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Wolfram 光学解决方案

优化由符号定义的透镜和反射镜的系统，用内置图像处理或数据分析函数检测光学元件，计算复杂的射线跟踪模型。...Wolfram 光学解决方案利用内置特殊函数将这些功能集成在一起，除高等微分方程求解器之外，还提供了顶级的自动化和可靠性计算、开发和部署环境。...其他计算系统要求用户手动分析自己的方程，来确定要应用哪一个函数——例如，在 Mathematica 中您只需要使用 NDSolve 的地方，在 Matlab 中您必须要从 ode45、ode23、ode113、ode15s、bvp4c...等中做出正确选择，否则就会有得到错误结果的可能 主要功能 Wolfram技术包括用于计算、建模、可视化、开发和部署的数千种内置函数» 光学领域的专业功能 数值和符号计算用于准确计算可重复使用的模型或准确确定畸变 用微积分和微分方程进行从点扩展函数到显微镜的充分理论的光学计算...提供了可自动计算任意事件的概率和期望的函数，可实现对多种问题的快速运算 对模糊和噪声图像的数值数据进行卷积和相关性分析 » 利用图像处理和滤波函数对衍射效果进行建模，利用内置函数和用户自定义的算法实现卷积等多种功能 » 用于标准光学绘图的二维和三维绘图功能

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matlab求解微分方程组(matlab解微分方程的数值解)

如何用matlab来求解简单的微分方程？举例来说明吧。 求解三阶常微分方程。我们知道，求解高阶常微分方程可以化为求解一阶常微分方程组。...如图： 二阶常微分方程 编写函数eq2.m function ydot= eq2(t,y) ydot=[y(2);-3-cos(2*t) + 2*sin(t)+t-3.8]; 主函数 clc...求解微分方程，以上matlab内部用的是欧拉折现法，或者是单步法的改进，得不到一个解析解。那么如何求带初值问题的解析解呢？...y'''-3y'-yy'=0 y(0)=0 y'(0)=1 y''(0)=-1 求无初始条件的微分方程的解析通解各项 clc clear syms x y diff_equ='x^2+y+(x-2*y...)*Dy=0'; dsolve(diff_equ,'x') %求无初始条件的微分方程的解析通解各项 求线性系统的解析解并画相图 clc,clear equ1='Dx1 - x2 = 0'; equ2

1.7K30
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    有限元法（FEM）

    不过，在通常的情况下，可以根据不同的离散化 类型来构造出近似的方程，得出与这些偏微分方程近似的数值模型方程，并可以用数值方法求解。如此，这些数值模型方程的解就是相应的偏微分方程真实解的近似解。...此方程是用一个自变量（t）的导数所表示的一个微分方程。这种微分方程被称为常微分方程（ODE）。...这一代数方程组的解可以作为该偏微分方程的近似解。网格越稠密，近似解就越接近真实解。 对散热器中的温度场进行的有限元近似。...二维和三维线性单元的节点位置与几何形状。 下图显示的是相应的二阶单元（二次单元）。在此，面对一个域边界的边和面通常是弯曲的，而面对该域内部的边和面则是直线或平面。...拉格朗日单元和巧凑边点元是二维和三维建模中最常用的单元类型。拉格朗日单元使用下面所有的节点（黑色、白色和灰色），而巧凑边点元则不使用灰色的节点。 二阶单元。

    1.9K20

    关于计算流体力学，你知道多少？

    这些方程构成连理的非线性偏微分方程组，不能用经典的解析法，只能用数值方法求解。 求解上述方程必须首先给定模型的几何形状和尺寸，确定计算区域并给出恰当的进出口，壁面以及自由面的边界条件。...——该使用何种空间模型（一维、准一维、二维，轴对称还是三维？） ——流域是怎样的？ ——该使用何种时间模型？（定常或非定常） ——流动的粘性情况（无粘、层流还是湍流） ——该使用何种气体模型？...它是将求解区域划分为差分网格，用于有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。...其基本的差分表达式主要有四种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。...有线体积法 有线体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。其中的未知数是网格节点上的因变量。

    1.2K20

    matlab解常微分方程组数值解法(二元常微分方程组的解法)

    上篇博客介绍了Matlab求解常微分方程组解析解的方法：博客地址 微分方程组复杂时，无法求出解析解时，就需要求其数值解，这里来介绍。...一阶微分方程求解(简单调用即可) 方程：y’=2*t 代码： tspan=[1 6]; %定义自变量x的取值空间为1-6 y0=0;%定义因变量的初值，当x=1（x取值空间的第一个数）时，y0=0 [...二阶微分方程求解(引入函数文件) 方程：范德波尔方程 y1’’-u(1-y1²)*y1’+y1=0;（这里设u=1） 代码： 定义输入的方程，以函数形式定义 function dydt=odefun...求解微分方程组（和2类似） 这里就和求解二阶方程类似的，只不过不需要降阶，仍旧需要一个函数来定义方程组。我们这里不用官方文档的例子，用同学的循坏摆问题来进行演示。...更多形式 讲到这里，大部分我们用到的微分方程形式都可以求解了，Matlab还支持带有时变项和额外参数的微分方程求解，这里不再赘述，大家可以自行参阅官方文档。

    4.8K40

    机器学习与流体动力学：谷歌AI利用「ML+TPU」实现流体模拟数量级加速

    流体可以用纳维 - 斯托克斯方程来描述，但大规模求解这类方程仍属难题，受限于解决最小时空特征的计算成本。这就带来了准确率和易处理性之间的权衡。 ?...最后是雷诺数 Re=4000 时，在更复杂流上的效果对比： ? 方法简介 用非线性偏微分方程描述的复杂物理系统模拟对于工程与物理科学而言非常重要。然而，大规模求解这类方程并非易事。...「learned interpolation」模型的单时间步结构，用卷积神经网络控制标准数值求解器对流计算中学得的近似。...具体而言，将求解底层偏微分方程的标准数值方法内的求解器作为可微分编程进行训练，在 JAX 框架中写神经网络和数值方法（JAX 框架支持反向模式自动微分）。...下图 3 表明，在 Kolmogorov 流 Re = 1000 上学得的离散模型的准确率可以匹配以 7 倍分辨率运行的 DNS。 ? 最后，该模型可以泛化至更高的雷诺数吗？也就是更复杂的流。

    73510

    最优控制——变分法

    泛函的定义域是函数集，值域是数集，也就是说，泛函是从函数空间到数域的一个映射 3、最优控制问题的四个基本元素：状态方程、容许控制、目标集、性能指标 其中状态方程(关于状态变量和控制变量的常微分方程)...是最优控制问题与经典变分问题的重要区别之一 4、经典变分问题需要连续的控制变量—>之后的极小值原理处理不连续控制变量、状态变量或者控制变量有约束的情况—>更复杂的非线性状态方程、控制变量不可微等 动态规划方法 5、无确定模型的最优控制方法...不适用场景：控制变量或其分量取值于实数空间中的闭区间 3、最简变分法：（欧拉-拉格朗日方程） 求变分不止可以用看线性泛函和高阶无穷小，还可以用微积分的方法求解： 4、 欧拉-拉格朗日方程是关于状态x...的二阶微分方程 分为三种情况： 三种结果： 5、hamilton方程组 物理学家将欧拉-拉格朗日这个二阶微分方程化成了一阶常微分方程组 6、等式约束的处理 拉格朗日乘子法 发布者：全栈程序员栈长

    1.3K30

    Hessian-Hamiltonian MC Rendering

    这类场景可以认为是在一个高维场景下，多数能量分布在局部微小区域内，因此增大了采样的难度。...然而，还有一个问题，该微分方程没有解析解，需要迭代求解，这就不适用于光追了。于是，论文中提出了H2MC的方式来解决这个问题。...其核心思想就是泰勒公式的二阶导的近似，话说，我有点不确定这样的结果还能保证无偏吗？ 这里，对任意offset x进行如下的近似解： ? 如此，则 ? ，将公式(3)合并为一个： ? 记 ?...，则基于球面坐标来采样，这样的好处是避免后者在随机数生成时出现维度上的相关性，提供discrepancy。...个人总结 为了理解这篇论文，花了一天的时间来推导哈密顿的那个微分方程，了解了欧拉求解最速降线，拉格朗日方程的过程以及两者之间的相似性，这是启发哈密顿力学的起源。这个过程收获很大。

    1.2K30

    使用Maxima求解常微分方程~

    1 一阶、二阶常微分方程的通解 Maxima 可以求解很多种类的常微分方程。 对于可以给出闭式解的一阶和二阶常微分方程，Maxima 会试图求出其精确解。 下面给出三个简单的例子。...ode2函数只能求解一阶和二阶常微分方程，第三个例子给出的是一个三阶常微分方程，无法求解，因此输出 false。...2 初值问题 函数ic1 (solution, xval, yval)和ic2 (solution, xval, yval, dval)分别用来解一阶和二阶微分方程的初值问题，其中solution是用...3 边值问题 函数bc2 (solution, xval_1, yval_1, xval_2, yval_2)用来求解二阶微分方程的边值问题， 其中solution是ode2解得的通解，xval_1...4 利用Laplace变换法求解常微分方程(组) 如果待求解的常微分方程(组)是线性常系数的。则可以利用Laplace变换法来求解。

    1.6K20

    数学建模组队学习02---微分方程和动力系统（二）

    下面的这个内容属于我们的高等数学里面的微分方程这个章节的内容，下面的这个我放的是最简单的一类方程，就是我们的一阶线性微分方程，还有二阶常系数微分方程； 这个里面涉及我们的特征根，通解和特解相关的这个说明把...； 2）第8行就是求解在x=1位置处的导数值 4.Python求解微分方程解析解 我们看一下这个代码： 1）这个里面需要使用到一个模块sympy，如果你之前没有，需要在这个pycharm终端里面进行手动的安装...； 2）首先需要定义这个y和x，即这个程序里面的2,3行作的事情； 3）第四行就是定义上面的这个微分方程，fiff表示的就是这个阶数,x,2表示的就是y对于x的二阶导，以此类推，这个eq里面的第二个参数就是我们的等式右边的...实际上即使在描述这个方程组，x.diff(t)表示的就是x对于t的微分，也就是导数； 3）A*x实际上就是我们的系数矩阵和未知参数的线性组合，我们把求解微分方程组的问题转化为求解线性方程组，使用矩阵求解...，得到相同的结果； 示的就是x对于t的微分，也就是导数； 3）A*x实际上就是我们的系数矩阵和未知参数的线性组合，我们把求解微分方程组的问题转化为求解线性方程组，使用矩阵求解，得到相同的结果；

    6610

    加州理工华人博士提出傅里叶神经算子，偏微分方程提速1000倍，告别超算！

    最近加州理工的一个博士生提出了一种傅里叶神经算子，能让求解速度提升1000倍，从此让你不再依赖超算！ 微分方程是数学中重要的一课。所谓微分方程，就是含有未知函数的导数。...然而，偏微分方程的求解过程却是异常艰难的，尤其对于计算机来说，只能以最笨拙的方法去求解。 对于特别复杂的偏微分方程，可能需要数百万个CPU小时才能求解出来一个结果，所以求救过程也通常依赖于超级计算机。...因此，基于学习的方法的阶数可能比传统的求解方法的阶数大。 机器学习则成了其中的关键，而方法也分为各个流派。...该方法类似于有限元等经典方法，用神经网络空间代替有限组局部基函数的线性范围。神经-有限元方法与经典方法具有相同的计算问题：每一个新的实例都需要求解优化问题。此外，该方法仅限于了解基本PDE的设置。...神经算子（Neural Operator）使用神经网络学习无网格、无限维算子。神经算子通过产生一组可用于不同离散化的网络工作参数来纠正上述有限维算子方法的网格相关性质。它具有在网格之间传递解的能力。

    1.1K10

    Matlab通过ode系列函数求解微分方程

    MATLAB有很多用于求解微分方程的内置函数。MATLAB包含了用于求解常微分方程（ODE）的函数，微分表达式一般如下 对于高阶微分方程必须重新表述为一个一阶系统微分方程。...并不是所有的微分方程都可以用同样的方法求解，所以MATLAB提供了许多不同的常微分方程求解器，如ode45、ode23、ode113等。...x0=1; a=-1/5; b=1; param=[a b]; [t,y]=ode45(@mysimplediff, tspan, x0,[], param); plot(t,y) 使用ode23函数求解微分方程并绘制...[t0,tf]区间上 假定 微分方程可表达为： function dw = diff_task3(t,w) dw = -(1.2 + sin(10*t))*w; tspan=[0 5]; w0...=1; [t,w]=ode23(@diff_task3, tspan, w0); plot(t,w) 求解含有二阶的微分方程 令： 高阶的系统（二阶、三阶等）需要降为一阶来书写表达式，学过现代控制理论的应该熟悉这个

    1.1K31

    有限元法在非线性偏微分方程中的应用

    在作为数学建模和分析基础的常/偏微分方程领域，Mathematica 12 具有功能强大的求解器来对其进行符号或数值求解。...微分方程的数值求解过程 在 Wolfram 语言中，对微分方程进行数值求解的函数有两个：NDSolve 和 NDSolveValue。两者仅在输出格式上有细微差异，内部处理则完全一致。...下面，我们考虑的问题将暂时与时间无关，并处理与空间维数有关的有限元法．与时间有关的问题将在第 3 节末尾作简要说明，并且在 4.3 和 4.4 节中给出范例。...（u´´(x) 被视为 u´(x) 的系数，造成系数依赖于二阶导数函数的结果）。...2.2 指定区域 您可以指定任何维数的任何区域。

    2.5K30

    AI攻破高数核心，1秒内精确求解微分方程、不定积分，性能远超Matlab

    还能解常微分方程： ? 一阶二阶都可以。 这是Facebook发表的新模型，1秒给出的答案，超越了Mathematica和Matlab这两只付费数学软件30秒的成绩。...二阶常微分方程，和它的解 二阶的原理，是从一阶那里扩展来的，只要把f(x,c)变成f(x,c1,c2) ，对c2有解。 微分方程F要满足： ? 把它对x求导，会得到： ?...最后，整理出清爽的微分方程： ? 它的解就是fc1,c2。 至于生成过程，举个例子： ? 现在，求积分和求解微分方程两个训练集都有了。...如此，就要考虑根节点和下一内部节点参数数量的二维概率分布，记作 L(e,n)。 ?...采用的模型，是8个注意力头（attention head），6层，512维的Transformer模型。 研究人员在一个拥有5000个方程的数据集中，对模型求解微积分方程的准确率进行了评估。

    96330

    天生一对，硬核微分方程与深度学习的「联姻」之路

    本文将从鄂维南、董彬和陈天琦等研究者的工作中，窥探微分方程与深度学习联袂前行的路径。...那么什么是微分方程，它结合深度学习又有什么用呢？ 按照维基百科的描述：「微分方程是一种数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系」，因此一个方程如果同时包含函数及其导数，那么就可以称为微分方程。...在 17 年的《Communications in Mathematics and Statistics》中，鄂维南发表了一篇文章，他讨论了使用连续动力学系统建模高维非线性函数的想法，即微分方程与深度学习之间的关系...具体而言对于深度残差网络，我们可以用离散动态系统描述为： ?...如果我们用业界成熟的微分方程求解器（ODESolve）解某个 ODE，这不就能代替前传和反传么？

    1.4K31

    求解微分方程，用seq2seq就够了，性能远超 Mathematica、Matlab

    作者 | XK 编辑 | Tokai 距离用深度学习技术求解符号数学推理问题，或许只差一个恰当的表示和恰当的数据集。...论文地址：https://arxiv.org/abs/1912.01412 这篇论文提出了一种新的基于seq2seq的方法来求解符号数学问题，例如函数积分、一阶常微分方程、二阶常微分方程等复杂问题。...学过高等数学的我们都有过求积分和解微分方程的痛苦经历，对计算机软件来讲，求解这些问题事实上也同样困难。...当给你一个公式yy′(y^2 + 1)^{−1/2}，你会从脑海中牢牢记住的数十、数百个积分模型中寻找出「模式」最为匹配的结果\sqrt{y^2 + 1}。...基于这种思路，作者首先提出了将数学表达式转换为seq2seq表示形式的方法，并用多种策略生成了用于监督学习的数据集（积分、一阶和二阶微分方程），然后将seq2seq模型用于这些数据集，便得出了比最新计算机代数程序

    1.1K10

    数学建模--微分方程

    偏微分方程（PDE）： 一维平流方程：描述流体或物质在空间中的移动。 一维热传导方程：描述热量在物体内部的传递过程。 二维双曲方程：用于描述波动现象，如声波和水波。...二维抛物方程：常用于描述扩散过程，如气体分子在容器中的扩散。 二维椭圆方程：用于描述静态平衡状态，如电势分布。...分析题目属于哪一类问题，并确定可以使用的微分方程模型类型。例如，在生物学中，布朗运动可以用随机微分方程模拟，心脏电信号可以用一般微分方程模拟。...以下是一些常用的数值方法及其适用问题类型的详细说明： 欧拉法是最简单的数值求解方法之一，通过将微分方程中的导数用差分代替来近似求解。...龙格-库塔法是一类广泛使用的高精度数值方法，包括一阶、二阶、四阶等不同形式。其中，四阶龙格-库塔法是最常用的一种，具有很高的精度和稳定性，适用于各种初值问题和边值问题。

    21610

    Stable diffusion采样器详解

    在去噪过程的最后一步，噪声水平降低到零，此时图像应该是清晰且与文本提示相匹配的。理想情况下，最终图像应该几乎没有噪声，且细节丰富，准确地反映了文本描述的内容。...DPM 和 DPM2 相似，但 DPM2 是二阶的(更准确但更慢)。DPM++ 是对 DPM 的改进。DPM adaptive是自适应调整步长。所以它可能很慢，并且不能保证在采样步骤数内完成。...受常微分方程求解器中预测变量-校正器方法的启发，它可以在 5-10 个步骤内实现高质量的图像生成。怎么选择采样器那么这么多的采样器，我们应该如何选择呢？...是否收敛首先，对Euler、DDIM、PLMS、LMS Karras 和 Heun这些老式的常微分方程求解器或原始扩散求解器来说，PLMS和LMS Karras收敛效果不佳。Heun收敛得更快。...时间花费2倍的是因为他们用的是2阶求解器。二阶求解器虽然更准确，但需要对去U-Net进行两次评估,所以它们花费的时间大概是2倍。

    54710

    微分方程和差分方程的区别与联系

    微分方程 我们从高等数学的知识知道，微分方程是求解未知函数的，同时它的基本元素是导数，也就是说是导数的函数，而真正求解的是未知函数，比如数字信号处理中的线性常系数微分方程的模拟滤波器： [（1）] 它是模拟滤波器的一种...使用差分方程来逼近微分方程（其中一种） 从高等数学的知识知道，导数本质上是信号值的差除以时间的差，并对它进行求极限，那么从这点，我们就可以推得使用极限形式的表达式来替换导数是可行的，但是如果直接用极限...另外，信号可分为连续时间信号和离散时间信号，所以可以用离散时间信号来替代连续时间信号，而求得一个近似值，这就是所谓的逼近了。...二阶导数的替换公式如下： [（4）] 如此，就可得到任意阶的差分等式替换（这里就不具体说了，在导数逼近设计 IIR 滤波器的方法中有详细讲解）。...因为从式（3）和式（4）知，如果对式（1）所有阶数的导数进行替换，再对产生的式子进行重新排列，就会得出式（5）的结果，所不同的是系数而已，而系数就是我们需要求的。

    4.8K00

    MATLAB非线性可视化之线性系统相图

    我们在前面的多摆模型中，利用多摆的微分方程模型，求解出了多摆每时每刻的位置随时间的变化。当然那是一个高度复杂的非线性模型，难以上手分析。...这篇文章，我们首先利用一个二阶的线性模型进行求解，并引入微分方程定性分析中常用的工具——相图。...首先考虑下面这个经典的二阶阻尼振动方程： 将它整理为线性系统，如dx=Ax形式的样子： 矩阵A是一个二阶矩阵。我们取k=0.925，c=0.3。...（负实，无虚部） % A=[0,1; % -0.96,-2]; %只有阻尼（一个为0一个为负） % A=[0,1; % 0,-2]; %只有弹簧（实部都为0） % A=[0,1; %...4,4]) box on xlabel('x');ylabel('dx'); function [F,Output]=Fdydx(x,y,Input) %形式为Y'=F(x,Y)的方程，参见数值分析求解常系数微分方程相关知识

    1.8K30
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