尝试贪心（核心想法：解是在不断改进中，直到无法改进） 既然是最大化流，就找一条从s到t的路径，记录路径中最小的容量（瓶颈），能够找到这样的s到t的路径，就让当前flow加上此流量，直到没有路径抵到。...最小割集和最大流的对偶性证明： 抓住割集的定义即可，首先，任何有s和t的有向图，存在集合S和集合T，s∈S,t∈Ts \in S, t \in T，说明s属于集合S，t属于集合T，这样源点和汇点分属两个不同集合...定理： 对于给定的流f，横跨任何切割的净流量都相同，这就意味我们可以对S和T进行任意切分，集合S可以等价于s，集合T可以等价于t，或许我们能找到割集容量和最大流的关系？...f(S,T)最大也就最小割集那么大了，那到底是比最小割集小呢还是最大流正好等于最小割集呢？...所以说：求最大流就等于求最小割集，这两个问题无形当中等价了。
之前的一个学习一直在看图像分割的部分内容，基于交互的图像分割基本都是用图割的算法，全自动的图割算法也有最小生成树的改进算法。...现在想写点东西，从算法 的最本质问题，图论中的网络流问题开始，做个总结，也算是对知识的一个回顾。 网络最大流，增广路，残留网络，最小割这几个基本概念是构成最大流最小割定理的基本概念。...而该定理是网络流理论的基础。 我们还有一下几个问题需要搞清楚： 1.最本质问题就是使用图割算法解决具体问题时候，是怎样构建图的，节点对应什么，边的权值对应什么。...2.为什么说图割算法能够达到能量最小化。 3.怎么引入能量这个概念的。 几种最大流算法的时间复杂度： ?
2.2 网络流 （一）最大流 对于带有源点S和汇点T的有向图，称为网络图。在网络图中设f是定义在集合E上的非负函数。...（二）最小割 网络图中一个S-T的割意味着将顶点集分为两部分， ? 。割的代价为顶点集到所有割边的容量和，容量和最小的割称为最小割。...设x 和y 是顶点集V中的两个顶点，(x,y)表示从x 到y 的一条边，其边的权值表示为c(x,y)。因此对于图G=(v,e)其一个割可以表示为： ?...Ford 和 Fulkerson 早在1962年证明了最大流和最小割的等价对应关系。通过求网络图的最大流来等价其最小割，进而可以获取此最小割对应能量函数的全局最小值。...在图1中，点表示源点，点表示汇点，视差边对应于能量函数式（1）中的第一项，平滑边对应于能量函数第二项。求解式（1）的能量函数的最小值可以等价为求解图的最小割问题，获得全局最优的视差图。
大部分内容来自学姐的PPT 拆点 一个非常有用的思想 限流 将对点的限制转化为对边的限制 点的合并 这个还没看到 最小割 最小割==最大流 一条增广路中，必有一条边满流，满流的流量即为这条增广路的流量...删去一些边使源汇不连通即阻断所有的增广路，代价之和即为最大流。 最大流=最小割 你能想到什么？...最小点覆盖集=二分图最大匹配数 证明： 边分为匹配边和未匹配边 未匹配边一定至少有一个点被选中，否则会增加一个新的匹配，与最大匹配不符 最小点权覆盖=二分图最小割 证明： 把每一个匹配看做一条增广路...最大点权独立集=总点权-最小点权覆盖集 最大点权独立集=总点权-二分图最小割 最大流——最小割 最大点独立集——最小点覆盖集 路径覆盖 路径覆盖就是在一个DAG（有向无环图）中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点...最小边覆盖=最大点独立集 闭合子图 有向图的闭合子图是一个点集，该点集的所有出边都还指向该点集 闭合子图中，点权和最大的点集称为最大权闭合子图 正点权和-最小割 ?
，具体步骤如下： 先构造网络流N，添加源点s，从s到正权值点做一条边，容量为点的权值。...添加汇点t，从负权值点到t做一条边，容量为点的权值的绝对值。 原来的边的容量统统设为无穷大。比如： ? ? 求解最小割，最大权=正权值之和-最小割权值 残余网络中的点的个数即为裁员个数。...思路：最大权闭合图等价于简单割（当然是转换成图N的情况下），或者可以这么理解，每个从源点s出发的简单割与最大权闭合图一一对应。 问题来了，简单割是什么？和之前最大流中的割集有什么关系？...（证毕） 那么该问题就变成了求最小简单割（即最大流的最小割算法），那为啥上述公式就是答案了呢？最大权=正权值之和-最小割权值？...（证毕） 这样就把每个顶点可选和不选的情况，统一到求解最小割集，即求解最大流，高明。
机器之心报道 机器之心编辑部 谷歌博客放出新研究，求解无向图的最小割问题。...（通常称为最小割）是关于图连通性的基本结构问题，它一般关注的是断开网络最简单的方法是什么？...在图论中，去掉其中所有边能使一张网络流图不再连通（即分成两个子图）的边集称为图的割，一张图上最小的割称为最小割。...事实上，关于最小割问题的许多结构发现都是沿着这个方向进行的。...low-conductance 的 cut S 直观地捕获了网络中的瓶颈，因为只有少量边（相对于其 volume）将 S 连接到图的其余部分。
学会使用栈和队列等线性结构。 掌握BFS和DFS以及树的前序、中序、后序遍历。 学会分治策略。 掌握排序算法：选择排序、归并排序、快速排序、计数、基数排序等等。...图论一：强连通分量、双连通分量、割点、桥、强连通分量和双连通分量缩点、二分图匹配（二分图最大匹配、最小点集覆盖、最小路径覆盖、二分图最优匹配、二分图多重匹配）、网络流（最大流的基本SAP、最大流的ISAP.../Dinic等高效算法、最小费用最大流、最大流最小割定理）等。...计算几何：多边形间并蹱点对、凸多边形间对蹱点对、四边形剖分、三角剖分、凸多边形最小周长外接矩形、凸多边形最小面积外接矩形、凸多边形间最小距离、凸多边形直径、凸多边形的宽度等各种旋转卡壳相关算法、最小覆盖圆...图论二：网路流的各种构图训练（重要）、最小割与最小点权覆盖等的关系、次小生成树、第k短路、最小比率生成树等。 学好专业课知识：理解数据库原理、学会SQL语句、学会使用触发器、学好计算机组成原理。
网络流的背景我就不多说了，就是在一个有向图中找出最大的流量，有意思的是，该问题的对偶问题为最小割，找到一种切分，使得图的两边的流通量最小，而且通常对偶问题是原问题的一个下界，但最小割正好等于最大流，即切割的边就是最大流中各个...path饱和边的一个组合。...最大流最原始最经典的解法就是FF算法，算法复杂度为O(mC)，C为边的容量的总和，m为边数。...而今天讲的Push-relabel算法是90年代提出的高效算法，复杂度为O(n^3)，其实网络流最关键的步骤就是添加反向边，得出剩余图。而其他的改进就是为了在寻找增广路径时尽可能贪心，流量尽可能大。...的流量，传递给w，如果该边为正向边，传的大小为bottleneck=min{excess(v), c(v,w) - f(v, w)}，否则bottleneck=min{excess(v), f(v, w
最近公共祖先,LCA 节点间距离 树的直径 动态树 树链部分,树剖 Link-Cut Tree,LCT 树的应用 并查集 (Disjoint set) 树的遍历 哈夫曼树 RMQ 树套树 可持久化 虚树...搜索 广度优先搜索, BFS 深度优先搜索, DFS 剪枝 记忆化搜索 启发式搜索 启发式迭代加深, IDA* Dancing Links 爬山法 模拟退火 遗传 A*算法 迭代加深 随机调整 网络流...最大流 Dinic Sap 有上下界的最大流 最小割 闭合图 最小点权覆盖集 最大点权覆盖集 分数规划 最大密度子图 费用流 最短路增广费用流 zkw费用流 最小费用可行流 基础算法 模拟 贪心...数位dp 多维状态 区间动归,区间dp 字母树 动态规划优化 单调队列 降低维度,降维 优先队列(Priority Queue) 矩阵加速,矩阵优化 斜率优化 状态压缩,状压 凸完全单调性,凸单调 四边形不等式...次小生成树 特殊生成树 圈和块 最小环 负权环 连通块 2-SAT 欧拉公式 四色定理 欧拉环路 强连通分量,缩点 Tarjan 割点 仙人掌 计算几何 凸包 叉积 线段相交 点积 半平面相交
算法 无源汇上下界可行流 先强制流过l的流量 从s到每个正权点连流量为l的流量 从每个负权点向t连-l的流量 如果容量为0，则不连边 有源汇上下界最大流 去掉下界 先求出可行流 再求S到T的最大流...有源汇上下界最小流 直接应用 poj1149 我的思路 建一个点S，到每个顾客，连INF的边，每个顾客 正解 1.用分层图，建n*m个点 2.直接从S向每个人连边，记录下每个猪圈打开的人的先后顺寻，先来的人向后来的人连边...1 链覆盖： 用floyd求传递闭包 从一个点向它能到达的点都连边 用最小流解决 链覆盖把每个点的上限改为INF 魔术球问题 Solution CTSC2006 最小链覆盖 Dilworth定理 例如...，上界为INF 优化 对所有点选一条点权和最大的 从左下到右上DP 时间分层 网络流24题星际XXXX 当最大流为k的时候结束 [HNOI2007]紧急疏散 回路限制 POI2010 solution...转化为最小割 BZOJ3774 平面图对偶图 狼抓兔子 NOI2010海拔 相当于S和T之前求最小割 距离限制 HNOI拍照 变形 CTSC2009 根据曼哈顿距离的性质 分别最优化横纵坐标 Hall定理
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 平面图定义： 图存在一种形式，所有的边只在顶点处相交，那么这个图就是平面图。 对偶图定义： 对于每一个平面图， 都有与其相对应的对偶图....我们假设上面的例图是图G， 与其对应的对偶图G*， 那么对于G*来说， G*上面的每一个点， 对应的是G里面的每一个面. 比如说下面就是G*. 上面的点就是对偶图G里的点....那么关于对偶图G*里的边呢 ? 对于G中本来的每条边e， 他是两个面(比如说面f1和f2)的交边， 那么在对偶图里， 我们对这两个面(f1， f2)所映射在G*里的点连线(f1* 连向f2*)....如果f1 == f2(比如说G中5， 6这条边， 边的两侧都是同一个面， 那我们就建一条回边. 图就长这样(回边在5， 6那里)....求网络流的最小割或最大流时，如果时平面图，就可以转化成对偶图，然后对对偶图求s’,t’的最短路，就是原网络的最大流和最小割。就是对偶图的点需要自己对应好。。
p=17635 我们根据一些论文中提到的示例，使用最大流最小割定理将流量拥塞降至最低， 并应用了最短路径分析了交通瓶颈。...通过具有容量的网络，目标是确定该网络上从源到宿的最大流量。...可以使用R $value [1] 2571 $flow [1] 10 142 130 23 0 2 我们的最大流量为2571，这与两篇论文中的最大流量最小割定理以及 最短路径的应用中都实际要求的不同...，因为表格和图表上的值不同。...实际上，有可能在同一城市的另一篇论文中做同样的事情，这是道路网络的交通拥堵问题。
： 图论--最小环--Floyd模板 树的直径： 图论--树的直径--DFS+树形DP模板 树的重心： 图论--树的重心（DFS） 模板 生成树： 图论--最小生成树--Kruscal 模板 图论--最短路径生成树...（最小边权和）模板 图论--最短路径生成树计数--模板 图论--生成树--次小生成树模板 图论--曼哈顿距离最小生成树模板 图论--生成树计数模板 图论--最小生成树--Prim算法（带边输出）模板 连通性...： 图论--割点--Tarjan模板 图论--割边--Tarjan模板 图论--边双连通V-DCC缩点 图论--双连通E-DCC缩点模板 图论--强连通SCC缩点模板 二分图匹配： 图论--二分图最大匹配...--匈牙利 图论--二分图最佳完美匹配--KM 一般图带花树匹配： 图论--一般图带花树匹配（缩点） 网络流： 最大流（EK） 最大流（Dinic矩阵版） 最大流（Dinic邻接表版） 最大流（Hlpp...） 2-SAT: 2-SAT--暴力染色法求字典序最小模版 2-SAT--暴力染色法模板（字典序最小解) RQ的板子 2-SAT--Tarjan连通分量+拓扑排序O(N+M）模板 拓扑排序： 图论--拓扑排序
简介 最大流算法主要分为两大类，一类为增广路算法，一类为预流推进算法。最大流算法解决的是在有向网路图 中计算从源点 到汇点 的最大流量问题，以及最小割容量问题。...最小割最大流定理 最大流的值等于 的最小割容量。 2. 增广路算法 剩余容量 剩余容量 表示边 的容量与流量之差。...残量网络 对于网络图 ，残量网络定义为网络 G 中所有节点和剩余容量大于 0 的边构成的子图，即 2.1 EK 算法 BFS 寻找增广路，一次 BFS 一次增广 每一条有向边都需要构造反向边...Dinic 算法则巧妙解决了 EK 算法的不足之处： 一次 BFS 后使用 DFS 进行多次增广 DFS 多次增广过程中，对于已经没有容量的边，采用弧优化的方法巧妙避免重复增广判断 Dinic 算法的复杂度为...ll head[MAXN]; // 节点的第一条边的编号 ll rflow[MAXN]; // 每个点对应的余流（所有节点的余流初始化为0） ll level[MAXN];
-f_zyj v 2.0\text{ACM模版-f_zyj v 2.0}，但是鉴于我仍然认为我的上一版中存在很多过去一年内没有发现的瑕疵，所以我会在从今天起的一个月内进行重新审查，从头至尾的过一遍该模版...Graph 图论 核查 DAG的深度优先搜索标记 完毕 9.14 Graph 图论 核查 图的割点、桥和双连通分支的基本概念 完毕 9.14 Graph 图论 核查 无向图找桥...更新完毕 9.15 Network 网络流 核查 二分图匹配相关 完毕 9.15 Network 网络流 核查 无向图最小割 完毕 9.15 Network 网络流 核查 最大流 完毕 9.15...Network 网络流 核查 最小费用流 完毕 9.15 Network 网络流 核查 有上下界的流 完毕 9.15 Network 网络流 核查 最佳边割集 完毕 9.15 Network 网络流...核查 最佳点割集 完毕 9.15 Network 网络流 核查 最小边割集 完毕 9.15 Network 网络流 核查 最小点割集 完毕 9.15 Network 网络流 核查 最小覆盖问题 完毕 9.15
我们的问题就是，对于任意一个图，如何求该图的连通度以及边连通度？这跟最大流问题有什么联系？ 简单起见，我们先说如何求一个图的边连通度lamda(G)。...将图G转换成一个流网络H，u为源点，v是汇点，边容量均为1，那么显然r（u，v）就是流网络的最小割，根据（二）里的介绍，其等于流网络的最大流。...所以，我们只需要任取一个点u，计算u和其他点的r（u，v），取最小者，必然是等于最小割集，即边连通度。...双连通图、割点与桥 点连通度与边连通度： 在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合v，删除顶点集合v，以及与v中顶点相连 （至少有一端在v中）的所有边后，原图不连通，就称这个点集v为割点集合。...一个图的点连通度的定义为：最小割点集合中的顶点数。 类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图不连通，就称这个点集为割边 集合。 一个图的边连通度的定义为：最小割边集合中的边数。
1.2关于最小割 如图1所示，是一个有向带权图，共有4个顶点和5条边。每条边上的箭头代表了边的方向，每条边上的数字代表了边的权重。...此时，图中已不存在从s到t的路径，且所修剪的边的权重和为：2 + 3 = 5，为所有修剪方式中权重和最小的。 我们把这样的修剪称为最小割。 1.3关于最大流 什么是最大流呢？...这就是最大流问题。所以，图1的最大流为：2 + 3 = 5。 细心的你可能已经发现：图1的最小割和最大流都为5。是的，经过数学证明可以知道，图的最小割问题可以转换为最大流问题。...所以，算法上在处理最小割问题时，往往先转换为最大流问题。 那如何凭直觉解释最小割和最大流存在的这种关系呢？...借用Jecvy博客的一句话：1.最大流不可能大于最小割，因为最大流所有的水流都一定经过最小割那些割边，流过的水流怎么可能比水管容量还大呢？
(poj2186) (5)图的割边和割点(poj3352) (6)最小割模型、网络流规约(poj3308, ) 三.数据结构. (1)线段树....(poj1639) (2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解) (poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,...(poj2778) (2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和 在线算法 (RMQ+dfs))....(poj1330) (3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的 目的). ...1149 2516 (最小费用最大流) (难) 第七类 二分图 (至少3题) 1325 1469 2195 (KM 算法或最小费用最大流) (难) 2446
后缀数组 计算几何 凸体船体 网络流 二分匹配 最小顶点覆盖 Steiner Tree 旅行商问题 ---- 在网上看大家都是推荐visualgo，但很少有深入的文档可以学习，所以天天准备在这里详细介绍下...图结构 图是一种非线性的数据结构，由节点和边组成。图可以用来表示网络、关系等概念，并且在许多领域中都得到了广泛应用。 ---- 8. 并查集 并查集是一种用于处理不相交集合的数据结构。...常见的图遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。 ---- 13. 最小生成树 最小生成树是指在一个加权连通图中，找到一棵包含所有节点且边权值之和最小的生成树。...该问题可以用于处理机器人路径规划等应用场景。 ---- 20. 网络流 网络流是一种图论算法，用于建模和解决最大流/最小割问题。...其中最大流表示从源点到汇点的最大流量，最小割表示将图分为两个不相交的部分的最小代价。 ---- 21. 二分匹配 二分匹配是一种用于解决二分图匹配问题的算法。
此类方法把图像分割问题与图的最小割（MIN-CUT）[1]问题相关联，通常做法是将待分割的图像映射为带权无向图G=(V，E)，其中，V={v1，…，vn}是顶点的集合，E为边的集合。...显然中间的红色虚线切割的边就是最小化分割。 最小化分割解决了把权重图G分成两部分的任务，但是问题来了，如下图所示，想要的结果是中间实线表示的分割，但是最小化切割却切掉了最边缘的角。...Graph Cuts中的Cuts是指这样一个边的集合，这些边集合包括了上面定义的2种边，该集合中所有边的断开会导致残留“S”和“T”图的分开，所以就称为“割”。...如果一个割，它的边的所有权值之和最小，那么这个就称为最小割，也就是图割的结果。根据网络中最大流和最小割等价的原理，将图像的最优分割问题转化为求解对应图的最小割问题。...由Boykov和Kolmogorov发明的max-flow/min-cut算法[1，4]就可以用来获得S-T图的最小割，这个最小割把图的顶点划分为两个不相交的子集S和T，其中s ∈S，t∈ T和S∪T=
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