4、由散度及边界像素值求解泊松方程（最为复杂）。 那么我们就一步一步的进行扣取和讲解。 一、计算前景和背景图像的梯度场。...4、由散度及边界像素值求解泊松方程。 有了以上的散度的计算，后面就是求解一个很大的稀疏矩方程的过程了，如果直接求解，将会是一个非常耗时的过程，即使利用稀疏的特性，也将对编码者提出很高的技术要求。...CV的求解过程涉及到了3个函数，分别是poissonSolver、solve、dst，也是一个调用另外一个的关系，具体的这个代码能实现求解泊松方程的原理，我们也不去追究吧，仅仅从代码层面说说大概得事情。...那么我们再看看dst函数，这个是解泊松方程的关键所在，opencv的代码如下： void Cloning::dst(const Mat& src, Mat& dest, bool invert) {...整个算法流程不算特别长，前面三个步骤的计算都比较简单，计算量也不是很大，慢的还是在于泊松方程的求解，而求解中最耗时还是那个DFT变换，简单的测试表面，DFT占整个算法耗时的80%（单线程下）。
引入：基于泊松方程而引入的泊松融合求解像素最优值的方法，在保留了源图像梯度信息的同时，融合源图像与目标图像。...该方法根据用户指定的边界条件求解一个泊松方程，实现了梯度域上的连续，从而达到边界处的无缝融合。...对比传统图像融合和泊松融合 传统的图像融合： 精确地选择融合区域：过程单调乏味且工作量大，常常无法得到好的结果。 Alpha-Matting：功能强大，但是实现复杂。...基于Poisson方程的无缝融合： 选择融合区域的过程简单且方便。 最终可以得到无缝融合的结果。 变分法的解释泊松图像编辑 表示融合图像块的梯度。...变分方程的意义表明我们的无缝融合是以源图像块内梯度场为指导，将融合边界上目标场景和源图像的差异平滑地扩散到融合图像块 I 中，这样的话，融合后的图像块能够无缝地融合到目标场景中，并且其色调和光照可以与目标场景相一致
泊松融合原理来源于这篇文章：《Poisson Image Editing》 本人为图像处理的小白，在机缘巧合下，看到了泊松融合的图像处理，觉得很强大也十分有趣，对其中的数学原理也十分感兴趣。...泊松方程的求解 已知图像每点的二阶微分值（即散度 div）,求解各个图像点的像素值。 举个例子，假设有一张 4×4 的图像 Xi表示各个位置上的图像像素值，共16个未知参数需要被求解。...大家现在可以回顾下上面的泊松方程求解的 [公式] 的图像的例子。 我们先以标号1的像素举个例子，方便大家理解下面的式子是怎么构造出来的 像素1up指的是像素1上面的像素，其他的类似。...然后我们前面说了求解泊松方程时边界像素是已知的即，像素1的up、left、down的像素是已知的。 现在我们来创建求解矩阵的 Ax=b中的A,x,b。...，所以速度会比较慢，建议大家用比较小的图片去尝试，泊松方程求解的加速方法有Jacobi, SOR, Conjugate Gradients, 和 FFT。
Problem 1: 考虑一个 排队模型，在一个理发店中，顾客到来的速率服从速率为 的泊松分布，而理发所需要的时间平均为5min，标准差为 min。问 长期来看，队列空闲的概率 。...因为我们取 ，并且画出另外一条全新的泊松过程，并设 ，那么上面的泊松过程和下面的泊松过程，其实在对应的我们选择的时间过后，是一模一样的。...这里的证明讲白了就是一个验证，因为这就是求解 ，而根据泊松过程定义就可以得到结果。至于 的求解，根据导数的定义，我们有 所以事实上，对于 的每一行，只有两个元素非零。...这个就可以很好的利用C-K方程进行求解。...利用C-K方程，我们有 利用常微分方程的求解方法，我们自然可以得到 这个是常微分方程中“高阶微分方程组”的内容，感兴趣的朋友可以去搜索它的求解方案。
Mathematica 12 为偏微分方程（PDE）的符号和数值求解提供了强大的功能。本文将重点介绍版本12中全新推出的基于有限元方法（FEM）的非线性PDE求解器。...最近，基于有限元法的数值求解函数得到显著增强，并有望求解任意区域上的PDE并获得特征值/特征函数。...以在单位圆上的泊松方程 –∇2u = 1 为例，如果以在 x>=0 上 u=0 作为边界条件： 所得出解的图形为： 2.1 输入表达式 目前，在 NDSolve 中适用于有限元法的偏微分方程式必须具有以下形式...如果是像上述泊松方程示例那样的简单的图形，则可以通过 Disk 和 Polygon 的组合来创建；如果它是由等式和不等式表示的区域，则可以使用 ParametricRegion、 ImplicitRegion...例如，对于泊松方程 –∇2u + 1/5 = 0，同时指定诺伊曼条件·∇u = xy2(x ≥ 1/2) 和狄利克雷条件 u(x,y) = 0(x ≤ 0)，如果用于 NDSolve 的 PDE 本身为
泊松融合的论文作者指出，要做到这一点，其实是需要求解一个变分问题： ? 这里：∇f 指的是图像函数f的梯度 ?...这意味着上面的变分方程是指在Ω 的区域内，f的梯度和源图像的梯度一致，而在Ω 的边缘处f的值则和源图像f*的值一致。...这个变分方程的解是如下泊松方程在Dirichlet边界条件时的解，这也是为什么我们的融合方式叫做泊松融合。 ? 这里进一步解释一下数学知识，这个方程中的几个关键和符号说明如下图： ?...求解泊松方程是一件非常有技巧的事情，很多计算机视觉/图像处理方面的初学者都会卡在这一环上，这导致即便前面的原理都看懂了，也无法真正实现函数。...而如果你用的是Python，在scipy中也提供了很多线性方程求解函数。
在1800年，不到入学两年，他已经发表了两本备忘录，一本关于艾蒂安·贝祖的消去法，另外一个关于有限差分方程的积分的个数。...后人戏剧性地称这个亮点为泊松亮斑。 数学和物理学 泊松是法国第一流的分析学家。年仅18岁就发表了一篇关于有限差分的论文，受到了勒让德的好评。...[1] 数学 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837年在《关于判断的概率之研究》一文中提出描述随机现象的一种常用分布，在概率论中现称泊松分布。这一分布在公用事业、放射性现象等许多方面都有应用。...他还研究过定积分、傅里叶级数、数学物理方程等。除泊松分布外，还有许多数学名词是以他名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、泊松方程、泊松定理，等等。...在数学中以他的姓名命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法等
在这期间，他于1831年1月17日向法国科学院提交了论文的第三版，但似乎指定审稿人泊松并没有读懂伽罗瓦的论文，在评审报告中泊松是这样写的： “我已尽了一切努力去理解伽罗瓦的证明。...伽罗瓦放弃了传统的代数方程求解的路线，构建了一个全新的理论，极其深刻地认识到方程求解的本质问题，并真正开辟了群论。这个理论今天被称为“伽罗瓦理论”，实际上他发现的是有限置换群。...伽罗瓦思路清奇，他首先认识到方程求解的关键在于系数域和根域之间的关系，一个方程的系数属于某个域，但该方程在这个域中可能没有根，因此需要扩张出一个更大的域来包含方程的根，这个更大的域就是根域。...伽罗瓦注意到，为了求解方程，需要考虑根域中的置换。在根域的所有置换中，存在一些子集，其中的置换保持系数域不变。...因此，每个方程对应一个系数域，每个系数域通过扩张成根域，又对应一个置换群，我们称之为伽罗瓦群。方程根式解的关键在于，系数域是否可以通过有限次根号运算扩张成根域。
我们的目标是「学习神经网络参数Φ」，将X进行映射，满足上述的约束方程 而大部分领域问题如3D形状表示，图像音视频处理都是以这个形式去存在 首先Φ需要「在X的连续域上定义」，使其可以模拟信号细节 其次Φ是需要...其中「指示函数1Ωm(x) = 1 当x在约束域内，在约束域外则为0」 我们将「Φ函数转换为参数化的全连接神经网络」，并使用梯度下降来优化 3.1 隐神经网络的周期性激活 我们提出了以「sin激活函数作为神经网络的周期激活...相关实验 4.1 解决泊松方程 泊松方程公式如下 ? 投射到我们常见的直角三维坐标系下，它的具体形式如下 ? 泊松方程常用于静电学，物理学问题 在三维结构重建问题下，我们对比了ReLU和SIREN。...可以很明显看到SIREN相较于ReLU重构出更多的结构细节，而对于物体表面恢复更加平滑 4.2 解决亥姆霍兹方程 亥姆霍兹方程是一个描述电磁波的微分方程，其公式如下 ?...我们求解了以绿点为中心，均匀传播的亥姆霍兹方程 其中只有SIREN函数能很好的匹配原始结果，而其他激活函数均求解失败 5.
隐式（implicitly）求解泊松方程（Poisson Equations），例如理想流体的流动，静态电场，溶质扩散，常物性参数的稳态导热方程。...vec2 fragCoord = gl_FragCoord.xy; vec2 rhs= texture2D(u_b, fragCoord/u_textureSize).xy; //隐式求解泊松方程...广告时间到： 几个《传热学》相关的小程序总结如下，可在微信中点击体验： 有限元三角单元网格自动剖分 Delaunay三角化初体验 （理论戳这） Contour等值线绘制 （理论戳这） 2D...非稳态温度场有限元分析 1D稳态导热温度场求解 （源码戳这) 1D非稳态导热温度场求解程序 （源码戳这) 2D稳态导热温度场求解 （源码戳这) 普朗克黑体单色辐射力 《传热学》相关小程序演示动画如下...《(计算)流体力学》中的几个小程序，可在微信中点击体验： Blasius偏微分方程求解速度边界层 （理论这里） 理想流体在管道中的有势流动 （源码戳这） 涡量-流函数法求解顶驱方腔流动
但是这个情况就相当于多了一个制约因素 ，因此这里得到的泊松过程就是一个更复杂一些的结果。 用数学来说，其实就是希望证明 但这个的证明讲白了就是定积分求解的梯形公式那一套。...这样的话其实相当于在讨论一个同质（homogenous）的随机过程，也就是我们之前一直讨论的泊松过程。而拆出的“奖赏为1”的那一部分，就是我们这个问题所研究的泊松过程。...对于第一个题，我们注意到，相当于知道了之前时间的情况，问之后的泊松过程的期望。因此可以考虑做一个变换，得到 这是因为两个泊松过程的差依然服从一个泊松分布。...第二个题就是反过来，知道了之后时间的情况，问之前的泊松过程的期望。这就是我们这一部分所介绍的内容，根据Corollary 2我们直接可以得到 好的，到此为止，关于泊松过程的变换我们就介绍完了。...首先根据均匀分布的公式，我们有 所以实际上的更新方程为 简单化简一下我们有 那么求导就可以得到 ，结合 （这是根据 ），根据基本常微分方程的求解，就可以得到 。
将源图像粘贴到目标图像上 为了保持过渡平滑，顾及了源图像粘贴区域的梯度信息与目标图像的边缘信息 结合已知信息求解方程组得到泊松编辑图像的结果 理论介绍 符号定义 如上图所示： 图像融合是要把源图像...这意味着上面的变分方程是指在Ω 的区域内，f的梯度和源图像的梯度一致，而在Ω 的边缘处f的值则和源图像f^*的值一致。...这个变分方程的解是如下泊松方程在Dirichlet边界条件时的解，这也是为什么我们的融合方式叫做泊松融合。...将泊松方程表示为线性向量形式 Af=b 等号的右边是图像g中每一个像素的拉普拉斯滤波结果∆gp，这很容易理解。...列出方程后就是解方程组了，A是稀疏矩阵，每行元素不超过5个，可以用 f = b / A计算得到 参考代码 参考了一份github上星星最多的泊松图像编辑代码，改成了python3并封装成类方法，供大家参考
再者，在时间域上的时间导数不是离散的。 一种方法是对时间域也使用有限元法，但这种做法可能会耗费大量的计算资源。经常采取的另一种方案则是通过直线法来对时间域进行独立的离散化。比如可以使用有限差分法。...其最简单的形式可以用下面的差分近似法来表示： （20） 给出的是方程（19）中的两个可能有限差分逼近。...此外，方程（20）中的差分方程被替换为一个多项式，其阶次和步长可以发生变化，具体取决于所要解决的问题和求解所需的时间。现代化的时间推进方案会根据数值解的时间演化来自动地控制多项式的阶次以及步长。...假设有一种数值方法可以对一个单位正方形（Ω）上的泊松方程进行求解，且该正方形具有齐次边界条件 （23-24） 此方法可用于对改动后的问题进行求解 （25-26） 其中， （27） 这里， 是可以被自由选择的一个解析表达式...此类估计依赖于对偏微分方程残差的后验 计算，以及对所谓的对偶问题 进行的近似求解。对偶问题与所选择的函数是直接相关的（并由其定义）。
在上一节的最后我们给大家展示了转移速率和C-K方程的联系，合理利用它们俩可以帮助我们求解连续时间马尔科夫链的转移概率矩阵。...这一部分我们就简单的举两个例子，给大家加深一些印象。 Problem 1: 考虑一个速率为 的泊松过程，证明 。 这个其实就是上一节的例子（Problem 3）。这里就不多费笔墨去说这一件事了。...Problem 2: 考虑排队论中的 模型，也即顾客到达服从一个速率为 的泊松过程，而服务时间服从一个速率为 的泊松过程，二者相互独立。...那么注意到 （这是因为等待这个过程本身是一个泊松过程，所以这个概率就是一个指数分布的概率），所以自然的根据条件就可以得到这个结论。 这个区间分拆大概可以用图表示为这么一个意思。 ?...这一个对应泊松过程的稀疏变换，可以参考这一节 随机过程（6）——泊松过程三大变换，更新过程引入 这个转移速率其实可以利用细致平衡条件来求解，不难得到 当然要刻画它的平稳分布，在这个无限状态的情况下
而科学领域中的各种各样的问题都是以这种隐式神经表示形式存在的，例如在图像、视频和音频处理中使用连续的可微表示来建模许多不同类型的离散信号，通过符号距离函数学习三维形状表示，以及更广泛的求解边界值问题：如泊松方程...、亥姆霍兹方程或波动方程。...作者证明，这种方法不仅比ReLU-MLP更好地表示信号中的细节，而且这些性质还独特地适用于导数，可微意味着梯度和高阶导数可以解析地计算，例如使用自动微分，利用良好的导数，隐式神经表示还可以为求解微分方程等反问题提供一个新的工具箱...4、泊松图像重建和编辑 ? 5、解泊松方程 ? 通过仅监督SIREN的导数，可以求解泊松方程，SIREN警报器再次成为唯一能够准确，快速地拟合图像，梯度和拉普拉斯域的架构。 ?...6、解决亥姆霍兹方程问题 ? 7、求解波动方程 在时域中，SIREN成功解决了波动方程，而基于Tanh激活函数的体系结构却未能找到正确的解决方案。 ? 8、用符号距离函数表示形状 ? ?
将深度学习和常微分方程结合在一起，提供四大优势 残差网络、递归神经网络解码器和标准化流（normalizing flows）之类模型，通过将一系列变化组合成一个隐藏状态（hidden state）来构建复杂的变换...这个值可以通过黑盒微分方程求解器来计算，该求解器在必要的时候评估隐藏单元动态 ? ，以确定所需精度的解。图1对比了这两种方法。 ? 图1：左：残差网络定义一个离散的有限变换序列。...来源：研究论文 还有时间连续RNN（continuous-time RNNs），能够处理不规则的观察时间，同时用状态依赖的泊松过程近似建模。下图展示了普通的RNN和神经ODE对比： ? ?...目前，作者正在讲ODE求解器拓展到GPU上，做更大规模的扩展。 论文：神经常微分方程 ? 摘要 我们提出了一类新的深度神经网络模型。...网络的输出使用一个黑箱微分方程求解器来计算。
但实际上，对于许多被隐式定义为偏微分方程的解的物理信号而言，这是十分必要的。...此外，研究者还展示了如何利用 SIREN 来解决具有挑战性的边值问题，比如特定的程函方程（Eikonal equation）、泊松方程（Poisson equation）、亥姆霍兹方程（Helmholtz...下面我们来看 SIREN 在处理泊松方程、亥姆霍兹方程、波动方程，以及利用符号距离函数表示形状和学习隐函数空间等五个方面的具体表现。...解决泊松方程问题 研究者表示，通过监督 SIREN 的导数，他们可以解决基于泊松方程的图像问题。实验结果显示，SIREN 同样是唯一一个能够准确快速拟合图像、梯度和拉普拉斯域的架构。...就具体细节来说，下图 3 展示了使用 SIREN 方法的拟合效果以及图像无缝融合到梯度域（gradient domain）的效果。 ? 图 3：泊松图像重建和泊松图像编辑。
随机过程（5）——无限状态马尔科夫链的进一步探讨，泊松分布引入，复合泊松分布 对于这个题，为什么说做法略有不同呢？不妨先列出公式看看，设 ，那么 ，并且我们有 有没有发现什么问题？...这里要注意，每多写一个方程，就会多一个未知数，因此如果只有这一系列的方程，是无法求解的。因此必须要通过肉眼来观察出其他的结论。 肉眼观察？开什么玩笑？事实上也没有太复杂，我们只需要观察一些简单的情况。...这个trick在概率论中，求解泊松分布的期望，方差的时候有使用。如果对此感到陌生，说明需要复习概率论了。 密度函数有了，期望，也就是“平均队列等待时间”就好求了。...但这个我们在Problem 2里面就已经求解过了，答案就是 。 模型的变种：有限等待空间 有限等待空间（Finite Waiting Room）的含义对应的就是上一节的Problem 6。...要说明它是一个泊松过程，就要说明等待时间服从一个指数分布。这个需要分情况讨论。因为队列如果有人排队，和没人排队，等待的时间是不同的。注意到如果队列有人排队（繁忙），那么需要等待的时间是 ，其中 。
概述 泊松融合是图像融合处理效果最好的算法，其来自于2004年Siggraph的经典paper：《Poisson Image Editing》。以这篇文章为发端，很多大神提出了一系列的优化算法。...在这篇文章中，泊松方程被转换成拉普拉斯方程，并且提出了用均值坐标Mean-Value Coordinates来近似求解这个方程，从而达到实时运算的效果。...初步了解了一下原生的泊松融合算法和均值坐标融合算法，其原理包含的内涵十分丰富，包含一些诸如列散度、拉普拉斯算子、梯度场、泊松方程等等数学知识，要完全弄明白确实需要一定的基础。...准备 在OpenCV中，已经收录了泊松融合算法，也就是函数seamlessClone()： ? 这个算法要求输入一个源图像，一个目标图像，源图像希望融合到目标图像的位置，以及一个mask图像。...参考 [1] 泊松融合及其优化算法 [2] Coordinates for Instant Image Cloning [3] 图像处理（十二）图像融合(1)Seamless cloning泊松克隆
(比如，一周交通事故的数目，每日酒水消耗的数量)，这类变量都是非负的有限值，而且它们的均值和方差通常都是相关的(正态分布变量间不是如此，而是相互独立)。...泊松回归 当通过一系列连续型和/或类别型预测变量来预测计数型结果变量时，泊松回归是一个非常有用的工具。...同时，药物治疗下癫痫发病数似乎变小了，且方差也变小了(泊松分布中，较小的方差伴随着较小的均值)。与标准最小二乘回归不同，泊松回归并不关注方差异质性。...同样，还需要评价泊松模型的过度离势。泊松分布的方差和均值相等。当响应变量观测的方差比依据泊松分布预测的方差大时，泊松回归可能发生过度离势。...稳健泊松回归（robust包中的函数glmRob()可以拟合稳健广义线性模型，包含稳健泊松回归，当存在离群点和强影响点时，该方法会很有效。）。
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