floyd算法： 首先我们知道，要求一个图中两个顶点中的最短路径，除了计算出这两个顶点的直接路径...假设这是一个给定的无向图图，图中共有4个顶点（A、B、C、D）， 图中的边共有：A-->B(10)、A-->C(2)、C-->B(6)、C-->D(1)、D-->B(2)五条边（严格来说有10条边，因为是无向图...之后我们找不到顶点A到顶点B还有比距离5更短的路径了，那么，在这个图中顶点A到顶点B的最短路径就是5 在上面的那个简单的例子中，求顶点A到顶点B的最短路径，我们正是利用了其他的顶点作为“跳板”，来寻找是否有更短的路径...那么Floyd算法的时间复杂度呢，在这个代码中算法的时间复杂度是O(N^3)，相比其他最短路算法，还是比较高的，但是这个算法可以求多源最短路径，而且代码相对简单，所以这个算法还是较优的。
一条路径，如果除第一个和最后一个顶点之外，其余所有顶点均不同，那么该路径称为一条简单路径。如路径5,2,1是简单路径，而2,5,2,1不是。 图或有向图的每一条边都可以有长度。...G是连通的，当且仅当G的每一对顶点之间都有一条路径。 ? 如果H的顶点和边的集合分别是G的顶点和边的集合的子集，那么称图H是图G的子图。一条始点和终点相同的简单路径称为环路（cycle）。...没有环路的连通无向图是一棵树。一个G的子图，如果包含G的所有顶点，且是一棵树，则称为G的生成树。 ? 一个具有n顶点的连通无向图至少有n-1条边。...特性 在一个无向图中，与一个顶点i相关联的边数称为该顶点的度。 在无向图中，顶点的度之和是边数的2倍。 在无向图中，每一条边都与两个顶点相关联，因此顶点的度之和是边数的2倍。...顶点i的出度是指关联于该点的边数。 一个具有n个顶点的完全有向图恰好包含n(n-1)条有向边。 下图是n=1,2,3,4时的完全有向图。 ? 在无向图中，入度和出度可以看做是度的同义词。
前言 二分图又称作二部图或称为偶图，是图论中的一种特殊类型，有广泛的应用场景。 什么是二分图？ 二分图一般指无向图。看待问题要有哲学思想，有二分图也可以是有向图。...二分图的特点： 理论而言，图中至少有一个环，如果图中无环，则图退化成树。在研究树和图时，一般会把树问题当成图问题的子类。 二分图中不能有奇数个顶点组成的环。 如何验证二分图中的环不能是奇数个顶点？...要求选出一些边，所有边中没有公共顶点的边称为匹配边，求最多匹配边的算法为最大匹配算法。 如下图，标记为红色的边为匹配边，蓝色边为不匹配边。且最大匹配数为 3。...求二分图最大匹配边的算法： 用增广路求最大匹配（称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）。 转换成网络流模型。 本文仅讲解匈牙利算法，网络流算法有兴趣者可自行了解。...增广路有如下几个特点： 增广路有奇数条边 。 路径上的点一定分属两个子集。 起点和终点都是目前还没有配对的点。 未匹配边的数量比匹配边的数量多1，这个原由应该很好理解。
在无序图中，简单图（simple graph）被定义作：没有两条边是连着相同顶点的。而如果有这样的边（称为multiple edge），那么这个图就应被称为multigraph。...---- 在有向图中，简单有向图也和上述定义相差无几，即没有同终点和起点的弧。但值得注意的是，在两个vertices而他们相互指向的时候，这也是一个简单图。...对此有一个显而易见的结论，N(A) = ⋃v∈A N(v)，即对图的子图A，求它的neighborhood就是子图所有顶点的neighborhood的并集。...在连通无向图中，每两个点都有simple path。在一个不完全连通的无向图中，connected component指极大的连通子图，这可以有多个。...示例如下： 这个算法的时间复杂度是n^2。 另一种算法，利用矩阵进行最短路径求解。这通常在有向图中使用。
三、上面描述的 PERT 图的公式有一点不太自然。在一个更自然的结构下，图中的结点代表要执行的工作，边代表工作之间的次序限制，即边 (u，v) 表示工作 u 必须在工作 v 之前执行。...在这种结构的图中，我们将权重赋给结点，而不是边。请修改 DAG-SHORTEST-PATHS 过程，使得其可以在线性时间内找出这种有向无环图中一条最长的路径。如果要写代码，请用go语言。...文心一言： 在处理有向无环图（DAG）并希望找到最长路径时，如果权重被赋给节点而不是边，并且我们关注的是从源节点到任意其他节点的最长路径，我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。...以下是一个使用Go语言实现的算法，用于在给定的有向无环图中找到一条最长路径： package main import"fmt" typeEdgestruct{ to int cost...在有向无环图(DAG)中寻找最长路径，我们依然可以采用拓扑排序，但这次我们关注的是结点的权重，且需要将路径长度的计算从求和变为求最大值。
通过V-BCC缩点可以求割边（桥），也可以通过E-BCC缩点求割点。这是我们今天讲的主要的内容。...1.边双连通分量 先说不好理解的定义：若一个无向图的点两两间都有两条不重合的路径，那么我们就称这个无向图是边-双连通的。...我们看看这个定义又是什么意思，任意两点都有两条不重合的路径，就是说任意点都有两条边可以到达，那么任意去掉一条边，肯定还有另一条边连接，也就是说这个图中不存在割边。所以这个图是边双连通图。...经过缩点后建的图必然不存双连通分量，图中存在的边都不在双连通分支中，也就是说缩点后的边都是桥。 ? 2.点双连通分支 定义：任意两条边都在一个简单环中。 就是说没有割点。还是画图吧！ ? ...这两个最大连通子图就是点双联通分支，类比边双连通分支。 也就是说经过缩点后的图中的点除了只有一条边的的点都是割点。 ? 我们下一期讲Tarjan算法求双连通分量。
简介 有向图：若E是有向边（也称为弧）的有限集合时，则称为G为有向图 无向图：若E是无向边（简称边）的有限集合时，则图G为无向图 完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称为该图为无向完全图...含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称为该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边。...最短路径 带权有向图G的最短路径问题，一般可分为两类：一是单源最短路径，即求图中某一个顶点到其他顶点的最短路径，可通过经典的Dijkstra算法求解；二是求每一对顶点间的最短路径，可通过Floyd-Warshall...迪杰斯特拉-单源最短路径 求带权有向图中某个源点到其余各顶点的最短路径，最常用的是Dijkstra算法。`如下图，从顶点1开始出发，求其到其余顶点的最短路径。...弗洛伊德算法同样也适用与带权无向边 关键路径 带权有向图中，以顶点表示事件，有向边表示活动，边上的权值表示完成该活动的开销，则称这种有向图为用边表示活动的网络，简称为AOE网。
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