空间和时间相关问题的物理定律通常用偏微分方程(PDE)来描述。对于绝大多数的几何结构和所面对的问题来说,可能无法求出这些偏微分方程的解析解。不过,在通常的情况下,可以根据不同的离散化 类型来构造出近似的方程,得出与这些偏微分方程近似的数值模型方程,并可以用数值方法求解。如此,这些数值模型方程的解就是相应的偏微分方程真实解的近似解。有限元法(FEM)就是用来计算出这些近似解的。
1、解的存在性: \forall y \in Y, \exist x \in X, 使得 Ax=y. 2、解的唯一性: \forall y_1, y_2 \in Y, y_1 \neq y_2, 有 Ax_1=y_1, Ax_2=y_2, 使得 x_1 \neq x_2. 3、解的稳定性(即解的连续性):若有 Ax_1=y_1, Ax_2=y_2, 则当 y_1 \rightarrow y_2 时, 使得 x_1 \rightarrow x_2.
弹性力学研究的是外力、边界约束或温度改变等原因引起弹性体发生的应力、形变和位移。通过弹性力学求解具体问题时,在建立平衡方程、几何方程以及物理方程后,在已知载荷和边界条件时,通过对方程组进行求解,得到弹性体的受力分布以及变形特征。以往经常通过数学的方法,对于弹性力学方程进行求解,得到应力(位移)分布的函数解答。由于采用函数解答的方法具有一定的复杂性,本节介绍采用数值方法对基本方程进行求解的基本过程。从数学上,弹性力学问题为边界条件下求解微分方程,属于微分方程的边值问题。微分方程的近似解法主要有差分法和变分法。
功能函数:ode45,ode23,ode113 例:用RK方法(四阶龙格—库塔方法)求解方程 f=-2y+2x^2+2*x
Mathematica 12 为偏微分方程(PDE)的符号和数值求解提供了强大的功能。本文将重点介绍版本12中全新推出的基于有限元方法(FEM)的非线性PDE求解器。首先简要回顾用于求解 PDE 的 Wolfram 语言基本语法,包括如何指定狄利克雷和诺伊曼边界条件;随后我们将通过一个具体的非线性问题,说明 Mathematica 12的 FEM 求解过程。最后,我们将展示一些物理和化学实例,如Gray-Scott模型和与时间相关的纳维-斯托克斯方程。更多信息可以在 Wolfram 语言教程"有限元编程"中找到,本文大部分内容都以此为基础(教程链接见文末)。
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偏微分方程的用处和复杂性相伴而生,例如,想要观察空气在飞机机翼附近的流动二维透视图,建模人员想知道流体在空间中任何一点(也称为流场)以及在不同时间的速度和压力的话,就需要用到偏微分方程。考虑到能量、质量和动量守恒定律,特定的偏微分方程,即Navier-Stokes方程可以对这种流体流动进行建模。
有限元方法(FEM)是一种数值技术,用于对任何给定的物理现象进行有限元分析(FEA)。
积分是数学模型中最重要的功能之一,特别是对数值仿真而言。例如,偏微分方程组 (PDEs) 就是由积分平衡方程派生而来。当需要对偏微分方程进行数值求解时,积分也将发挥非常重要的作用。本文介绍了 COMSOL 软件中可用的积分方法以及如何使用。
研究者们致力于使用偏微分方程(Partial differential equation,PDE)来描述涉及许多独立变量的复杂现象,比如模拟客机在空中飞舞、模拟地震波、模拟疾病在人群中蔓延的过程、模拟基本力和粒子之间的相互作用。
1 导读 偏微分方程是以建立数学模型、进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学专业课程。它是现代数学的一个重要分支,在许多应用学科特别是在物理学、流体力学等学科中有重要的应用。
流体力学,是研究流体(液体和气体)的力学运动规律及其应用的学科。主要研究在各种力的作用下,流体本身的状态,以及流体和固体壁面、流体和流体间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。流体力学是力学的一个重要分支,它主要研究流体本身的静止状态和运动状态,以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律。在生活、环保、科学技术及工程中具有重要的应用价值。
金融市场的时间序列数据是出了名的杂乱,并且很难处理。这也是为什么人们都对金融数学领域如此有趣的部分原因!
这是一个很久很久以前的一个故事,久到能够让人忘记原来这这些方程是如此的贴近自己的学习。你学或者不学,它都在这里,不难也不简单。过冷水今天就和大家分享一下一维热传导方程特别案例的具体求解方法。
这些新书都有增添 Mathematica 的相关内容! Differential Equations with Mathematica, Fourth Edition 第四版使用 Mathematic
无论你信与不信,它无时无刻不存在着; 无论你用与不用,它无时无刻不作用着; 无论你懂与不懂,它无时无刻不影响着。 这个东东就是"场"。场无处不在,宝宝们就每天生活在各种各样的场里。 所谓场就是物理量在空间的分布。用正儿八经的数学定义就是: 如果在全部空间或部分空间里的每一点,都对应着某个物理量的一个确定的值,就说在这空间里确定了该物理量的场,形成场的物理量称为场量。如果场量是数量(标量),就称这个场为数量场(标量场); 若是矢量,则称为矢量场
2004 年 SIGGRAPH 上,Microsoft Research UK 有篇经典的图像融合文章《Poisson Image Editing》。先看看其惊人的融合结果(非论文配图,本人实验结果):
机器之心报道编辑:杜伟 对于求解偏微分方程来说,阿姆斯特丹大学、高通 AI 研究院的研究者最近推出的 MP-PDE 求解器又提供了一个选择。 在科学领域,常年的工作已经面向各种物理现象生成了极其详细的数学模型。很多这些模型通过微分方程(Olver, 2014)的形式进行自然地表达,大多数时候表现为时间偏微分方程(partial differential equation, PDE)。求解这些微分方程对于解决天气预报、天文数字模拟、分子建模、喷气式发动机设计等所有数学学科中的问题至关重要。大多数重要方程的求解
这是一篇在2020年发表在ICLR的论文,论文使用图神经网络从稀疏数据中学习连续时间偏微分方程,文章提出的模型主要创新点是允许任意空间和时间离散化,也就是说在求解偏微分划分网格时,网格可以是不均匀的,由于所求解的控制方程是未知的,在表示控制方程时,作者使用了消息传递的图神经网络进行参数化。
AI 科技评论按,本文作者成指导,字节跳动算法工程师,本文首发于知乎(https://zhuanlan.zhihu.com/p/68349210),AI 科技评论获其授权转载,正文内容如下:
西北工业大学航天学院副院长秦飞为大家带来的演讲主题是:AI+CFD,面向空天动力的科学机器学习新方法与新范式。
大气海洋的特点,决定了我们无法做一些真实的实验,因此开展数值模拟,是其重要手段。业务预报中,现在气象预报员基本离不开模式的结果,甚至许多预报员毫不避讳,直言预报结论基本照搬模式结果。科研中,众多领域也是要需要使用数值模式,哪怕不使用数值模式,也需用到模式运行得到的再分析资料。因此对于大气和海洋科学领域的人而言,数值模式是一个绕不开的话题。
刚性机械臂建模方法已经可以有效地求解出机械臂各部分之间的耦合情况,但是对于柔性机械臂的动力学建模其侧重点在于基于刚性机械臂建模方法的基础上如何有效的处理机械臂关节柔性以及臂杆柔性的问题。由于机械臂的截面相对于其长度而言很小,可以将柔性杆作为Euler-Bernouli梁,柔性机械臂可以视为一个具有无限自由度的连续系统。相对于刚性机械臂杆件之间的耦合,柔性机械臂还需要考虑关节的柔性以及臂杆弹性变形的耦合。因而,柔性机械臂的运动方程具有高度非线性。
我们常常会对一些光学结构进行仿真设计,一款好用的仿真软件是必不可少的。深入了解这些仿真工具的工作原理,有助于我们更有效地选择与利用这些工具,得到合理的结果。工欲善其事,必先利其器。这一篇整理下几种常用的电磁学仿真方法。
过去十年来,深度学习领域发展迅速,其一大主要推动力便是并行化。通过 GPU 和 TPU 等专用硬件加速器,深度学习中广泛使用的矩阵乘法可以得到快速评估,从而可以快速执行试错型的深度学习研究。
作者表示:这篇论文并没有解决价值数百万美元的核聚变问题,而是在更简单的设置中,引入一个有前途的概念验证。
来自中科大的陈世炳教授等人,开发了一套全新的数学方法,直接打破了领域内专家20多年来的既有认知。
Python 是一种功能强大、灵活且易于学习的编程语言。它是许多专业人士、爱好者和科学家的首选编程语言。Python 的强大之处来自其庞大的软件包生态系统和友好的社区,以及其与编译扩展模块无缝通信的能力。这意味着 Python 非常适合解决各种问题,特别是数学问题。
微分方程是数学中重要的一课。所谓微分方程,就是含有未知函数的导数。一般凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程,就叫做微分方程。
流体数值模拟对于建模多种物理现象而言非常重要,如天气、气候、空气动力学和等离子体物理学。流体可以用纳维 - 斯托克斯方程来描述,但大规模求解这类方程仍属难题,受限于解决最小时空特征的计算成本。这就带来了准确率和易处理性之间的权衡。
之前过冷水有和大家分享热传导方程求解的方法,其本质上是微分方程的问题。考虑大多数读者对微分方程求解方法比较陌生,所以过冷水本期简单普及一下微分方程的求解问题。
让神经网络学习了如何解决偏微分方程是令人兴奋的,但还有很大的不足。一旦在一定的网格尺寸上进行训练,神经网络就变得非常特定于该分辨率。深度网络已经学会了预估将数据从一个有限维空间映射到另一个空间的函数。但以不同的分辨率求解偏微分方程时,如果想对流场有一个更细致的了解,或更改初始和边界条件,则需要重新开始训练,学习预估新的函数。
作者/文龙 伴随着人工智能的飞速发展,以神经网络为代表的深度学习宛如饥饿的猛兽,无论你喂多少的数据给它,它都不嫌多。但在现实中,有很多数据存在着丢失、不完整。再者,虽然神经网络可以实现很高的精度,但是它们不能为我们总结底层的原理。难道我们真的要丢掉无数学者总结出的知识,完全依靠数据来推动发展吗? 近日,发表在 Nature Review Physics 杂志上的一篇综述论文「Physics-informed machine learning」提出了「教机器学习物理知识以解决物理问题」的观点。该论文回顾了将物
本文总结了常用的数学模型方法和它们的主要用途,主要包括数学和统计上的建模方法,关于在数学建模中也挺常用的机器学习算法暂时不作补充,以后有时间就补。至于究竟哪个模型更好,需要用数据来验证,还有求解方法也不唯一,比如指派问题,你可以用线性规划OR动态规划OR整数规划OR图与网络方法来解。
现在,终于有人为这个领域制作了一个名叫PDEBench的完整基准,论文登上了NeurIPS 2022。
上节主要从插值、数值积分和优化三大功能介绍 scipy,下节从有限差分和线性回归两大功能来介绍 scipy。
什么是数值传热学(Numerical Heat Transfer)?数值传热学简称NHT,传热学大家应该都知道,传热有三种方式:热传导、热对流和热辐射。那么对应的方程就是导热方程、对流方程和热辐射方程,这三个方程本质上都是一个方程——能量守恒方程。所以理论上,只要我们求解了能量守恒方程,我们就能知道换热器的温度场与传热系数,所有的热性能就都知道了,我们也能不用做实验了。因此求解能量守恒方程是工业界的一个很现实的需求,所以计算就真的就是计算,就是解方程算数的一个过程。
在高温环境下工作时,人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成,记为I、II、III层,其中I层与外界环境接触,III层与皮肤之间还存在空隙,将此空隙记为IV层。
《传热学》相关小程序演示动画如下(其中下图1D非稳态导热计算发散,调小时间步长后重新计算,结果收敛!):
本次和大家一起来看看如何根据一维热传导有限差分法的思想求解二维热传导方程进行求解。
偏微分方程(PDE,Partial Differential Equation),这个在流体动力学、天体物理学等领域的常客,现在有了新求解“姿势”。
█ 本文译自2016年8月8日的 Stephen Wolfram 的博客——Today We Launch Version 11!(http://blog.stephenwolfram.com/2016/08/today-we-launch-version-11/) 本号之前介绍了《从 Mathematica 1.0 到 Wolfram 11.0, 一场持续了30多年的智慧之旅!》一文。今天带您继续一起领略 Wolfram 11.0 强大的新功能—— 你注意到的第一件事...... 当你在桌面上第一次启动版
1 1 导读 版本 11 扩展了其符号和数值微分方程的求解功能,其中包括了在一定区域上寻找特征值和特征函数. 给定一个有可能耦合的偏微分方程(PDE),一个指定的区域,或者再加上边界条件,特征值求解器
光,从我们第一眼看到这个世界,到最后一缕气息将我们引向轮回密境,它一直出现在我们周围,像空气一样平凡,却至关重要。
国防科技大学计算机学院刘杰今天为大家带来的主题是:AI赋能基于网格离散的科学与工程计算,它主要分五个方面:
边界层的布拉修斯(Blasius)方程求解,请参考沈顾身《冶金传输原理基础》或其他教材。其实就是求解一个微分方程的解:
AI也能解方程了?是的,它们不仅能解方程,还能“找到”方程!今天我们就简单梳理一下机器学习解方程的近些年最新进展。
AI技术,特别是机器学习和强化学习方法,基于实验或者计算产生的数据对所求解的问题进行可计算建模,从而得到复杂问题的有效解决方式,这对当今科学计算领域的研究范式已经产生了巨大影响。
这项新技术比以前开发的深度学习方法精确得多,也具有更广泛的通用性,无需重新训练即可求解整个 PDE 系列(例如适用于任何类型流体的 Navier-Stokes 方程)。
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