大数据文摘出品 作者：钱天培、魏子敏 训练神经网络是个极为枯燥的工作。与其盯着Learning Curves发呆，或许可以调动一下其他感官，一起做点更有意思的事情。...一位酷爱弹吉他的数据科学家就希望，在调参时把其他器官也调动起来共同监督神经网络的训练。 他用一段程序将神经网络训练时的梯度转化成音频，这样，你就可以通过听不同的声音模式知晓训练情况。...Perone也是位吉他手 他用一段程序将神经网络训练时的梯度转化成音频，通过听不同的声音模式就知道训练情况。 这是个讨巧的训练监督方式，毕竟，听觉是目前在神经网络训练中很少被用到的感官。...以下的几段声音显示了我们使用每层的梯度范数进行的合成声音，以及使用不同设置（如不同学习率、优化器、动量）对MNIST进行卷积神经网络训练的训练步骤等。...没错，如你所料，可能没什么卵用。虽然在上面的例子中，我们可以很明显得听出不同参数的差别，但这些例子都是比较极端的情况。 所以，为什么还要制作这些音频呢？ 大概是因为，调参真的是太无聊了吧。
一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。Daniel检验平稳性 自动回归AR(Auto regressive)和移动平均MA(Moving Average)预测模型。...不适宜用于系统中长期预测 差分方程 利用差分方程建模研究实际问题，常常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。 适用于商品销售量的预测、投资保险收益率的预测。...神经元网络 数学建模中常用的是BP神经网络和径向基函数神经网络的原理，及其在预测中的应用。BP神经网络拓扑结构及其训练模式。RBF神经网络结构及其学习算法。...涉及题目 电磁波反射 菲涅尔方程 菲涅尔方程 电磁塔，远距离通信传输 热力学 热传导方程 热传导方程 隔热层设计，物件热传导，偏微分方程，有限差分法 雷达 雷达公式 雷达方程 ASK,FSK,傅里叶分析...随机梯度下降算法(SGD) 高纬场最优解 Allingham-Sandmo模型 竞争最优化问题、语言竞争、税收遵从成本对纳税人行为影响分析问题 T检验 相似性检验 Ica(独立成分分析) 声波分离
类型 公式 参考链接 涉及题目 电磁波反射 菲涅尔方程 菲涅尔方程 电磁塔，远距离通信传输 热力学 热传导方程 热传导方程 隔热层设计，物件热传导，偏微分方程，有限差分法 雷达 雷达公式 雷达方程 ASK...一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。Daniel检验平稳性 自动回归AR(Auto regressive)和移动平均MA(Moving Average)预测模型。...不适宜用于系统中长期预测 差分方程 利用差分方程建模研究实际问题，常常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。 适用于商品销售量的预测、投资保险收益率的预测。...神经元网络 数学建模中常用的是BP神经网络和径向基函数神经网络的原理，及其在预测中的应用。BP神经网络拓扑结构及其训练模式。RBF神经网络结构及其学习算法。...随机梯度下降算法(SGD) 高纬场最优解 Allingham-Sandmo模型 竞争最优化问题、语言竞争、税收遵从成本对纳税人行为影响分析问题 T检验 相似性检验 Ica(独立成分分析) 声波分离
二、建模方法分类 常用的方法有： 1.类比法、2.二分法、3.量纲分析法、4.图论法；5.差分法、6.变分法、7.数据拟合法、8.回归分析法 9.数学规划法(线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划...5、差分法 差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数，用网格节点上的函数值的差商代替进行离散； 从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法...差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验。 微积分棒棒的，所以说高数离散要好好学。...变分问题的求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。 变分法了解即可，用的很少了。...模拟退火、神经网络、遗传算法，这些涉及到的东西就更深了，三大非经典算法拿出一个都是万金油。 尤其是神经网络，就是机器学习中的知识。 靠计算机的训练学习，再通过校验，如此反复，迭代。得出模型。
一种思想就是本小节要讲的梯度检验。 基本思想 说来也简单，就是我们使用一种和反向网络不同的方法来计算（估算）梯度，然后通过这个梯度值用来验证我们神经网络计算值的代码是否正确。具体怎么做呢？...而我们可以用一个较小的值\epsilon在\theta点处的曲线点连接线的斜率值，用这个值来近似计算这个点的导数，如下图所示，下图下半部分的右边蓝色的被画了叉叉的公式是单侧差分，而我们用来近似导数的是双侧差分...比较接近； 屏蔽梯度检验的代码，用满足了刚刚梯度检验的后向传播代码进行神经网络的学习。...注意：在正式训练你的神经网络分类器的时候一定一定要关闭你的梯度检验函数，否则的话你的训练会非常非常的慢。...因为梯度检验仅仅是用来检验我们反向传播代码是不是正确，一旦确定了方向传播代码的正确性，梯度检验在神经网络训练中出来消耗更多的计算资源就毫无用处了。
，用损失函数计算出此次迭代的损失，其关注点是输入怎么影响到每一层。...Software 2.0 是用神经网络权重编写的。没有人参与这段代码的编写。...从导数的原始定义中，我们可以直观看到前向差分公式为： 当h取很小的数值，比如0.000001 时，导数是可以利用差分来近似计算出来的。只需要给出函数值以及自变量的差值，数值微分算法就可计算出导数值。...具体公式如下： 虽然数值微分有一些缺点，但是好处是简单实现，所以可以用来校验其他算法所得到梯度的正确性，比如"gradient check"就是利用数值微分法。...链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的 导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。
有热源的热传导方程为： 我们来看一个比较简单形式的求解方法。 ? 该条件下的热导方程求解，采用两种不同的形式分离变量法和差分法。我们先来看分离变量法： ? 则： ? ?...我们再来看一下另外一种求解方法：有限差分方法。 有限差分：将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。...有限差分方法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组. ? 离散化： ? ?...其代码实现为： %有限差分法： u=zeros(10,25);%横坐标为x,纵坐标为t; s=(1/25)/(pi/10)^2; fprintf('稳定性系数S为:\n'); disp(s); for...end end disp(u); [x,t]=meshgrid(1:25,1:10); surf(x,t,u); xlabel('t');ylabel('x');zlabel('T');title('有限差分法解
自动微分要解决的核心问题是计算复杂函数，通常是多层复合函数在某一点处的导数，梯度，以及Hessian矩阵值。它对用户屏蔽了繁琐的求导细节和过程。...对于每一个目标函数都需要手工进行推导，因此通用性和灵活性差。早期的神经网络库如OpenCV和Caffe采用了这种方法。...更准确的是中心差分（center difference approximation）公式 ? 它比单侧差分公式有更小的误差和更好的稳定性。...数值微分通常只用于检验其他算法的结果的正确性，例如在实现反向传播算法的时候用数值微分算法检验反向传播算法所求导数的正确性。...对于神经网络，一般有n>>m，用前向算法会低效。 反向模式 反向模式是反向传播算法的一般化，其思路是根据计算图从后向前计算，依次得到对每个中间变量节点的偏导数，直到到达自变量节点处。
【算术平均值、中位数、标准差、方差、极差、偏度和峰度】、参数估计、假设检验….分布函数、密度函数和分位数 、分布拟合检验、中位数检验…....深度学习模型 【26】神经网络模型 深度学习模型是“万能的函数近似器”，可用于拟合各种非线性模型。...---- 【29】差分方程模型 差分方程是包含未知函数的差分及自变数的方程。...在求微分方程的数值解时，常用差分来近似微分，所导出的方程就是差分方程。通过解差分方程来求微分方程的近似解，是连续问题离散化的一个例子。...变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，博文中还介绍了动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。
在此之前，机器学习社区中很少发挥这个利器，一般都是用Backpropagation进行梯度求解，然后进行SGD等进行优化更新。...虽然数值微分法有如上缺点，但是由于它实在是太简单实现了，于是很多时候，我们利用它来检验其他算法的正确性，比如在实现backprop的时候，我们用的”gradient check”就是利用数值微分法。...自动微分法 终于轮到我们的主角登场，自动微分的存在依赖于它识破如下事实： 所有数值计算归根结底是一系列有限的可微算子的组合 自动微分法是一种介于符号微分和数值微分的方法：数值微分强调一开始直接代入数值近似求解...自动微分Reverse Mode 如果您理解神经网络的backprop算法，那么恭喜你，自动微分的backward mode其实就是一种通用的backprop算法，也就是backprop是reverse...如上的计算过程，对于像神经网络这种模型，通常输入是上万到上百万维，而输出损失函数是1维的模型，只需要一遍reverse mode的计算过程，便可以求出输出对于各个输入的导数，从而轻松求取梯度用于后续优化更新
低通滤波法 中值滤波法 图像锐化 空域锐化法 频域锐化法 边缘检测 正交梯度法 Roberts梯度算子法（4点差分法） Prewitt梯度算子法（平均差分法） Sobel算子法（加权平均差分法） Laplacian...下图展示了为什么可以用模板的方式来求梯度。...梯度的幅度代表边缘的强度，其有下列三种计算方式： 为检测边缘点，可选取适当的阈值T，对梯度图像进行二值化 选择一张图片，查看各梯度提取的效果： Roberts梯度算子法（4点差分法） Roberts...就是采用对角方向相邻两像素之差，故也称为4点差分法。...它的水平和垂直梯度模板分别为： 利用检测模板可求得水平和垂直方向的梯度，再通过梯度合成和边缘点判定，即可得到平局差分法的检测结果。
我们证明了传统的机器学习模型和算法，如随机特征模型、两层神经网络模型和残差神经网络模型，都可以表示成（以比例形式）对应连续形式的离散化的特例。...提纲 1.介绍 2.函数的表示 2.1 基于积分变换的表示 2.2 基于流的表示 3.优化问题 3.1 有监督学习 3.2 降维 3.3 变分法 3.4 非线性抛物偏微分方程 4.梯度流 4.1 保守和非保守梯度流...重点关注函数的表示、变分法问题和连续梯度流。特征和神经元作为对象出现在这些连续问题的特殊离散化中。 我们从这个思考过程中至少学到了两件事。...另一方面，我们也看到了为什么神经网络（浅层和深层）是不可避免的选择：它们是最简单的连续梯度流模型的最简单粒子方法离散化（分别用于基于积分变换和基于流的表示）。...即使不是凸的，它们也应该具有凸泛函的许多特征。好的一点是，如果我们从连续模式开始，离散化模型很可能不会被离散效应导致的局部极小所困扰。 3.不同的梯度流是很好的流，即相关范数应在流上变现良好。
注意损失函数的分段线性结构。多个实例的损失则取平均值，因此右边的碗形是许多分段线性碗的平均值（例如中间图所示的那个）。 我们可以通过检验数学来解释损失函数的分段线性结构。...5.4.1 用有限差分计算数值梯度 上面给出的公式允许我们数值地计算梯度。...最后，全部梯度都保存在变量grad里面了。 实践考量：注意在数学公式中，h的取值是趋近于0的，然而在实际中，用一个很小的数值（比如例子中的1e-5）就足够了。...5.4.2 使用微积分计算梯度 使用有限差分近似计算，数值梯度计算比较简单，但缺点是它是近似的（因为我们必须选择一个小的h值，而真正的梯度被定义为h的极限为零），并且它在计算上是非常昂贵的。...介绍了利用有限差分法来近似计算梯度的方法，该方法实现简单但是效率较低。 我们看到，参数更新需要设置一个棘手的超参数步长（或学习率）：如果太低，进度稳定，但缓慢。如果太高，进度可能会更快，但风险更大。
数据源准备 利用MATLAB 程序解出待定的温度，时间，厚度参数系数，最终将新的温度和速度及厚度 建模 微分方程模型法： 数学微分法是指根据边际分析原理，运用数学上的微分方法，对具有曲线联系的极值问题进行求解...线性规划： 线性规划是研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的要求背景作出最佳方式的规划，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的条件。...在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在背景需求条件约束下，求允许的最大的传送带过炉速度。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。...模型 检验 使用有限分差法中的 空间反演法，把炉温曲线当做已知条件，结合给出的传送带运行速度来确定数学模型中拟合的预测值分布和真实值内容要点：结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示如图该预测值与真实值的方差...，标准差和极差的情况。
梯度检验与高级优化 导读 神经网络 反向传播算法 目录 关键词 梯度检验与高级优化 1 关键词 缺位错误 off-by-one error 偏置项 bias term 数值检验 numerically...conjugate gradient 步长值 step-size 2 梯度检验与高级优化 众所周知，反向传播算法很难调试得到正确结果，尤其是当实现程序存在很多难于发现的bug时。...再假设我们已经用代码实现了计算 J(θ)导数的函数 ，接着我们使用 θ ：=θ-a*g(θ)来实现梯度下降算法。那么我们如何检验 的实现是否正确呢？ 回忆倒数的数学定义： ?...给定一个被认为能计算 J(θ)导数 的函数，我们可以用下面的数值检验公式： ? 计算两端是否一样来检验函数是否正确。 上式两端值的接近程度取决于J 的具体形式。...在神经网络的例子里我们使用 J(W, b)，可 以想象为把参数W, b 组合扩展成一个长向量θ 。现在我们将求导检验方法推广到一般化，即θ 是一个向量的情况。
要理解差分隐私，我们可以看看下面这个简单的假设检验：假设有两个数据集 S, S' S={小明，小刚，小美}；S'={小红，小刚，小美} 我们说这两个数据集是邻近的，因为它们的差异仅体现在一个人上。...我们的目的是检验我们的模型是否是基于 S 训练的，这等价于检验小明是否存在于我们的数据中。如果这个假设检验非常困难，那么想要获取小明信息的攻击者就难以得逞。...那么，如何实现能保证算法的隐私性呢? 具体做法是衡量算法的中间产物（比如梯度）的敏感性，并根据其大小施加一个成正比的噪音。由于噪音的存在，想要窃取小明信息的攻击者便无法确定小明是否在训练集中。...在深度神经网络中，每一次迭代都会牺牲一部分隐私来换取性能的提高。我们可以对每个批（batch）的梯度加噪音，从而达到混淆攻击者的目的。 ? 当然，噪音加的越大，隐私就越安全，但是随之性能也自然越差。...在有限的隐私预算下，很多时候隐私算法的性能表现会不如人意。 深度学习经常需要敏感的个人信息来训练。现存的差分隐私定义以及隐私模型都试图在性能和隐私中找到一个平衡。
下图展示了为什么可以用模板的方式来求梯度。...图片梯度的幅度代表边缘的强度，其有下列三种计算方式：图片为检测边缘点，可选取适当的阈值T，对梯度图像进行二值化图片选择一张图片，查看各梯度提取的效果：图片Roberts梯度算子法（4点差分法）Roberts...就是采用对角方向相邻两像素之差，故也称为4点差分法。...它的水平和垂直梯度模板分别为：图片利用检测模板可求得水平和垂直方向的梯度，再通过梯度合成和边缘点判定，即可得到平局差分法的检测结果。...Sobel算子法（加权平均差分法）Sobel算子就是对当前行或列对应的值加权后，再进行平均和差分，也称为加权平均差分。
本讲组织架构如下：先提出价值函数在某些情况下不能很好的解决问题，同时直接基于策略的分析在某些场合具有价值函数不能替代的优点，接着引入了直接基于策略学习所需要的目标函数的设计，引入了策略梯度的概念，从有限差分法...有限差分策略梯度Finite difference Policy Gradient 策略梯度 Policy Gradient 令J(θ)可以是任何类型的策略目标函数，策略梯度算法可以使J(θ)沿着其梯度上升至局部最大值...同时确定获得最大值时的参数θ： ? 上式中▽θ J(θ)是策略梯度： ? α是步长参数，又称学习率。 ? 有限差分法计算策略梯度 这是非常常用的数值计算方法，特别是当梯度函数本身很难得到的时候。...有限差分法简单，不要求策略函数可微分，适用于任意策略；但有噪声，且大多数时候不高效。...举了一个利用有限差分法训练机器人足球运动员，指出其训练参数是控制机器人运动的12个参数，其目标是让其跑得最快，因为跑得快在机器人足球比赛里非常重要。
机器学习（十二）——神经网络代价函数、反向传播、梯度检验、随机初始化 （原创内容，转载请注明来源，谢谢） 一、代价函数 同其他算法一样，为了获得最优化的神经网络，也要定义代价函数。...代价函数可以类比logistic回归的代价函数，logistic回归是在输出结果两个的情况下的公式，而神经网络将其拓展到k维的一般化形式，其中，总层数用L表示，Sl表示第l层的神经元的数量，K表示输出的结果个数...而反向传播，目的是为了求解代价函数的偏导数，以在梯度下降算法中使用。反向传播，是从后往前推的，根据最后一层的h(x)与最终样本的y的值的差，求出最后一层的误差Δ。...四、梯度检验 梯度检验（gradientchecking），目的是为了校验BP算法的准确性，其本质是采用另一种方式来计算偏导数。...这个ε和上面梯度检验的ε没有任何关系，只是符号一样，都表示一个很小的数而已。 ? 六、小结 要获得可靠的神经网络，分为两大步骤：确定神经网络的架构、训练神经网络。
例如，y的结果范围在0~5，则表示y=2，用的是矩阵y=[0 1 0 0 0]T来表示，如下图： 代价函数可以类比logistic回归的代价函数，logistic回归是在输出结果两个的情况下的公式，而神经网络将其拓展到...而反向传播，目的是为了求解代价函数的偏导数，以在梯度下降算法中使用。反向传播，是从后往前推的，根据最后一层的h(x)与最终样本的y的值的差，求出最后一层的误差Δ。...四、梯度检验 梯度检验（gradientchecking），目的是为了校验BP算法的准确性，其本质是采用另一种方式来计算偏导数。...这个ε和上面梯度检验的ε没有任何关系，只是符号一样，都表示一个很小的数而已。 六、小结 要获得可靠的神经网络，分为两大步骤：确定神经网络的架构、训练神经网络。...例如，y的结果范围在0~5，则表示y=2，用的是矩阵y=[0 1 0 0 0]T来表示。 2、训练神经网络 步骤如下： 1）随机初始化所有的权重θ。
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