)关于λ求偏导的绝对值（图片来源：作者） 对数似然的概念 一般来说，我们不直接对似然函数 求微分，更方便的做法是对似然函数的自然对数求微分，原因如下： 出于对目标函数凸性的需求：通常，我们想要找到参数向量...接下来，我们对l(λ/y=y)关于λ求偏导数，得到以下函数： 图：对数似然函数关于λ求偏导（图片来源：作者） 绘制该函数在λ非负时的图像： 图：l(λ/y=y)关于λ求偏导的函数图像（只取λ非负的部分...下面让我们来看点有意思的事情： 对数似然函数偏导数的方差 就像y一样，对数似然函数的偏导数同样是一个随机变量，也有均值和方差。 这个函数的方差越小，观测值y与y的概率分布的均值真实值就越可能接近。...因此，y包含的关于（假定的）y的分布中的某个参数θ的真实值的信息，与其对数似然函数的偏导数关于θ的方差之间存在反比关系。...图片来源：作者） 让我们回想一下，对数似然函数的偏导数本身是一个随机变量，也具有均值，也就是关于y的期望值。
注：我们总是希望出现目前结果的可能性最大，所以想要得到极大化似然函数对应的参数θ。 为便于求解，我们引入不改变函数单调性的对数函数ln，把连乘变成加法，得到对数似然函数： ?...至此，可以用梯度上升法求解对数似然函数，求出使得目前结果的可能性最大的参数θ。也可以由对数似然函数构造损失函数，用梯度下降法求出使得损失最小对应的参数θ，接下来看下逻辑回归中的损失函数。...注：使用对数似然函数，不仅仅把连乘变成加法，便于求解，而且对数似然函对应的损失函数是关于未知参数的高阶连续可导的凸函数，便于求其全局最优解。...结合逻辑回归中的极大似然函数，如果取整个数据集上的平均对数似然损失，我们可以得到: ? 其中J(θ)为损失函数，由对数似然函数前面添加负号取平均得到。...即在逻辑回归模型中，最大化似然函数和最小化损失函数实际上是等价的(求最大化对数似然函数对应的参数θ和求最小化平均对数似然损失对应的参数θ是一致的)，即： ? 那如何求得损失函数最小对应的参数呢？
对 p_1 取对数似然函数的导数，将其设置为零并求解 p_1。当区分对数似然函数时，涉及 p_2 的项的导数将等于 0。所以我们只使用涉及硬币 1 的实验数据。...我们需要找到一个最大化对数似然函数的解决方案，当使用数值求解器时，不需要计算导数并手动求解最大化对数似然函数的参数。只需实现一个我们想要最大化的函数并将其传递给数值求解器。...由于 Python 中的大多数求解器旨在最小化给定函数，因此我们实现了一个计算负对数似然函数的函数（因为最小化负对数似然函数与最大化对数似然函数相同）。 代码和结果如下所示。...让我们将隐藏变量 Z 包含在似然函数中以获得完全似然： 完全似然函数的对数为： 这样就没有对数内的求和，更容易解决这个函数的最大化问题。...计算完整的对数似然函数： 求给定 X 和 theta 的隐藏变量 Z 的条件分布： 计算对数似然的条件期望： 剩下的就是最大化关于参数 theta 的条件期望。
我们把目标变成一个求最小的问题，这个问题就是最小二乘问题。 对于logistic模型，我们的目标函数就不是最小二乘了，而是极大似然，其实它们之间不是对立的，最小二乘可以通过极大似然推导出来。...选择最优算法 为了使得实现目标函数，即误差的平方最小，我们需要选择一个算法来实现。根据微积分，我们只需要把Q对a和b分别进行求导，另其导数为0，得出来的函数就是最小值（Q函数是二次函数，又是非负的）。...对目标函数进行优化 这里的“优化”当然就是“求最小”，我们使用求导为0的方法。 ? 拟合出最优的回归系数 求解上一步中的两个导数为零的函数，最终解得： ?...建立目标函数——极大似然 Logistic的目标函数是极大似然函数，这是本【生产篇】的一个重头戏，我们要介绍极大似然的思想、logistic模型如何运用极大似然思想、以及极大似然与最小二乘之间的关系...现在梯度下降算法基本搞明白了，但是，这里我们是要最大化似然函数啊，应该求的是最大值啊。
Logistic Regression的最大似然估计 Logistic函数可以和概率联系起来，于是我们可以将 视为分类到正例的概率估计： ，分类到负例的概率为： 。...有了概率表示，我们很容易进行概率上的最大似然估计。因为似然函数与概率函数的形式几乎相似，概率函数就是所有样本发生的概率的乘积，而似然函数是关于参数 的函数。...和线性回归一样，我们对上面的公式取 ，这样更容易实现似然函数的最大化： 如何求得上面公式的解？和线性回归一样，我们可以利用梯度上升法。...当前目标是最大化似然函数，因此我们要使用梯度上升，不断迭代寻找最大值。具体而言，参数按照下面的方式来更新： 参数估计中最关键的是得到导数公式。...求导之前，我们再回顾一下Logistic Regression： 而Logistic函数 在求导时有： ，因为： 然后，我们开始求参数的导数。我们仍然先假设训练集中只有一条数据 。
举个简单的例子，朴素贝叶斯是一种非常简单和流行的概率分类器，是一种生成模型，而逻辑回归是一种基于最大似然估计的分类器，是一种判别模型。...把贝叶斯法则用到Logistic回归分类器中 把它等价于先验和似然性的乘积，因为在argmax中，分母P(x)不提供任何信息。 该结果是较早得到的朴素贝叶斯算法生成分类器。...条件随机场的概率分布 为了估计参数(lambda)，我们使用最大似然估计。为了应用该技术，我们首先对分布取负对数，使偏导数更容易计算: ?...条件随机分布的负对数似然 要对负对数函数应用最大似然，我们将使用argmin(因为最小化负函数将产生最大似然性)。为了求最小值，我们可以求导，得到: ?...对lamda求偏导 我们把求偏导数作为梯度下降的一个步骤。梯度下降迭代更新参数值，每次一小步，直到值收敛。CRF的最终梯度下降更新方程为: ?
python简单实现最大似然估计 1、scipy库的安装 wim+R输入cmd，然后cd到python的pip路径，即安装：pip install scipy即可 2、导入scipy库 from scipy.sats...，各参数的最大似然估计（MLE）值 ''' x_norm = norm.rvs(size=200) #在这组数据下，正态分布参数的最大似然估计值 x_mean, x_std = norm.fit(x_norm...补充知识：python hypergeom.cdf函数理解 导入函数 hypergeom.cdf函数是scipy库中的。...这里用超几何分布的一般意义来解释，hypergeom.cdf表示：总共有M件产品，n件次品，从M件中随机挑出N件，这N件中最多包含n件中的k件的概率（也可以理解为M-n件产品中至少选到N-k件的概率）。...以上这篇python简单实现最大似然估计&scipy库的使用详解就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考。
我们把目标变成一个求最小的问题，这个问题就是最小二乘问题。 对于logistic模型，我们的目标函数就不是最小二乘了，而是极大似然，其实它们之间不是对立的，最小二乘可以通过极大似然推导出来。...根据微积分，我们只需要把Q对a和b分别进行求导，另其导数为0，得出来的函数就是最小值（Q函数是二次函数，又是非负的）。 因此这里我们就选择求导为0的方法，也就是一般来说的最小二乘法。...对目标函数进行优化 这里的“优化”当然就是“求最小”，我们使用求导为0的方法。 ? 拟合出最优的回归系数 求解上一步中的两个导数为零的函数，最终解得： ?...建立目标函数——极大似然 Logistic的目标函数是极大似然函数，这是本【生产篇】的一个重头戏，我们要介绍极大似然的思想、logistic模型如何运用极大似然思想、以及极大似然与最小二乘之间的关系...现在梯度下降算法基本搞明白了，但是，这里我们是要最大化似然函数啊，应该求的是最大值啊。
这句话，不说人话，就是极大似然估计。 如何进行极大似然估计呢？极大似然估计，顾名思义，就是先有个似然，然后让它取最大值。说人话: 给定X，经过模型W得到Y的概率，这个概率要最大化。...即P(Y|X)在什么W的情况下最大，即求W并使得P(Y|X;W)最大化。 似然定义 那么P(Y|X;W)怎么定义呢？...将多个样本的上述公式的值相乘，即可以定义为总的似然函数。 ? 如何极大似然估计 即然是求最大值，那么找到拐点就可以了。...由于相乘不好计算，先log一下转为对数似然函数，即相乘转相加，问题转化为求对数似然函数的最大值时的w。 ? 这下问题就简单了。就是求导数，梯度下降法。最终得到了迭代更新w的方法。 ?...然后反过来求p，最终即可得到sigmoid函数。 sigmoid函数的有趣特点是，自变量是负无穷到正无穷，应变量是0到1。越接近0变化越大。导函数是p(1-p)，导函数很有趣。
对xi 求偏导数并令其为0，可以得到 ? 这意味着在极值点处所有的xi 必须相等。对λ求偏导数并令其为0，可以得到 ? 因此当xi = 1/n时函数取得极值。此时熵的值为 ?...对所有变量求偏导数，并令偏导数为0，有 ? 最后可以解得 ? 交叉熵函数的Hessian矩阵为： ? 该矩阵正定，因此交叉熵损失函数是凸函数，上面的极值点是极小值点。...对似然函数取对数，得到对数似然函数为 ? 这就是交叉熵的特殊情况，随机变量只取0和1两个值。要求该函数的最大值，等价于求下面函数的极小值： ? 目标函数的梯度为 ? Hessian矩阵为 ?...显然这个结论是成立的。因为只有一个yi 为1，其他的都为0，一旦y的取值确定，如样本为第j类样本，则上式的值为yj* 。给定一批样本，它们的似然函数为： ?...yij 为第 i 个训练样本标签向量的第 j 个分量。对上式取对数，得到对数似然函数为 ? 让对数似然函数取极大值等价于让下面的损失函数取极小值 ? 这就是交叉熵，同样可以证明这个损失函数是凸函数。
对一个训练集的 个样本，假设 个样本独立同分布: 对概率对 极大似然估计得交叉熵函数： 为了数学上的便利以及更好地定义"损失"的含义，我们希望将极大值问题转换为极小值问题，因此取负并让参数...在逻辑回归的建模过程中，特征矩阵是已知的，参数是未知的，因此讨论的所有"概率"其实严格来说都应该是"似然"。因此求最大值即为求"极大似然"，所以逻辑回归的损失函数的推导方法叫做"极大似然法"。...损失函数 表征模型预测值与真实值的不一致程度。LR损失函数为负的对数损失函数。...逻辑回归，假设样本服从伯努利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值最小化负的似然函数 应用极大似然估计法估计模型参数，从而得到逻辑回归模型。...逻辑回归的损失函数求最小值，就是根据最大似然估计的方法来的。
所以，根据似然函数的定义，单个样本的似然函数即： 所以，整个样本集（或者一个batch）的似然函数即： 所以在累乘号前面加上log函数后，就成了所谓的对数似然函数： 而最大化对数似然函数就等效于最小化负对数似然函数...常见的逻辑回归使用的就是对数损失函数，有很多人认为逻辑回归的损失函数是平方损失，其实不然。逻辑回归它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），进而求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等。...逻辑回归推导出的经验风险函数是最小化负的似然函数，从损失函数的角度看，就是对数损失函数。形式上等价于二分类的交叉熵损失函数。...： 由此可以看出，对数损失函数与极大似然估计的对数似然函数本质上是相同的。...为求出一个合理的 ，我们需要一个评分函数（score function）： ，意为对数似然的梯度，当分数为0时（对数似然梯度为0），对数似然达到极值。
回忆一下用最大似然估计来确定单个高斯分布的参数的过程，给定一组训练样本，构造它们的对数似然函数，对参数求导并令导数为0，即可通过最大化对数似然函数而确定高斯分布的参数。...从另外一个角度看，高斯混合模型的对数似然函数为： ? 由于对数函数中有k个求和项，以及参数wj的存在，无法像单个高斯模型那样通过最大似然估计求得公式解。...采用最大似然估计，可以构造出对数似然函数： ?...EM算法所采用的思路是构造出对数似然函数的一个下界函数，这个下界函数更容易优化，然后优化这个下界。不断的改变优化变量的值使得下界函数的值升高，从而使得对数似然函数的值也上升。...显然，这个下界函数更容易求极值，因为对数函数里面已经没有求和项，对参数求导并令导数为0时一般可以得到公式解。
sigmoid函数形式， 对数似然函数： 现在想要对其取极大值，（因为是极大似然估计）， 那么在前面加个负号，求其最小值即可，(神经网络中一般用梯度下降求最小值)： 这就是CrossEntropy loss...NLL-loss（Negative Log Liklihood） 负对数似然概率 在pytorch的交叉熵损失函数定义中，有这么一句话： 交叉熵损失 是将 Logsoftmax 和 NLLLoss结合到一起了..., 也就是说 NLLLoss 要求的输入是 对数似然概率，log-probabilities， 也就是应接受 Logsoftmax的结果，它本身的定义为： 但是由于pytorch中指定它接受的已经是经过...BCEWithLogitsLoss就是把Sigmoid-BCELoss合成一步 不然的话，使用BCEloss就是要先对数据进行 sigmoid函数操作， 然后将结果再输入BCELoss求损失值， 有点类似于...但这个损失对于比较大的误差的惩罚很高。 我们可以采用稍微缓和一点绝对损失函数（L1损失）f(x)=|x|，它是随着误差线性增长，而不是平方增长。 但这个函数在0点处导数不存在，因此可能会影响收敛。
,xn）的对数似然性为 与a和b有关的梯度为 R实现 我们最小化了对数似然的相反数：实现了梯度的相反数。对数似然和它的梯度都不被输出。...我们绘制了真实值（绿色）和拟合参数（红色）周围的对数似然曲面图。...负二项分布的对数似然函数及其梯度 理论值 负二项分布的p.m.f.由以下公式给出 其中Γ表示β函数。...,xn）的对数似然性是 相对于m和p的梯度是 R实现 我们最小化对数似然性的相反数：实现梯度的相反数。...6.R语言区间数据回归分析 7.R语言WALD检验 VS 似然比检验 8.python用线性回归预测股票价格 9.R语言如何在生存分析与Cox回归中计算IDI，NRI指标
对 L 取对数，将其变成连加的，称为对数似然函数，如下式： Q：这里为什么要取对数？...求 对所有参数的偏导数，然后让这些偏导数为 0，假设有 个参数，就有 个方程组成的方程组，那么方程组的解就是似然函数的极值点了，从而得到对应的 了。...1.1.4 求极大似然函数估计值的一般步骤： （1）写出似然函数； （2）对似然函数取对数，并整理； （3）求导数，令导数为 0，得到似然方程； （4）解似然方程，得到的参数。...假如没有隐含变量 ，我们仅需要找到合适的 极大化对数似然函数即可： 增加隐含变量 之后，我们的目标变成了找到合适的 和 让对数似然函数极大： 不就是多了一个隐变量 ...如果 , 则第 (2) 式是我们的包含隐藏数据的对数似然的一个下界。如果我们能极大化这个下界，则也在尝试极大化我们的对数似然。
一般来说，我们感兴趣的并不是单个数据点的似然值，而是整个数据集上面所有点的似然值。要是有m个数据点，我们感兴趣的就是他们的联合条件密度，且因为各自独立，有： ?...这个公式的意思也很容易理解。怎么选择θ使得整个似然函数有最大的值，也就是让 更加接近于 。这个地方有点难想，多理解几遍。 学过概率论的都知道，接下来要对数化一下，使得方程更加容易解出来。...所以在用梯度法求的时候，就不是梯度下降法了，而是梯度上升法。 到这里，对于线性回归的回顾就到这里了，这里引出了概率的方法来做机器学习的推导，对于理解下面的logistic的推导是有帮助的。...他和回归的区别就是他的y值是离散的值，比如有3个类，分别是0类，1类和2类这样子。 我们这里讨论的分类问题主要是2分类问题，就是最后的结果只有两类，姑且定做0类（负类）和1类（正类）。...假设我们提供的训练的例子都是独立同分布的。我们能够写出似然函数为： ? 对数似然函数为： ? 之前我们说过，我们想要得到参数的表达式，需要最大化（对数）似然函数。
有时，可以看到L(θ)是连乘的，所以为了便于分析，还可以定义对数似然函数，将其变成连加的： ? 下面剩下的问题就是对函数求极值，怎么求一个函数的最值？...当然是求L(θ)对所有参数的偏导数，也就是梯度了，那么n个未知的参数，就有n个方程，方程组的解就是似然函数的极值点了，当然就得到这n个参数了。...求最大似然函数估计值的一般步骤： （1）写出似然函数； （2）对似然函数取对数，并整理； （3）求导数，令导数为0，得到似然方程； （4）解似然方程，得到的参数即为所求； 这里需要注意的是，这里的参数只是对应了一个类别...第一步是对极大似然取对数，第二步是对每个样例的每个可能类别z求联合分布概率和。 但是直接求一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。...也就是说极大似然估计单调增加，那么最终我们会到达最大似然估计的最大值。证明过程就先省略了。 感性的说，因为下界不断提高，所以极大似然估计单调增加，那么最终我们会到达最大似然估计的最大值。
01 什么是极大似然估计法 极大似然估计是 1821 年由高斯提出，1912 年由费希尔完善的一种点估计方法。...导数 导数的概念的其实挺简单的，这里我们不要求掌握太多的关于微积分的公式，只消会求导就可以了，关于基本初等函数的求导，大家可以在这里查找自己需要的求导公式。 复合函数的求导满足链式法则： ?...02 求解极大似然估计量的四步骤 终于到了本文的小高潮，如何利用极大似然估计法来求极大似然估计量呢？ 首先我们来看一个例子：有一个抽奖箱，里面有若干红球和白球，除颜色外，其他一模一样。...所以，优化算法势在必行，下面的骚操作就是先辈们经过不懈地探求总结出来的——先取对数再求导！ 对(1)式取对数，得： ? 对上式求导，整理得： ? 令该导数为零，可得式子： ? 解得 ?...为 θ 的极大似然估计量。从上述一般结果的抽象描述中，我们可以剥离出求解 ? 的一般步骤： 写出似然函数 ? ； 对似然函数取对数（视情况而定）； 求对数似然函数对未知参数的导函数 ?
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