Programming 课程布置的作业中要自己实现 sin()，cos()，exp() 等函数。这些函数都可以使用泰勒级数来逼近，如下图所示： ?...sin() 函数的逼近 由于用泰勒级数实现比较麻烦，需要迭代很多次。又在网上找到了一个简单又快速的实现方法。简单来说就是使用一元二次方程的公式，及一些已知点的值。如下所示： ? ? ? ?...} 逼近的效果还不错，如下所示: ?...有了 sin() 函数的实现，cos() 的实现就容易多了，毕竟两者之间是有转换公式的： ?...[译]一种简单，快速，精准的sin/cos函数模拟，及as3实现 [2]. https://gist.github.com/geraldyeo/988116 [3]. exp()近似计算，exp快速算法
reversed()函数 第二个内置函数reversed(seq)，它以序列对象为参数（例如：元组和列表），返回一个反序的迭代器对象，本质上，这个函数的作用是将传入的序列对象中元素的排列顺序反序。...需要注意两个关键词参数的使用，key，通过它可以指定一个含有一个参数的函数，用这个函数比较可迭代对象中的每个元素；reverse用于指定排序方式，如果为True表示反序。...另外一个重要区别是，sorted()函数可以用任何可迭代对象为参数（比如：元组、字典），这使它在排序上的能力比sort()方法强悍，后者只能作为列表对象的方法。...zip()函数 第四个内置函数是zip(*iterables)，可以用一个或多个可迭代对象作为参数，会返回一个迭代器对象，并且将参数中的可迭代对象的元素对应合并，合并后的元素以元组形式组合，如合并后的第...这些函数的特点如下： enumerate()函数允许创建循环的计数起点。 reversed()函数的作用主要是对序列进行反序。
函数逼近（function approximation）是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。函数逼近的需求出现在很多应用数学的分支学科中，尤其是计算机科学。...具体而言，函数逼近问题要求我们在定义明确的类中选择一个能够以特定于任务的方式匹配（或逼近）目标函数的函数。 目前，领域内可以实现函数逼近的方式有很多，比如傅里叶变换以及近年来新兴的神经网络。...你可以通过张量积将一维通用逼近器变为多维，但是如果将其写出来，你会看到会发生以下现象，一维通用逼近器： a0 + a1*sin(x) + b1*cos(x) + a2*sin(2x) + b2*cos(...二维通用逼近器，其形式如下： a0 + a1*sin(x) + b1*cos(x) + c1*sin(y) + d1*cos(y) + a2*sin(2x) + b2*cos(2x) + c2*sin(...使用这种近似器永远不会完全表示具有数千个像素的大图像。 这种相对于输入大小呈现指数增长的方式就是所谓的维度灾难。
函数逼近（function approximation）是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。函数逼近的需求出现在很多应用数学的分支学科中，尤其是计算机科学。...具体而言，函数逼近问题要求我们在定义明确的类中选择一个能够以特定于任务的方式匹配（或逼近）目标函数的函数。 目前，领域内可以实现函数逼近的方式有很多，比如傅里叶变换以及近年来新兴的神经网络。...你可以通过张量积将一维通用逼近器变为多维，但是如果将其写出来，你会看到会发生以下现象，一维通用逼近器： a0 + a1*sin(x) + b1*cos(x) + a2*sin(2x) + b2*cos...二维通用逼近器，其形式如下： a0 + a1*sin(x) + b1*cos(x) + c1*sin(y) + d1*cos(y) + a2*sin(2x) + b2*cos(2x) + c2*sin...使用这种近似器永远不会完全表示具有数千个像素的大图像。 这种相对于输入大小呈现指数增长的方式就是所谓的维度灾难。
简单来说，solve函数可以进行以下情况的求解： （1）等式：单/多变量+线性/非线性 ；（2）不等式 （是MATLAB doc solve的全部翻译，将常用部分标注彩色） （唉，以后绝不这样干了） 语法...vpa 设置数值的精度（有效数字位数、保留的小数点位数） subs 符号替换（用数字来替换符号变量） ezplot 简单地画出函数的图形/曲线（显函数fun(x)、隐函数fun2(x,y)=0）...%数值解（numerical solution）：无法用严格的公式表示，是采用某种计算方法（有限元、逼近、插值）得到的。...on ezplot(x^2-1,-2,2) hold off %也可以直接用函数vpasolve求出数值解（需要定义（寻找）解的范围） vpasolve(sin(x)==x^2-1,x,[0 2...为了数值逼近这些解，可以采用vpa函数。
1 函数命令拟合 最常用的函数拟合命令为fit，语法为| [拟合结果 拟合精度]＝fit（X数据，Y数据，‘拟合类型’） 其中，具体的拟合类型可以参看帮助文档，也可以使用fittype来自定义新的函数类型...一栏选择对应的函数形式，阶数，和鲁棒性 点击工具栏的residuals plot，便于观察拟合误差 点击工具栏的data cursor，可以用鼠标在曲线上标记出具体的坐标值 3 界面介绍 顶部为常用工具栏...4 拟合类型 拟合类型 解释 Custom Equations 用户自定义的函数类型 Exponential exp指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x)、 a*exp(b*x) + c*exp...(d*x) Fourier 傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) Gaussian 高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1...、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型 Smoothing Spline 平滑逼近 Sum of Sin
，经过一番了解，Vavr 正是为了提升 Java 函数式编程体验而开发的，通过它可以帮助我们编写出更简洁、高效的函数风格代码。...Java 8 开始，在原有面向对象、命令式编程范式的基础上，增加了函数式编程支持，其核心是行为参数化，把行为具体理解为一个程序函数（方法），即是将函数作为其它函数的参数传递，组成高阶函数。...Lambda 表达式 Lambda 表达式是一种匿名函数，在 Java 中，定义一个匿名函数的实质依然是函数式接口的匿名实现类，它没有名称，只有参数列表、函数主体、返回类型，可能还有一个异常列表声明。...Java 8 函数的增强，它提供了以下特性： 组合（Composition） 组合是将一个函数 f(x) 的结果作为另一个函数 g(y) 的参数，产生新函数 h: g(f(x)) 的操作，可以使用 andThen...柯里化（Currying） 柯里化是把接受多个参数的函数变换成接受一个单一参数（最初函数的第一个参数）的函数，并且返回接受余下的参数而且返回结果的新函数的技术。 ?
1.插值与拟合 插值和拟合两个概念经常放在一起，先分清两者的区别。 插值：用一条曲线穿过所有数据点 拟合：用一条曲线大致将数据点的趋势描绘出来 因此，拟合更为常用。...% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。 % anonymous_function为匿名函数的表达式。...4.matlab工具箱Curve Fitting Tool 上面matlab的代码只能做简单的一元线性拟合，而matlab的工具箱Curve Fitting Tool功能强大的多。...Equations：用户自定义的函数类型 Exponential：指数逼近，有2种类型， aexp(bx) 、 aexp(bx) + cexp(dx) Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是...a0 + a1cos(xw) + b1sin(xw) Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1exp(-((x-b1)/c1)^2) Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear
一、前述 数学基础知识对机器学习还有深度学习的知识点理解尤为重要，本节主要讲解极限等相关知识。 二、极限 1、例子 当 x 趋于 0 的时候，sin(x) 与 tan(x) 都趋于 0....但是哪一个趋于 0 的速度更快一些呢？ 我们考察这两个函数的商的极限， ? 所以当 x → 0 的时候，sin(x) 与 tan(x) 是同样级别的无穷小。...导数是对函数进行线性逼近，高阶导数是对导数函数的进一步逼 近，因为没有更好的办法，所以数学家选择继续使用线性逼近. Example (初等函数的导数) ? 2、微分学：多元函数 ?...x0 数学原理：牛顿法使用二阶逼近（等价于使用二阶泰勒级数），梯度下降法使用一阶逼近 牛顿法对局部凸的函数找到极小值，对局部凹的函数找到极 大值，对局部不凸不凹的可能会找到鞍点....因为是局部逼近所以也只能寻找局部极值 牛顿法收敛步骤比较少，但是梯度下降法每一步计算更加简单，牛顿法不仅给出梯度的方向还给出具体应该走多少。梯度法的r只能自己定义。
RBF神经网络及拟合实例 RBF神经网络介绍 RBF神经网络结构 RBF神经网络算法 RBF神经网络逼近算法 采用RBF神经网络逼近非线性函数 神经网络逼近结果 代码如下 RBF神经网络介绍...与BP神经网络相同，研究人员已经证明RBF神经网络能够以任何精度逼近任意非线性函数。...RBF神经网络逼近算法 相较BP神经网络，RBF神经网络结构更加简单，同时需要调节的参数也更少，只有输出层的权值矩阵 W \bm{W} W需要在训练过程中调节。...采用RBF神经网络逼近非线性函数 采用RBF神经网络，逼近简单的正弦函数 y = s i n ( t ) y=sin(t) y=sin(t) 可知，采用的RBF神经网络输入和输出层神经元数量都为1...训练过程中误差收敛情况如下所示 将训练得到的神经网络进行验证 代码如下 %训练简单的RBF神经网络来拟合非线性函数 clear,clc %% 生成训练数据 ts = 0.01; u1
由均方差的定义可知： ? 可见MSE是一个关于k和b的二元一次方程，对于一元函数，图像是一个平面，十分常见，而二元函数的图像则是一个空间，可参见下图。 ?...以简单的sin函数为例，观察函数图像可以发现任意函数值对应的xi值要想到达函数值最小时的位置x0，都需要向着梯度降低的方向移动。 ? 图3 sin函数的部分图像 不妨设: ?...但是只经由一次计算是不准确的，因为这里的r是未知的，为了更加准确，只有将r尽可能地设置小，然后将得到x0的赋值给下一个xi，多次运算，使最终的结果尽可能的逼近真实值。...所以，对于MSE函数，我们也可以采取同样的操作，让k和b逼近真实值。 ? 带入（1）式，结合复合函数的求导法则，可以得到： ?...结语 对于上述问题，分析了求解简单线性方程系数，这里的系数只有两个，但是这个方法同样适用于含有多个系数的函数问题，只要套用这个方法，得出系数向理想值靠拢的公式，也就能较准确的求出多个系数。
海龟绘图使得Logo用户可以通过简单的编程创作出丰富多彩的视觉效果或图案。假想一只带着画笔的海龟可以接受简单的命令，例如向前走100步，或者左转30度。...，所以本次采用180次分割，使肉眼见图形为圆形 //将圆分成180份，运用三角函数计算每一段的段长为2*sin(1)*r //待优化,由于是使用line函数直接画线逼近圆，所以当半径较大时需要调整分割次数以使圆形较为圆润...//而这需要一个度量标准,即当半径多大时分割次数为多少 //还有一点问题就是当分割次数过大时，sin过小，math提供的sin函数无法满足计算 //所以画圆最为理想的解法应该为画点来做圆 void drawcircle..._kbhit()) { ; } closegraph(); // 关闭绘图窗口 return 0; } 待优化,由于是使用line函数直接画线逼近圆，所以当半径较大时需要调整分割次数以使圆形较为圆润...还有一点问题就是当分割次数过大时，sin过小，math提供的sin函数无法满足计算。
BP网络函数逼近 题目选择2) 流程图如下 源代码 // //题目函数逼近（2）z=sin（x）sin（y） // ///头文件 #include #include #include #include #include #include //本BP网络采用三层神经网络，并且隐含层的结点数为...样本数量为225 /定义全局变量// double step=0.5,f,ne;//定义学习步长、平均误差 int pass=0,i,j,k; double sigmoid(double x);//作用函数为...S型函数 double DER_sigmoid (double z);//作用函数的导数 double x[225][2]={0.0};//样本输入 double X[225][3]={0}; double...O2[225][3]={0.0};//第二层的输出 double X2[225][4
对于一些简单的函数，可以通过变量替换和方程求解的方法来求得反函数。这种方法适用于具有解析表达式的函数。 编程方法 使用编程语言如Python来求解反函数。...通过迭代和逼近的方法，可以利用计算机的计算能力来求解函数的反函数。这种方法适用于无法通过代数方法求解的复杂函数。...对于简单的函数，我们可以使用代数方法来求解反函数。...例如，对于函数 f(x) = sin(x)，我们可以使用迭代和逼近的方法来求解其反函数。...代数方法适用于具有解析表达式的简单函数，而编程方法则适用于复杂函数或无法通过代数方法求解的函数。通过使用Python的数值计算库，我们可以通过编程方法求解反函数。
泰勒公式 数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。...如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。...泰勒公式形式 泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。...其中，f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。...模拟sin(x)函数 ?
我们简单绘制0到2π范围的正弦函数图像： using Plots plot(sin, 0, 2pi) ?...Julia集成了求极限的功能，对于正弦函数sin(x)而言，求它的导数就是[sin(x+h)-sin(x)]/h在h趋于0时的极限 using SymPy limit((sin(x+h) - sin(...x))/ h, h, 0) 通过以上方法求得sin(x)在x=0处的导数为1，绘制成函数图像就是： f(x) = sin(x) c = 0 tl(x) = f(c) + 1 * (x - c) plot...导数的应用 1、牛顿法 通过切线逐步逼近，求方程的近似解。 ? 2、洛必达法则求极限 ?...cs = xs[1:end-1] sum(f(cs[i]) * deltas[i] for i in 1:length(deltas)) 最后求得结果为： 0.3333233333999998 显然用这种方法求定积分太过复杂
在2011的论文《Fast O(1) bilateral filtering using trigonometric range kernels》中，作者提出了用Raised cosines函数来逼近高斯值域函数...； 式6中，最右侧部分即为高斯函数，此时说明，可以用 Raised cosines函数来近似的模拟高斯函数，我们用一段matlab函数来验证该结果： clc; T=255; Delta =80; Gamma...当σr比较小时，高斯函数的曲线在中心线附近急剧下降，从而需要更多的三角函数来逼近他。 因此，进一步的优化需要从T的取值以及N的方面予以考虑。 ...我们知道，Non-Local算法在很大程度是双边模糊的扩展，只是其值域的相似度函数更加复杂，不是简单的f(y)-(f(x)那么简单了，而是和f(y)和f(x)的领域有关，因此直接的Non-Local实现理论上比双边滤波还要耗时...五：小结和展望 可以看到，本文的这种优化方式实际上是利用Cos函数去逼近高斯函数，在代码层次上，需要(N+1)*4此高斯模糊，而由上面相关表格可以看到，N的数值一般都在10以上，因此，至少要执行44
它可以用数学表示如下： 而这个函数的倒数可以看作是我们用来将频域函数转换为时域函数的时间函数，也就是傅里叶逆变换。 求解上面的这些积分可以得到a和b的值，这里讨论的是信号是连续信号的情况。...通过上面的介绍已经了解了傅立叶变换的基本内容，但它现在与神经网络有什么关系呢？傅里叶变换是一种逼近其他频域函数的工具，而神经网络也可以逼近任意函数。...可以将傅里叶变换视为一种有助于逼近其他函数的函数，并且我们还知道神经网络可以被认为是一种函数逼近技术或通用函数逼近技术。 上图描绘了一个采用傅里叶变换方法的神经网络。...一个相对基本的神经网络的目标是希望在特定时间逼近一个未知函数及其值。大多数神经网络的任务是学习整个函数或算法或数据中指定的值点处的函数，傅里叶网络也是一样通过迭代技术找到逼近函数的参数。...综上所述，我们可以看到如果函数与时域相关，卷积层最终意味着傅里叶变换及其在乘法中的逆。 如何在深度学习中使用傅立叶变换？ 在上一节中，我们已经看到时域中的卷积过程可以简单地认为是频域中的乘法。
它可以用数学表示如下： 而这个函数的倒数可以看作是我们用来将频域函数转换为时域函数的时间函数，也就是傅里叶逆变换。 求解上面的这些积分可以得到a和b的值，这里讨论的是信号是连续信号的情况。...通过上面的介绍已经了解了傅立叶变换的基本内容，但它现在与神经网络有什么关系呢？傅里叶变换是一种逼近其他频域函数的工具，而神经网络也可以逼近任意函数。...可以将傅里叶变换视为一种有助于逼近其他函数的函数，并且我们还知道神经网络可以被认为是一种函数逼近技术或通用函数逼近技术。...大多数神经网络的任务是学习整个函数或算法或数据中指定的值点处的函数，傅里叶网络也是一样通过迭代技术找到逼近函数的参数。...在上一节中，我们已经看到时域中的卷积过程可以简单地认为是频域中的乘法。这证明它可以用于各种深度学习算法，即使它可以用于各种静态预测建模算法。
线性模型、线性回归与广义线性回归 1.1 线性模型 image 线性模型(linear model)试图学得一个通过属性的线性组合来进行 预测的函数: image 向量形式: image 简单...之间有线性相关关系 image 一个简单的例子 让一个六年级的孩子在不问同学具体体重多少的情况下,把班上同学按照体重从轻到重排队。...过拟合与正则化 通知正则化添加参数“惩罚”,控制参数幅度 限制参数搜索空间,减小过拟合风险 image 1.3 广义线性模型 对于样本 image 如果我们希望用线性的映射关系去逼近y值 可以得到线性回归模型...image 有时候关系不一定是线性的 如何逼近y 的衍生物?...MSE:评估与标准答案之间的差距 梯度下降 沿着损失函数梯度方向逐步修正参数 学习率影响 模型状态 欠拟合 过拟合 广义线性回归 对线性映射的结果进行数学变换,去逼近y值 指数(exp)或者对数
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