用高斯消元法求解对称线性方程ax=b - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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matlab高斯消元法求解线性方程组

高斯消元法的基本原理是通过一系列行变换将线性方程组的增广矩阵转化为简化行阶梯形式，从而得到方程组的解。其核心思想是利用矩阵的行变换操作，逐步消除未知数的系数，使得方程组的求解变得更加简单。...首先，给定系数矩阵A和常数向量b，将它们合并为增广矩阵a。然后确定增广矩阵的行数n和列数m。接下来，使用两个嵌套的循环，依次进行消元计算。...在每次循环中，将当前行的第j个元素除以第i个元素，即将主元归一化为1。然后，通过两个嵌套的循环，对i+1到n的行进行消元计算。...1)=0; end fprintf('第%d次回代\n',n-i); disp(rats(A_b)); end 在高斯消去法中，如果一个列中的主元很小，那么在后续的计算过程中，将会产生较大的误差...fprintf('第%d次回代\n',n-i); disp(rats(A_b)); end x=A_b(:,end:end); fprintf('高斯列主元消去法\n'); disp(

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博客 | MIT—线性代数（上）

从列视图角度重新理解方程组的解，即向量b是否包含在A的列空间内，或b能否用A的列向量线性表出。 2、矩阵消元：行空间角度。...使用高斯消元求解Ax=b，将A化简为行阶梯形式，等价于使用某个矩阵变换E左乘A的行向量，即E·A·x=U·x=E·b，其中E记录了高斯消元中所有的行变换，U表示行阶梯形式的消元结果，是一个上三角矩阵。...4、 A的LU分解：前文提到使用E记录高斯消元所有步骤，即E·A=U可以对A的行空间变换得到上三角矩阵U。...7、 Ax=0主变量和特解：求解Ax=0首先要使用高斯消元将A转换为标准行阶梯矩阵U，求解Ux=0的解空间即A的零空间不变。...8、 Ax=b可解性和解的结构：此时对[A|b]进行高斯消元，并化简为标准行阶梯矩阵。方程的可解性要参考m*n矩阵A与其列空间维数r之间的关系，其中r<=m且r<=n。

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二次型优化问题 - 4 - 二次型优化方法

当前问题解方程\bf{Ax}=\bf{b} 其中\bf{A}为半正定矩阵 \bf{A}的秩与其增广矩阵\bf{Ab}的秩相等优化方法代数法高斯消元法数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法...），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。...image.png 其他代数方法在高斯消元法基础上进行改进高斯主元素消元法为解决无法面对主元素为0或主元素绝对值过小带来的精度不够的问题，提出了主元素消元核心思想是选择系数绝对值最大的行作为基准进行消元...，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。...沿着共轭梯度方向前进该共轭基的分量大小的距离在所有共轭基上重复上述操作，即可达到全局最优解随后我们重点介绍迭代法相关内容参考资料 https://baike.baidu.com/item/高斯消元法

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线性代数（持续更新中）

于是线性方程组可以表示为 Ax=b。...即：图片那么推广来看，我们需要考虑，对于任意的 b，是否都能求解 Ax=b？...矩阵消元 ---- 这个方法最早由高斯提出，我们以前解方程组的时候都会使用，现在来看如何使用矩阵实现消元法。...---- 3.1 消元法 ---- 图片图片再来讨论一下消元失效的情形：首先，主元不能为零；其次，如果在消元时遇到主元位置为零，则需要交换行，使主元不为零。...介绍到这里，我们就可以将消元法所做的行操作写成向量乘以矩阵的形式了。图片图片图片 3.3 逆图片 4.

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LinearAlgebra_1

消元法(elimination) 矩阵消元回顾之前讨论了线性代数的由来——线性方程组的求解问题。...用什么方法求解呢？...elimination是求解矩阵解的重要方法，matlab就是用这个的哦！...逆的求解，采用Gauss-Jordan法，通过不断地行变换求出来。...转置-置换-向量空间回顾前面，主要讲了求解线性方程组的矩阵形式，可以转化成求X矩阵向量的问题，解决的方法是消元法，不考虑行交换的话，是EA=UEA=U，整体的复杂度是O(n3)O(n^3)，因为理解的便宜性

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【matlab】QR分解

线性方程组Ax=0只有0解，可逆。线性方程组Ax=b只有特解，可逆。实际上如果一个方阵可以进行QR分解，那么这个方阵也是可逆的。...求逆我们之前使用过高斯消元法来求解矩阵的逆，实际上也可以使用QR分解求矩阵的逆。由A = QR，QTQ = I，则A-1 = (QR)-1 = R-1Q-1 = R-1QT。...hold on; scatter(i*n+j,inverseQR(i+1,j),'green','.'); hold on; end end 我们再用之前的高斯消元法求解矩阵...B的逆，将其与用MATLAB内置的求逆函数结果进行比较，结果如图所示可见高斯消元法求逆的结果也很好，基本上绿色的点都和红色的圆圈重合了。...)-B_b(j,i)*B_b(i,k); end end % fprintf('第%d次消元\n',i); % disp(rats(A_b)); end for

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高斯消元法(Gauss Elimination)【超详解&模板】

高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。...高斯消元法的原理是：若用初等行变换将增广矩阵化为，则AX = B与CX = D是同解方程组。所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。 1、线性方程组 ?...补充1：高斯－若尔当消元法（Gauss-Jordan Elimination）相对于高斯消元法，高斯－若尔当消元法最后的得到线性方程组更容易求解，它得到的是简化行列式。...高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。...高斯消元法的原理是：若用初等行变换将增广矩阵化为，则AX = B与CX = D是同解方程组。所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。

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Jacobi迭代法解线性方程组

当线性方程组的规模比较大时，采用高斯消元法需要太多时间。这时就要采用迭代法求解方程组了。高斯消元法是一个O(n^3)的浮点运算的有限序列，在经过有限步计算之后理论上得到的是精确解(无舍入误差时)。...而迭代法在经过有限步迭代之后一般不产生精确解，迭代法在计算过程中逐渐减小误差，当误差小于容许值时停止迭代计算。方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵时，迭代总是收敛的。...●Jacobi迭代法对于方程组3u+v=5，u+2v=5，将其改写为如下的形式 ? 由于方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵时，迭代一定收敛。...则A=D+L+U，AX=b可改写为 ? 对于上面的方程组3u+v=5，u+2v=5，写成矩阵形式 ? 迭代格式为 ? 这与之前的迭代格式是一致的。 Fortran源代码 ?

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MIT-线性代数笔记（1-6）

讲求解 Ax=0:主变量，特解第 08 讲求解Ax=b：可解性与解的结构第 09 讲线性相关性、基、维数第 10 讲四个基本子空间第 11 讲矩阵空间、秩1矩阵和小世界图第 12 讲...第 02 讲矩阵消元　　只要矩阵可逆，均可通过消元法求得 Ax=b 的解　　若此处 ? 　　...高斯消元法：　　对方程组中某个方程进行时的那个的数乘和加减，将某一未知系数变为零，来削弱未知数个数　　矩阵左上角 1 为“主元一” 　　① 用消元法将除了第一行，消除其他行中的主元一 ? 　　...主元不能为0，如果恰好消元至某行，0出现了主元的位置，应当通过与下一行进行“行交换”，使得非零数字出现在主元位置上；如果此时下方没有对等位置上非零，则消元终止并证明此矩阵不可逆，且线性方程组没有唯一解...求解零空间一般方法为消元法。但上式的解很容易看出来 ? 怎样描述这个零空间，这里的零空间是R3中穿过原点的一条直线。

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高斯消元法与矩阵求逆

高斯消元高斯消元法（Gauss-Jordan elimination）是求解线性方程组的经典算法，它在当代数学中有着重要的地位和价值，是线性代数课程教学的重要组成部分。...高斯消元法除了用于线性方程组求解外，还可以用于行列式计算、求矩阵的逆，以及其他计算机和工程方面。...夏建明等人之前提出了应用图形处理器 (GPU) 加速求解线性方程组的高斯消元法，所提出的算法与基于 CPU 的算法相比较取得更快的运算速度。二是提出各种变异高斯消元法以满足特定工作的需要。...高斯消元可以用于求解多元线性方程组，形如： \begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \ldots + a_{1,n}x_n = b_1 \ a_{2,1}x_1...%.2f\n", a[i][n + 1] / a[i][i]); return 0; fail: puts("No Solution"); return 0; } 矩阵求逆高斯消元法可以用于矩阵求逆

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Python实现所有算法-矩阵的LU分解

无解 LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式在应用上面，算法就用来解方程组。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。...消元法将方程组中的一方程的未知数用含有另一未知数的代数式表示，并将其代入到另一方程中，这就消去了一未知数，得到一解；或将方程组中的一方程倍乘某个常数加到另外一方程中去，也可达到消去一未知数的目的。...消元法主要用于二元一次方程组的求解。核心操作： 1)两方程互换，解不变； 2)一方程乘以非零数k，解不变； 3)一方程乘以数k加上另一方程，解不变。...当系数矩阵A完成了LU分解后，方程组Ax = b就可以化为L(Ux) = b，等价于求解两个方程组Ly = b和Ux = y；计算的公式这个可能看起来不直观：比如一个三阶的矩阵消元是这样的...这样对于LU的分解是表示成这样注意：求消元的初等变换阵的逆矩阵只要把对应的数变号解Ax=b变为LUx=b，所以先解Ly=b再解Ux=y 实现，函数体参数只要一个N维数组就行，输出元组

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线性代数--MIT18.06(八)

求解 Ax=b :可解性和解的结构 8.1 课程内容：求解 Ax=b 上一讲我们已经解决了 ? ，更广泛地我们想要知道 ?...■ r=n<m 此时线性方程组的系数矩阵经过消元出现了全为 0 的行，由Gauss-Jordan法我们知道此时对 ?...来说，此行对应的分量不一定也同时被消元消除，当能消除的时候，自然解的情况就是列空间的一个唯一解，当不能消除的时候，线性方程本身就不成立，因此也就无解。...的分量无法消元为 0 导致无解，要么就是在零空间中存在无穷解。 8.2 求解 Ax=b 习题课 2011年求解Ax=b习题课问， ? 满足什么条件时，下列方程组有解，并写出解。 ?...---- 解答首先进行消元 ? 我们发现这里属于我们课程内容讲解中的第四种情况因此无解的情况就是 ? 无穷解的情况就是 ? ，求解该方程，我们继续上述消元过程，从而得到 ? ?

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线性代数（持续更新中）

于是线性方程组可以表示为 Ax=b。...是否都能求解 Ax=b？...矩阵消元 ---- 这个方法最早由高斯提出，我们以前解方程组的时候都会使用，现在来看如何使用矩阵实现消元法。...---- 3.1 消元法 ---- 有三元方程组 \begin{cases}x&+2y&+z&=2\\3x&+8y&+z&=12\\&4y&+z&=2\end{cases}，对应的矩阵形式按照我们以前做消元法的思路...介绍到这里，我们就可以将消元法所做的行操作写成向量乘以矩阵的形式了。

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线性代数--MIT18.06(二)

2.矩阵消元 2.1 课程内容：矩阵消元、回代、矩阵乘法上一讲我们对于线性方程组可以使用矩阵 Ax=b来表示，这一讲求解该等式，对于矩阵，使用矩阵消元法。...以下列方程组为例，我们先使用矩阵消元法，然后回代方程即可求得所要的解： ? 对于系数矩阵A和解向量 b, 构建增广矩阵 ? ?...其中，方框中的 1，2，5 称为主元(pivot)，注意，主元不能为 0 。下面通过回代求得线性方程组的解。...这就是矩阵消元的乘法表示。 2.2 矩阵消元习题课这是1999年秋季的测验题，利用矩阵消元法求解下列线性方程组： ? 首先得到增广矩阵（A,b） ?...由于此时第三行主元为0，因此交换第三行和第四行，即得到 ? 可表示为线性方程组如下，此方程组的解与原方程组一致 ? 由下往上求解即可得 ?

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线性代数--MIT18.06(二)

2.矩阵消元 2.1 课程内容：矩阵消元、回代、矩阵乘法上一讲我们对于线性方程组可以使用矩阵 Ax=b来表示，这一讲求解该等式，对于矩阵，使用矩阵消元法。...以下列方程组为例，我们先使用矩阵消元法，然后回代方程即可求得所要的解： ? 对于系数矩阵A和解向量 b, 构建增广矩阵 ? ?...其中，方框中的 1，2，5 称为主元(pivot)，注意，主元不能为 0 。下面通过回代求得线性方程组的解。...这就是矩阵消元的乘法表示。 2.2 矩阵消元习题课这是1999年秋季的测验题，利用矩阵消元法求解下列线性方程组： ? 首先得到增广矩阵（A,b） ?...由于此时第三行主元为0，因此交换第三行和第四行，即得到 ? 可表示为线性方程组如下，此方程组的解与原方程组一致 ? 由下往上求解即可得 ?

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机器学习十大经典算法之最小二乘法

多元线性模型如果我们推广到更一般的情况，假如有更多的模型变量x1,x2,⋯,xn，可以用线性函数表示如下：对于m个样本来说，可以用如下线性方程组表示：如果将样本矩阵xij记为矩阵A,将参数矩阵记为向量...as plt plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False ''' 高斯列主消元算法...exchange_row(matrix, r1, r2, k): matrix[[r1, r2], k:] = matrix[[r2, r1], k:] return matrix # 消元计算...[i] - sij) / matrix[i][i] return x # 求解非齐次线性方程组：ax=b def solve_NLQ(a, b): a_matrix = get_augmented_matrix...Y_line = sum_xi_yi Y.append(Y_line) a_matrix, A = solve_NLQ(np.array(X), Y) # 高斯消元

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关于矩阵的秩及求解Python求法

关于消元法求解线性方程组可将系数和结果转换为矩阵，并可令B为增广矩阵将A、B通过消元法求解所有的m*n的矩阵经过一系列初等变换，都可以变成如下的形式： r就是最简矩阵当中非零行的行数，它也被称为矩阵的秩...线性方程组的解我们理解了矩阵的秩的概念之后，看看它在线性方程组上的应用。...假设当下有一个n元m个等式的方程组：我们可以将它写成矩阵相乘的形式：Ax = b 其中A是一个m*n的矩阵，我们利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩，可以和方便地看出线性方程组是否有解。...我们先来看结论：当R(A) B)时无解当R(A) = R(B) = n时，有唯一解当R(A) = R(B) < n时，有无数解 #!...B的秩为3 # 求解方程 x = np.linalg.solve(A, b) print("x={}".format(x)) # x=[-0.2 0.6 0.6] # 可将结果带入验证方程 # 3*

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Python实现所有算法-高斯消除法

这篇文章写的算法是高斯消元，是数值计算里面基本且有效的算法之一：是求解线性方程组的算法。这里再细写一下：在数学中，高斯消元法，也称为行约简，是一种求解线性方程组的算法。...一个矩阵的简化使用行操作将矩阵转换为简化的行梯形形式有时称为Gauss-Jordan 消元法。在这种情况下，术语高斯消元是指过程，直到它达到其上三角形或（未简化的）行梯形形式。...出于计算原因，在求解线性方程组时，有时最好在矩阵完全约简之前停止行操作。我们对其实现的操作只有这三个如果矩阵与线性方程组相关联，则这些操作不会更改解集。...因此，如果一个人的目标是求解线性方程组，那么使用这些行操作可以使问题变得更容易。对于矩阵中的每一行，如果该行不只包含零，则最左边的非零条目称为该行的前导系数（或枢轴）。...就好像这样其实还有内容，但是公式编辑实在不会哇，这里给出程序的伪代码：高斯消元法将给定的m × n矩阵A转换为行梯形矩阵。

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解线性方程组的直接法

解线性方程组的直接法 0. 问题描述 1. 消元法 1. 三角方程组 1. 对角方程组 2. 下三角方程组 3. 上三角方程组 2. Gauss消元法 3....Gauss-Jordan消元法 2. 直接分解法 1. Dolittle分解 2. Courant分解 3. 追赶法 4. 对称正定矩阵的分解 0....Gauss消元法现在，我们来考察一下一般形式的多元线性方程的解法。其核心的思路其实还是将其转换成三角矩阵然后进行求解。...Gauss-Jordan消元法 Gauss-Jordan消元法和上述Gauss消元法本质上是一样的，不过Gauss消元法是将一般矩阵转换成三角矩阵，而Gauss-Jordan消元法是将一般矩阵转换成对角矩阵...直接分解法直接分解法和上述消元法其实并没有本质上的不同，不过区别在于，直接分解法的核心思路在于基于三角阵的特异性从而不断地尝试将一般矩阵转换为三角阵的形式然后进行求解。 1.

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线性代数整理(三)行列式特征值和特征向量

一个方阵行列式的值等于其进行高斯消元法后的结果 ? 上三角矩阵U 等于其进行高斯-约旦消元法后的结果 ?...对角矩阵D(只有主对角线上的元素为非零元素，其他位置上的元素都为0) 但是这个高斯-约旦消元法跟之前讲线性系统时候的有所不同，它不能进行归一化操作。...跟上三角矩阵的求法类似，进行高斯消元法就好，最后依然是一个对角矩阵，而主元列的主元值不变，依然为 ? 所以上面的计算行列式的值不需要进行约旦消元法，只需要进行高斯消元法即可。...在不做归一化处理的高斯消元法中，将矩阵A化成一个上三角矩阵U,同时产生一个初等矩阵的逆矩阵L。...，当我们要对第二行的主元进行消元的时候，我们发现，第二行第二列的元素为0，如果按照正常的高斯消元法，我们会替换第二行和第三行。 ? 但同时会产生一个交换操作，之前的初等矩阵的逆矩阵L ?

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