在需要使用到相应算法时,能够帮助你回忆出常用的实现方案并且知晓其优缺点和适用环境。并不涉及十分具体的实现细节描述。
那这篇文章我们要再来学习一个求解多源最短路径的算法——Floyd-Warshall算法
最短路径算法主要有两种,Dijkstra算法和floyd算法,当时在学习这两种算法时经常弄混了,关于这两种算法,记得当时是在交警平台设置的那一道题目上了解到的,就去查很多资料,花了不少时间才基本了解了这两种算法的基本用法,在总结的时候,我更多的是用代码的方式去做的总结,当时想的是等到要用的时候,直接改一下数据,运行代码,得到想要的最短路径就可以了。记得我们老师说过数学建模的知识没必要过于深入的去学习,只要在要用的时候,能想起有这个知识存在,知道大概是用来干嘛,并且能拿过来用就行了(大概就是这个意思)。
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成,通常表示为: G=(V,E) 其中:G表示一个图,V是图G中顶点的集合,E是图G中顶点之间边的集合。 在线性表中,元素个数可以为零,称为空表; 在树中,结点个数可以为零,称为空树; 在图中,顶点个数不能为零,但可以没有边。
本内容来源于《趣学算法》,在线章节:http://www.epubit.com.cn/book/details/4825
N-最短路径 是中科院分词工具NLPIR进行分词用到的一个重要算法,张华平、刘群老师在论文《基于N-最短路径方法的中文词语粗分模型》中做了比较详细的介绍。该算法算法基本思想很简单,就是给定一待处理字串,根据词典,找出词典中所有可能的词,构造出字串的一个有向无环图,算出从开始到结束所有路径中最短的前N条路径。因为允许相等长度的路径并列,故最终的结果集合会大于或等于N。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题, 旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括:
要令 A 到 B 之间的 距离 变短 , 只能 引入 第三个点 K , A 先到 K , 然后从 K 到 B ,
这篇文章我们先来学习第一个求单源最短路径的算法——迪杰斯特拉算法(Dijkstra),是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的,然后后面我们还会学到求多源最短路径的算法。
floyd算法用于求图中各个点到其它点的最短路径,无论其中经过多少个中间点。该算法的核心理念是基于动态规划,
本文总结了图的几种最短路径算法的实现:深度或广度优先搜索算法,弗洛伊德算法,迪杰斯特拉算法,Bellman-Ford算法
下面以一个例子来说明单源最短路径问题:在下图所给的有向图G中,每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
为了能讲明白弗洛伊德(Floyd)算法的主要思想,我们先来看最简单的案例。图7-7-12的左图是一个简单的3个顶点的连通网图。 我们先定义两个二维数组D[3][3]和P[3][3], D代表顶点与顶点
最短路径问题:如果从图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能不止一条,如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。当然这只是最基础的应用,关于单源最短路径还有很多变体:
常见的数据结构中树的应用较多一些,在树的节点关系中称之为父子关系,而在一些特定场景下图能更清晰表达。
viterbi算法是一个特殊但应用最广的动态规划算法,利用动态规划,可以解决任何一个图中的最短路径问题。而viterbi算法针对的是一个特殊的图——篱笆网络的有向图(Lattice)的最短路径问题而提出的。它之所以重要,是因为凡是使用隐马尔可夫模型描述的问题都可以用它来解码,包括今天的数字通信、语音识别、机器翻译、拼音转汉字、分词等
最短路算法:最短路径算法是图论研究中,一个经典算法问题;旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。
图是非线性数据结构,是一种较线性结构和树结构更为复杂的数据结构,在图结构中数据元素之间的关系可以是任意的,图中任意两个数据元素之间都可能相关。
G纲是个物流离散中心,经常需要往各个城市运东西,怎么运送距离最近——单源最短路径问题
最近被BOSS抽查 运筹学 基本功课, 面对BOSS的突然发问, 机智的小编果断选择了—— 拿 · 出 · 课 · 本 然后BOSS 微微一笑 : “来,实现下解决这个问题的代码。” 意识到上完运筹学的自己根本是条 只会解应用题 的 咸·鱼,而运筹学实际上是门算法课后... 小编 放弃治疗 痛定思痛 ,决心开始手脑结合、理论+实践、以解决问题为目的,开始自己在运筹学上的新一轮征程! 本着一贯的无私奉献精神,小编整理出了这些日子学习运筹学的一系列心得笔记,帮助大家快速突破理论到实践的次元壁!
迪杰斯特拉算法(Dijkstra's algorithm)是一种非常重要且有价值的算法。它被广泛应用于计算图中单源最短路径问题,在交通路线规划、网络路由、作业调度等领域有着广泛的应用。
在非网图中,最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。 在网图中,最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。
上篇文章的最小生成树有没有意犹未尽的感觉呀?不知道大家掌握得怎么样,是不是搞清楚了普里姆和克鲁斯卡尔这两种算法的原理了呢?面试的时候如果你写不出,至少得说出个大概来吧,当然,如果你是要考研的学生,那就要深入的理解并且记住整个算法的代码了。
Dijkstra算法研究的是从初始点到其他每一结点的最短路径 而Floyd算法研究的是任意两结点之间的最短路径
上篇博客我们详细的介绍了两种经典的最小生成树的算法,本篇博客我们就来详细的讲一下最短路径的经典算法----迪杰斯特拉算法。首先我们先聊一下什么是最短路径,这个还是比较好理解的。比如我要从北京到济南,而从北京到济南有好多条道路,那么最短的那一条就是北京到济南的最短路径,也是我们今天要求的最短路径。 因为最短路径是基于有向图来计算的,所以我们还是使用上几篇关于图的博客中使用的示例。不过我们今天博客中用到的图是有向图,所以我们要讲上篇博客的无向图进行改造,改成有向图,然后在有向图的基础上给出最小生成树的解决方案。
一个图G = (V, E)由一些点及点之间的连线(称为边)构成,V、E分别计G的点集合和边集合。在图的概念中,点的空间位置,边的区直长短都无关紧要,重要的是其中有几个点以及那些点之间有变相连。
1. 图这种数据结构相信大家都不陌生,实际上图就是另一种多叉树,每一个结点都可以向外延伸许多个分支去连接其他的多个结点,而在计算机中表示图其实很简单,只需要存储图的各个结点和结点之间的联系即可表示一个图,顶点可以采取数组vector存储,那顶点和顶点之间的关系该如何存储呢?其实有两种方式可以存储顶点与顶点之间的关系,一种就是利用二维矩阵(二维数组),某一个点和其他另外所有点的连接关系和权值都可以通过二维矩阵来存储,另一种就是邻接表,类似于哈希表的存储方式,数组中存储每一个顶点,每个顶点下面挂着一个个的结点,也就是一个链表,链表中存储着与该结点直接相连的所有其他顶点,这样的方式也可以存储结点间的关系。
关键路径——在AOE-网中有些活动可以并行地进行,所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度,路径长度最长的路径叫做关键路径(Critical Path)。
问题描述 给定一个带权有向图,计算任意两结点间的最短路径。 迪杰斯特拉算法可以计算指定起点到所有结点的最短路径长度,因此分别对每个结点使用一次迪杰斯特拉算法即可求的任意两结点间的最短路径。迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(n^2),因此采用这种方法的时间复杂度为O(n^3)。 但是,迪杰斯特拉算法不允许权值为负数,因此需要使用弗洛伊德算法。 弗洛伊德算法允许权值为负数的边,但不允许回路的路径长度为负数。因为,若回路长度为负数,那么走一次回路,路径长度一定比上一次小,故这个问题就没有意义了。 数
在一个连通图中,从一个顶点到另一个顶点间可能存在多条路径,而每条路径的边数并不一定相同。如果是一个带权图,那么路径长度为路径上各边的权值的总和。两个顶点间路径长度最短的那条路径称为两个顶点间的最短路径,其路径长度称为最短路径长度。
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra 算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
在有向连通图中,从任意顶点i到顶点j的最短路径,可以看做从顶点i出发,经过m个顶点中转,到达j的最短路程。最开始可以只允许经过”1”号顶点进行中转,接下来只允许经过”1”号顶点和”2”号顶点进行中转……允许经过”1”~”m”号顶点进行中转,求任意两顶点的最短路程。
贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford)是由理查德·贝尔曼(Richard Bellman) 和 莱斯特·福特 创立的,求解单源最短路径问题的一种算法。有时候这种算法也被称为 Moore-Bellman-Ford 算法,因为 Edward F. Moore 也为这个算法的发展做出了贡献。它的原理是对图进行V-1次松弛操作(V是顶点数量),得到所有可能的最短路径。其优于Dijkstra算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单,缺点是时间复杂度过高,高达O(VE)。但算法可以进行若干种优化,提高了效率。
动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度,因此它比回溯法、暴力法等要快许多。 首先,我们要找到某个状态的最优解,然后在它的帮助下,找到下一个状态的最优解。
本文总结算法中涉及图的最短路径可能用到的算法,主要分为两大类,一类是单源最短路径,即计算一个给定的顶点到其他顶点的最短路径,一类是多源最短路径,即计算顶点两两之间的最短路径。
简单地说,就是给定一组点,给定每个点间的距离,求出点之间的最短路径。举个例子,乘坐地铁时往往有很多线路,连接着不同的城市。每个城市间距离不一样,我们要试图找到这些城市间的最短路线。
如果两个结点间有边, 例如从结点X到结点Y,则从结点X到结点Y耗费的费用记做C(X,Y)=10。
熟悉的最短路算法就几种:bellman-ford,dijkstra,spfa,floyd。 bellman-ford可以用于边权为负的图中,图里有负环也可以,如果有负环,算法会检测出负环。 时间复杂度O(VE); dijkstra只能用于边权都为正的图中。 时间复杂度O(n2); spfa是个bellman-ford的优化算法,本质是bellman-ford,所以适用性和bellman-ford一样。(用队列和邻接表优化)。 时间复杂度O(KE); floyd可以用于有负权的图中,即使有负环,算法也可以检测出来,可以求任意点的最短路径,有向图和无向图的最小环和最大环。 时间复杂度O(n3); 任何题目中都要注意的有四点事项:图是有向图还是无向图、是否有负权边,是否有重边,顶点到自身的可达性。 1、Dijkstra(单源点最短路) 这个算法只能计算单元最短路,而且不能计算负权值,这个算法是贪心的思想, dis数组用来储存起始点到其他点的最短路,但开始时却是存的起始点到其他点的初始路程。通过n-1遍的遍历找最短。每次在剩余节点中找dist数组中的值最小的,加入到s数组中,并且把剩余节点的dist数组更新。
它的优点是可以解决有负权边的单源最短路径问题,而且可以用来判断是否有负权回路。 它也有明显的缺点,它的时间复杂度 O(N*E) (N是点数,E是边数)普遍是要高于Dijkstra算法O(N²)的。像这里如果我们使用邻接矩阵实现,那么遍历所有边的数量的时间复杂度就是O(N^3)。
问题解释: 从图中的某个顶点出发到达另外一个顶点的所经过的边的权重和最小的一条路径,称为最短路径
含有n个顶点的无向完全图有多少条边? n×(n-1)/2条边 含有n个顶点的有向完全图有多少条弧? n×(n-1)条边
想必大家在刚开始学习运筹学模型时,会觉得有些茫然不知所措吧?比如一大堆神奇的名词,各种各样的约束。。。反正我一开始是很懵的状态。
1.图 图G由顶点集V和关系集E组成,记为:G=(V,E),V是顶点(元素)的有穷非空集,E是两个顶点之间的关系的集合。 若图G任意两顶点a,b之间的关系为有序对,∈E, 则称为从a到b的一条弧/有向边;其中: a是的弧尾,b是的弧头;称该图G是有向图。 若图G的任意两顶点a,b之间的关系为无序对(a,b), 则称(a,b)为无向边(边),称该图G是无向图。 无向图可简称为图。 2.完全图 3.网:带权的图 4.子图:对图 G=(V,E)和G’=(V’,E’), 若V’
在一个带权图中,顶点V0到图中任意一个顶点Vi的一条路径所经过边上的权值之和,定义为该路径的带权路径长度,把带权路径最短的那条路径称为最短路径。
转载自:http://blog.csdn.net/fengchaokobe/article/details/7478774
连通图中的每一棵生成树,都是原图的一个极大无环子图,即:从其中删去任何一条边,生成树就不在连通;反之,在其中引入任何一条新边,都会形成一条回路。
方法一:每次以一个顶点为源点,重复执行Dijkstra算法n次—— T(n)=O(n³)
图的最重要的应用之一就是在交通运输和通信网络中寻找最短路径。例如在交通网络中经常会遇到这样的问题:两地之间是否有公路可通;在有多条公路可通的情况下,哪一条路径是最短的等等。这就是带权图中求最短路径的问题,此时路径的长度不再是路径上边的数目总和,而是路径上的边所带权值的和。带权图分为无向带权图和有向带权图,但如果从A地到B地有一条公路,A地和B地的海拔高度不同,由于上坡和下坡的车速不同,那么边<A,B>和边<B,A>上表示行驶时间的权值也不同。考虑到交通网络中的这种有向性,本篇也只讨论有向带权图的最短路径。一般习惯将路径的开始顶点成为源点,路径的最后一个顶点成为终点。
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